Números casi amigos o comprometidos

Hoy repasaremos los llamados números comprometidos o casi amigos. Son dos números m y n tales que la suma de los divisores no triviales de uno coincide con el valor del otro. Así, son de ese tipo, 48 y 75, ya que la suma de divisores (función SIGMA) de 48 es 48+24+16+12+8+6+4+3+2+1=124, pero si no contamos el 1 y el propio 48 (divisores triviales) nos queda 75, que es el otro número. Recíprocamente, SIGMA(75)=124, y eliminando 75 y 1, nos queda 48.

Esta idea de divisores no triviales se recoge en la función de Chowla, que se puede definir como

CHOWLA(n)=SIGMA(n)-n-1. 

Así que en estos números se cumple

CHOWLA(48)=75 y CHOWLA(75)=48

Es evidente que esta función tiene valor 0 si un número es primo. Esto confirma que estos  números que estudiamos son todos compuestos.

Es trivial también que la función SIGMA coincide en ambos números m y n del par (en el ejemplo, 124) y que su valor es m+n+1. Este hecho se toma también como definición de números comprometidos:

Estos números están publicados en varios sitios. Destacamos la de OEIS, en la que se les da el nombre de “números comprometidos”:

http://oeis.org/A005276

Betrothed (or quasi-amicable) numbers.

48, 75, 140, 195, 1050, 1575, 1648, 1925, 2024, 2295, 5775, 6128, 8892, 9504, 16587, 20735, 62744, 75495, 186615, 196664, 199760, 206504, 219975, 266000, 309135, 312620, 507759, 526575, 544784, 549219, 573560, 587460, 817479, 1000824, 1057595, 1081184,…

Están insertados por pares, por lo que son casi amigos 48 con 75, 140 con 195, y así hasta el final.

Búsqueda de números comprometidos

No es difícil encontrar estos pares de números. En la página de OEIS enlazada más arriba podéis consultar un procedimiento en PARI, pero, es tan sintético, que es preferible desarrollar una función en VBasic de Excel, aunque se traduce fácilmente a otro lenguaje de programación.

Para cada número N, calcularemos la función SIGMA, suma de divisores y analizaremos si es mayor que N+1.

Si lo es, la diferencia M=SIGMA(N)-N-1 es un candidato a pareja de N

Si SIGMA(M)=M+N+1, hemos dado con un número N del tipo buscado y M será su pareja.

La función SIGMA se ha usado mucho en este blog. Una versión sencilla la tienes en https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/la-funcion-sigma-y-sus-traslados.html

Con ella construimos una función que nos devuelva un 0 si el número no es comprometido, o su pareja M si lo es.

Function comprometido(n)

Dim m, s, c

s = sigma(n)

If s > n + 1 Then ‘Sigma suficientemente grande

‘Si m cumple la reciprocidad, vale, Si no, devuelve un cero

m = s - n - 1: If sigma(m) = m + n + 1 Then c = m Else c = 0

End If

comprometido = c

End Function

Esta función permite reproducir fácilmente las parejas comprometidas ya publicadas. Basta organizar una búsqueda y publicar solo las que presentan un resultado distinto de cero. En Excel las primeras serían:

Era previsible que las parejas aparecieran duplicadas, por la reciprocidad interna en ellas. Se puede programar que solo se publique uno de los miembros de la pareja.

De esta función deducimos un listado sencillo en PARI:

for(n=1,500,a=sigma(n)-n-1;if(a>1,if(sigma(a)-a-1==n, print1(n, ", "))))

Se confirma el listado:

48, 75, 140, 195, 1050, 1575, 1648, 1925, 2024, 2295, 5775, 6128, 8892, 9504, 16587, 20735,…

Cuestiones derivadas

Todos los pares conocidos, hasta 10¹⁰, tienen distinta paridad.

Con esta función podemos preguntarnos cuál es el primer par de comprometidos a partir de un número, por ejemplo, un millón. Hemos organizado la búsqueda y resultan

1000824 y 1902215

También podemos interpretar esto como una secuencia cíclica de dos pasos:

CHOWLA(CHOWLA(N))=N

Existen números en los que estos ciclos son de más de dos pasos. Son los casi sociales, estudiados por Mitchell Dickerman, como 1215571544, que da lugar a un ciclo de ocho pasos:

1215571544

1270824975

1467511664

1530808335

1579407344

1638031815

1727239544

1512587175

1215571544

Por último, estos números parecen no poseer otras propiedades, aparte de ser compuestos. Entre los primeros no hemos encontrado cuadrados, ni triangulares, o semiprimos, por ejemplo. Así que los dejamos aquí.