Surgen
nuevas coincidencias de sumas de cuadrados de cifras si comparamos cualquier
número con sus potencias o bien entre ellas. Es inevitable que este estudio
conste de un conjunto de casos, ya que no hay una teoría general que lo
respalde y hay que acudir a búsquedas un poco al azar.
Cifras de un número y su cuadrado
Normalmente,
salvo las potencias de 10 y sus múltiplos más pequeños, no se perciben
relaciones entre las cifras de un número y las de su cuadrado. Por ello,
debemos acudir a las búsquedas. En este tema usaremos la función sumacifras con parámetro 2. Esta función
ya la conoces si has leído los temas anteriores de esta serie.
Comenzaremos
buscando números cuya suma de cuadrados de cifras coincida con la de su
cuadrado.
Cuadrado con la misma suma
Si
exigimos en Excel
sumacifras(N;2)=sumacifras(N^2;2)
o en PARI
norml2(digits(n))==norml2(digits(n^2))
obtendremos los números buscados. Son estos:
Figuran en la primera columna los cuadrados, en la segunda la
suma común, y en la tercera el número buscado.
Con PARI usamos el código
for(i = 1, 30000,
if(norml2(digits(i^2)) == norml2(digits(i)), print1(i, ", ")))
Resulta el mismo listado que con Excel.
1, 10, 35, 100, 152, 350, 377, 452, 539, 709, 1000, 1299,
1398, 1439, 1519, 1520, 1569, 1591, 1679, 1965, 2599, 2838, 3332, 3500, 3598,
3770, 4520, 4586, 4754, 4854, 5390, 5501, 5835, 5857, 6388, 6595, 6735, 6861,
6951, 7090, 7349, 7887, 8395, 9795, 10000, 10056,
Esta sucesión estaba inédita y la hemos publicado en https://oeis.org/A309883.
Puedes comprobar que si K pertenece a la sucesión, K*10^p,
con p entero positivo, también pertenece a la misma.
Como curiosidad, entre ellos hay capicúas, como 7887, 67476 y
93939.
También se encuentran números primos; 709, 1439, 5501, 5857,
7349, 10159, 14897, 17449, 25999,…
Los únicos términos menores que 100000 de la sucesión de
Fibonacci son 1 y 377.
Así podríamos seguir.
Suma del
cuadrado es el doble
Ahora veremos los números que son
cuadrados y la suma de los cuadrados de sus cifras es el doble que la
correspondiente a su raíz cuadrada. Por ejemplo:
504^2 = 254016.
Los cuadrados de las cifras de 504
suman 5^2 + 0^2 + 4^2 = 41.
La suma en su cuadrado es 2^2 +
5^2 +4^2 + 0^2 + 1^2 +6^2 = 82, que es el doble de 41.
Los primeros números que cumplen
esto son:
72, 405, 504, 720, 722, 953, 1964,
2092, 2376, 2555, 2577, 2619, 4005, 4050, 4284, 4449, 4571, 5004, 5040, 5552,
5651, 5805, 6326, 6615, 7200, 7218, 7220, 7676, 8355,…
También aquí si K pertenece a la sucesión, K*10^p, con p
entero positivo, también pertenece a la misma.
Puedes plantearte como ejercicio
un código PARI para este caso.
64146 es el primer capicúa que
cumple la condición:
64146^2=4114709316
6^2+4^2+1^2+4^2+6^2=105
4^2+1^2+1^2+4^2+7^2+0^2+9^2+3^2+1^2+6^2=210,
que es el doble de 105.
Como en el caso anterior, aparecen
primos:
953, 5651, 18251, 19913, 20129,
22691, 33587, 34487,…
Cubos con
igual suma
De forma similar, podemos buscar aquellos números que
coinciden con su cubo en la suma de los cuadrados de las cifras.
Adaptando las técnicas que usamos para los cuadrados, es
fácil ver que los primeros con ese tipo de coincidencia son los de la tabla
siguiente:
1
|
1
|
1
|
1000
|
1
|
10
|
405224
|
65
|
74
|
1000000
|
1
|
100
|
405224000
|
65
|
740
|
1000000000
|
1
|
1000
|
La primera columna está formada por los cubos, la tercera por
las bases y la central por la suma común.
El listado de los primeros es el siguiente:
1, 10, 74, 100, 740, 1000, 3488, 7400, 10000, 23658, 30868,
34880, 47508, 48517, 52187, 58947, 59468, 67685, 68058, 74000, 76814, 78368,
78845, 84878,
100000
También esta sucesión estaba inédita, y la hemos publicado en
https://oeis.org/A309884.
Se puede engendrar en PARI con:
for(i = 1, 10^6, if(norml2(digits(i^3)) == norml2(digits(i)),
print1(i, ", ")))
Cubos con
suma triple
Adjuntamos los resultados sin explicación:
76, 351, 760, 1167, 1338, 1717, 2494, 2822, 3184, 3510, 5056,
5827, 6092, 6166, 6183, 7046, 7175, 7261, 7600, 8162, 8306, 8347, 8842, 8853,
9862, 10064, 10067, 10447, 11048, 11285, 11559, 11670,
Por ejemplo, 76^3=438976, y se cumple:
7^2+6^2=85
4^2+3^2+8^2+9^2+7^2+6^2=255=85*3
En PARI:
for(i = 1, 2*10^4, if(norml2(digits(i^3)) ==
3*norml2(digits(i)), print1(i, ", ")))
Cuadrados
con cubos
Una vez abierto el camino, no es interesante recorrer muchos
casos, por lo que paramos aquí. Estos son los primeros números en los que
coinciden las sumas de cuadrados de las cifras en el cuadrado y el cubo:
1, 10, 100, 1000, 4313, 4847, 5407, 5911, 6856, 7414, 8366,
9317, 10000, 10949, 12234, 13514, 13579, 13943, 17294, 21648, 21969, 22156,…
Por ejemplo, el 4847:
4847^2=23493409 y
2^2+3^2+4^2+9^2+3^2+4^2+0^2+9^2=216
4847^3=113872553423 y
1^2+1^2+3^2+8^2+7^2+2^2+5^2+5^2+3^2+4^2+2^2+3^2=216
Con PARI
for(i = 1, 10^5, if(norml2(digits(i^2)) ==
norml2(digits(i^3)), print1(i, ", ")))
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