lunes, 13 de mayo de 2019

Números primos con la misma suma o diferencia de cuadrados (2)


En la anterior entrada se estudiaron aquellos números primos que dan lugar a sumas de cuadrados equivalentes. En la presente se verá la misma cuestión con diferencias.


Diferencias de cuadrados


En el caso de buscar números que sean equivalentes a dos diferencias de cuadrados de números primos es más sencillo usar la diferencia k entre dos de esos primos. Incluimos un desarrollo algebraico que le da ese protagonismo a esa diferencia k.

Partimos de una suma por diferencia como equivalente a la diferencia de cuadrados. Si m=(a+b)(a-b). sustituyendo a por x+k y b por x, llamando k a la diferencia a-b, queda:

m=(x+k+x)(x+k-x)=(2x+k)k.

El valor mínimo de k es 2, ya que sería el caso de primos gemelos, luego k>=2 siempre será par, puesto que hemos excluido el número primo 2.

Por otra parte, 2x+k es un divisor propio de m, y también par, luego será menor o igual que m/2, y, a su vez, m será múltiplo de 4. Sólo los múltiplos de 4 pueden presentar la propiedad requerida.

2x+k=m/k<=m/2, luego x ha de ser menor o igual que m/4 y x+k<=m/4+k

Así queda el valor de x en función de k: x=(m/k-k)/2

Luego podemos construir el bucle de búsqueda con k entre los divisores pares de m, a fin de que sea entero m/(2*k).

Para cada valor de k, par, vemos si es divisor de m y entonces buscamos entre los impares, de x=3 hasta x=m/4 los que sean primos y también lo sea x+k

Estas consideraciones nos llevan a la siguiente función, en la que dados un número natural n y un número k de diferencias de cuadrados de primos, nos indica si ese número equivale a esas diferencias o no:

public function difeprimcuad$(n,k)
dim b, c,i,m,d
dim ca$

if n/4<>n\4 then difeprimcuad="NO":Exit function ‘Ha de ser múltiplo de 4

ca="" ‘Recogerá las soluciones en modo texto
m=0 ‘Contador de soluciones
b=int(sqr(n))+1 ‘Valor mínimo para el primer primo
d=int(n/4+2) ‘Valor máximo según los párrafos anteriores
for i=b to d
if esprimo(i) then ‘El minuendo de la diferencia ha de ser primo
c=int(sqr(i^2-n+1e-5)) ‘Posible sustraendo
if esprimo(c) and i^2=n+c^2 then m=m+1: ca$=ca$+" "+ajusta(i)+" "+ajusta(c)+" & "
‘Hay una solución más. Se recoge en ca$ y se incrementa el contador m
end if
next i
if m=k then difeprimcuad=ca else difeprimcuad="NO" ‘Si hay k soluciones, se recogen.
end function

Con esta función y un bucle de búsqueda obtenemos las primeras soluciones, acompañadas de las diferencias de cuadrados de primos que admiten:

72          11 7 &  19 17 &
360        23 13 &  47 43 &
432        31 23 &  109 107 &
528        37 29 &  47 41 &
768        67 61 &  193 191 &
888        43 31 &  113 109 &
960        53 43 &  241 239 &
1032      89 83 &  131 127 &
1080      37 17 &  271 269 &
1128      53 41 &  283 281 &
1272      59 47 &  109 103 &
1392      41 17 &  349 347 &
1488      43 19 &  97 89 &
1512      41 13 &  61 47 &
1608      73 61 &  137 131 &
1632      41 7 &  59 43 &
1728      43 11 &  433 431 &
1920      47 17 &  163 157 &

Están publicadas en http://oeis.org/A090788

72, 360, 432, 528, 768, 888, 960, 1032, 1080, 1128, 1272, 1392, 1488, 1512, 1608, 1632, 1728, 1920, 2088, 2112, 2232, 2352, 2400, 2448, 2568, 2688, 2808, 3048, 3168, 3240, 3288, 3480, 3648, 3768, 4008, 4032, 4128, 4248, 4272, 4392, 4488, 4512, 4992.

Con este código PARI, inspirado en la función anterior, se reproduce el resultado.

i=4; while(i<=5000, k=0; m=2; while(m*m<=i, if(i%(2*m)==0, a=(i/m-m)/2; b=a+m; if(isprime(a)&&isprime(b), k+=1)); m+=2); if(k==2, print1(i, ", ")); i+=4)



Por mera curiosidad, se incluyen a continuación los números que cumplen ser diferencia de cuadrados de primos de tres formas distintas. Basta sustituir k=2 en la función por k=3:

120        13 7 &  17 13 &  31 29 &
168        17 11 &  23 19 &  43 41 &
312        19 7 &  29 23 &  41 37 &
408        23 11 &  37 31 &  103 101 &
480        23 7 &  29 19 &  43 37 &
552        29 17 &  71 67 &  139 137 &
600        31 19 &  53 47 &  151 149 &
672        29 13 &  31 17 &  59 53 &
720        29 11 &  41 31 &  181 179 &
1008      37 19 &  43 29 &  67 59 &
1200      37 13 &  79 71 &  103 97 &
1800      43 7 &  59 41 &  227 223 &
2160      47 7 &  113 103 &  139 131 &
2472      109 97 &  311 307 &  619 617 &
2832      71 47 &  181 173 &  239 233 &
2880      61 29 &  89 71 &  149 139 &
3312      59 13 &  101 83 &  829 827 &
3672      61 7 &  71 37 &  461 457 &
4560      79 41 &  107 83 &  233 223 &
5040      73 17 &  83 43 &  149 131 &
5640      109 79 &  151 131 &  241 229 &
6120      79 11 &  103 67 &  107 73 &
6480      101 61 &  409 401 &  1621 1619 &
6528      83 19 &  113 79 &  547 541 &
7248      163 139 &  457 449 &  607 601 &
7320      137 107 &  193 173 &  613 607 &
7752      89 13 &  131 97 &  971 967 &
7872      89 7 &  139 107 &  659 653 &
8160      109 61 &  137 103 &  683 677 &
8352      101 43 &  241 223 &  2089 2087 &
8400      103 47 &  109 59 &  307 293 &

Puedes seguir con la cuestión para cuatro, cinco o seis diferencias. Basta cambiar la última condición k=2 en Basic o k==2 en PARI. En las siguientes sucesiones de OEIS tienes los listados:


Hay más, pero con estos ejemplos basta. Puedes indagar los casos de siete, ocho o más.

Correspondencias entre los que son suma y sus correspondientes diferencias:


Una cuestión curiosa es la extraer casos de la primera parte de esta entrada, sumas de cuadrados de primos, con los de la segunda, de diferencias de primos. Lo vemos con un ejemplo concreto:

410=19²+7²=17²+11²

Al ser distintos los sumandos, transponiendo términos, surgen dos grupos de diferencias iguales: 19²-17²=11²-7²=72

19²-11²=17²-7²=240

Así que del número 410, equivalente a dos sumas de primos distintos, obtenemos otros dos números, 72 y 240, que pertenecen a los casos de diferencias de cuadrados de primos. Ocurre también el hecho contrario, que de 72 o 240, transponiendo términos, podemos obtener un caso de suma de cuadrados de primos. La correspondencia es múltiple y no siempre recíproca, por lo que sólo podemos constatar qué números de un grupo se relacionan con el otro.

No se incluyen los listados que se han usado para establecer correspondencias entre un conjunto y otro. En este listado se pueden apreciar los casos de diferencias de cuadrados de primos que se extraen de los de sumas múltiples de cuadrados

Correspondencias entre los que son suma y sus correspondientes diferencias:

338        120  120
410        240  72
578        240  240
650        240  168
890        480  312
1010      792  120
1130      672  120
1490      840  408
1730      1320  312
1802      840  720
1898      1320  480

Por ejemplo, 1730=41²+7²=37²+19², y transponiendo términos:

41²-19²=37²-7²=1320

Y también

41²-37²=19²-7²=312

Podemos seguir las rutas opuestas, desde los que son diferencia de cuadrados a las correspondientes sumas.

Por ejemplo, 72=11²-7²=19²-17² y transponiendo:

11²+17²=7²+19²=410, que pertenece a nuestro primer listado.

Aunque las correspondencias no son biunívocas, con paciencia se pueden construir cadenas. Lo dejamos ahí.


No hay comentarios: