jueves, 30 de noviembre de 2017

Números piramidales de cuatro dimensiones


Si has seguido las entradas anteriores sobre números piramidales (escribe “piramidales” en la casilla de búsqueda) sabrás que estos números se generan mediante sumas parciales en una sucesión de dimensión inferior.



Así, los tetraedros se generan sumando números triangulares. Estos, a su vez, mediante números lineales. Las pirámides cuadradas se obtienen sumando cuadrados, y los de tipo poligonal sumando los de dos dimensiones del mismo número de lados.

Si sumamos números piramidales, obtendremos piramidales de cuatro dimensiones. Por ejemplo, los piramidales cuadrados son 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204,...


Formamos con ellos sumas parciales: 1, 1+5, 1+5+14, 1+5+14+30,… y obtenemos:

1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540,…

Estos será, pues,  los piramidales cuadrados de cuatro dimensiones.

En esta entrada y las siguientes del mismo tema iremos recorriendo los piramidales de cuatro dimensiones según su número de lados. En todos ellos comenzaremos con sumas parciales en piramidales de tres dimensiones, obtendremos su fórmula polinomial y terminaremos con curiosidades y equivalencias. Comenzamos con triangulares:

Tetraedros de cuatro dimensiones

Estudiamos los tetraedros de tres dimensiones en nuestra entrada

En ella vimos que la sucesión de los mismos comienza con 

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,…

Si procedemos a formar sumas parciales, obtendremos los tetraedros de cuatro dimensiones:

1, 1+4, 1+4+10, 1+4+10+20, 1+4+10+20+35,…. Es decir, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210,…

Los primeros términos de la sucesión de números de este tipo son:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845, 5985, 7315, 8855,…, y están recogidos en http://oeis.org/A000332 con otra definición, coincidente, como veremos, salvo algunos ceros.

Los nombraremos como PIR3_4(n), donde 3 es el número de lados, 4 la dimensión y n el número de orden. Así 210=PIR3_4(7).

Obtención de la fórmula polinomial

Ya estudiamos este procedimiento en una entrada anterior


Consiste en usar la fórmula de interpolación de Newton aplicada a los primeros números. Remitimos a la entrada enlazada para seguir el procedimiento. En primer lugar escribimos los primeros términos 1, 5, 15, 35, 70,… y obtenemos sus diferencias sucesivas:



Observamos que son nulas las diferencias de orden 5, luego el polinomio que buscamos es de cuarto grado. Sus coeficientes los leemos más abajo:


Por tanto, el polinomio buscado será

1+4(x-1)+3(x-1)(x-2)+2(x-1)(x-2)(x-3)/3+(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)/24

Podemos acudir a wxMaxima para simplificar:



O bien con la web https://www.wolframalpha.com, obtenemos el mismo polinomio:



Con el comando factor de wxMaxima factorizamos:

Esta es la fórmula más práctica para obtener los tetraedros de cuatro dimensiones, que, es fácil verlo, coincide con:


En toda esta serie nos aparecen números combinatorios, y es porque se pueden localizar los piramidales en el triángulo de Pascal



En la imagen están destacados los triangulares, los tetraedros de tres dimensiones y los de cuatro, que son suma de los anteriores.

Interpretaciones

Los tetraedros de cuatro dimensiones coinciden con las intersecciones de las diagonales de un polígono convexo, siempre que no concurran más de dos diagonales en el mismo punto. Por eso debemos elegir polígonos no regulares, como el de la figura



En él está representado el número 35, como las intersecciones (en color verde) en un heptágono. El 35 es el cuarto tetraedro de cuatro dimensiones, y le corresponde el polígono de tres lados más. Esto es por el n+3 que figura en la fórmula general.

He encontrado una explicación muy sencilla debida a Ignacio Larrosa @ilarrosac: Si el polígono es irregular, cada cuatro vértices formarán un cuadrilátero convexo distinto, y sus diagonales producen un único punto de intersección. Por tanto, el número de ellos coincidirá con el de combinaciones de n+3 lados tomados de 4 en 4. Muy elegante.

También se debe a Ignacio Larrosa la siguiente interpretación:

El número piramidal triangular de cuatro dimensiones de orden n coincide con todos los triángulos equiláteros que se pueden dibujar uniendo tres puntos de una matriz  que rellena otro triángulo equilátero de lado n+1.

En la figura puedes ver uno de esos triángulos.



La idea de Ignacio Larrosa consiste en que cada triángulo tiene sus vértices en los lados de otro mayor que sigue la orientación de la matriz triangular, y que basta contar estos últimos y también todos los triángulos de cualquier orientación que se inscriben en ellos.



En la imagen hemos destacado en azul el equilátero orientado que contiene al elegido en primer lugar. Nos dedicamos a contar:

Número de triángulos orientados de lado k

Es un problema muy estudiado. En la imagen, el número de triángulos similares al dibujado es 1+2=3. Si tuviera una celda menos de lado su número sería 1+2+3=6, y así hasta los de lado 1, cuyo número sería 1+2+3+4+5+6=21, todos números triangulares. En general, el número de triángulos orientados de lado k en una matriz de lado n sería T(n-k+1), siendo T el triangular de ese orden.

Número de triángulos contenidos en un orientado

Basta deslizar el primer vértice (por ejemplo el que cae a la izquierda) a lo largo de su lado, y los demás se situarán en un punto fijado sin ambigüedad. En el ejemplo se podrían inscribir cuatro.



Es fácil ver que, en general, se pueden inscribir k-1 triángulos.

Con estos dos datos se pueden contar todos los equiláteros posibles mediante una suma de productos. Para n=6, caso del ejemplo sería:

S=1*5+3*4+6*3+10*2+15*1=5+12+18+20+15=70, que es el piramidal de orden 5.

Para un estudio general puedes consultar

Recurrencia

Es fácil ver, según la fórmula general, que

PIR3_4(N)=PIR3_4(N-1)*(N+3)/(N-1)

En efecto:


Luego basta multiplicar por n+3 y dividir entre n-1 para pasar de uno a otro.
Por ejemplo: 70*9/5=14*9=126



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