Esta entrada desarrolla varias descomposiciones clásicas de un número en sumandos de cierto tipo, como en tres números triangulares, cuatro cuadrados o dos o tres primos. En otra entrada añadiremos otras que hemos usado en las redes sociales, como capicúas, cuadrados simétricos o productos cíclicos.
Teorema de Javier Cilleruelo
El matemático español recientemente fallecido Javier Cilleruelo demostró que todo número natural es suma de tres capicúas en cualquier base de numeración mayor o igual que 5.
Para el cumplimiento del teorema consideraremos (y así se suele hacer) como capicúas los números de una sola cifra. Podemos también incluir el cero o no, porque lo que deseamos es efectuar comprobaciones a nuestro criterio. Si deseas excluir los de una cifra en tus descomposiciones (aunque no se cumpla el teorema) puedes definir XT=11..200, por ejemplo, en los rangos de sumandos. Aquí no lo haremos así.
Un ejemplo: descomposición del número 167
Como ignoramos la cota de cada sumando, deberemos definir XT=1..167. Para que los sumandos sean capicúas filtraremos usando filtro(capicua). Definimos tres columnas de sumandos y el resto es sencillo de entender. Quedaría así:
Si definimos el rango como XT=11..167 reduciremos los casos a dos o más cifras.
Observamos que entre ellos hay una descomposición simétrica: 33+101+33. En Twitter (@connumeros) publicamos casos simétricos de este tipo. Podemos obligar a que los dos primeros sumandos sean iguales, añadiendo ES X1=X2 a las condiciones. Así lo hemos efectuado con el número 231 obteniendo tres resultados:
Hemos supuesto algo que no nos consta, y es que los sumandos iguales son los dos primeros, pero podían ser los últimos (recuerda que al ser creciente no se dará la igualdad de primero y último salvo que los tres sean iguales)
Podemos tenerlo previsto si cambiamos ES X1=X2 por ES (X1=X2)+(X2=X3)
Funciona esta condición porque en Cartesius la suma en este caso equivale a la conectiva O lógica. Lo hemos aplicado al 111 admitiendo capicúas de una cifra y se perciben muy bien los dos casos:
Los filtros en Cartesius pueden resultar lentos, porque se selecciona elemento a elemento. Hay que ejercitar la paciencia en casos más complejos. El siguiente listado, correspondiente a sumandos de tres cifras para generar el número 636, ha tardado algunos minutos.
Teorema de Lagrange
Todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados.
Es evidente que pueden ser menos de 4, por lo que usaremos XRANGO=4 en lugar de XTOTAL=4.
Este caso resulta más rápido que el anterior. Hay dos razones para ello. Por una parte, no es necesario usar filtros, porque los cuadrados se pueden definir mediante la condición XT=SUC(n^2), lo que nos lleva a la segunda ventaja, y es que el rango se reduce a la raíz cuadrada del número dado.
Comenzamos este caso con el número 874 (elegido al azar). El planteo podría ser:
Se toma xrango=4 para que también aparezcan sumas de dos o tres cuadrados. El intervalo se toma de 1 a 30, que es la raíz cuadrada de 874 por exceso. La condición suc(n^2) exige que los sumandos sean cuadrados. Después sigue que la suma sea la pedida, 874, y que los sumandos estén ordenados de forma creciente.
Con ese planteamiento resultan 40 casos, de los que insertamos algunos:
Todos esos cuadrados suman 874. En el mismo desarrollo, mediante la función RAIZ puedes adjuntar las bases de esos cuadrados. Aquí tienes un recorte:
Lagrange demostró que bastan tres cuadrados, salvo en unos casos poco numerosos, que son aquellos números que se pueden escribir como 4^k*(8m+7).
Para comprobar esta variante del problema basta definir XTOTAL=3. Hemos preparado así un listado de números del 600 al 610 con una descomposición en tres cuadrados para cada uno (hay más)
Vemos que faltan el 604 y el 607, y es que pertenecen a las excepciones, ya que 604=4^1*(8*18+7) y 607=4^0*(8*75+7)
Teorema de Gauss
Todo entero positivo es suma de tres números triangulares.
Este es el más popular de este tipo de teoremas. En esta imagen tan conocida expresó con ¡Eureka! su alegría por haber encontrado esta propiedad.
Con la condición SUC de Cartesius basta para engendrar los triangulares. Escribiremos XT=SUC(n*(n+1)/2)
Quedaría así en el caso de N=107:
Usamos XRANGO por si basta con un triángulo o dos. La cota 22 es la suficiente para llegar a 107. Después se definen los triangulares mediante xt=suc(n*(n+1)/2), y finalmente se ajusta la suma. Si se añade la condición CRECIENTE para eliminar repeticiones, resultarían cuatro descomposiciones:
Con Cartesius es fácil descubrir los sumandos triangulares. En una entrada ya antigua de este blog proponemos otro algoritmo para encontrarlos:
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2009/12/suma-de-tres-numeros-triangulares.html
Teorema de los poligonales
Fermat extendió las propiedades anteriores a sumas de cinco pentagonales, seis hexagonales y así con cualquier número de lados. Lo intentamos con pentagonales:
Los números pentagonales 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92,… se engendran con la expresión n(3n-1)/2
Así que basta adaptar lo expuesto anteriormente al caso de cinco sumandos del tipo pentagonal. Incluimos el planteamiento para el número 68:
Y el resultado:
Conjetura de Goldbach para impares
Todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos.
Para comprobar esta conjetura volveremos a los filtros. Si los sumandos han de ser primos, usaremos FILTRO(PRIMO). En el siguiente ejemplo lo usamos para descomponer el número 67
Definimos tres columnas con rango 1..67 y filtro primo. Después obligamos a que la suma sea 67. Resultan 20 soluciones:
En la siguiente entrada desvelaremos algún secreto de nuestra publicaciones diarias sobre fechas en Twitter @connumeros.
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