Suma de dos números primos consecutivos (2)

En la anterior entrada vimos algunos hechos que ocurren al sumar dos números primos consecutivos. Hoy terminamos con un catálogo de resultados que puede presentar esa suma.

La suma es cuadrado

En http://oeis.org/A061275 se recogen los casos en los que la suma de dos primos consecutivos da un cuadrado:

17, 47, 71, 283, 881, 1151, 1913, 2591,… (primer primo del par)

Por ejemplo, 17+19=36=6². Igualmente 47+53=100=10², 71+73=144=12²

El cuadrado será par, y por tanto un múltiplo de 4. Si un elemento del par de primos es del tipo 4n+1, el otro deberá ser de la clase 4n+3, para que no resulte un múltiplo de 2 que no lo sea de 4, y así impida que resulte un cuadrado. Como los primeros se pueden descomponer en sumas de cuadrados, un elemento del par tendrá siempre la forma A²-B²-C². Por ejemplo, en el par (103049, 103067), 103067=454²-157²-280².

Suma triangular

Están contenidos en https://oeis.org/A225077:

17, 37, 59, 103, 137, 149, 313, 467, 491, 883, 911, 1277, 1423, 1619, 1783, 2137, 2473, 2729, 4127, 4933, 5437, 5507, 6043, 6359, 10039, 10453, 11717,…

Así, el par de primos gemelos (2087,2089) tiene como suma 41616=288*289/2, que es el triangular número 288.

Suma doble de un cuadrado

Este caso es interesante porque en ellos la media aritmética de los dos primos consecutivos sería un cuadrado. Así ocurre con 1087 y 1091, cuyo promedio es 1089, el cuadrado de 33.
En ese caso un primo es n²-k y el otro n²+k. Si k=1 tendríamos un par de primos gemelos. Sólo hemos encontrado el par (3,5), cuya media es el cuadrado de 2. No puede haber más, porque para que n²-1 sea primo, ha de ser n-1=1 y eso sólo ocurre en n=2 y el par (3,5).

Los términos de esta sucesión son

 3, 7, 61, 79, 139, 223, 317, 439, 619, 1087, 1669, 2593, 3593, 4093, 5179, 6079, 8461, 12541, 13687, 16633, 19037, 19597, 25261, 27211, 28219, 29581, 36857, 38011, 39199, 45361, 46649, 47521, 51977, 56167… https://oeis.org/A225195

Forman una subsucesión de http://oeis.org/A053001, que contiene los números primos mayores que son anteriores a un cuadrado. Los que estudiamos aquí cumplen esa condición, porque al ser el cuadrado la media entre dos primos consecutivos, el menor de ellos tendrá la propiedad pedida en A053001.

Otros casos

La suma puede ser una potencia perfecta:

3, 17, 47, 61, 71, 107, 283, 881, 1151, 1913, 2591, 3527, 4049, 4093, 6047, 7193, 7433…

https://oeis.org/A091624

Como casos particulares están publicados los cuadrados (http://oeis.org/A061275) y los cubos(https://oeis.org/A061308)

O el doble de una potencia perfecta:

3, 7, 61, 79, 139, 223, 317, 439, 619, 1087, 1669, 1723, 2593, 3593, 4093, 5179, 6079, 8461, 12541, 13687, 16633, 17573, 19037, 19597,…

En este caso la media de los dos primos será una potencia perfecta, y ambos se pueden representar por k^m-h y k^m+h, con k y h coprimos y no siendo h una potencia de exponente m (¿por qué?)

No es difícil encontrarlos. Con esta línea de PARI lo consigues.

{forprime(i=3,10^6,k=(i+nextprime(i+1))/2;if(ispower(k),print(i,", ")))}

(La hemos publicado en https://oeis.org/A242380)

Un caso particular interesante es cuando la media es un cubo. Los primos consecutivos serían del tipo k³-h y k³+h, con k y h coprimos y no siendo h un cubo. De esto también se deduce que un elemento de la sucesión es el mayor primo anterior a un cubo, y que por tanto pertenece también a la secuencia http://oeis.org/A077037

Son estos:

61, 1723, 4093, 17573, 21943, 46649, 110587, 195103, 287491, 314423, 405221, 474547, 1061189, 1191013, 1404919, 1601609, 1906621, 2000371, 2146687, 2196979, 3241783, 3511799, 4912991, 5268017, 6229501, 6751267, 6858997, 7077883, 11239421, 20346407, 21951997, 26198063,…

Los puedes reproducir con PARI

{for(i=3,3*10^7,if(isprime(i),k=(i+nextprime(i+1))/2;if(ispower(k,3),print(i,", "))))}

(publicados desde este blog en https://oeis.org/A242382)

En realidad se pueden probar otros casos por puro entretenimiento, y después incorporarlos a OEIS para que queden en esa extensa base de datos. Pueden ser estos:

Media oblonga

Se conocen ya los primos consecutivos cuya suma es un número oblongo (del tipo n(n+1) o bien doble de un triangular). Están contenidos en http://oeis.org/A154634. Los que aportamos desde este blog son aquellos cuya media es oblonga:

5, 11, 29, 41, 53, 71, 239, 337, 419, 461, 503, 547, 599, 647, 863, 1051, 1187, 1481, 1721, 1801, 2549, 2647, 2969, 3539, 4421, 6317, 7129, 8009, 10301, 12653, 13567, 14033, 17291, 18353, 19181, 19457, 20021, 22943, 23561, 24179, 27059, 29063, 29753, 31151, 33301…
(https://oeis.org/A242383)

Una propiedad curiosa es que están contenidos en http://oeis.org/A161550. La razón es que si un número primo pertenece a la sucesión que presentamos, en la que su media con el próximo primo es un oblongo del tipo n(n+1)=n²+n, es claro que será el máximo primo inferior a n²+n, que es la definición de A161550. Por el contrario, un término de esta sucesión no tiene que cumplir nuestra condición. Así, el 19 es el máximo primo inferior a 4²+4=20, pero su media con el siguiente primo no es 20: (19+23)/2=21.

Los puedes encontrar con PARI:

{for(i=3,10^5,if(isprime(i),k=(i+nextprime(i+1))/4;if(issquare(8*k+1),print1(i,", "))))}

En el código se buscan pares de primos cuya suma dividida entre 4 produzca un triangular. Es otra forma de definirlos.

Suma del tipo n(n+2)

Estos números del tipo n(n+2) se pueden expresar también como (n+1)²-1. Salvo el caso n=1 ninguno puede ser primo. No es muy frecuente el que dos primos consecutivos produzcan este tipo de número. Los primeros son estos:

3, 11, 59, 139, 179, 311, 419, 541, 919, 1399, 1621, 2111, 3119, 5099, 6379, 8059, 8839, 9377, 15661, 16007, 16741, 17107, 21011, 21839, 23539, 24419, 28081, 30011, 31489, 33533, 35617, 37811, 39461, 41759, 44699, 45293, 60899, 68819, 71059, 78007, 83639, 84457, 86111, 87767, 92867, 99901,…(https://oeis.org/A242384)

Según el párrafo anterior se pueden ir sumando los pares de números primos consecutivos, sean p y q, y exigir que p+q+1 sea un cuadrado. Así los hemos encontrado con hoja de cálculo y con PARI:

{k=2;while(k<10^5,l=nextprime(k+1);if(issquare(k+l+1),print1(k,", "));k=l)}

Si efectuamos las sumas entre los pares de números consecutivos encontrados, es evidente que n(n+2) será par, luego n también lo será. Si elegimos un número primo de la sucesión, por ejemplo el 2111, su próximo primo será 2113, y su suma 4224 es igual a 64(64+2), con n=64, par.

Media del tipo n(n+2)

Es un caso similar al anterior, pero con cambios importantes. Los primeros primos que cumplen esto son:

13, 97, 113, 193, 283, 397, 479, 673, 953, 1439, 1597, 2297, 2699, 3469, 4219, 4483, 5323, 7219, 8273, 9209, 9403, 10799, 12097, 13219, 14879, 15373, 15619, 21313, 23399, 26237, 27883, 32029, 32749, 34217, 37243, 39989, 41203, 42433, 43669, 46219, 55219, 60509, 62497, 72353, 75619, 93001,…(https://oeis.org/A242385)

El código para encontrarlos es

PARI: {k=2;while(k<10^5,l=nextprime(k+1);if(issquare((k+l)/2+1),print1(k,", "));k=l)}

En ellos la media de los dos consecutivos incrementada en una unidad se convierte en un cuadrado. Por ejemplo, el primo consecutivo a 9209 es 9221. Su media 9215 y si le sumamos una unidad resulta 9216=96²

Por último, capicúas

Terminamos con dos ejemplos más. El primero recoge los pares de primos cuya suma es capicúa (incluidos los de una cifra):


2, 3, 109, 211, 347, 409, 1051, 1493, 2111, 2273, 3167, 4219, 4441, 10099, 10853, 10903, 11353, 11909, 12823, 12973, 13421, 13831, 14543, 14639, 20551, 21011, 21347, 21661, 21863, 22271, 23581, 23981, 30047, 30557, 31259, 31307, 31963, 32069, 32213, 32467, 32869, …

Encontrarlos con PARI es algo más complicado: la función palind devuelve VERDADERO si el número es igual a su simétrico en cifras. El resto es fácil de entender:


palind(n)=Str(n)==concat(Vecrev(Str(n)))
{p=2;while(k<10^5,q=nextprime(p+q);if(palind(p+q),print1(p,", "));p=q)}

Los tienes en (https://oeis.org/A242386)


Con media capicúa

Con una codificación similar se pueden encontrar aquellos primos consecutivos cuya media es capicúa:

3, 5, 7. 97, 109, 281, 359, 389, 409, 509, 631, 653, 691, 743, 827, 857, 907, 937, 967, 1549, 2111, 2767, 4219, 4441, 7001, 9007, 9337, 9661, 10099, 11503, 12919, 13421, 16759, 17569, 21011, 21611, 23831, 26261, 26861, 28181, 29287, 29483, 30497, 31307, 32213, 33029, 33629

palind(n)=Str(n)==concat(Vecrev(Str(n)))
{k=2;while(k<10^5,l=nextprime(k+1);if(palind(k+l),print1(k,", "));k=l)}

(https://oeis.org/A242387)