Las sumas de impares (1)

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes

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Una entrada del curso pasado la terminamos con esta propuesta

¿Qué opinas de esta serie de igualdades?

¿Son verdaderas? ¿Se pueden prolongar indefinidamente?¿Cuál es su valor común?

Al analizarla vemos que se manejan sumas de impares consecutivos. En cada una de las fracciones se han sumado varios impares consecutivos, se han “saltado” otros y después se han comenzado a sumar los siguientes.

En los numeradores se han saltado tantos impares como se han sumado cada vez (dos). La expresión de las sumas será entonces: (1+3+…2k-1)+(6k+1+6k+3+…)

que equivale a m²+9m²-4m²=6m²

En los denominadores se va formando m²+16m²-9m²=8m²

Luego los cocientes son equivalentes a 3/4

Gráficamente en los numeradores se da esta situación (imagen 1):

En ella vemos perfectamente que la suma equivale a 6 cuadrados como el pequeño de arriba a la izquierda, es decir, 6m²

En los denominadores se da esta otra (imagen 2), en la que podemos contar 8 cuadrados, que equivalen a 8m², luego el cociente siempre será 6/8=3/4, que es la solución.

¿Ocurrirá siempre así? ¿Todas las configuraciones de este tipo representarán un múltiplo del cuadrado menor?. Lo vemos:


Sumas de impares consecutivos

Al sumar varios impares consecutivos se formaría un conjunto de gnomones adosados como el de la imagen. Su fórmula depende del gnomon inicial, que siendo k su número de orden (en la imagen 7, porque 13 es el séptimo)  viene dado por 2k-1 y el número de sumandos h. Si sumamos todos resultará 2k-1+2k+1+2k+3+…2k+2h-3 Acudimos a la suma de una progresión aritmética y daría (2k-1+2k+2h-3)*h/2=(2k+h-2)*h

En el caso de la imagen 3 el número de cuadraditos generado sería (2*7+4-2)*4=64=4h² No debes interpretar esta cantidad en el sentido geométrico, pues el cuarto cuadrado, si observas la imagen, está formado por dos mitades, una en cada brazo del gnomón.

Este último resultado es casual, porque en general no resulta un múltiplo de h². Lo puedes comprobar para k=8 y h=3, en el que (2*8+3-2)*3=51, que no es múltiplo de 9. Por tanto, no todos los gnomones adosados pueden representarse como un múltiplo del cuadrado de su anchura.

Serán descomponibles los que cumplan que 2k-2 sea múltiplo de h, pues entonces

(2k+h-2)*h=(Mh+h)*h=(M+1)*h²

Eso ocurre en este caso, en el que k=7 y h=3, con lo que 2*7-2=12 es múltiplo de 3. Calculando, el número engendrado sería (2*7+3-2)*3=45=5*3²

Lo puedes verificar en la imagen 4

Otra forma de verlo es que esta suma de impares es una diferencia de cuadrados: (k+h-1)² – (k-1)² =2kh+h²-2k-2h+2k=(2k+h-2)*h y llegamos a la misma expresión.

A la inversa, si exigimos que el resultado sea del tipo Mh², se dará (2k+h-2)*h= Mh², lo que lleva a 2k+h-2=Mh y a 2k-2=(M-1)h, es decir a la condición sugerida de que 2k-2 sea múltiplo de h.

Las sumas con las que comenzamos este análisis (imágenes 1 y 2), no sólo lo cumplen, sino que de forma más fuerte: k-1 es múltiplo de h. Si este valor es impar, ambas condiciones son equivalentes, pero si es par no lo son.

Si exigimos que k-1 sea múltiplo de h, lo que logramos es que la partición en cuadrados tenga sentido físico, que se “vean” los cuadrados, como ocurre en la imagen 4 (y en las dos primeras si te imaginas los cuadrados troceados)

¿Y qué ocurre con el número de cuadrados?

Te proponemos una demostración:

Si exigimos la condición fuerte, que k-1 sea múltiplo de h, el número será par, e impar en el caso contrario.