martes, 26 de octubre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (1 de 5)

Todo comenzó con Fermat

Hay números que se pueden descomponer en suma de dos cuadrados, pero ¿de cuántas formas? Esta cuestión ha sido ya abordada en otros blogs de Matemáticas, pero aquí añadiremos técnicas y algoritmos de hoja de cálculo.

Para conseguir una respuesta a la pregunta formulada se necesitaron esfuerzos de varios matemáticos, pero todo comenzó con Fermat y su Teorema de Navidad (lo comunicó a Mersenne el 25 de Diciembre de 1640, pero no lo demostró), y que actualmente expresamos así:

Un número primo se puede descomponer en suma de dos cuadrados x2+y2 de números enteros si y sólo si es el número 2 o bien es congruente con 1 módulo 4 (es decir, si es de la forma 4n+1).

El teorema directo es difícil de demostrar, y lo ha sido a lo largo de siglos mediante diversas técnicas (descenso infinito, enteros gausianos y otros), siendo Euler el primero que lo logró. El inverso está a nuestro alcance. Inténtalo:

Un número primo congruente con 3 módulo 4 no puede descomponerse en suma de dos cuadrados de números enteros. 

Gauss, en la sección 182 de sus Disquisitiones arithmeticae destacó que esa descomposición es única, salvo orden y signo. Los dos números x e y han de ser primos entre sí ¿por qué?

De este hecho podemos obtener un criterio marginal: Si un número de la forma 4n+1 no se puede descomponer en dos cuadrados o bien lo puede de más de una forma, no es primo.

Esta propiedad de poder descomponerse en suma de dos cuadrados se mantiene si multiplicamos dos números primos de este tipo, y además se puede duplicar el número de posibles sumas. Así, si 13 = 22+32  y  5 = 22+12, al multiplicarlos obtenemos:

65 = 13*5 = 82+12  = 72+42 

Esta propiedad se desprende de la famosa identidad:

(a2+b2 )(c2+d2 )= (ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2

que nos viene a decir que este producto también es suma de dos cuadrados y además de dos formas distintas (si los sumandos son distintos):

65 = (2*2+3*1)2 +(2*1-3*2)2 = 72+42  (obsérvese que en el cálculo se ha obtenido -4 y no 4)

65 = (2*2-3*1)2 +(2*1+3*2)2 = 82+12 

Ocurre lo mismo si se multiplica el número primo por 2 (elemental ¿no?)

En la siguiente entrada veremos una fórmula de Gauss que resume lo expuesto.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

Antonio nos plantea un tema apasionante sobre qué números son primos gaussianos y qué números son enteros gaussianos. Un primo gaussiano es de la forma 4k+3, esto significa de que no pueden ser representados como suma de dos cuadrados, por ejemplo el 3,7,11,19,23,31,...,43. Un entero gaussiano es de la forma 4k+1 y sí puede ser representado como suma de dos cuadrados, por ejemplo 5=2^2+1^2; 13=3^2+2^2; 29=5^2+2^2;...; 41=5^5+4^2. Estos dos conceptos están entroncados muy directamente con la factorización de los números. Supongamos que debemos factorizar el número 97. Este número es primo y de la forma 97=4k+1=4*24+1, luego es un número que sólo puede ser divisible por sí mismo y por la unidad. Pero en el año 1801 con apenas 24 años, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicó su obra Disquisitiones Arithmeticae que tuvo una importante repercusión en la teoría de los números al incorporar la factorización en los anillos Z[i] llamados dominios de integridad. Por favor, tomen esto como una ampliación del tema y no como una imposición de su desarrollo. Sigamos con la factorización del número 97.
97=1*97 es una factorización canónica.
97=(9+4i)(9-4i)=9^2+4^2 es un factorización conjugada en el anillo Z[i]
97=(9+4i)(4+9i)(-i)=9^2+4^2 es una factorización simétrica con unidad.
Esto es lo que quería demostrar Gauss al utilizar i que es el símbolo de la raíz cuadrada de (-1): el que en determinadas circunstancias no existe factorización única.
Pero demos un golpe de tuerca. ¿Ustedes creen que el número 97 da pié a ser representado como cuatro cuadrados? Veamos:
En la antigua Mesopotamia ya era conocido que un número impar podía ser representado como diferencia de dos cuadrados, esto es:
((n+1)/2)^2-((n-1)/2)^2=n --> ((97+1)/2)^2-((97-1)/2)^2=49^2-48^2=97
Pero nosotros ya sabemos que 97=9^2+4^2, luego
49^2=48^2+9^2+4^2
Que sí hombre, que sí, esto también puede ser representado como
7^4=48^2+3^4+2^4
perdona, no me había dado cuenta.
Lo que antecede no aporta nada nuevo, sólo un enfoque distinto al expuesto por el titular de este blog, D. Antonio Roldán Martínez.
Gracias Antonio por el tema. Como he dicho, es apasionante y espero no haber anticipado alguna entrada prevista de futuro.
Un abrazo
Rafael Parra

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Rafael

No te preocupes que no has adelantado entradas. El tema seguirá con el número de descomposiciones y alguna que otra curiosidad.

Un abrazo