sábado, 4 de abril de 2009

Nidos de primos

Hace unos días se me ocurrió averiguar cuántos números primos se pueden generar permutando conjuntos determinados de cifras. Les llamé “nidos de primos”. Con una hoja de cálculo emprendí la búsqueda para estudiar el máximo número de primos que se puede generar. No tuve en cuenta la cifra 0 para que no cambiara el número de cifras, pero es otra búsqueda que se puede realizar con facilidad. Encontré lo siguiente:

Conjuntos de dos cifras: Con éstos no había que probar nada. El máximo de primos generados es 2, como en el caso de 13 y 31.

Tres cifras: Aquí me fallaron algunos candidatos que parecían idóneos, como el 137, y los conjuntos de cifras que producen más primos resultan ser 149, 179 y 379, que forman 4 primos cada uno. Por ejemplo, 1, 4 y 9 generan 149, 419, 491, y 941. Me llamó la atención que nunca se generaran seis. Puedo haber saltado alguno.

Cuatro cifras: Aquí hay dos conjuntos con número máximo de primos. Forman exactamente 11 primos, y son 1237 y 1279. Es curioso que la cifra 2 entre a formar parte de los dos conjuntos que forman más primos.

Cinco cifras: Aunque mi búsqueda no ha sido totalmente exhaustiva, creo que el máximo número de primos lo engendra el conjunto 13789, que permite formar 39 primos, seguido de 13459 con 37 y 12379 con 36. Creo que no hay ninguna generación con más primos.

Es instructivo el estudio de los cocientes entre el número de primos generado y el de permutaciones de los conjuntos:

2/2!=1; 4/3! = 0,6667; 11/4! = 0,4583; 39/5! = 0,325

Podemos compararlos con los cocientes entre los primos menores o iguales a 10, 100, 1000,.. y esas mismas cantidades:

4/10=0,4; 25/100=0,25; 168/1000= 0,168; 1229/10000=0,1229

Observamos que ambas son decrecientes y muy cercanas a progresiones geométricas de razón similar, como se ve en los cocientes entre cada elemento y su anterior:

0,6667/1 = 0,6667 y 0,25/0,4 = 0,625
0,4583/0,6667 = 0,6875 y 0,168/0,25 = 0,672
0,325/0,4583 = 0,7091 y 0,1229/0,168 = 0,7315

Esto indica que ambos están relacionados de alguna forma con la distribución de números primos.

Aquí detuve la búsqueda, porque la hoja de cálculo se lentifica pronto. Si alguien emplea programas más potentes puede seguir con números más altos de cifras.

2 comentarios:

Claudio dijo...

Con tres cifras tienes el 113, 199 y 337 que en todas las permutaciones dan números primos. Claro que los dígitos se repiten

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Claudio.

Efectivamente, yo sólo me planteé permutar las cifras sin repetición.
Era una forma de entretener el tiempo, pero me gustaría tener datos con más cifras, porque la hoja de cálculo llega un momento en que se pone "perezosa".