Comprobar conjeturas con hoja de cálculo – Legendre

Conjetura de Legendre

Esta conjetura afirma que entre dos cuadrados consecutivos n² y (n+1) ² existe siempre un número primo.

Se considera básica e importante, por lo que se incluyó en los Problemas de
Landau (http://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems)

Al igual que en la conjetura de Andrica (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html) sólo necesitamos para estudiarla las funciones ESPRIMO y PRIMPROX, incluidas en la herramienta que hemos preparado para el estudio de conjeturas.

 (ver http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas)

Es fácil organizar los cálculos. Diseñamos una columna con los primeros números naturales y junto a ella la de sus cuadrados. Después, a la derecha de cada cuadrado calculamos la función PRIMPROX sobre él para encontrar su próximo primo. Este deberá pertenecer al intervalo formado por ese cuadrado y el siguiente:

A simple vista vemos que cada primo de la tercera columna es menor que el siguiente cuadrado: 67 menor que 81, luego está comprendido entre 64 y 81, o 149, que pertenece al intervalo (144, 169), y así con todos.

Nada impide que comiences la lista no con el 1, sino con un cuadrado mayor, como ves en la imagen

Si lo vas a explicar a otras personas, podías añadir una cuarta columna con una fórmula de tipo condicional =SI(el primo es menor que el siguiente cuadrado;”Vale”;”Error”)

De hecho, no existe sólo un número primo entre dos cuadrados, sino que pueden entrar más. Tienes ese dato en http://oeis.org/A014085. Puedes descubrirlo tú con la función PRIMPROX. Sólo copiamos un esquema para el cuadrado de 26, con un resultado de 7 primos:

Si construyes bien un esquema similar podrás encontrar el número de primos entre otros cuadrados consecutivos.

Otro ejercicio sencillo sería, dado un número primo encontrar entre qué cuadrados está. No necesitas saber mucho ¿Cómo se haría? Recuerda la función ENTERO. Ahí tienes un ejemplo:

Otra formulación

Si usamos la función p, que da la distribución de los números primos (p(200) equivaldría a los primos que existen menores o iguales a 200), la conjetura de Legendre se podría expresar así:

En nuestra herramienta conjeturas.xlsm hemos implementado la función PPI(n) (le añadimos una p para que no se confunda con el número p, que se expresa como PI()) Con ella es fácil verificar la conjetura: escribes los dos cuadrados consecutivos y le aplicas la función PPI a cada uno. Restas y deberá darte un número mayor que 0. Puedes construirte un esquema de cálculo similar al de la imagen:

En la página http://oeis.org/A014085 citada más arriba se incluye una generalización de esta conjetura, en el sentido de el exponente 2 se podría sustituir por otro más pequeño. Se ha conjeturado que se podría llegar hasta log(127)/log(16)= 1,74717117169. Se entiende que con carácter general, para todos los valores. Más abajo verás que en un caso particular se puede llegar a valores más pequeños.

Si el esquema anterior lo modificamos para que en lugar de un cuadrado usemos el exponente que deseemos nos servirá para acercarnos al valor mínimo en el que la conjetura sigue siendo cierta:

Nos hemos dedicado a aproximar este caso al valor mínimo posible y hemos llegado hasta el exponente 1,20545 como mero entretenimiento.

Andrica y Legendre

Si la conjetura de Andrica es cierta (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html), de ella se deduce la de Legendre. En efecto, vimos en la entrada enlazada que la diferencia entre un primo P_n y el siguiente P_n+1, si la conjetura de Andrica se verdadera, debería cumplir la desigualdad

De ella se deduciría la de Legendre fácilmente. Supongamos que alguien descubre que entre dos cuadrados consecutivos n² y (n+1)² no existe ningún número primo. En este caso llamemos p_n al primo inmediatamente menor que n². Sería p_n<n²<p_n+1. Según la desigualdad anterior ocurriría que si no existiera ningún primo entre n² y (n+1)² tendríamos

Esto está en contradicción con la desigualdad previa, luego ha de existir un primo entre ambos cuadrados.

Otra formulación más

Es evidente que la conjetura de Legendre es equivalente a la afirmación de que entre dos números consecutivos n y n+1 siempre existe un número que es la raíz cuadrada de un número primo. Pero esto nos va a dar juego para otra entrada.

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo – Andrica

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid


Nota importante: Hoy iniciamos una serie sobre conjeturas. Con ella no se pretende impartir teoría ni ilustrar temas de actualidad. Simplemente deseamos hacer ver que cuestiones de índole superior se pueden tratar con instrumentos simples. Si a través de ellos logramos interesar a los lectores para que investiguen más habremos conseguido nuestro objetivo. Como siempre en este blog usaremos la hoja de cálculo, instrumento excelente para presentar propiedades. Para no cansar a los seguidores del blog no las publicaremos de forma consecutiva.


Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica se expresa algebraicamente mejor que con palabras. Si representamos por p_n el número primo que aparece en el lugar n de su lista, la conjetura se expresa como

“La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1”

Sobre su historia, autor y algunas consideraciones interesantes, en lugar de copiarlas aquí remitimos a una destacada entrada del blog “Gaussianos” (http://gaussianos.com/la-conjetura-de-andrica-o-que-distancia-hay-entre-dos-numeros-primos-consecutivos/)

Lo que nos interesa en esta entrada tiene carácter más humilde, y es la comprobación de esta conjetura con una hoja de cálculo y nivel medio de dificultad. Para ello necesitas dos funciones: ESPRIMO, que te devuelve si un número es primo o no y PRIMPROX, que encuentra el menor número primo que es mayor que uno dado (sea primo o no). Para evitarte tratar con definiciones de funciones y con el BASIC de las hojas, hemos creado la herramienta conjeturas.xlsm (y conjeturas,ods), que se encuentran en la dirección

http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas

La primera hoja contiene el espacio de trabajo, la segunda el catálogo de funciones implementadas y la tercera los enunciados de las conjeturas. Este archivo se podrá ir actualizando sin previo aviso conforme se vayan tratando conjeturas nuevas.

Supondremos, pues, que tienes abierta la hoja conjeturas. Puedes comenzar una tabla en la que figuren en la primera columna todos los números primos (verás cómo) y en la segunda los siguientes primos de cada uno de ellos. Después, en una tercera escribimos la diferencia de las raíces cuadradas de ambos.

Construcción de la tabla

Comienza, por ejemplo, escribiendo un 2 en la celda B2. Usa la función PRIMPROX para escribir el siguiente primo en C4: =PRIMPROX(B4). Evidentemente obtendrás un 3.

En la celda D4 escribe la diferencia de raíces cuadradas =RAIZ(C4)-RAIZ(B4)

Para que puedas extender la tabla hacia abajo, en la celda B5 copia el contenido de la C4, pero como fórmula, =C4. No uses Copiar y Pegar. Obtendrás un 3, como era de esperar.

Con el controlador de relleno copia hacia abajo las celdas C4 y D4

Lo que te queda por hacer es muy sencillo: de nuevo con el control de relleno copia las tres nuevas celdas de la fila 5 hacia abajo hasta el número de filas que desees:

Hemos marcado en negrita la máxima diferencia, y como era de esperar, todas son menores que la unidad.

Aunque ya están publicados, te puedes dar la satisfacción de crear tu propio gráfico, añadiendo, por ejemplo, otra columna con los números de orden:

En el gráfico se aprecia la máxima diferencia antes de llegar al 11 y que la tendencia general es que, con grandes oscilaciones, los valores tienden a cero, lo que da confianza en que la conjetura sea cierta.

Otra interpretación

Si representamos por D_n la diferencia entre dos primos consecutivos

Si la conjetura es cierta se cumple

La diferencia entre dos primos consecutivos siempre es menor que la suma de las raíces cuadradas de ambos.

Es fácil deducir otra expresión más simple:

Puedes crear dos columnas nuevas en tu tabla, una con la suma de raíces y otra con la diferencia de primos consecutivos. Intenta crear un gráfico similar a este:

Contrasta  la “suavidad” de la gráfica de la suma de raíces con la de la diferencia de primos. Hay que tener en cuenta que en la primera cada primo se suma en dos datos consecutivos, lo que produce un efecto de promedio, que oculta algo las irregularidades. Lo importante en este caso es se cumple la desigualdad deducida de la conjetura de Andrica.

Una interesante generalización

Si la conjetura de Andrica es cierta, podemos plantear la ecuación

Tendremos la seguridad de que x estará entre los valores 0,5 y 1. Para cada par de primos consecutivos x tendrá un valor distinto. El máximo lo alcanza para el par (2,3) en el que x=1 y el mínimo en p_n+1=127 y p_n=113 con x=0.567148... Este valor es conocido como la constante de Smarandache. La tienes en http://oeis.org/A038458

Es muy instructivo el procedimiento que podemos usar para encontrar el valor de x correspondiente a cada par de números primos consecutivos. Podemos usar para ello la herramienta de Búsqueda de Objetivos (lo desarrollamos para Excel, pero es muy fácil trasladarlo a otras hojas)

Tal como se explicó en párrafos anteriores, comienza por crear una tabla de pares de números primos consecutivos. Si te da pereza, usa lo que sigue para un solo par.

En la tabla hemos añadido una columna para x en la que iniciamos con el valor 1. Una cuarta columna la rellenamos con la fórmula p(n+1)^x-p(n)^x. Si la reproduces, comprueba que los valores que obtienes son los que figuran en la imagen.

Búsqueda del valor de x

Usaremos la Búsqueda de objetivos para resolver la ecuación

Elige un par cualquiera, por ejemplo 29 y 31. Señala la celda que contiene el valor 2 para la diferencia de potencias, y busca el procedimiento Buscar Objetivo en la fichas Datos y grupo Análisis Y si…

Ahora, en Definir la celda escribes la que contiene la diferencia 2, como valor escribes 1, porque ese es tu objetivo, y en Para cambiar la celda escribes la celda donde está el valor 1 de la x.
Al pulsar aceptar obtendrás la solución, tal como ves en la imagen:

La solución, 0,84555… está entre 0,5 y 1, tal como habíamos conjeturado.
Toma el par 113 y 127 y obtendrás la la constante de Smarandache con cinco decimales correctos:

El problema está en que has de ver cada par uno a uno, pero para un cálculo conjunto nos tendríamos que complicar el proceso.

Puedes consultar más generalizaciones en http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0707/0707.2584.pdf

Restos en la función PRIMO(n)

Seguimos con nuestra tendencia a jugar y experimentar con los conceptos matemáticos. Ahora lo haremos con la enumeración de los números primos, por la que asignamos a cada número natural N el número primo que ocupa el lugar N en su orden natural. Esta función así construida la podemos llamar PRIMO(N), prime(n) en inglés, o, como hemos usado este año en el blog, PRIMNUM(N).  Para simplificar la escritura usaremos P(N).

Esta función, como es de esperar, está bien estudiada. En http://oeis.org/A000040 tienes muchos detalles. Si la representamos (de forma falsamente continua) notamos que es casi lineal, con concavidad hacia arriba.

En la página de OEIS citada se incluye la propiedad de que P(n) es siempre mayor que nln(n). En efecto, si representamos ambas funciones en un mismo gráfico, observamos que son muy similares. Ambas tienden “suavemente” a infinito conjuntamente con n.

Relaciones lineales

Esto nos va a servir para lo siguiente: Para cualquier valor de N, podemos encontrar el cociente entero P(N)\N y el resto correspondiente. Por ejemplo, P(22)=79, porque este es el primo que ocupa el lugar 22. Podemos expresarlo así: 79=3*22+13. Esto siempre es posible, y el cociente entero será igual o mayor que 1, porque P(N)>N. Aquí nos interesará el resto 13.

Todo número primo se puede expresar mediante el cociente entero entre su número de orden y el resto correspondiente.

En la gráfica esto equivaldría a dibujar una línea recta que corta exactamente a la gráfica de los primos en el punto (N,P(N)).

Restos posibles

El resto de la división entera entre un primo y su número de orden puede presentar muchos valores distintos. Vemos algunos de los primos publicados:

2, 3, 11, 13, 37, 43, 1087, 64591, 64601, 64661,… se caracterizan porque su resto respecto a su número de orden es 1. Por ejemplo, 64661 es el primo número 6466 y se cumple que 64661=6466*10+1. Estos números primos los tienes en http://oeis.org/A048891

También aparecen restos 2 (ver http://oeis.org/A156152). Por ejemplo, P(73)=367=73*5+2. Y también 3 (A171430) o resto -1 (A052013)

¿Aparecerán todos los restos si recorremos los números primos y los dividimos entre sus números de orden? En http://oeis.org/A004648 tienes su enumeración ordenada:

0, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 5, 9, 9, 1, 2, 1, 2, 5, 8, 7, 10, 11, 10, 13, 14, 17, 22, 23…

Al recorrer los primeros 1000 primos echamos de menos algún resto, como el 18 o el 20 ¿acabarán apareciendo? Para averiguar esto usaremos una técnica similar a otras que han aparecido en este blog: fijamos un número grande, como el 10^6, y para cada valor de resto que elijamos, por ejemplo ese 18 que no aparece, recorremos todos los primos menores que el tope y les calculamos su resto respecto al número de orden. Si aparece  el que queremos, ya lo hemos encontrado; si no, aumentamos el tope. Lo podemos construir en el Basic de las hojas de cálculo:

Public Function primoresto(n)
Dim a, i, p, r
a = 2: i = 1: r = -1: p = -2  Iniciamos la lista de primos y la variable r a -1
While p <> n And i <= 10 ^ 6  Bucle hasta la solución o hasta el tope
p = a - i * Int(a / i)  Buscamos el resto entre el primo a y su orden i
If p = n Then r = a Si el resto coincide con el número propuesto, ya tenemos solución
i = i + 1  Si no, avanzamos en la lista de primos
a = primprox(a)
Wend
primoresto = r
End Function

Si la función devuelve el valor -1, es que no se ha encontrado solución y hay que subir el tope. Con esta función y con Excel, que es una hoja rápida, hemos encontrado estos valores:

Llama la atención el mínimo primo que presenta resto 18. Efectivamente, 176557 es el primo número 16049 y el cociente entre ellos es 11 y el resto 18, como cabía esperar. Más impresionante es el correspondiente a 44, nada menos que 1304867. Para avanzar más hemos traducido el algoritmo a PARI

resprime(n)={local(a,i,r,p);a=2;i=1;r=-1;p=-2;while(p<>n&&i<=10^6,p=a%i;if(p==n,r=a);i+=1;a=nextprime(a+1));return(r)}
{for(i=1,50,print(resprime(i)))}

Con él, subiendo el tope a 10^8, hemos descubierto que el resto 110 no aparece hasta el primo 514279133

¿Existirá siempre un número primo que produzca un resto igual a un número que elijamos? No lo sabemos. Lo dejamos como conjetura:

Conjetura: Para cada número natural n>1 existe un número primo P(k) que produce un resto respecto a k igual a n.

Si alguien sabe algo más lo publicaremos como extensión.

Números de Pell

Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

El tema de hoy es parte de una serie que alargamos en el tiempo para no cansar a los lectores. Es muy conveniente repasar las dos primeras entradas, especialmente para recordar nuestra notación:

 http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/recurrencias-lineales-de-segundo-orden.html

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/sucesion-de-jacobsthal.html

Estudiamos un nuevo caso de sucesiones recurrentes de segundo orden, y aquí también usaremos nuestra herramienta de hoja de cálculo

(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Tomamos como coeficientes de recurrencia A=2 y B=1. Es decir, que X(n+1)=2X(n)+X(n-1). Si como valores iniciales tomamos 0 y 1 resultan los números de Pell  o números lambda (Horadam(0,1,1,2). http://oeis.org/A000129



0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832,…Los representaremos como P(n)

Como su nombre indica, contiene soluciones de la ecuación de Pell x²-2y²=1. En concreto, los valores P(2n+1), es decir 0, 2, 12, 70, 408, 2378,…corresponden con los valores de Y en la solución. Con nuestras hojas de cálculo pell.xls y pell.ods

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#ecuadio

 lo puedes comprobar, como se refleja en la imagen:

Si tomáramos como valores iniciales X(1)=1 y X(2)=1, resultaría una sucesión complementaria:

1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, 19601, 47321, 114243, 275807,…

Observa que aquí los términos de índice impar se corresponden con los valores de X en la solución de la ecuación: 1, 3, 17, 99, 577,…La llamaremos sucesión Pell2 y la representaremos como P’(n)

 Así que ya sabes por qué se eligió el nombre de “números de Pell”. Ambas sucesiones también contienen las soluciones de x²-2y²=-1.

En la imagen queda claro que los términos de índice 2n en ambas sucesiones son soluciones con -1 en el segundo miembro. Según eso, los números de PELL recogen todos los casos en los que 2k^2±1 es un cuadrado, porque es como despejar la X en la ecuación de Pell.

Te dejamos que saques tus consecuencias, o busques otras correspondencias en http://oeis.org/A000129 y en http://oeis.org/A001333. Una muy interesante es que

P(n+1)=P(n)+P’(n)

En efecto, se cumple para los primeros valores (ver tabla anterior) 3+2=5, 7+5=12, 17+12=29,…luego bastará comprobarlo por inducción.

P(n+2)=2P(n+1)+P(n)=2(P(n)+P’(n))+P(n-1)+P’(n-1)=P(n+1)+P’(n+1)

Intenta justificar esta otra:

P(n+1)=P’(n+1)-P(n) 

Los primeros cálculos en la tabla serían: 3-1=2, 7-2=5,17-5=12,…

De ellas dos resultaría una tercera:

2P(n+1)=P’(n+1)+P’(n)

Ambas sucesiones también intervienen en las fracciones continuas del desarrollo de la raíz de 2. Todo esto ocurre porque en ambos casos la generación de numeradores y denominadores siguen la misma ley de recurrencia. Lo vemos en nuestras herramientas fraccont.xls y fraccont.ods

(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#algoritmo)

Fórmula general

Acudimos al estudio de la ecuación característica, que vemos presenta dos soluciones reales: 2,4142 (uno más la raíz de 2) y –0,4142 (uno menos la raíz de 2) e interpretando los coeficientes de abajo resulta:

Comprueba: Para n=0 resulta P(0)=0, para n=1, P(1)=1, y además P(2)=2, P(3)=5,…

Al tener la segunda potencia una base menor que la unidad en valor absoluto, si n tiende a infinito, ese sumando tiende a cero, con lo que es fácil ver que

Puedes crear una columna de cocientes en hoja de cálculo para comprobarlo

Para la sucesión complementaria Pell2 la fórmula que resulta es

Para n=0 te resulta 1, para n=1, P’(1)=1, para x=2, P’(2)=3, y así con todos.

Con la primera fórmula se puede demostrar esta identidad:

P(n+1)P(n-1)-P(n)²=(-1)ⁿ

Aquí tienes la comprobación con hoja de cálculo:

Función generatriz

Con el procedimiento general explicado en la primera entrada del tema deduciremos que

Una curiosa propiedad

Para no recargar la primera entrada sobre recurrencias de segundo orden no incluimos este tipo de propiedades, y la desarrollamos ahora:

La cifra de las unidades de los distintos términos de la sucesión de Pell recorre el conjunto ordenado {0, 1, 2, 5, 2, 9, 0, 9, 8, 5, 8, 1} Lo puedes comprobar con los primeros: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461,…Para asegurarse de que es un fenómeno periódico, en el que se repiten resultados en el mismo orden basta saber que el valor de cada uno sólo depende de los dos anteriores, por tratarse de las unidades (si fueran decenas por ejemplo, se verían alteradas por los arrastres).

Si x(n) termina en una cifra K y x(n+1) en otra H, x(n+2) deberá terminar necesariamente en (2*K+H) MOD 10. Así 169 y 408 deberán producir una cifra de unidades (8*2+9) MOD 10, es decir, el 5, y en efecto, el siguiente término es 985. Como juegos del tipo {K,H} sólo pueden aparecer 100 distintos, se llegará a un término en el que se repita el mismo juego de cifras, luego:

La cifra de las unidades de cualquier sucesión definida por recurrencia de segundo orden debe repetirse en los términos sucesivos (salvo quizás los iniciales) con un periodo igual o menor que 100.

En la sucesión de Pell el periodo es 12, como hemos visto. En la de Jacobsthal (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/sucesion-de-jacobsthal.html) es de sólo 4: {1, 1, 3, 5} Compruébalo: 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691,…Con cálculos 1+1*2=3; 3+1*2=5; 5+2*3=11 (cifra 1)…

A veces el periodo es muy amplio. Lo intentamos con la sucesión de Fibonacci y se sobrepasaba la capacidad de la hoja de cálculo, por lo que acudimos  a nuestra STCALCU (http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#stcalcu) descubriendo que el periodo es de 60 elementos nada menos:

{1, 1, 2, 3. 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0. 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0} (ver http://oeis.org/A003893)

Aplicaciones y propiedades

¿Cuándo un número es triangular y cuadrado a la vez?

Lo planteamos: k^2=h(h+1)/2 y transformando 8k^2+1=4h^2+4h+1=(2h+1)^2 Si llamo x=2h+1 e y=2k nos queda 2y^2+1=x^2 y por fin x^2-2y^2=1, ecuación de Pell que nos da la solución mediante los números de Pell. Después aplicaremos k=y/2 y h=(x-1)/2

Según estas equivalencias, k será igual a la mitad de los números de Pell de orden impar y su cuadrado el triangular buscado. Calculamos y obtenemos así la lista de los números que son triangulares y cuadrados a la vez:

Nos han resultado 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, …(http://oeis.org/A001110)

Una interpretación

P(n) equivale al número de formas en las que se puede descomponer n-1 en sumandos ordenados 1 y 2, pudiendo tener el 1 dos colores diferentes.

Por ejemplo, P(4)=12, porque el 3 se puede descomponer así:

2+1, 2+1, 1+2, 1+2, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1

Primos de Pell

Para que un número de Pell P(n) sea primo es necesario que n sea primo. Los valores de n que producen esos primos son 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 1,… que producen los números de Pell primos

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409,…

Los compuestos no pueden producir primos, porque en la expresión

se puede descomponer entonces el exponente n, lo que produce la descomposición de la expresión en al menos dos factores, uno de los cuales será una diferencia de potencias similares con exponente mayor que 1, que absorberá el denominador.

Desarróllalo con cuidado y lo comprobarás.

Un conjunto interesante (3) El Álgebra descubre más familias

Continuamos el tema desarrollado en las dos últimas entradas.

El conjunto que estamos tratando, el de los pares de números consecutivos ambos con parte cuadrada no trivial, está contenido en http://oeis.org/A068781, y en los comentarios incluidos en ella se indican brevemente algunas propiedades que vamos a desarrollar aquí:

Números con fórmula determinada

En la página OEIS enlazada se destaca que todos los números naturales de la forma 4k²+4k pertenecerán a esos pares como primer elemento (Amarnath Murthy). Se ve que contienen una parte cuadrada de al menos 4 y que su siguiente es 4k²+4k+1 = (2k+1)², cuya parte cuadrada es él mismo.

Se observa también que 4k²+4k=8(k(k+1)/2), o lo que es lo mismo, que es 8 veces un número triangular. Así que si multiplicamos por 8 los números 1, 3, 6, 10, 15 se obtendrán 8, 24, 48, 80 y 120, que pertenecen todos al conjunto y es fácil ver que siguen la recurrencia X(n+1)=X(n)+8(n+1), lo que los convierte en una progresión aritmética de segundo orden.

Los números del tipo 4k²+4k pertenecen al conjunto.

Siguiendo un razonamiento similar, pertenecerán al conjunto los pares del tipo (n⁴+2n²) y (n⁴+2n²+1), y en general los (n^2k+2n^k) y (n^2k+2n^k+1).

Desarrollamos algunos ejemplos. Son pares del conjunto

(16+2*4, 16+2*4+1)=(24,25)
(81+2*9, 81+2*9+1)=(99,100)
(256+2*16, 256+2*16+1) = (288,289)

Observa ahora el segundo elemento de este tipo de pares, (2k+1)². Es interesante demostrar la sugerencia que sobre ellos contiene la página citada. Imagina que multiplicamos ese cuadrado por un impar del tipo 4m+1. El resultado sería
(4m+1)(2k+1)²=(4m+1)(4k²+4k+1)=16mk²+16km+4m+4k²+4k+1=4H+1
Esto nos dice que esa expresión contiene el cuadrado (2k+1)², pero si le restamos 1, la diferencia 4H contiene el cuadrado 4, luego ambos forman un par perteneciente al conjunto.

Si el cuadrado de un número impar lo multiplicas por otro impar del tipo 4m+1, obtienes el segundo elemento de uno de los pares del conjunto.

Revisa la lista y localizarás los productos 9, 9*5=45, 9*9=81, 9*13=117,… así como 49, 49*5=245,… todos como segundo elemento del par.

Si usáramos un impar del tipo 4m+3 en ese caso aparecería un primer elemento de par. Se demuestra de forma similar:

(4m+3)(2k+1)²=(4m+3)(4k²+4k+1)=16mk²+16km+4m+12k²+12k+3=4H+3

Él mismo contiene el cuadrado (2k+1)², pero si le sumamos una unidad se convertirá en 4H+4=4(H+1) y también tendrá l divisor cuadrado 4.

Si el cuadrado de un número impar lo multiplicas por otro impar del tipo 4m+3, obtienes el primer elemento de uno de los pares del conjunto.

En este caso figurarán como primeros elementos 9*3=27, 9*7=63, 9*11=99,… como segundo elemento del par.

Todos los números del tipo (n+1)(n-1) pertenece al conjunto si uno al menos de los factores no está libre de cuadrados.

Es fácil verlo. Si uno de los factores contiene un divisor cuadrado, el producto también lo tendrá, luego es un candidato a figurar en el conjunto. Pero su consecutivo es n²-1+1=n², luego también cumple tener una parte cuadrada no trivial. De ese tipo son: 8, 63, 80,…

Progresiones aritméticas en el conjunto.

Labos Elemer descubre en la página citada que existe en ese conjunto muchas progresiones aritméticas. Él da como ejemplo (36n+8, 36n+9). Intentaremos descubrir algunas.

Imagina un par cualquiera, (aX², bY²). Calculemos el mínimo múltiplo común a X² y a Y², llamémosle H (no tiene que ser el mínimo. Nos vale cualquier múltiplo). Tendrá entonces a forma H=mX² y también H=nY². Si sumamos un múltiplo de H a ambos elementos del par tendremos: kH+ aX², kH+ bY²  o bien k(m+a)X², k(n+b)Y². Estos nuevos elementos seguirán siendo consecutivos y con parte cuadrada mayor que 1, luego pertenecerán también al conjunto. Como k es variable, desembocaremos en una progresión aritmética.

Vemos un ejemplo. Tomamos un par de la tabla, como 98=2*7² y 99=11*3². Un múltiplo común de 7² y 3² es su producto 441, luego si a ambos les sumamos ese número reiteradamente resultarán más pares del conjunto:

(98, 99), (539, 540), (980, 981), (1421, 1422),…

Múltiplos de los términos

Hemos explorado la posibilidad de que si un número pertenece al conjunto como primer elemento del par o como segundo, exista un múltiplo suyo que también pertenezca.

En el caso del primero creemos que existe siempre un múltiplo suyo que también forma un par similar, pero lo dejamos como conjetura porque no podemos probarlo. Aquí tienes los primeros resultados. En la tabla figura el primer término del par y junto a él el número mínimo por el que debemos multiplicarlo para que resulte un múltiplo perteneciente al conjunto:

Por ejemplo, 116 y 117 forman par, porque ambos tienen una parte cuadrada mayor que 1: la de 116 es 4 y la de 117 es 9. Si, según la tabla, multiplicamos por 10, 1160 y 1161 también forman un par del conjunto, porque ambos también tienen parte cuadrada mayor que 1 (en este caso, valen también 4 y 9, pero es una casualidad)

Con el segundo término hemos realizado pruebas también y parece ser que todos ellos poseen un múltiplo perteneciente al conjunto también como segundo término del par.

Lo dejamos como conjetura.

Un conjunto interesante (2) y una ecuación cuadrática

En la anterior entrada construimos el conjunto de pares de números consecutivos en el que ambos contienen un divisor cuadrado mayor que 1 (ver http://oeis.org/A068781). Analizamos la parte libre de cada uno y se desechó una propiedad que resultó ser falsa.

Todo el análisis de la parte libre de estos números depende de las soluciones de la ecuación.
aX²-bY²=1 

Conviene que repases http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/02/un-conjunto-interesante-1-numeros.html

Como todas las ecuaciones diofánticas de grado dos, no es fácil de resolver, pero desde Gauss sabemos que habrá que acudir a la ecuación de Pell

(http://hojamat.es/parra/pell.pdf y http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/ecuacion-de-pell.html)

No he encontrado muchas referencias sobre la ecuación que hemos planteado, pero consultando páginas como

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html

y otras similares he podido diseñar una herramienta en hoja de cálculo que nos permitirá resolverla. Los hechos en que se basa son:

 (a) Para resolver aX²-bY²=1  la tratamos como una ecuación de Pell, desarrollando en fracciones continuas la raíz cuadrada de b/a (o la inversa, da igual). Obsérvese que a y b deberán ser primos entre sí para que exista solución. Por ejemplo, para resolver  11X²-7Y²=1 desarrollaremos la raíz cuadrada de 11/7, 0,7977240352.

Hemos preparado la hoja de forma que debajo de cada convergente se calcule el valor de aX²-bY² para encontrar una posible solución. La tienes alojada en la dirección

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#ecucuad

Vemos que ha encontrado la solución 176 y 175, en la que 176=11*4² y 175=7*5². Este procedimiento, si existe solución, la suele dar en las primeras convergentes. Si proseguimos la búsqueda entre las siguientes encontraremos más soluciones. La siguiente es 86486576=11*2804² y 86486575=7*3515².

La hoja de cálculo no da para mucho más, pero por la periodicidad del desarrollo en fracciones continuas de un radical cuadrático, sabemos que se repetirá el valor 1 en los cálculos. En este caso cada seis convergentes. La siguiente solución será:

Aunque nuestro cálculo se interrumpa, hemos conseguido descubrir que si entre los pares pertenecientes a nuestro conjunto se da un juego de partes libres (a, b), (en nuestro ejemplo 11 y 7), existirán infinitos pares con ese mismo par de partes libres.

Otro ejemplo: para 3 y 7 encontramos los pares (27,28) (332667, 332668),  (4024611387, 4024611388) y (48689748233307, 48689748233308) Nuestra hoja abandona aquí.

Es una lástima que no podamos seguir, pero si dispusiéramos de una fórmula de recurrencia podríamos acudir a instrumentos de cálculo más potentes que nos dieran las restantes soluciones.

(b) Las fórmulas de recurrencia que permiten encontrar todas las soluciones que deseemos las hemos implementado siguiendo las ideas contenidas en el documento http://bratu.oltenia.ro/GAUSS.pdf, del que reproducimos la recurrencia que nos interesa:

Hemos adaptado las fórmulas a nuestro caso, en el que b=0, y parece funcionar muy bien (nos queda alguna duda teórica, pero en esta aventura llegaremos a donde podemos, ya se advirtió). El cálculo de las fórmulas de recurrencia se ha implantado debajo del desarrollo de la ecuación de Pell. Es un algoritmo paralelo, en el que en lugar de desarrollar la raíz de b/a se efectúa con el discriminante de la ecuación.

Con él se obtienen las dos soluciones t y u, en nuestro ejemplo 55 y 6.

Una vez obtenidos esos coeficientes, se construye con ellos una matriz de recurrencia según el recorte de documento insertado más arriba (adaptado al caso b=0) y después se aplica en la parte inferior a la obtención de las siguientes soluciones:

Se han reproducido las soluciones escritas más arriba, pero pronto aparecen en coma flotante. No importa, porque hemos obtenido lo fundamental, y es la matriz de recurrencia. Efectivamente, obtendríamos con ella lo siguiente:

X_n=X_n-1*55+Y_n-1*36
Y_n=X_n-1*84+Y_n-1*55

Así podemos pasar a otro instrumento más potente, como el lenguaje PARI.

{x=2;y=3;for(i=1,7,x0=x;x=55*x0+36*y;y=84*x0+55*y;print(7*x*x);print(3*y*y))}

Y obtenemos más pares debidamente escritos:

El único problema es que hay que cambiar ocho parámetros para cada caso, pero como se trata sólo de satisfacer una curiosidad, tampoco se va a plantear en muchas ocasiones.

Lo importante es que en nuestro conjunto hemos descubierto la existencia de infinitas familias, cada una con infinitos elementos, según los valores de las partes libres.

Pero hay más familias ahí dentro. Lo vemos en la siguiente entrada.

Un conjunto interesante (1). Números consecutivos, ambos no libres de cuadrados

Comenzamos como en otras ocasiones con una pequeña alineación de cuadrados y una cuestión sobre ellos. En el momento de escribir este primer párrafo no sabemos a dónde nos llevará la misma, pues hemos querido construir la entrada así, como en un camino al azar. Concretamos:

Imagina un conjunto de cuadrados alineados, por ejemplo 11 cuadrados de 3 por 3:

Si le quitamos un cuadrado pequeño, ¿se podrá construir con los 98 que quedan otra alineación de cuadrados de lado mayor que la unidad?

En este caso la respuesta es afirmativa, basta observar la imagen:

En otros casos es negativa: 48 está formado por tres cuadrados de 4 por 4 y si le quito una unidad resulta el número primo 47 que no permite nada de eso.

¿Qué pares de números consecutivos permiten ambos su descomposición en un conjunto de cuadrados iguales o en un solo cuadrado?

Tenemos definiciones para esta situación, pero para no complicarla en exceso exigiremos otra condición, y es que el número de cuadrados que entran en la alineación no sea en sí mismo un cuadrado. De esta forma podemos llegar a un terreno teórico más simple. En efecto, si consultas nuestra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html

te darás cuenta de que los sumandos cuadrados serán la parte cuadrada del número total, y la expresamos como PC(N). Entonces PC(99)=9 y PC(98)=49 y el número de cuadrados (él mismo no cuadrado) será la parte libre de cuadrados, expresada como PL(N). En nuestro ejemplo PL(99)=11 y PL(98)=2.

Así que reformulamos la pregunta:

¿Qué pares de números consecutivos son ambos no libres de cuadrados?
 (Es decir, que su parte cuadrada no sea la unidad)

Si se dispone de la función partecuad(n), la parte libre se encontrará como el cociente entre n y su parte cuadrada. En la entrada siguiente a la enlazada tienes un código en Basic de hoja de cálculo que te lo resuelve (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre-solucion.html)

Si ya se tiene implementada esa función, bastará esta búsqueda:

For i=1 to 1000 (u otro tope)
If partecuad(i)>1 and partecuad(i+1)>1 then msgbox(i)
Next i

Así los hemos buscado de forma algo más ordenada y los primeros pares obtenidos han sido

Observa que entre ellos está el par (98, 99) del ejemplo. Prueba con otros: 80 son 5 cuadrados de 4 por 4 y 81 un cuadrado de 9 por 9, 75 equivale a 3 cuadrados de 5 por 5 y 76 contiene 19 cuadrados de 2 por 2.

En PARI la parte libre la da la función core(n) y por tanto la parte cuadrada equivale a n/core(n). Así se entiende fácilmente este código:

{for (n=1, 10^3,if(n/core(n)>1&&(n+1)/core(n+1)>1,print(n)));}

Los elementos menores de cada par los tienes recogidos en http://oeis.org/A068781. Ahí se destacan propiedades que comentaremos en las siguientes entradas.

Variedad en las partes libres

Es interesante ampliar la tabla anterior con las partes libres de cada uno de los números de estos pares. No nos cabe aquí la gran variedad de resultados que se producen. Aunque sea reduciendo el tamaño, incluimos algunos de los casos:

Vemos que los pares de partes libres a y b presentan gran variedad de valores, unos similares entre sí, como 2 y 3, otros muy lejanos, como 127 y 3 y otros que contienen la unidad.

Podemos representarlos en un diagrama de dispersión y nos llevamos una gran sorpresa:

Aparentemente todas las partes libres a y b pertenecen a familias que están relacionadas entre ellas por el mismo coeficiente lineal b/a. Para salir de dudas creamos una quinta columna con esos cocientes y vemos que ¡ES FALSO! No existe esa relación lineal. Es sólo aproximada.

Por ejemplo, la línea marcada fuertemente con pendiente similar a ½ está formada por estos valores de b/a que son todos cercanos a 4/9, pero ninguno igual.

Hemos ordenado la tabla según valores para que destaque mejor la no igualdad en los cocientes.

Observando cuidadosamente los valores de b/a cuya similitud ha engañado a nuestra vista, se descubre que están cerca de estos cocientes de cuadrados: 4/25, 9/16, 4/9, 9/4, 16/9, 25/4,…

Si nos paramos a pensar, este hecho tiene una explicación fácil: todos los números que estamos encontrando satisfacen una ecuación de este tipo: aX²-bY²=1, siendo a y b las partes libres y X² y Y² las cuadradas. Dividiendo entre a y despejando queda:

Por tanto, existe una pequeña diferencia entre el cociente b/a y ese otro cociente entre dos cuadrados. No había lugar para la sorpresa (nuestros lectores verán que cumplimos la idea de recorrer esta entrada a la aventura)

En la siguiente entrada volveremos a la ecuación aX²-bY²=1 (¡Esto sí estaba programado!)

A veces se da la identidad entre las partes libres. Por ejemplo, 49 y 50 se corresponden con 72*1 y 52*2 y el par 1681=412*1 y 1682=292*2. Pues bien, dejamos para otra entrada el estudiar esta afirmación: si existe un par de valores X²,Y² que cumple esta ecuación para unos coeficientes  a y b, entonces existen infinitos.