Solución única

En mis cálculos diarios y búsquedas en este blog no ha sido frecuente encontrar solución única a algunas de las cuestiones. En general, aparecen varias o ninguna, pero pocas veces una sola solución. Un ejemplo que busco a diario es el de descomponer un número como suma de un primo y un cuadrado distinto de cero. Normalmente aparecen tantas soluciones que no caben en pantalla, y sólo en contados casos, obtengo tres o cuatro nada más. Son números de cuatro a seis cifras, y era esperable esa cantidad. Sin embargo, con números menores se obtienen frecuentemente soluciones únicas.

 Suma de cuadrado y primo

Estos son algunos ejemplos de solución única con cuadrados y primos:

19=4^2+3, 22=3^2+13, 24=1^2+23, 26=3^2+17, 29=4^2+13, 36=5^2+11

¿Hasta dónde llegará esa posibilidad? Lo iré viendo en algunos casos. Normalmente van escaseando las soluciones de una búsqueda, y. a veces, los autores terminan con una conjetura: “Para números mayores que 10^17 no se observan soluciones…”. Se queda ahí la cuestión hasta que alguien pueda demostrarlo. Eso haré en esta entrada si es necesario.

He comenzado con hoja de cálculo, y hasta el 70000 aparecen soluciones únicas con una frecuencia mínima, pero apreciable. Estos son los casos entre 50000 y 70000:

A partir de aquí, deberé ensayar con PARI, que, como ya es sabido, maneja mejor los números grandes. He construido este código:

primomascuad(n)=my(s=List(),m=0,r=sqrt(n),p);for(i=1,r,p=n-i^2;if(isprime(p),m+=1;listput(s,i);listput(s,p)));s

for(i=50000,70000,s=primomascuad(i);if(#s==2,print(i,", ",s)))

La primera parte imita una función antigua que poseo para hoja de cálculo. Recorre todos los cuadrados menores que el número y busca aquellas diferencias que sean número primo. Las que lo son se incorporan a una lista, formada por cada base de cuadrado y cada primo. En la última línea, la igualdad #s==2, admite sólo aquellas listas con una sola solución (dos números). En el rango 50000 a 70000 coincide con VBASIC, en otro formato de presentación:

 

Es de esperar que en rangos mayores vayan escaseando las soluciones, pero me ha sorprendido que no parecen desaparecer.

Del 10000 al 20000 aparecen 28, y llama la atención 10000=99²+199.

En los siguientes rangos del mismo tamaño van disminuyendo las frecuencias a 9, 12, 9, 7, 6, 5, 6, 7, 6, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 4, … hasta llegar al 200000-210000 en el que aparecen 2.

Estoy acostumbrado a estos resultados, similares a los de los “sucesos raros” en Estadística, y puede ocurrir que lleguemos a intervalos con ningún resultado. Por ejemplo, en el rango 2000000-2100000, que es diez veces más amplio, obtenemos 9.

Si alguien tiene más paciencia que yo, es posible que llegue a una potencia de 10 en la que ya no aparezcan casos. Siempre será una conjetura lo que descubra.

 Suma de cuadrado y capicúa

También esta búsqueda la emprendo casi a diario. Suele proporcionarme de dos a cuatro soluciones, y sería interesante encontrar números con solución única. Basta leer mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/10/suma-de-cuadrado-y-capicua.html para entender que deberemos fijar en 1 el número de soluciones. En la tabla que he elaborado he suprimido los capicúas de una sola cifra, porque restan interés a la búsqueda, por su abundancia. Contiene los primeros números con esta propiedad a partir del 2000:

 

 Suma de dos simétricos

Este es un ejemplo similar a los anteriores, en el que no hay una teoría que nos respalde, y es inevitable acudir a la búsqueda. En este blog hemos usado la función CIFRAINVER, que devuelve el simétrico de un número (ver, por ejemplo, https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/relaciones-entre-numeros-con-cifras.html)

Para que la búsqueda no esté contaminada por ejemplos triviales, se exigirá que el número no sea múltiplo de 10, para evitar que el simétrico pierda una cifra. También deberá ser el primer sumando mayor que el segundo, y así evitar que una suma aparezca dos veces. Son condiciones que no son necesarias, pero pulen un poco los resultados.

Usaré esta función:

Function dossimetricos$(n)

Dim i, m

Dim s$

 

s = ""

m = 0 ‘Contenedor s y contador m

For i = 1 To n

p = cifrainver(i)

If i + p = n And i > p And i Mod 10 <> 0 Then m = m + 1: s = s + " = " + ajusta(i) + "+" + ajusta(cifrainver(i)) ‘Hay solución

Next i

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + ": " + s

dossimetricos = s

End Function

 

Al comenzar la salida de la función con el número de soluciones, es fácil identificar los números que poseen una. Para mi uso diario basta con este código, pero en esta búsqueda, para que sea interesante, desecharé las soluciones en las que ambos sumandos simétricos sean iguales.

Los primeros que aparecen con estas condiciones son:

 

 

Observamos que presentan una frecuencia apreciable.

 Resultados ciertos

En los anteriores ejemplos, la aparición de números con una sola descomposición se dejó en simple posibilidad para rangos de un número grande en adelante. En otros ejemplos se tiene la certeza de los números que presentan un solo resultado. Repaso brevemente algunos estudiados en este blog.

Primos del tipo 4k+1

Son los llamados también primos pitagóricos. Se estudiaron aquí (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/11/primos-pitagoricos.html) y se explicó que sólo admiten una descomposición en una suma de cuadrados. Por ejemplo, 12037 es primo de este tipo, y sólo admite la descomposición 12037=74²+81²

Una sola ocasión de ser hipotenusa

Estudiamos este tema en la entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/10/en-cuantas-ternas-pitagoricas-1.html

Según lo visto en ella, los números que contengan un solo factor primo del tipo 4k+1 y el resto (salvo el 2, que no influye) elevados a una potencia par, son los únicos que podrán ser hipotenusas en una terna pitagórica. Como en la terna figura al cuadrado, la condición de exponente par no influye. Así nos queda como condición que exista solo un factor del tipo 4k+1.

En la tabla siguiente figuran soluciones a partir de 1200 y se puede comprobar que solo presentan un factor del tipo 4k+1 elevado a 1:

 

 Una sola ocasión de ser cateto

Esta cuestión también puede producir resultados seguros, sin conjeturas para números grandes. Puedes leer mis entradas

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/10/en-cuantas-ternas-pitagoricas-2.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/01/numero-de-descomposiciones-en.html

En ellas se explica que todo depende de las formas de descomponer N² en productos de la misma paridad. Remito a ellas. Un caso particular es el de los primos impares. En la tabla siguiente observamos las soluciones en el mismo rango del párrafo anterior:

Resultan primos y semiprimos con el factor 2, pero lo que nos interesa es que existe un procedimiento seguro. Siempre es preferible a la necesidad de acudir a una búsqueda.