En la entrada anterior repasamos las recurrencias lineales no homogéneas, alterando la definición de la sucesión de Fibonacci, ya sea sumando o restando una unidad y cambiando las condiciones iniciales.
En esta segunda entrada
restaremos una unidad a la definición clásica, y fijaremos a(1)=1 y a(2)=k,
número que variaremos para ver qué ocurre. La recurrencia será a(n)=a(n-1)+a(n-2)-1.
Tomaremos k=4 para comenzar. Como en la anterior entrada, generaremos la
sucesión directamente en columnas de hoja de cálculo:
Procedemos a encontrar la
solución homogénea, y vemos la diferencia entre ambas. Se puede consultar la
entrada anterior para seguir este proceso.
Pantalla de la hoja recurre_lineal:
Copio la sucesión de la recurrencia homogénea junto a la
obtenida para la no homogénea. Creo una tabla en la que al leer de izquierda a
derecha desembocaremos en la expresión definitiva:
En primer lugar figuran los
índices de las sucesiones. Aquí comenzamos con 1. Después emparejamos las
soluciones homogéneas con las que no lo son, y se puede descubrir que su
diferencia es 1-F(0), con lo que quiero expresar que es el número de Fibonacci
correspondiente al índice de su fila. En la siguiente columna situamos la
solución para la homogénea, deducida de mi hoja recurre_lineal, y, por
último, sumo 1-F(0). Al final (ver celda naranja) quedamos con 3F(-1)+1. Por
cuestiones de índices, en OEIS usan FIBONACCI(N)+1. Al final da igual donde
comencemos.
Se puede comprobar con PARI:
Observa el código tan simple
que figura arriba.
Estos resultados coinciden con
los publicados en https://oeis.org/A187893
Lo interesante del proceso que
hemos seguido es que es válido para cualquier otro valor de K, y la sucesión
vendría dada por (k-1)*FIBONACCI(N)+1
Por ejemplo, para k=3
obtenemos 1, 3, 3, 5, 7, 11, 17, 27, 43, 69, 111, 179, 289, 467, 755, 1221, …
que sigue la expresión 2*FIBONACCI(N)+1.
Para k=6 obtenemos 1, 6, 6, 11,
16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, … definida por 5*FIBONACCI(N)+1:
for(n=0,20,print1(5*fibonacci(n)+1,", "))
1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66,
106, 171, 276, 446, 721, 1166, 1886, 3051, 4936, 7986, 12921, 20906, 33826, …
La mayoría de casos para k
están sin publicar, como era esperable.
Casos más simples
Si las complicaciones de la
recurrencia, otra forma de añadir una unidad a la sucesión de Fibonacci es
realizarlo una vez esta formada. Nos resultan dos sucesiones sencillas:
Fibonacci más una unidad
Usaré PARI, que nos está
viniendo muy bien en este tema:
for(n=0,20,print1(fibonacci(n)+1,", "))
1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22,
35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182, 6766, …
Está publicada en https://oeis.org/A001611
En esa página destacan que
tres elementos pueden formar triángulo, porque cada uno es menor que la suma de
los dos anteriores y mayor que su diferencia. También se afirma que los únicos
números primos presentes son el 2 y el 3. Podemos añadir algo más:
Entre los primeros términos
sólo hay tres cuadrados: 1, 4 y 9.
for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(a),print1(a,",
")))
1, 4, 9, …
Aparecen cuatro triangulares
(observa el código, que se basa en que 8T+1 es cuadrado):
?
for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(8*a+1),print1(a,", ")))
1, 3, 6, 378, …
También contamos con oblongos
(tipo N(N+1)):
?
for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(4*a+1),print1(a,", ")))
2, 2, 6, 56, 90, …
Fibonacci menos una unidad
Con la experiencia adquirida
todo es más fácil, y me limitaré a resultados:
? for(n=1,30,a=fibonacci(n)-1;print1(a,",
"))
0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33,
54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764, 10945, 17710, 28656,
46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228, 832039, …
Publicada en https://oeis.org/A000071,
donde se desarrollan múltiples propiedades.
Los únicos primos presentes
entre los primeros son 2 y 7:
?
for(n=1,3000,a=fibonacci(n)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))
2, 7, …
Cuadrados sólo aparecen 0, 1 y
4
Triangulares 0, 1 y 1596
Oblongos 0, 2, 12 y 20.
Hasta aquí llega el recorrido
de este tema. El resto se lo dejo a quien me lea.
