En cuantas ternas pitagóricas (2)

En la entrada anterior se discutió la posibilidad de que un número fuera hipotenusa de varias ternas pitagóricas. Continuará aquí el tema calculando de cuantas ternas puede ser cateto un número dado N.

Se tratará de buscar soluciones a la ecuación

N²=a²-b²

Estamos suponiendo implícitamente que a es mayor que b, luego podemos descomponer la diferencia de cuadrados de esta forma, llamando a=b+k

N²=(a+b)(a-b)=(b+k+b)(b+k-b)=k(2b+k)

Esto nos lleva a que la diferencia k entre a y b ha de ser divisor de N², al igual que 2b+k. Es claro que

N²=k(2b+k)>k², luego k<N

Estas consideraciones nos llevan a un protocolo para encontrar ternas con un cateto dado N.

Recorremos todos los divisores de N, sean K.

Para cada K estudiamos N²/K-K, que ha de ser un número par positivo. Su mitad será el número b, el otro cateto. La hipotenusa se calculará como b+K.

Este procedimiento lo plasma la siguiente función para VBasic:

Function escateto$(n)

Dim s$

Dim k, b, m, a, nn

 

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Número de soluciones

nn = n * n’ Cuadrado de n

For k = 1 To n

If nn / k = nn \ k Then ‘Es un divisor del cuadrado

b = (nn / k - k) / 2 ‘Posible valor del otro cateto

If b > 0 And b = Int(b + 0.000001) Then ‘Solución válida

m = m + 1’Aumenta el contador

a = b + k ‘Hipotenusa

s = s + "+" + ajusta(a) + "^2-" + ajusta(b) + "^2" + " " ‘Se incorpora la solución

End If

End If

Next k

s = ajusta(m) + ":: " + s ‘Toma nota del número de soluciones

escateto = s

End Function

 

Esta función es razonablemente rápida, y eso que pueden aparecer más de 20 soluciones frecuentemente.

 

Un ejemplo: ¿De cuántas ternas pitagóricas es cateto el número 812?

Resultan trece ternas con cateto 812:

13:: +164837^2-164835^2 +82420^2-82416^2 +41213^2-41205^2 +23555^2-23541^2 +11788^2-11760^2 +5915^2-5859^2 +5713^2-5655^2 +3413^2-3315^2 +2900^2-2784^2 +1780^2-1584^2 +1537^2-1305^2 +1037^2-645^2 +1015^2-609^2

Se puede comprobar alguna, y la diferencia de cuadrados deberá ser 659344, el cuadrado de 812.

Es evidente que el posible cateto deberá ser un número tal que su cuadrado sea compuesto y que sea producto de un par de divisores de la misma paridad, como veremos más adelante. Esta condición la cumplen todos los números enteros positivos. Por esa razón todos pueden ser catetos.

En esta captura de pantalla de un rango elegido al azar se observa que todos los números naturales pueden ser catetos, pero que los números primos sólo lo son una vez:

 

Llaman la atención las 40 soluciones de 2208.

Otro procedimiento

El protocolo elegido es el más rápido, pero se puede usar un argumento sencillo y popular para encontrar las soluciones.

La idea es muy simple:

Si N²=a²-b²=(a+b)(a-b), los paréntesis han de ser de la misma paridad, llamémosles m y n respectivamente, ya que a=(m+n)/2 y b=(m-n)/2, y ambos han de ser enteros. Entonces la búsqueda de soluciones se reduce a encontrar productos de dos factores, ambos pares o ambos impares, con resultado N².

Esta idea daría lugar a otra función parecida a la anterior:

Function escateto2$(n)

Dim s$

Dim k, b, m, a, nn, kk

 

s = ""

m = 0

nn = n * n

For k = 1 To nn

If nn / k = nn \ k Then

kk = nn / k

If k > kk And (k - kk) Mod 2 = 0 Then ‘Aquí se exige misma paridad

a = (k + kk) / 2: b = (k - kk) / 2

m = m + 1

s = s + "+" + ajusta(a) + "^2-" + ajusta(b) + "^2" + " "

End If

End If

Next k

s = ajusta(m) + ":: " + s

escateto2 = s

End Function

 

Probamos la función con el anterior ejemplo, 812:

13:: +1015^2-609^2 +1037^2-645^2 +1537^2-1305^2 +1780^2-1584^2 +2900^2-2784^2 +3413^2-3315^2 +5713^2-5655^2 +5915^2-5859^2 +11788^2-11760^2 +23555^2-23541^2 +41213^2-41205^2 +82420^2-82416^2 +164837^2-164835^2

Obtenemos los mismos trece resultados.

Casos particulares

Primos impares

Los números primos impares presentarán siempre un resultado, pues, si llamamos p al primo, su cuadrado p² tendrá tres divisores, 1, p y p², con lo que el único par a, b con a>b y de la misma paridad será 1 y p². Las soluciones serán, pues, a=(p²+1)/2 y b=(p²-1)/2. En la siguiente imagen se observa esto en un pequeño rango de primos:

Semiprimos impares no cuadrados

Los números de este tipo son producto de dos primos impares distintos, p₁ y p₂. Sus divisores serán 1, p₁, p₂ y p₁p₂. Los divisores de su cuadrado serán 1, p₁, p₂, p₁p_2, p₁², p₂², p₁p₂², p₂p₁², p₁²p₂², nueve divisores, que dan lugar a cuatro pares de productos con factores distintos de igual paridad. Por ejemplo, 15 y 35 se descomponen así:

15     4:: +113^2-112^2 +39^2-36^2 +25^2-20^2 +17^2-8^2

35     4:: +613^2-612^2 +125^2-120^2 +91^2-84^2 +37^2-12^2

Dejo como ejercicio sencillo razonar que los semiprimos no cuadrados pares presentan una descomposición:

14     1:: +50^2-48^2

26     1:: +170^2-168^2

Los semiprimos cuadrados se descomponen de una forma el 4 y de dos los impares.

4       1:: +5^2-3^2      

49     2:: +1201^2-1200^2 +175^2-168^2       

169   2:: +14281^2-14280^2 +1105^2-1092^2        

Las potencias de un primo tienen tantas descomposiciones como indique su exponente:

3       1:: +5^2-4^2      

9       2:: +41^2-40^2 +15^2-12^2

27     3:: +365^2-364^2 +123^2-120^2 +45^2-36^2

81     4:: +3281^2-3280^2 +1095^2-1092^2 +369^2-360^2 +135^2-108^2  

243   5:: +29525^2-29524^2 +9843^2-9840^2 +3285^2-3276^2 +1107^2-1080^2 +405^2-324^2   

Hay que recordar que se debe razonar sobre el cuadrado del número propuesto.

Esta función de número de descomposiciones no es multiplicativa, por lo que no es útil descomponer N en factores y contar uno por uno para luego multiplicar.

Un ejemplo:

4       1:: +5^2-3^2                                                   

9       2:: +41^2-40^2 +15^2-12^2                                              

36     7:: +325^2-323^2 +164^2-160^2 +111^2-105^2 +85^2-77^2 +60^2-48^2 +45^2-27^2 +39^2-15^2

Dejo aquí los casos particulares

Fórmula general

Lo que sigue es una adaptación de mi estudio contenido en https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/01/numero-de-descomposiciones-en.html

En él se explican todos los casos de descomposición en diferencia de cuadrados, pero al no ser hipotenusa y cateto, se admite el caso en el que b=0. Bastará restar una unidad a la fórmula general para cuadrados, o, preferiblemente, corregir la función que se propone, restando 1 al final. Se copia a continuación:

Public Function numcatetos(n)

Dim p, q, r, s, t, nm

 

q = n * n: p = 0

While q Mod 2 = 0: q = q / 2: p = p + 1: Wend 'Extraemos la potencia de 2

If p = 1 Then nm = 0: Exit Function 'Caso imposible

'q es la parte impar

If q = 1 And p > 1 Then nm = Int((p - 1) / 2) + (p - 1) Mod 2

'Es potencia de 2 pura

If p = 0 And q > 1 Then t = fsigma(q, 0): nm = Int(t / 2) + t Mod 2

'Es un número impar

If p > 1 And q > 1 Then t = fsigma(q, 0): nm = t * Int((p - 1) / 2) + ((p - 1) Mod 2) * (Int(t / 2) + t Mod 2)

numcatetos = nm - 1

'Tiene parte par y parte impar

End Function

 

Con esta función doy por terminado el tema del número de ternas pitagóricas que produce un número dado, tanto como hipotenusa como siendo un cateto.

¿En cuantas ternas pitagóricas? (1)

No todos los números naturales pueden ser hipotenusas o catetos en una terna pitagórica. Por ejemplo, el 23 no es ni uno ni otro. Otros números pertenecen a varias ternas distintas, como ocurre, por ejemplo, con el número 27925, que es hipotenusa en siete ternas y cateto en una:

Como hipotenusa: 27925^27=2004^2+27853^2=5875^2+27300^2=7819^2+26808^2=11680^2+25365^2=13284^2+24563^2=16755^2+22340^2=18315^2+21080^2

Como cateto: 27925^2=72605^2-67020^2

¿De qué depende esto?

Lo veremos por separado, ya que necesitamos teorías distintas.

Un número como hipotenusa

Estudio teórico

En entradas anteriores de mi blog se ha estudiado bien la descomposición de un número en suma de cuadrados. Recientemente he encontrado un documento que lo explica claramente:

https://www.math.purdue.edu/~jlipman/MA598/sums-of-two-squares.pdf

En nuestro caso, el número a descomponer es el cuadrado de la hipotenusa, por lo que se le puede aplicar tres criterios contenidos en el mismo. Si descomponemos N en sus factores primos resultará:

El factor 2 no influye en el número de cuadrados y se puede ignorar. La razón, según se explica en el documento, es la igualdad

(x+y)²+(x-y)² = 2(x²+y²)

La primera suma es par, luego los dos cuadrados tienen la misma paridad, lo que justifica que se puedan expresar como suma y diferencia de dos números naturales. Según el segundo miembro, su mitad también será una suma de cuadrados. Así que podemos dividir el número a estudiar entre 2 todas las veces que deseemos, porque el número de sumas de cuadrados no cambiará.

Los factores primos del tipo 4k+3, que suelen impedir la descomposición en dos cuadrados, figurarán todos con exponentes pares, por ser un cuadrado, por lo que, según la teoría, tampoco impiden la descomposición, y tampoco aportan nuevas soluciones. Se pueden ignorar.

Los factores del tipo 4K+1 son los que facilitan la descomposición en suma de dos cuadrados, y según el documento citado (siguiendo a Gauss) producirán un número de resultados dado por la fórmula

(La imagen es un recorte del documento)

Nos interesa el caso inferior, aplicable a cuadrados. En la fórmula, e_r es el exponente de un factor primo del tipo 4K+1, únicos que nos interesan.

Sólo serán hipotenusas de ternas pitagóricas los números que contengan factores del tipo 4k+1.

El número de ternas de las que puede ser hipotenusa un número dado sólo depende de la signatura prima (conjunto de exponentes) y no de los números primos presentes (si son del tipo 4K+1)

Lo aplicamos al ejemplo 27925. Su descomposición factorial es 5²*1117. Ambos primos son del tipo 4K+1, luego nos interesan los exponentes de su cuadrado, que serían 4 y 2 respectivamente. Luego, por la fórmula de la imagen de más arriba:

S(n)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Ese fue el número de sumas de dos cuadrados (y por tanto ternas pitagóricas) que figuran al principio de este estudio.

Probaremos con otro ejemplo: 1980=2²*3²*5*11.

En su cuadrado no influirán los factores 2, 3 ni 11 (el 2 y los del tipo 4K+3), luego sólo usaremos los exponentes del cuadrado de 5, es decir:

S(1980)=((2+1)-1)/2=1

En efecto, usando una función que se presentará más adelante se obtiene el resultado

1:: =1188^2+1584^2

Obtención de las sumas de cuadrados

La siguiente función en VBasic resuelve la búsqueda de esas sumas. En ella se va formando un cuadrado como suma de impares, la variable k.

Function espitag(n) As String

Dim k, p, d, m

Dim s$

 

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Contador de sumas

k = 1: p = 3 ‘Inicio de los cuadrados mediante suma de impares

While k < n * n / 2 ‘Probamos el primer cuadrado de la suma

d = n * n – k ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(d) Then ‘Nueva solución para la suma de cuadrados

m = m + 1

s = s + "=" + ajusta(Sqr(k)) + "^2+" + ajusta(Sqr(d)) + "^2"

End If

k = k + p: p = p + 2 ‘Siguiente cuadrado

Wend

espitag = ajusta(m) + ":: " + s

End Function

Esta función te devuelve el listado de soluciones. Lo vemos con un ejemplo:

1950=2*3*5^2*13

Si le aplicamos la función nos devuelve

S(1950)=7::216^2+1938^2=480^2+1890^2=546^2+1872^2=750^2+1800^2=990^2+1680^2=1170^2+1560^2=1224^2+1518^2=2*3*5^2*13

Son siete sumas de cuadrados. Según la teoría, la justificación es el cálculo S(1950)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Hemos ignorado el 2 y el 3, y usado los exponentes del cuadrado de 5^2 y 13.

La ventaja de la función es que nos da el número de sumas y el listado de las mismas.

¿Qué números pueden resultar al contar ternas?

Según lo visto, cualquier número natural puede ser el resultado de contar ternas. Esto es así por la forma de calcularlo.

Sea un número cualquiera K. Si lo multiplicamos por 2 y añadimos 1, nos resultará un número impar, que se podrá igualar al producto de paréntesis de la fórmula empleada. Como trabajamos con exponentes, bastará usar bases del tipo 4K+1. Lo vemos con un ejemplo:

¿Qué números producirán trece ternas distintas?

Multiplicamos 13 por 2 y añadimos 1, con lo que obtenemos 27, que se puede descomponer en 3*3*3. Esos factores provienen de exponentes del cuadrado (que serían 2), por lo que basta multiplicar tres números primos del tipo 4K+1, por ejemplo, 5*13*17=1105. Le aplicamos la función y queda:

S(1105) 13:: =47^2+1104^2=105^2+1100^2=169^2+1092^2=264^2+1073^2=272^2+1071^2=425^2+1020^2=468^2+1001^2=520^2+975^2=561^2+952^2=576^2+943^2=663^2+884^2=700^2+855^2=744^2+817^2

Otro ejemplo: ¿Cuándo resultarán ocho ternas?:

8*2+1=17, que es primo, luego la única posibilidad es que se trate de la potencia octava de un primo del tipo 4K+1. Usamos las más pequeña, 5^8=390625, con el resultado de ocho ternas:

S(390625) 8:: =29625^2+389500^2=80620^2+382215^2=109375^2+375000^2=137500^2+365625^2=164833^2+354144^2=210000^2+329375^2=234375^2+312500^2=257400^2+293825^2

Primos del tipo 4K+1

Un caso especial lo constituyen los números que son primos del tipo 4K+1, también llamados primos pitagóricos. Como son muy interesantes, les dedicaré un estudio especial cuando se termine el tema actual.

Catetos de una terna

Esta entrada se ha alargado algo, y continuaré en la siguiente con el tema de los catetos y algún otro.

Simétricos de un esfénico

En esta entrada estudiaremos la relación entre los factores primos de un número esfénico y los de su simétrico, el que posee cifras simétricas a las de ese número en el sistema de numeración decimal.

Números esfénicos

Los números esfénicos son los que poseen tres factores primos distintos, como se explica en este mismo blog.

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/09/blog-post.html)

En muchos lenguajes de programación se define la función OMEGA como el total de factores primos distintos que posee un número, y BIGOMEGA, al mismo total si se cuentan los primos repetidos. Esto nos da un criterio para conocer si un número N es esfénico, y es que OMEGA(N)=3 y BIGOMEGA(N)=3. Así se “prohíbe” que se repitan primos. Lo expresamos en lenguaje PARI:

print(omega(42)==3&&bigomega(42)==3)

En el caso del 42=2*3*7, no se cumple la propiedad que buscamos en el simétrico, porque 24=2*2*2*3. Sin embargo, 165=3*5*11 daría lugar a 561=3*11*17, con lo que el simétrico es también esfénico.

Aquí ya se ha usado la función ESFENICO, que detecta si un número es de esta clase:

Public Function esfenico(n) As Boolean

Dim a, b, c, d, m

 

m = 0

a = 2

While a <= n / 2 And m = 0

If esprimo(a) And n Mod a = 0 Then

b = n / a

If Not esprimo(b) Then

c = a + 1

While c <> a And c <= b / 2 And m = 0

If esprimo(c) And b Mod c = 0 Then

d = b / c

If esprimo(d) And d <> c And d <> a And a <> c Then m = 1

End If

c = c + 1

Wend

End If

End If

a = a + 1

Wend

 

If m = 1 Then esfenico = True Else esfenico = False

End Function

Con esta función podemos detectar qué números siguen siendo esfénicos al invertir sus cifras. No consideraremos los capicúas. Basta usar la condición

ESFENICO(N) AND ESFENICO(CIFRAINVER(N)) AND NOT ESCAPICUA(N)

Con ella descubrimos los esfénicos cuyo simétrico también lo es. Los recogemos en esta tabla:

En los corchetes, el 1 es el exponente del primo correspondiente.

Están publicados en https://oeis.org/A270175

En esa sucesión les llaman Cinehps numbers, buscando la palabra simétrica a la de sphenic. En español podrían llamarse ocinefse, pero es una palabra poco atractiva, por lo que no la usaré.

Dentro de esta sucesión podríamos extraer ejemplos múltiplos de un semiprimo determinado, como sería el 15. Observaremos que no son escasos:

Esta tabla nos sugiere que cada semiprimo posee una lista de primos, aquí 11, 19, 29, …, que le hacen poseer la propiedad que estamos tratando. Parece que todos los semiprimos la poseerán, pero dejamos esta posibilidad para quien desee estudiarla.

En los comentarios a esa sucesión se hace notar que un múltiplo de 10 sólo pertenecería a ella si el primo N/10 es simétrico de un esfénico. Esto nos abre una puerta a otros casos.

Primos simétricos de esfénicos

Podemos cambiar la exigencia de que el número sea esfénico por el de que sea primo. Sería un pequeño cambio fácil de realizar, y seguiríamos sin contar con los capicúas. El resultado sería:

Están publicados en https://oeis.org/A271799

Por ejemplo, si 269 lo multiplicamos por 10, lo convertiremos en esfénico, y su simétrico, 0962=962, también lo sería.

Ya puestos a buscar casos, podríamos emparejar semiprimos con esfénicos.

 

Semiprimos simétricos de esfénicos

Como ejemplo de las búsquedas que se pueden desarrollar buscamos los números semiprimos que se convierten en esfénicos al invertir sus cifras. Un sencillo cambio de definición los consigue. El resultado es

No parecen estar publicadas las dos sucesiones.

Antidivisores

Todo número entero positivo N (he excluido los negativos porque no tienen interés en este estudio) posee divisores. Si es primo, serán el 1 y él mismo, y, en otro caso, presentará todo un conjunto de divisores (ver mi entrada de blog

https://hojaynumeros.blogspot.com/2011/11/el-conjunto-de-los-divisores.html).

Siempre existirán números enteros positivos menores que N que no sean divisores de él (salvo el caso de 2). A estos números les llamamos no divisores de N, como sería, por ejemplo, N-1.

Podemos considerar un divisor de N como un número K tal que al conjunto K, 2K, 3K, 4K, ... pertenece N. Esto parece trivial, pero si aplicamos la idea a un no divisor, esa sucesión sobrepasará N, y alguno de los múltiplos de K será el más cercano a N. Unos quedarán muy “cerca” de N, como, por ejemplo, si N=21, su no divisor 5, acercará un múltiplo a una unidad de él, ya que 21=4*5+1.

Un antidivisor K de N se define como el no divisor que se “acerca” a N dejando intervalos iguales entre N y dos múltiplos consecutivos de K. Por ejemplo, 10 es un antidivisor de 55, porque no es divisor de él, pero 55 equidista de dos de sus múltiplos: 50<55<60, con 55-50=60-55. Una ligera reflexión nos indica que si K es impar, no es posible la equidistancia, y se permite una diferencia de 1.

La aproximación intuitiva anterior se puede concretar en la siguiente definición, que se aplica de forma distinta si K es par o si es impar:

Si K es par y no divisor de N, será antidivisor si N MOD K=K/2

Si K es impar, diremos que es antidivisor de N si N MOD K=(K±1)/2

Por esta simetría en los dos intervalos, también se llama no divisores insesgados a los antidivisores.

Unos ejemplos: 14 es antidivisor de 147, porque los múltiplos de 14 140 y 154 rodean a 147 con 7 unidades a cada lado: 147-14*10=14*11-147. Más directo, 147 MOD 14=14/2

El número impar 7 es antidivisor de 25, porque lo rodea con un intervalo de 3 y otro de 4: 25-7*3=4 y 7*4-25=3. También; 25 MOD 7 = INT(7+1).

Los antidivisores como divisores

Las ideas anteriores se pueden expresar mediante otras expresiones.

En el caso par podemos considerar que N=K(m+1/2), siendo m un número natural apropiado. Multiplicando por 2, obtenemos: 2N=K(2m+1), lo que nos lleva a que K no es divisor de N pero sí de su doble. En el ejemplo de 10 como antidivisor de 55 obtendríamos que 2*55=10*11, con lo que 10 divide a 2*55

En el caso impar, N=Km+(K+1)/2 o bien N=Km+(K-1)/2, lo que nos lleva a que 2N-1=K(2m+1) o bien 2N+1=K(2m+1). Por ejemplo, en el caso de 7 como antidivisor de 25, quedaría 2*25-1=7*7, lo que confirma a 7 como divisor de 2*25-1. Si tomáramos 17 como antidivisor de 25 (ya que 25 está comprendido entre 17*1 y 17*2=34 con las diferencias 25-17=8 y 34-25=9), este sería divisor de 2*25+1=51=17*3.

Los párrafos anteriores nos permiten definir los antidivisores de otra forma:

Un número K es antidivisor de N cuando no es divisor del mismo, pero sí lo es de 2N o 2N+1 o 2N-1.

Es otra de definición sin acudir a la Aritmética Modular.

Vemos un ejemplo: más adelante sabremos que los antidivisores de 13 son 2, 3, 5 y 9. Es fácil encontrarlos, pues recorremos los no divisores de 13 y nos quedamos con los que dividen a 26, o 27 o 25: 2 divide a 26, 3 divide a 27, 5 a 25 y 9 a 27. Hemos desechado el 4, porque no divide a ninguno de los tres, y también al 6, al 7 y a todos los que faltan.

Un sencillo criterio

Según lo anterior, bastará comprobar que K no divide a N, pero sí a uno de los tres siguientes, 2N, 2N+1 o 2N-1.

Con este criterio es fácil encontrar los antidivisores de un número.

Si usamos la función MOD, para encontrar restos, el criterio se puede expresar así:

 n Mod k <> 0 And ((2 * n) Mod k = 0 Or (2 * n + 1) Mod k = 0 Or (2 * n - 1) Mod k = 0)

Si se desea integrarlo en una celda de hoja de cálculo, bastará usar la función RESIDUO.

Este criterio permite encontrar todos los antidivisores de un número mediante esta función tipo string:

Function antidivisores$(n)

Dim i, m

Dim s$

 

s$ = " "’ Contenedor de antidivisores

m = 0 ‘Contador

For i = 2 To n – 1 ‘Rango de antidivisores

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then ‘Criterio

m = m + 1

s = s + Str$(i) ‘Un nuevo antidivisor

End If

Next i

s = ajusta(m) + ": " + s ‘Se añade contador

antidivisores = s

End Function

 

Podemos aplicar esta función a cualquier número entero positivo, y el primer número será el contador. Por ejemplo, aplicado al 63 nos devuelve

 

ANTIDIVISORES(63)= 7:   2 5 6 14 18 25 42

Indica que posee siete antidivisores y añade su listado. Puedes comprobarlo en OEIS, con la búsqueda “anti-divisors”.

 

Con esta herramienta podemos buscar números con un número determinado de antidivisores. Bastará leer los primeros dígitos. Vemos unos ejemplos:

 

Con un antidivisor:

Resultan muy escasos, porque siempre se esperan más antidivisores. Puedes consultar https://oeis.org/A066466 para más detalles sobre estos números. El siguiente es 393216. Se les puede llamar antiprimos.

 

Con dos

 

Tampoco son frecuentes. Los primeros son:

 

Puedes consultar https://oeis.org/A066467

 

El mayor antidivior

 

Ya sabemos que el antidivisor no debe ser divisor de N, pero sí de uno de los tres 2N, 2N+1 o 2N+2. Para que D sea el mayor antidivisor, el cociente respecto a uno de los tres deberá ser pequeño. El mejor candidato es el 3. Así, si D divide a 2N, su valor máximo será 2N/3. Si no divide a 2N, lo hará a 2N+1 o 2N+2, con lo que podemos afirmar que

 

El mayor antidivisor de un número N se situará en las cercanías de 2N/3.

 

Si modificamos la función ANTIDIVISORES, es sencillo encontrar el mayor antidivisor de un número. Podría ser esta:

 

Function max_antidivisor(n)

Dim i, m

 

m = 1

For i = 2 To n - 1

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then m = i

Next i

max_antidivisor = m

End Function

 

Se puede comprobar formando una tabla de cocientes D/N. En la siguiente tabla se ha recorrido un rango de número elegido al azar:

 

 

Todos los cocientes son cercanos a 2N/3.

 

¿De qué números soy antidivisor?

 

Podemos plantearnos una búsqueda inversa, y es que dado un número entero positivo K, es posible construir una lista de los números de los que es antidivisor. La solución es trivial:

Si K es par, será antidivisor de aquellos números N que cumplan N=K(m+1/2), y si es impar, de los que cumplan, N=Km+(K+1)/2 o bien N=Km+(K-1)/2. Esto tiene dos consecuencias sencillas:

 

El conjunto de números con el mismo antidivisor K será una progresión aritmética si K es par, y contendrá elementos consecutivos si es impar. En ambos casos será un conjunto infinito.

 

Por ejemplo:

Para K=8, el conjunto será {12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100, 108, 116, 124, 132, 140, 148, 156, …}

 

Para K=7, tendremos {10, 11, 17, 18, 24, 25, 31, 32, 38, 39, 45, 46, 52, 53, 59, 60, 66, 67, 73, 74, 80, 81, 87, 88, 94, 95, 101, 102}

 Funciones sobre el conjunto de antidivisores

Al igual que con divisores, se pueden definir sumas y cuentas sobre el conjunto de antidivisores, que serían A_SIGMA, A_TAU, A_SIGMA2, …

Por ejemplo, la suma de antidivisores se podría programar así:

Function a_sigma(n)

Dim i, m

 

 

m = 0 'sumador

For i = 2 To n - 1 'Rango de antidivisores

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then m = m + i

Next i

a_sigma = m

End Function

 Así, a_sigma(63)=112

A partir de esa función se pueden definir números antiperfectos, como son 5, 8, 41, 56, 946.

De igual forma se definiría a_tau y otras.