miércoles, 30 de diciembre de 2009

Propiedades del número 2010 (2)

Siguen las propiedades del número 2010

(3) Sumando las cifras de su indicador de Euler resulta el número de sus divisores propios
Se descompone como 2010 = 2.3.5.67, y al ser los cuatro distintos producen 16 divisores, 15 de ellos propios. Es coprimo con 528 números menores que él (indicador de Euler) y sumando sus cifras obtenemos el número de divisores (15) ¿Qué próximos años tendrán la misma propiedad?

(4) Se descompone en tres cuadrados de ocho formas distintas:

2010= 12+282+352 = 42+252+372= 52+72+442= 52+312+322=72+192+402= 112+172+402= 152+232+352 = 192+252+322

(5) Igualmente, se descompone en tres triangulares de once formas distintas:

2010 = 6+351+1653 = 21+36+1953 = 21+861+1128 = 28+91+1891 = 36+378+1596 = 105+630+1275 = 120+120+1770 = 136+496+1378 = 190+595+1225 = 300+435+1275 = 595+595+820

(6) Es un número poligonal de 21 lados, un 21-gonal,
(visto en http://www.virtuescience.com)

Soluciones a las cuestiones de la entrada anterior:

(1) Quedan 81 (34) menos 58, es decir, 23.

(2) Basta resolver la ecuación 2010=NB+N=N*(B+1). Recorriendo los divisores de 2010 llegamos a los valores de B: 66, 133, 200, 334, 401, 669, 1004 y 2009

Se escribe como 181 en base 41, porque 2010 = 412 + 8*41 + 1

lunes, 28 de diciembre de 2009

Propiedades del número 2010 (1)

Otro año más, el segundo para este blog. Le damos la bienvenida al año 2010 descubriendo algunas de sus propiedades:

(1) Es el número que ocupa el lugar 58 de todos los que se pueden escribir usando sólo las cifras 0, 1 y 2 ¿Cuántos números más existen de ese tipo, mayores que 2010, hasta llegar a 10000?

(2) El número 2010 se escribe como capicúa de dos cifras en ocho bases de numeración distintas. Una es b=66, porque 2010=66*30+30, es decir, se escribe como NN en base 66 si tomamos N=30. ¿Cuáles son las otras siete?

También se escribe como capicúa de tres cifras en una cierta base ¿En cuál?

Soluciones en la siguiente entrada

viernes, 25 de diciembre de 2009

¿Quién nos conoce?

Ayer oí en una emisora de gran audiencia calificar a Einstein como “el matemático más grande de la Historia”. Quien lea su biografía sabrá que tuvo dificultades para expresar sus dos teorías de la Relatividad en lenguaje matemático. En la Especial, fue Minkowski quien creó las herramientas más adecuadas para expresarla, y en la General, por consejo de Grossmann, tuvo que acudir a la geometría de Riemann, con gran esfuerzo de comprensión y estudio. Este detalle no merma en absoluto su genio, que sí ha sido uno de los más destacables de la Historia, pero no como matemático.

Esta anécdota me ha hecho reflexionar sobre lo poco que sabe el público sobre la actividad de quienes nos dedicamos a las Matemáticas. No tenemos Premio Nobel, no se sabe en qué cuestiones se trabaja actualmente y a nadie emociona los logros fundamentales de esta disciplina. Si le contamos a alguien la noticia de la demostración de la conjetura de Poincaré, temeremos que nos pregunte que de qué va esa conjetura, porque ¿cómo explicarle que afirma que “la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto” (texto tomado de la Wikipedia)?

Lo tenemos difícil.

Cuando aparecen matemáticos en la televisión o el cine (por cierto, casi siempre varones) se diseñan sus personajes como seres extraños, de conducta caprichosa, y a menudo relacionados con problemas de autismo. Yo dejé de ver una serie de televisión por ese motivo. Por el contrario, el tratamiento que hace Amenábar sobre la figura de Hypatia de Alejandría en su película “Ágora” me pareció mucho más ponderado y cercano a lo que tuvo que significar su figura. Es la excepción, porque al ver otras películas se nos puede quitar el deseo de tener un amigo o una amiga matemáticos.

¿Qué podemos hacer?

Me temo que muy poco. Nuestra principal virtud, que es la de querer demostrarlo todo (casi todo), tampoco es muy bien entendida. Por ejemplo, si la conjetura de Goldbach está comprobada hasta llegar a exprimir toda la potencia de nuestros ordenadores, ¿por qué nos empeñamos en demostrarla?

En este blog tenemos el mismo problema. Al usar la hoja de cálculo, es relativamente fácil encontrar números que cumplan una condición, pero siempre intentamos demostrar después lo que aparece claramente en la pantalla del ordenador. Es muy estimulante programar un código que nos resuelva un problema, pero nunca queremos quedarnos ahí. Hay que probarlo, e incluso a veces "damos vueltas" al problema.

Esta pretensión de obtener una demostración, así como nuestra manía de generalizarlo todo, sabemos que nos separa un poco de la gente no matemática. ¿Es un precio muy alto el que pagamos? Que cada cual juzgue.

jueves, 24 de diciembre de 2009

Suma de tres números triangulares

En 1796, Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares. Estos pueden ser iguales, y si consideráramos el 0 como triangular, podríamos afirmar que todo número natural es suma de tres triangulares.

Un ejercicio interesante es el de descubrir un algoritmo que los encuentre. Para hacerlo más formativo podemos basarnos en dos funciones, una para descubrir si un número es triangular y otra que nos devuelve el mayor triangular mayor o igual que un número dado.

Función estriangular
Si un número N es triangular verificará igualdad N=x(x+1)/2, con x y N ambos enteros, lo que obliga a que 8*N+1 sea cuadrado perfecto ¿por qué?. Esto nos lleva a este código:

Public function estriangular(n) as boolean
dim a

a = Int(sqr(8*n+1))

if a*a=8*n+1 then estriangular = true else estriangular = false
end function

Función mayortriang

Para encontrar el mayor triangular contenido en un número N bastará resolver la ecuación N=x(x+1)/2 truncando el resultado a un número entero. Así que quedará:

Public Function mayortriang(n)
dim a
a = Int((sqr(8*n+1)-1)/2)
mayortriang=a*(a+1)/2

end function


Con esto ya tenemos preparado un algoritmo para OpenOffice.org Calc (fácilmente adaptable a Excel) que encuentre todas las descomposiciones en tres triangulares (incluido el cero):

Sub sumatriangulares
Dim i,j,k

dim a,b
i=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,3).value (se supone que el número se escribe en la celda D4)
a=mayortriang(i)
for j=0 to a (se recorren los valores posibles del primer sumando)
if estriangular(j) then
b=mayortriang(i-j)

for k=j to b
(se recorren los valores posibles del segundo sumando)
if estriangular(k) then
if estriangular(i-j-k) and i-j-k>=k then (el tercer sumando ha de ser triangular)
msgbox(j) (se presenta el resultado)
msgbox(k)

msgbox(i-j-k)
end if

end if

next k

end if
next j

End Sub


Pues ánimo y a implementarlo. Puedes añadir una variable que cuente todas las formas de descomposición que tiene un número. Por ejemplo, entre los de tres cifras hay uno que admite 24 sumas distintas de triangulares ¿Cuál?

sábado, 19 de diciembre de 2009

Primos, semiprimos y casi primos (3)

¿Podríamos conseguir que cualquier número nos transmitiera dos números de forma simultánea sin ninguna ambigüedad, como ocurre con los semiprimos? La respuesta es afirmativa.

Observa estas factorizaciones: 24=4*6, 144=12*12, 600=24*25, 72=8*9,…

Los factores están elegidos de tal forma que dado un número (no necesariamente semiprimo) puedas adivinar qué factores te desean transmitir. Por ejemplo, ¿qué factores te transmite 120? Si has adivinado el método, sabrás que se trata de 120=10*12.

La idea es descomponer un número natural cualquiera en dos factores de forma que su diferencia sea mínima, escribiendo por convenio el menor delante del mayor.

¿Es única esta representación? Intenta demostrarlo o razonarlo.

Podemos llamar categoría rectangular C de un número N (la denotaremos por C(N) ) a la mínima diferencia (en valor absoluto) existente entre a y b al recorrer todas las factorizaciones de dos factores, es decir la diferencia entre el par de factores que se han propuesto aquí. Por ejemplo C(600)=25-24=1, C(120)=12-10=2, C(23)=23-1=22

Los números con C(N)=0 serán los cuadrados, y los de C(N)=1 los oblongos. En los números primos se cumplirá que C(p)=p-1

En la dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm

puedes consultar una curiosa relación de la función C(N) con la espiral de Ulam.

miércoles, 16 de diciembre de 2009

Primos, semiprimos y casi primos (2)

Las definiciones de semiprimo y k-casi primo nos permiten crear clases de equivalencia en los números naturales. Al conjunto de todos los k-casi primos se le representa por Pk. Así, P1 estará formado por los números primos, P2 por los semiprimos, P3 por los 3-casi primos, etc.

Conseguir esta clasificación con hoja de cálculo requiere partir de un algoritmo de factorización de números naturales (sólo consideraremos un nivel elemental) e incluirle un contador de factores primos.

La siguiente tabla se ha conseguido con un algoritmo de este tipo:

P1 P2 P3 P4 P5 P6
2 4 8 16 32 64
3 6 12 24 48 96
5 9 18 36 72 144
7 10 20 40 80 160
11 14 27 54 108 216
13 15 28 56 112 224
17 21 30 60 120 240
19 22 42 81 162 324
23 25 44 84 168 336
29 26 45 88 176 352

La primera columna está formada por primos, la segunda por semiprimos, la tercera por 3-casi primos, y así hasta k=6. Una curiosidad divertida es la de seguir la secuencia natural de números 1, 2, 3, 4, … en esta tabla e interpretar sus oscilaciones.

El núcleo del algoritmo es el de averiguar k, es decir, el número de factores primos de un número.

Copiamos a continuación las líneas fundamentales de este algoritmo:

Se supone que n es el número, f el factor primo que se va probando y m el contador que recogerá el número de factores:

f=1 (se comienza con factor 1)
while n>1 (esta condición controla el final del algoritmo)
f=f+1 (se prueba otro número)
while n/f=int(n/f) (se pregunta si ha encontrado un divisor)
m=m+1 (si es divisor, aumenta el contador)
n=n/f (se divide el número entre el divisor encontrado para acelerar la búsqueda)
wend wend
msgbox(m) (se comunica el resultado)

Es evidente que este algoritmo se ralentiza en cuanto n es un número de bastantes cifras, y de ahí la utilidad de los semiprimos en ciertas codificaciones.

domingo, 13 de diciembre de 2009

Primos, semiprimos y casi primos (1)

Un número natural N es k-casi primo para otro natural k dado si la descomposición factorial de N contiene exactamente k números primos iguales o diferentes. Así, 27 es 3-casi primo, porque 27 =3*3*3, 225 es 4-casi primo, dado que 225 = 3*3*5*5.

Para k=1 tendremos los números primos, con un solo factor.

Para k=2 serán 2-casi primos los semiprimos, que son producto de dos factores primos, como 15=3*5, o 77=7*11.

Averiguar si un número es semiprimo equivale a descubrir sus dos factores, pero si estos son muy grandes, la operación puede exigir varios años de cómputo en un ordenador potente. Por ello se usan en el método RSA de encriptación de datos mediante claves públicas y privadas.

Profundizando algo más en el tema, con unos sencillos convenios se puede considerar que un número semiprimo nos da dos informaciones distintas de manera única. Por ejemplo, si convenimos en que cada número que recibamos por algún medio se considere como un producto de filas y columnas, con el número de filas no superior al de columnas, al recibir un número semiprimo podremos construir un rectángulo (una matriz) a partir de él de forma única.

Por ejemplo, si recibimos el número 91, lo podemos interpretar de forma única como el rectángulo 7*13. Es evidente que esto no ocurre con los demás números, como por ejemplo 63, que puede representar 7*9 o 3*21.

Esta propiedad permite transmitir ciertas informaciones de forma lineal simple. Si se recibe una serie de 35 dígitos como 27366524358291002738296634283912836, con el convenio anterior nos han enviado esta matriz:

2736652
4358291
0027382
9663428
3912836

jueves, 10 de diciembre de 2009

Teoría de las fracciones continuas

Si te han interesado los temas que hemos desarrollado (con la brevedad propia de un blog) sobre fracciones continuas, te ofrecemos un documento que expone la teoría de una forma sistemática y muy bien presentada.

Es un trabajo que nos ha enviado nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío, que ya ha publicado comentarios muy interesantes en este blog.

Lo podéis descargar desde la dirección

http://www.hojamat.es/parra/fraccon.pdf

¡Buen aprendizaje!

lunes, 7 de diciembre de 2009

Exploración de las soluciones de una ecuación diofántica

Esta propuesta, más que de Matemáticas, es de uso de una hoja de cálculo. Consiste en crear un instrumento que nos permita explorar las soluciones de una ecuación diofántica de dos variables (eventualmente tres). Por ejemplo, la solución más pequeña, con enteros positivos, de la ecuación x3+y4 = z5 está formada por potencias de 2. ¿Cómo comprobarlo con una hoja de cálculo?

Proponemos una estructura sencilla, como la de la imagen, en la que las posibles soluciones de X están situadas en la primera fila y las de Y en la primera columna, con los valores que deseemos darles, tanto en cantidad como en tipo de números:

El secreto de este instrumento es la fórmula que escribimos en la celda C4, y que después extenderemos a toda la tabla. En la imagen se ha programado la búsqueda de soluciones enteras positivas para la ecuación 3X+2Y=17. Se ha escrito en C4 la fórmula =SI(2*$B4+3*C$3=17;"SI";""). Obsérvese el uso del signo “$” para que al extender la fórmula a toda la tabla se respete la columna B y la fila 3.

Con esta fórmula, cuando 3X+2Y sea igual a 17, aparecerá la palabra “SI” y en caso contrario quedará en blanco.

En este ejemplo, como en todas las ecuaciones lineales, se observa que las soluciones forman sucesiones aritméticas (se sitúan en línea recta) : X=1, X=1+3=4; X=4+3=7 Y=5; Y=5-2=3; Y=3-2=1 Esta observación es muy útil si se usa en el aula.

Se incluyen a continuación algunas propuestas por si deseáis construiros vuestro propio explorador:

(1) El ejemplo anterior de x3+y4=z5 necesitaría una fórmula tan complicada como esta:

=SI(($B4^3+C$3^4)^(1/5)=ENTERO(($B4^3+C$3^4)^(1/5));"SI";"")

Y se obtendría la solución X=64 Y=256 y, mediante un cálculo, Z=32. Inténtalo.

(2) Prueba a encontrar las soluciones de la ecuación de Pell X2-3Y2=1. Las primeras son:

X=2, Y=1; X=7,Y=4; X=26, Y=15 ¿Puedes aportar alguna más?

(3) La ecuación X*Y*(X+Y)=4860 posee las soluciones X=12 Y=15 (y su simétrica) Para tener la seguridad de que no existen otras podríamos rellenar la fila de X y la columna de Y con todos los divisores de 4860. ¿Hay más?

Como indiqué al principio, esta es una idea sencilla para comprobar resultados y realizar algunas investigaciones.

Solver

También puedes usar la herramienta Solver de Excel (la de OpenOffice.org Calc sólo resuelve el caso lineal). Sitúas el valor X en una celda, el de Y en otra, y el primer miembro de la ecuación (como fórmula) en una tercera.

Marcas en Solver el valor de la celda objetivo, y declaras X e Y como enteras. Si nos apoyamos en valores cercanos a una posible solución, es fácil que la obtengas. Al ser un problema generalmente indeterminado, este método necesitará nuestra ayuda mediante valores cercanos apropiados.

En la imagen se ha planteado la ecuación XY(X+Y)=4860 con valores de apoyo X=1, Y=1. Al pedir Resolver nos devuelve las soluciones 12 y 15.

viernes, 4 de diciembre de 2009

Fracciones continuas (3) - Ecuaciones diofánticas

Una aplicación importante de las fracciones continuas y sus reducidas es la de resolver ecuaciones diofánticas lineales del tipo Ax+By=C, en las que C es múltiplo del MCD de A y B (que son las que poseen solución). Quiere esto decir que A,B y C se pueden simplificar hasta conseguir que MCD(A,B)=1. En lo que sigue supondremos que esto se cumple.

Efectivamente, en una entrada anterior se vio que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivalía a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.

Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación.

Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.

Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1

Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4



Y se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252

Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas.

X=112-27t
Y=-252+61t

Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro t

martes, 1 de diciembre de 2009

Una cuestión diofántica

¿Cómo se pueden repartir 5957 objetos en lotes de 161 y de 182 objetos respectivamente, sin que sobre ni falte ninguno?

Puedes usar la fuerza bruta de las hojas de cálculo (tabla de doble entrada, multiplicaciones y sumas hasta ver el total 5957).

También dispones de la herramienta Solver. Aquí tienes una imagen de su planteamiento:


Con estas herramientas obtendrías las soluciones X=11 Y=23

¿Cómo lo resolverías sin ordenador?

Te lo habrás imagnado: en la siguiente entrada haremos una propuesta.

miércoles, 25 de noviembre de 2009

Logaritmo entero (3)

Si deseas investigar con el logaritmo entero (función sofpr(n)) puedes usar este código en Basic para implementarlo en Excel o en Calc de OpenOffice.org. Es bastante eficiente, y similar al de encontrar todos los factores primos de un número.

Para no complicarlo no se han usado los tipos de datos.

Los comentarios van entre corchetes y en verde

Public function sofpr(n) [se declara pública para poderla usar en cualquier celda]
Dim ene,f,c,s [creación de variables]

ene=n [la variable ene recoge el argumento para preservar su valor]
f=1 [contendrá los factores primos]
s=0
[contendrá la suma de primos]

[bucle para encontrar los factores primos y sumarlos]
while ene>1 [la variable ene va disminuyendo en el algoritmo]
f=f+1 [la variable f va aumentando para buscar factores primos]

[bucle para determinar si f es factor primo y si se repite]
while ene/f=int(ene/f)
[determina si f es divisor y busca sus repeticiones]
ene=ene/f
[se divide ene entre el factor, que ya se sabe que lo es]
s=s+f [se incorpora f a la suma de primos]
wend
[fin de bucle]

wend [fin de bucle]

sofpr=s [la función sofpr recoge el valor de s]
End function

lunes, 23 de noviembre de 2009

Logaritmo entero (2)

En la anterior entrada vimos que sopfr(n)<=n, luego si buscamos el valor de sopfr(sopfr(n)), se verificará que n>=sopfr(n)>=sopfr(sopfr(n)), y si reiteramos, habremos construido una sucesión recurrente no creciente de números naturales, que tendrá un valor mínimo, que puede ser el 0, el 4, o bien un número primo que actuará como punto fijo de la sucesión. Consideraremos que la sucesión termina cuando llega a su punto fijo o al 0.

Los números primos son ya puntos fijos, por lo que su sucesión se reducirá a un valor.

Otros números necesitan más pasos, como 393, que da lugar a la sucesión 134, 69, 26, 15, 8, 6, 5.

El número 20 presenta la curiosidad de ser igual a la suma de los elementos de la sucesión: 20=9+6+5. Tienen esa propiedad otros dos números de dos cifras. Intenta encontrarlos.
El número 140 es cuatro veces mayor que los términos de su sucesión: 140 =4*(16+8+6+5). Los números 546, 616, 735 y 800 tienen una propiedad similar, pero con cocientes mayores que 4. ¿Cuáles?

(Continuará)

sábado, 21 de noviembre de 2009

Logaritmo entero (1)

Llamaremos logaritmo entero de un número natural a la suma de todos sus factores primos, contando sus repeticiones. Se suele representar por la función sopfr(n). Así, sopfr(28)=2+2+7=11, sopfr(30)=2+3+5=10, sopfr(64)=2*6=12. El valor más pequeño corresponde a sopfr(1)=0 y los máximos coinciden con los números primos, como es evidente. Aquí tienes la gráfica de esta función para los primeros números, en la que se perciben dichos máximos:


Se le llama logaritmo porque posee la propiedad aditiva: sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b). Se cumple por el hecho de contar las repeticiones de los factores primos. Si se contaran una sola vez, esta propiedad sólo se verificaría si los números fueran primos entre sí y daría lugar a otra función que se representa por sopf(n).

Podemos estudiar tres cuestiones:

(a) La función sopfr nunca sobrepasa el valor de su argumento, es decir, n>=sopfr(n). No es difícil demostrarlo. Se da la igualdad en el número 1, el 4 y en los números primos. Después considera que si k=m*n (no necesariamente primos) y alguno de los dos factores es mayor que 2, se cumple que k>m+n. Finalmente, aplicas esta propiedad de forma reiterada a las descomposiciones en un número creciente de factores hasta llegar a los primos.

(b) Si sopfr(n) es menor o igual que n, se podrían buscar los números que son divisibles entre su logaritmo entero. No hay muchos. Sin contar los números primos, en cuyo caso la divisibilidad es en realidad una identidad, entre los 1000 primeros números sólo hay 42 que sean divisibles entre su logaritmo entero, y entre los 10000 primeros hay 201. Entre ellos sólo en un caso es además su raíz cuadrada ¿En cuál?

(c) En los casos anteriores, si sopfr(n) divide a n, y n no es primo, tampoco lo es sopfr(n) ¿Sabrías demostrarlo? El razonamiento es fácil. Sin embargo, si suprimimos la condición de divisibilidad, el logaritmo entero puede ser primo, y de hecho lo es en multitud de casos. Por ejemplo, entre los 1000 primeros, el valor 19 es el que más se repite.

(Continuará)

miércoles, 18 de noviembre de 2009

Inicio de la colección de libros Hojamat.es

Con la publicación en lulu.com del libro “OpenOffice.org Calc a tu alcance” iniciamos la colección hojamat.es, en la que se incluirán los libros procedentes de las entradas anuales de este blog, corregidas, ampliadas y con soluciones, además de algún otro procedente de nuestra experiencia en la enseñanza de las Matemáticas.



OpenOffice.org Calc a tu alcance” se puede descargar gratuitamente desde la dirección

http://www.lulu.com/product/tapa-blanda/openofficeorg-calc-a-tu-alcance/5653367

así como adquirirlo en formato de tapa blanda a un precio prácticamente de coste.

Esperamos que esta Guía de OpenOffice Calc pueda ser útil a quienes se quieran iniciar en el uso de este sofware gratuito.

En las primeras semanas de 2010 publicaremos “Hoja y números I”, que recogerá los temas de este blog publicados en la temporada 2008-09.

lunes, 16 de noviembre de 2009

CmathOOoCAS

Con este nombre compuesto acaba de aparecer una extensión muy útil para OpenOffice.org Calc, que dota a este programa de capacidades de cálculo simbólico (gracias por avisar, Goyo).

Como creo que tiene más ventajas que inconvenientes, paso a presentarla por si os interesa el tema.

Si la descargáis desde la página http://extensions.services.openoffice.org/project/CmathOOoCAS comprobaréis que, mediante la incorporación de funciones nuevas a Calc, podréis realizar cálculos de tipo simbólico, como

  • Derivación e integración: =deriver(“x*x”;”x”)
  • Cálculo con números fraccionarios, enteros largos y complejos
  • Manejo de polinomios y resolución de ecuaciones: =simplifier(“(x+2)^5”)
  • Operaciones de divisibilidad
  • etc.
Veo en ella dos inconvenientes:

(1) El idioma que usa es el francés, que para mi generación era el segundo idioma, pero la gente más joven preferirá el inglés. En realidad no es algo grave, pues bastará aprenderse el nombre de las funciones.

(2) A veces no termina totalmente las simplificaciones algebraicas. Por ejemplo, en nuestra penúltima entrada "Cuadrado más uno por cuadrado más uno" se proponía intentar resolver esta identidad para cualquier valor de n: (n2+1)(m2+1)= p2+1, y una solución es tomar m=n-1 y p=n2-n+1.

Con la calculadora Wiris, que solemos usar en este blog, la comprobación queda bastante clara:


Sin embargo, con CmathOOoCAS se queda un último paso de simplificación por dar:


A pesar de estos pequeños fallos, creo que puede ser muy interesante su uso, pues se unen las ventajas de un CAS con la organización en tablas que permite la hoja de cálculo. Ya lo iremos viendo y os lo contaremos.

viernes, 13 de noviembre de 2009

Concurrencias (1)

Quienes seguís este blog os habréis dado cuenta de nuestra preferencia por las concurrencias entre métodos, representaciones o técnicas. Ahí tenéis una:

¿Qué tiene que ver esta imagen


con esta propiedad


y con este experimento?:


Toma un número cualquiera, lo descompones en dos sumandos como quieras, y multiplícalos. Vuelve a descomponer los sumandos al azar cada uno en otros dos más pequeños y multiplícalos también. Sigue así con todos los números mayores que 1. Lo hagas como lo hagas, si sumas todos esos productos obtendrás siempre la misma suma. ¿Cuál? ¿Cómo se demuestra?

Ejemplo:

12 = 7+5 (7*5=35)
7=5+2 (5*2=10) 5=4+1 (4*1=4)
5=3+2 (3*2=6) 2=1+1 (1*1=1) 4=2+2 (2*2=4)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)

Suma = 35+10+4+6+1+4+2+1+1+1+1 = 66

12 = 6+6 (6*6=36)
6=5+1 (5*1=5) 6=3+3 (3*3=9)
5=3+2 (3*2=6) 3=2+1 (2*1=2) 3=2+1 (2*1=2)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)
Suma = 36+5+9+6+2+2+2+1+1+1+1 = 66

sábado, 7 de noviembre de 2009

Cuadrado más uno por cuadrado más uno

Los números de la forma n2+1 tienen una propiedad muy elegante, y es que son divisores de otros números de la forma p2+1, y además, su cociente también es del tipo m2+1, es decir, que para todo n entero, existen m y p también enteros tales que

(n2+1)(m2+1)= p2+1.

¿Sabrías encontrar los valores adecuados de m y p para cualquier valor entero de n?

Es una cuestión meramente algebraica.

Actualización

Después de recibir el comentario de Rafael me puse a buscar casos en los que p sea primo.

Vi que se verificaba la igualdad para muchos primos de varios tipos, pero no he encontrado estudios sobre ello. Si alguien sabe algo más, recibiré con gusto su ayuda.

lunes, 2 de noviembre de 2009

Cubos y gnomones (4)

Cuando ya tenía programadas las tres entradas sobre Cubos y gnomones
encontré esta curiosidad en el siempre interesante blog de Claudio
http://simplementenumeros.blogspot.com/


Me planteé buscar cocientes similares pero con suma de cubos. Para ello, según lo que hemos visto en las anteriores entradas, bastaría buscar cuadrados de números triangulares tales que las diferencias entre sus índices fueran iguales dos a dos, como ocurre, por ejemplo con T102 - T52 = 452-102 y T182 - T132 =1532-782, (10-5=5 y 18-13=5) y que, además, las dos diferencias fueran divisibles, como ocurre en este ejemplo, en el que 1532-782=17325 es múltiplo de 452-102=1925.

Después bastaría traducir las diferencias entre triangulares en sumas de cubos, con lo que obtendríamos cocientes aparentemente complicados con resultado simple. La exigencia de que las diferencias entre índices sean iguales se debe a un deseo de simetría pero no es imprescindible.

Con una tabla de doble entrada de cuadrados de triangulares o con código Basic se encuentran fácilmente.

Presentamos cuatro de esos resultados, pero se pueden obtener muchos más. Es seguro que ya estarán publicados en alguna parte, pero lo que interesa es que se han encontrado con una hoja de cálculo y la comprobación, con Wiris.

martes, 27 de octubre de 2009

Cubos y gnomones (3)

En las dos entradas anteriores hemos sumado números impares y potencias. La demostración algebraica de las fórmulas de este tipo puede estar sujeta a errores. Nadie puede decir que no se ha equivocado en un desarrollo algebraico de dos hojas.

Un método para comprobar cálculos de sumas de este tipo es el uso de una fórmula de interpolación. En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton. Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros equidistantes.

En la siguiente dirección puedes encontrar su implementación en Excel y Calc:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm

Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando, por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión: S=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)

Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3,4,5,6,7,… para verifiar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432, 775,…

Otro problema es el de simplificar esta expresión, que también sería una operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente la fórmula equivale a T2k+r - T2k-1.

Nota: No me resisto a incluir la interpolación que se logra con la calculadora en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:


El resultado final es la diferencia de números triangulares que ya hemos obtenido para la suma 27+64+125+216+...

¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo?

Yo tengo mi propia respuesta, y es que resulta muy divertido pedalear. No todo va a ser ir en coche.

jueves, 22 de octubre de 2009

Cubos y gnomones (2)

La solución a la cuestión (1) de la entrada anterior es la siguiente:

Todo cubo n3 de base natural n equivale a la diferencia de los cuadrados de los números triangulares Tn y Tn-1.

Basta desarrollar la expresión (n(n+1)/2)2-(n(n-1)/2)2 y comprobar que el resultado es n3 .
Es esclarecedor observar la cuestión propuesta desde el punto de vista geométrico. Si representamos la suma 7+9+11 como un embaldosado compuesto de tres gnomones, n3 se adivina apilando baldosas:


En este caso se visualiza fácilmente



Prueba a convertir en cubo de esta forma otras sumas parecidas, como 13+15+17+19.

También es atractiva la idea de formar primero el cubo como agregación de cuadrados y después convertirlo en suma de impares. Observa la figura:

viernes, 16 de octubre de 2009

Cubos y gnomones (1)

En alguna página web he vuelto a encontrar esta propiedad:

1 = 13
3+5 = 23
7+9+11 = 33
13+15+17+19 = 43

Independientemente de su elegancia, es una invitación a profundizar en otras relacionadas con ella y a justificar rigurosamente su existencia.

(1) La propiedad presentada está relacionada con otra bien conocida:

1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52

Saca consecuencias:

¿Se puede afirmar que todo cubo perfecto es diferencia de dos cuadrados?

En caso afirmativo ¿Qué tipo de números son los que pueden formar esa diferencia?

¿Podrías demostrarlo con todo rigor?

Publicaremos la solución en la siguiente entrada.

(2) La propiedad considerada nos permite encontrar una expresión algebraica para la suma de varios cubos consecutivos, por ejemplo

k3 + (k+1)3 + (k+2)3+ … + (k+r)3

¿Sabrías encontrarla?

Se pueden dar varias distintas. Si deseas comprobar la que propongas usa la hoja de cálculo

viernes, 9 de octubre de 2009

Solver nos ayuda en un problema

Hemos leído el siguiente problema en el blog “Problemas matemáticos”
(http://problemate.blogspot.com)

La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.
i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.
ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).

Nos ha parecido de interés para comentar las posibilidades de la herramienta Solver, tanto de Excel como de Calc (tan sólo se diferencian en pequeños detalles) para ayudarnos a encontrar una de las descomposiciones pedidas.

Este problema se puede plantear a partir de esta ecuación diofántica: N=1111x+111y+11z (si N es un número de cuatro cifras), para una vez hallados x,y , z, descomponerlos en números de una cifra del 1 al 9, para cumplir lo pedido por el problema.

Para ello podemos escribir en la hoja de cálculo y en columna, tres conjeturas para esas variables, supongamos que en las celdas G4, G5 y G6. Después, en la G7 escribimos la fórmula =1111*G4+111*G5+11*G6. Esta celda es la que deseamos que tenga el valor 2009, según pide el problema.

Elegimos la herramienta Solver, en la que concretaremos estos datos:

  • Los contenidos de las celdas han de ser enteros positivos
  • Como tipo de resolución no elegimos máximo o mínimo, sino un valor concreto
  • La celda G7 ha de tener el valor 2009, por ejemplo
En la imagen puedes estudiar el proceso de resolución



La solución obtenida, X=1, Y=7, Z=11 se puede descomponer, por ejemplo, en
2009=1111+777+66+55

Puede darte un valor de z mayor que 101, con lo que podemos pasar parte del mismo a X, ya que 1111=101*11

Como ves, el método te demanda unos ajustillos posteriores, pero es curioso que Solver ayude en este tipo de cuestiones.

domingo, 4 de octubre de 2009

Fracciones continuas (2) - Reducidas

En una entrada anterior desarrollamos la fracción 1280/345 en forma de fracción continua, formada por los cocientes [3,1,2,2,4,2], como puedes comprobar fácilmente con las hojas de cálculo fraccont.ods y fraccont.xls.


Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.

Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.

Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:

3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…

La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo

Pn = pn-1*an+pn-2

siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…

Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.


Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.

Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.

La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.

jueves, 1 de octubre de 2009

Los problemas de un tornero

Para construir una pieza, un tornero ha de ajustar unos engranajes de forma que mientras uno gire 2009 vueltas, el otro sólo recorra 2000. En este caprichoso encargo, los números son primos entre sí, por lo que no se pueden simplificar, y el tornero carece de engranajes de 2000 ó de 2009 dientes.

Le pide consejo al oficial. Éste hace unos cálculos y le ofrece la solución: “Usa un engranaje de 222 dientes y otro de 223, que nadie lo va a notar”

¿Qué operación hizo el oficial? ¿Por qué estaba seguro de que la pieza saldría bien fabricada?

(La solución, proximamente)

viernes, 25 de septiembre de 2009

Solución de la entrada anterior

En la entrada anterior planteábamos esta búsqueda:

¿Qué números enteros equivalen al área de un triángulo rectángulo de lados también enteros, de tres formas distintas?
Dimos como primera solución 840, que es el área de tres triángulos rectángulos distintos de lados enteros.

Área 840 Triángulos de lados 15,112 y 113 24,70 y 74 40,42 y 58

Aquí tenéis las siguientes:

Área 3360 Triángulos de lados 30,224 y 226 48, 140 y 148 80,84 y 116

Área 7560 Triángulos de lados 45, 336 y 339 72,210 y 222 120,126 y 174

Área 10920 Triángulos de lados 56,390 y 394 105,208 y 233 120,182 y 218

Área 13440 Triángulos de lados 60,448 y 452 96,280 y 296 160,168 y 232

Área 21000 Triángulos de lados 75,560 y 565 120,350 y 370 200,210 y 290

Los siguientes son 30240, 31920, 41160 y 43680. Quedáis invitados a encontrar los tres triángulos correspondientes a cada uno. Una vez que se conocen las soluciones ya no es difícil encontrar los catetos apropiados.

viernes, 18 de septiembre de 2009

Ternas pitagóricas que comparten área

La lectura de la biografía de Lewis Carroll me ha sugerido el proponer la siguiente búsqueda, inspirada en un problema que le impidió dormir una noche:

¿Qué números enteros equivalen al área de un triángulo rectángulo de lados también enteros, de tres formas distintas?

La primera solución es 840, porque las tres ternas

15, 112 y 113
24, 70 y 74
40, 42 y 58

pertenecen a lados de triángulos rectángulos de área 840.

¿Cuáles son las siguientes soluciones?

lunes, 14 de septiembre de 2009

Multicombinatorios (2)

La solución de la propuesta de la entrada anterior es el número 3003, porque


Para llegar a esta solución con hoja de cálculo existen dos caminos:

(A) Se forma el triángulo de Tartaglia. Puedes usar las hojas de cálculo contenidas en la página http://www.hojamat.es. (Ver apartado de Herramientas de Combinatoria)

Se selecciona todo el rango del triángulo y se le asigna el nombre de tartaglia.

Con la función =CONTAR.SI(tartaglia;3003) se buscan las veces en las que aparece el 3003 u otro número cualquiera que desees probar. incluso puedes escribir los números en columna y aplicar la fórmula reiteradamente.

Con este procedimiento puedes encontrar otros números “multicombinatorios”, como 120, 210, 1540, 7140, etc. Sus descomposiciones en factores primos nos pueden dar una pista del porqué de su propiedad.

120= 2*2*2*3*5; 210=2*3*5*7; 1540=2*5*7*11; 3003=3*7*11*13; 7140=2*3*5*7*17

La gran variedad de su factores primos hace que estos números puedan aparecer en cocientes de factoriales, como los usados en los números combinatorios.

(B) Se puede organizar una búsqueda en Basic.

Como el código es un poco largo, sólo daremos una idea de su construcción.

(1) Para cada número N a probar se organiza un bucle doble FOR-NEXT para el índice superior m del número combinatorio y para k el inferior

El índice m recorrerá los valores entre 1 y N, porque tiene que ser menor o igual que él.
El índice k recorrerá todos los valores hasta que el número combinatorio iguale o sobrepase a N.

Estas dos estrategias se basan en el carácter creciente de los números combinatorios salvo simetrías.

Para cada valor concreto de N se cuentan las veces en las que los valores m y k producen un número combinatorio igual a N. Se pueden eliminar los casos triviales y los simétricos.

viernes, 11 de septiembre de 2009

Multicombinatorios (1)

Todo número natural m se puede expresar como un número combinatorio, porque

Sólo una proporción pequeña de números admite otra representación (o varias) en forma de número combinatorio. Así el 6 admite tres representaciones

El número 35 admite cuatro

Los números 120 y 210 admiten seis representaciones. Aquí tienes las de 120:

No hay muchos más números entre los 10000 primeros que tengan representaciones con tantas posibilidades. Sin embargo, existe un número de cuatro cifras, capicúa, que se puede representar de ocho formas diferentes.

¿Cuál es? Puedes buscarlo en Internet o usar una hoja de cálculo.

sábado, 5 de septiembre de 2009

Fracciones continuas (1) – Definición

Durante este otoño iremos comentando una técnica muy poderosa pero algo olvidada, que es la de las fracciones continuas. Con ellas puedes simplificar fracciones, aproximar números irracionales, resolver ecuaciones diofánticas, etc. Para no aburrir a nuestros visitantes, se irán publicando de forma alternada con otros temas de más actualidad.

Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:

donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar una representación de los números reales independiente del sistema de numeración.

Por comodidad tipográfica las fracciones continuas se representan por el conjunto de sus cocientes: [a,b,c,d]

No es este blog el espacio más adecuado para estudiar todo su desarrollo teórico, que puedes encontrar en los siguientes enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtual/monografias/Basic/alanya_ps/contenido.htm

Nuestro interés aquí será la implementación de los algoritmos necesarios en hoja de cálculo para desarrollar un número en fracciones continuas y las aplicaciones que derivan de ello.

Si consultas la teoría descubrirás que los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los siguientes cocientes: 3,1,2,2,4,2



En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo fraccont.ods (En Excel fraccont.xls),


puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que, efectivamente, es válido este desarrollo:

Expresado de otra forma: 1280/345 = [3,1,2,2,4,2]

Por tanto, el encontrar el MCD de dos números m y n se puede simultanear con el desarrollo en fracciones continuas.

(Continuará)

martes, 1 de septiembre de 2009

Vuelta a la tarea

Después de dos meses de descanso veraniego volvemos a la tarea de mantener este blog. Ha sido un año muy gratificante e intentaremos proseguir nuestros contactos con nuevas fuerzas. Nuestros mejores deseos para quienes lo visiten de nuevo a partir de ahora.

En los meses de otoño iremos desarrollando algunas cuestiones sobre fracciones continuas, alternándolas con otros temas de actualidad. Comenzamos con una cuestión que dejamos ahí para resolverla más adelante:

¿Sabes qué significa este desarrollo y cómo obtenerlo?

Si no conoces la teoría inténtalo según tus conocimientos.

Puedes comenzar así: 1280/345 = 3+245/345 = 3+ 1/(345/245) = 3+ 1/(1+1/(245/100)…

Más adelante explicaremos un algoritmo para obtener este desarrollo.

domingo, 5 de julio de 2009

Descomponer un número en tres factores (2)

La búsqueda de todas las formas en que se puede descomponer un número entero positivo en tres factores la tratamos en la entrada anterior como propuesta de uso en el aula. Ahora presentamos un algoritmo de tipo “voraz” que se puede implementar en una hoja de cálculo.

Los algoritmos voraces buscan las soluciones localmente aunque para ello tengan que destruir algún dato previo del problema. En este caso, lo que se “destruye” es el número entero propuesto, aunque se procurará reconstruirlo de nuevo en cada paso. La idea es la siguiente:

(1) Elegimos sistemáticamente el primer factor: 2,3,4…y nos quedamos con el primero que sea divisor del número N propuesto. Una vez encontrado, dividimos N entre el mismo, y ese valor lo tomamos como base para buscar el segundo factor. Por ejemplo, para factorizar 450 encontramos como primera posibilidad el 2. Dividimos 450 entre 2 y nos queda 225.

(2) Para encontrar el segundo factor comenzamos con un valor igual al primero (para que los factores sean no decrecientes y así no existan duplicaciones). En el caso de 450 comenzaríamos con el 2, pero como no divide a 225, pasamos al 3, y nos queda 2*3. Dividimos 225 entre 3 y nos resultará 75, que automáticamente se convertirá en el tercer factor: 450=2*3*75.

(3) Aumentamos paso a paso el segundo factor encontrando divisores de 225, hasta que el tercero sea menor o igual que el segundo, y ahí paramos. Obtendríamos 2*5*45, 2*9*25, 2*15*15. Retrocedemos al primer factor 2 y lo avanzamos de igual manera con los siguientes divisores: 3*3*50, 3*5*30, 3*6*25, 3*10*15, 5*5*18, 5*6*15 y 5*9*10. Paramos ahí porque no existen más ternas no decrecientes.

Esta misma técnica sirve para descomponer N en M factores. Creamos un índice R que representa el número de orden del factor. Comenzamos con R=1 y buscamos factores crecientes, aumentando el valor de R hasta llegar a M, y dividiendo el número N entra cada factor. Cuando obtengamos una solución rebajamos R en una unidad, reconstruimos N parcialmente y buscamos nuevos factores avanzando y retrocediendo R, hasta que llega un momento en que R=0, y es la señal para que se detenga el algoritmo.

Si lo anterior te resulta complicado de entender, descarga uno de estos archivos

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/hojas/enfactores.ods
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/hojas/enfactores.xls

y estudia el algoritmo con el Editor de Basic.

miércoles, 1 de julio de 2009

Descomponer un número en tres factores (1)

Idea para el aula

La descomposición de un número en dos factores mayores que 1 de todas las formas posibles es una operación relativamente sencilla para el alumnado. Puede intentarlo mediante pruebas repetidas, aunque el procedimiento más seguro es el de encontrar todos los divisores propios del número, desechar el 1 y después ir emparejando cada uno con su complementario.

Por ejemplo, los divisores propios de 84 son 2,3,4,6,7,12,14,21,28 y 42, con lo que basta emparejarlos en productos: 84=2*42=3*28=4*21=6*14=7*12

¿Y si se pidiera descomponerlo en tres factores mayores que 1?

Esta operación es más difícil, y no nos ayuda tanto el encontrar todos los divisores, porque se pueden producir duplicaciones.

Proponemos plantear esta búsqueda en el aula con un número concreto, por ejemplo 216, que admite estas descomposiciones: 2*2*54 2*3*36 2*4*27 2*6*18 2*9*12 3*3*24 3*4*18 3*6*12 3*8*9 4*6*9 6*6*6

La búsqueda puede organizarse en tres etapas:

Búsqueda libre: Organizada por equipos para que se puedan efectuar correcciones mutuas y lograr avances en las estrategias. Si algún equipo se acerca a la solución se le puede indicar que han de llegar a 11 posibilidades. Es el momento también de corregir los fallos.

Búsqueda con ayudas: Con otros números similares se emprenden otras búsquedas, pero ahora con algunas sugerencias:

¿Convendría descomponerlo en factores primos? ¿No sería bueno que los factores fueran crecientes, para evitar repeticiones? ¿Te vendría bien obtener una lista de todos los divisores?

Atención a la diversidad: Para quienes hayan tenido dificultades se puede repasar la descomposición en dos factores, además de proponer más descomposiciones con números sencillos.

Para los alumnos y alumnas que hayan superado con comodidad el reto, se les pueden sugerir descomposiciones en cuatro factores y la redacción de un texto breve en el que expliquen las estrategias que han seguido. Pueden organizarse propuesta de trabajo individual fuera del aula.

También en esta etapa se puede mostrar cómo lo hace un modelo de hoja de cálculo, pero esto lo dejamos para la siguiente entrada.

miércoles, 24 de junio de 2009

Descanso en Julio y Agosto

Durante los meses de Julio y Agosto (verano en España) sólo se publicarán en este blog dos entradas ya programadas. Dejaré para finales de Agosto la incorporación de nuevos temas. Por cierto, en esa fecha se cumplirá el primer año de este blog.

Me ha parecido buena idea dejar algo inactivo el blog durante las semanas en las que se produce una pequeña dispersión de sus visitantes habituales, para así renovar fuerzas e ilusiones.

Con este motivo deseo agradecer las visitas que ha recibido, bastante satisfactorias en su número y actitud general de interés y cortesía.

Un afectuoso saludo.

viernes, 19 de junio de 2009

Problemas de Combinatoria con comprobación

Los problemas de Combinatoria resultan muy difíciles en la Enseñanza Media. Requieren orden y sentido común y, en menor medida, el conocimiento de los principios fundamentales y las fórmulas de variaciones, combinaciones o permutaciones. El uso de los diagramas de árbol facilita la tarea, pero siempre hay ramas que “se pierden”.

El poder comprobar un problema después de encontrar una solución da seguridad si ha sido bien resuelto, y posibilidad de rectificación en caso contrario. Para este fin hemos usado durante muchos años distintas versiones de nuestro programa Combimaq. Usaremos hoy la versión para hojas de cálculo.

Problema: Se desea diseñar una nueva bandera constituida por cinco barras verticales que tengan como fondo uno de los tres colores azul, verde o amarillo. No se quiere que un mismo color sirva de fondo a dos barras consecutivas. ¿Cuántas banderas distintas se pueden diseñar con estas condiciones?

Intenta encontrar la solución, que no te resultará muy difícil.

Comprobación

Puedes descargarte Combimaq en una de sus versiones, para OpenOfficeorg Calc o para Microsoft Office Excel 2003, en las direcciones

http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/hoja/combimaq.ods

http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/hoja/combimaq.xls

En su primera hoja debes definir el número de símbolos, si importa el orden o no, etc.

En la segunda has de definir la condición de que no haya dos colores consecutivos iguales. Para ello activa la casilla de Condición de tipo algebraico (y desactiva las demás) y rellena con la fórmula adecuada:

(SU1#SU2)*(SU2#SU3)*…

Es decir: El primer elemento es distinto del segundo, y éste del tercero y … Lo dejamos así para que lo completes tú.

La solución es el producto de dos números pares consecutivos.

viernes, 12 de junio de 2009

Múltiplo de cuadrados

Idea para el aula

El número 144 es el entero positivo más pequeño que es divisible entre 1, 4, 9 y 16, los cuatro primeros cuadrados. ¿Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de los 20 primeros cuadrados? La solución es 54192375991353600, pero ¿cómo encontrarlo?

Llegar hasta ese número puede resultar complicado, en parte porque las calculadoras y hojas de cálculo pueden no llegar a gestionar tantas cifras. Por eso, sería preferible establecer una especie de competición en el aula para ver quién consigue el número más alto que sea múltiplo de los N primeros cuadrados. Salvo algún error por nuestra parte, esta es la solución:



Se pueden abordar varias estrategias:

* Multiplicar todos los cuadrados y después eliminar factores primos comunes. Es un método poco fiable y sujeto a errores y distracciones.

* Usar el mínimo común múltiplo. Es la mejor estrategia, pero hay que organizarla bien. Con una hoja de cálculo no es difícil, pero se produce desbordamiento de cifras.

* Ir multiplicando cada solución por los factores nuevos que aporta la siguiente. Por ejemplo, la solución para 324, si se multiplica por 361, nos da la solución para 400 ¿por qué? Es una estrategia prometedora, pero quizás requiera una cierta madurez.

* Cualquier otra que se le ocurra al alumnado, basada en ensayo y error, pero debe completarse con alguna prueba de que el número encontrado es el más pequeño posible.

Para que la experiencia tenga éxito no se deben dar pistas, tan sólo asegurarse de que se ha entendido bien la propuesta. Si acaso, presentar el número 144 como solución para N=4. Después hay que dejar que la creatividad y el trabajo en grupo hagan su efecto. Tan sólo se debe corregir un camino que no lleve a ninguna parte, para evitar frustraciones.

Si se logra algo distinto de un fracaso absoluto, se puede completar el trabajo con puestas en común, entradas de blog o confección de una página en la web del centro de enseñanza, en las que se vuelquen los distintos resultados, métodos y dificultades.

viernes, 5 de junio de 2009

Función “dígitos” (2)

La entrada anterior puede sugerir otras cuestiones similares. Por ejemplo ésta:

Si escribimos en sistema de numeración binario todos los números naturales comprendidos entre 1 y 2n, ¿cuántos “unos” hemos escrito? Se debe expresar mediante una expresión dependiente de n.

La siguiente imagen puede sugerirte la solución:

sábado, 30 de mayo de 2009

Función “dígitos”

Si escribimos la serie de números 1,2,3,….N-1,N, ¿cuántos dígitos hemos escrito en el sistema decimal de numeración?

Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:

Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:

(a) Recuento simple

Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión

N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270

luego el libro tiene 270 páginas.

(b) Truco de Hoja de Cálculo

A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?

Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:

D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.

Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo

(c) Uso en el aula

Esta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de

* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos

Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.

¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.

sábado, 23 de mayo de 2009

Una exploración matemática

En la entrada número 120 del siempre interesante blog de Claudio se hacía una propuesta que esencialmente consistía en buscar los números que son cuadrados perfectos y que su doble aumentado en una unidad también lo es, como 144=122 y 144*2+1=289 = 172.

En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 02, 22, 122, 702, 4082 y 23782 con una la ley de formación para las bases an+1 = 6an – an-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.

Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…

Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x2+1=y2, una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.

(1) Demuestra que si 2n2 + 1 = m2, entonces n2/4 es también cuadrado y triangular.

(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x2 que son soluciones de la ecuación de Pell 8x2+1=y2

(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x1=1, y1=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad


Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n2 + 1 = m2, 4, 144, 4900, 166464…

(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:

yn=8xn-1+3yn-1, xn=3xn-1+yn-1

o, en forma matricial:


Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para xn, y te resultará
xn=6xn-1-xn-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…

(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?

Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen qn = 6-1/qn-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.

miércoles, 20 de mayo de 2009

La mitad, cuadrado, el tercio, cubo

Encuentra los primeros números naturales N que admiten estas dos descomposiciones:

N= 2n2 = 3m3

siendo n y m también naturales (su mitad es cuadrado perfecto y su tercera parte cubo perfecto)

Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus exponentes.

Una solución es N=41472, pero existe otra menor.

Si has aprendido a hacerlo, prueba con

N= 2n2 = 5m5

Una solución es un número “muy redondo”

Si tu interés no ha sufrido merma, aborda el que

N= 3n3 = 5m5

Quizás la primera solución tenga nueve cifras

miércoles, 13 de mayo de 2009

Vuelta a la Combinatoria

Después de varios meses tratando de números primos, cuadrados y cifras, será bueno volver a la Combinatoria. Para comenzar, esta cuestión:

Consideramos los números enteros menores que 1000, desde el 000 hasta el 999. Para cada uno sumamos sus cifras (sistema de numeración decimal) y obtendremos una suma S. Encuentra un valor de S para el que hay exactamente 63 números que la producen.

Tres ayudas:

Para suma S=4 hay 15 números que la producen, desde 004 hasta 400.

Para suma S=15 tendremos 69 soluciones.

Te puede ayudar este esquema de decisión, si llamas A a la primera cifra


Y una curiosidad:

Si representamos el número de soluciones para cada valor de S entre 0 y 27, nos resulta esto:



¿Te recuerda algo? No saques conclusiones precipitadas.

miércoles, 6 de mayo de 2009

Números automórficos

Los números de la primera columna de la siguiente tabla son automórficos.Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.

¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?

sábado, 2 de mayo de 2009

Comentario radiofónico

“El gobierno está actuando sobre la derivada segunda cuando asegura la protección al desempleo, pero debería actuar sobre la derivada primera, promoviendo la creación de puestos de trabajo” (Comentario de un periodista en una tertulia radiofónica- La redacción final es nuestra).

¿Cómo juzgar esta frase desde el punto de vista de las Matemáticas? La segunda parte se puede aceptar sin gran problema, pues si se crea empleo se está actuando sobre la tasa de variación del número de personas empleadas. Si tomamos como función ese número total, su derivada está relacionada con el incremento o disminución de la misma, y la creación de empleo pertenece a ese ámbito.

Más de difícil de aceptar es la primera parte. La protección al desempleado no se relaciona con la forma de evolucionar el crecimiento del empleo, porque es una acción estática. Se protege a los que ya están en situación de desempleo en un momento dado. Una idea algo malévola sería la de considerar que una excesiva protección no impulsa la búsqueda de trabajo, pero en ese caso se estaría actuando sobre esa búsqueda, y no sobre la creación de puestos de trabajo. No parece tener, pues, justificación el uso del concepto de derivada segunda en este contexto.

La derivada segunda no es bien entendida por el público en general. Por ejemplo, el concepto de punto de inflexión se confunde con el de máximo o mínimo. Si un equipo de fútbol lleva perdiendo varias semanas y comienza a ganar, se habla de que ya se ha llegado al punto de inflexión. O si la bolsa cambia su tendencia: “yo venderé cuando se produzca una inflexión”. En lugar de considerarlo como un punto de separación entre aceleraciones y desaceleraciones, se le suele situar entre crecimientos y decrecimientos, y no es el mismo concepto.

El estudio de las diferencias segundas (o las derivadas) y las tasas de variación calculadas a partir de los datos de una tabla es muy enriquecedor, pero la experiencia nos demuestra que es un tema con frecuencia difícil de entender. Hace unos meses, en un debate político, se presentó un gráfico que recogía la evolución del precio de la vivienda. Era parecido a este:


Se mostró de forma tan rápida que la mayoría de los espectadores sacó la impresión de que se quería indicar que la vivienda había comenzado a bajar de precio en el año 2005, cuando en realidad se trataba de un gráfico de diferencias, y lo que se había producido en ese año era una desaceleración en la subida de los precios.

En este gráfico sí había un punto de inflexión, pero por la forma de presentarlo se interpretó como un máximo, con lo cual parecía que el candidato estaba mintiendo, ya que era claro que en ese año el precio de la vivienda no había parado de crecer. No mentía, el gráfico contenía datos reales, pero los asesores tuvieron la habilidad de sugerir una idea errónea in faltar a la verdad. Bastó para eso confeccionar un gráfico de diferencias en el precio en lugar de usar el valor real del mismo.