miércoles, 4 de julio de 2018

Números que contienen las cifras de sus divisores


No es infrecuente que un número expresado en un sistema de numeración (nos limitaremos a la base decimal) contenga las cifras bien ordenadas de alguno o de todos sus divisores. Por ejemplo, 1734 contiene a sus divisores 17 y 34 como  subconjuntos ordenados de cifras. Existen publicadas muchas listas, de las que veremos algunas, especialmente con números primos. Para efectuar búsquedas sería conveniente disponer de alguna función que nos devolviera si un número contiene las cifras (siempre consecutivas) de algún divisor o, mejor aún, que indicara esos divisores.

Funciones necesarias

El criterio de si las cifras de un número están contenidas dentro de otro es fundamental en esta cuestión, pero existen dos inconvenientes:

  • Los números deberán convertirse en cadenas de texto
  • El formato de hoja de cálculo puede añadir espacios en blanco delante de los números positivos.
Estos dos problemas los resuelve la función AJUSTA$, como podemos observar en su listado:

Function ajusta$(a)
Dim d$

d$ = Str$(a) ‘Convierte el número en String
While Left$(d$, 1) = " "
d$ = Right$(d$, Len(d$) - 1) ‘Le suprime los espacios en blanco
Wend
ajusta$ = d$ ‘El resultado es una cadena de caracteres
End Function

Con esta función es fácil construir otra, DENTROCIFRAS, que indique si las cifras de un número contienen a las de otro  de forma consecutiva, es decir que el segundo sea una subcadena del primero.

Public Function dentrocifras(a, b) As Boolean 'Ve si las cifras de b están en a
Dim aa$, bb$
aa$ = ajusta(a) ‘Ajusta ambos números
bb$ = ajusta(b) ‘después, con función InStr averigua si está contenido
If InStr(aa$, bb$) > 0 Then dentrocifras = True Else dentrocifras = False
End Function

Es una función tipo boolean, que devuelve VERDADERO (True) o FALSO (False). Puedes probarla: DENTROCIFRAS(2431;43) debe dar VERDADERO y DENTROCIFRAS(818;88), FALSO, porque las cifras han de ser consecutivas.

Función CONTIENEDIV

Con esta función ya estamos preparados para saber si las cifras de un número contienen las de un divisor determinado, como ocurre con 725 y 25. Bastará hacernos las preguntas de si es divisor y después de si sus cifras están contenidas. Podemos organizarlo así:

Public Function contienediv(a, b) As Boolean
contienediv = a / b = a \ b And dentrocifras(a, b)
End Function

En primer lugar determina si es divisor, mediante a/b=a\b, que significa que al dividirlos resulta el mismo cociente que en la división entera \ (no aparece resto, por lo que se puede usar también la expresión a MOD b = 0) y después, con dentrocifras, si está contenido. Así, contienediv(912;12)=VERDADERO, porque 12 es divisor y sus cifras están contenidas en 912. Por el contrario, contienediv(324;24) da FALSO, porque 24 está contenido pero no es divisor.

Están publicadas las listas de aquellos números múltiplos de alguno de los veinte primeros que contienen sus cifras. Por ejemplo, la de múltiplos de 17 es

17, 170, 1173, 1700, 1717, 1734, 1751, 1768, 1785, 2176, 3179, 3417, 5117, 6171, 6817, 7174, 8177, 8517, 10217, 11713,…

Todos contienen un 17 y son múltiplos de él. Los tienes publicados en http://oeis.org/A121037

Con las funciones que hemos presentado puedes emprender otras búsquedas. Aquí tienes los primeros que contienen 23 como divisor entre sus cifras:

23, 230, 2231, 2300, 2323, 2346, 2369, 2392, 4232, 4623,…

Aunque es algo complicado, se adjunta a continuación el código PARI correspondiente. En la última línea el resultado sería cero, ya que hemos visto que es falso que 324 contenga a 24 como divisor. Hay que recordar que en PARI el valor VERDADERO se codifica como 1 y el FALSO como 0.

indigit(a, b)={ local(u,v,indi=0,la,lb,i,d,x);u=Vec(Str(a)); v=Vec(Str(b)); la=#u; lb=#v; i=1; while(i<=la-lb+1&&indi==0, d=0; for(x=1, lb, if(v[x]==u[i+x-1], d+=1)); indi=(d==lb) ; i+=1); indi}
indigitdiv(a,b)=(a%b==0)&&indigit(a,b)
print(indigitdiv(324,24))

Números que contienen todos sus factores primos

En la propuesta anterior fijábamos el valor del divisor que debería estar contenido en las cifras del número, pero ese dato no tenemos por qué saberlo.

Podíamos introducir una función que recorriera los factores primos del número y fuera probando uno a uno para ver si están contenidos o no como subcadena.
El problema está en esa extracción de factores primos. Si deseas profundizar lee la entrada de este blog

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/09/tus-funciones-disponibles-en-todas-las.html

En ella se explica la rutina sacaprimos y la función factores. Si las usamos, los factores primos  se guardarán en la matriz primo(n), y es esta la que vamos a usar ahora. Crearemos la función CONTIENEDIVPRIM(A,TIPO). Ella recorrerá los factores primos de A, comprobará con CONTIENEDIV si las cifras de estos están contenidas en el total y las irá acumulando en un string, al que añadirá la expresión del número de primos contenidos localizado. Así,
CONTIENEDIVPRIM (432;0)=2  3 y k= 2

Significa que contiene los factores 2 y 3 y que se han encontrado 2.

El parámetro TIPO nos sirve para, si vale 0, exigir que aparezcan todos los factores primos del número, como en el ejemplo anterior, y si es distinto de  0, fijará el número de factores que deseemos.

Public Function contienedivprim(a, tipo) As String
Dim n, i, k
Dim c$

c$ = ""
n = sacaprimos(a)
k = 0
For i = 1 To n
If contienediv(a, primo(i)) Then c$ = c$ + Str$(primo(i)) + " ": k = k + 1
Next i
c$ = c$ + "y k=" + Str$(k)
If tipo = 0 Then
If k = n Then contienedivprim = c Else contienedivprim = ""
Else
If k >= tipo Then contienedivprim = c Else contienedivprim = ""
End If
End Function

Con el TIPO=0 podemos confeccionar un listado de aquellos números compuestos que contienen a todos sus factores (el caso primo carece de interés):
25, 32, 125, 128, 135, 175, 243, 250, 256, 324, 375, 432, 512, 625, 735, 875, 1024,...

http://oeis.org/A050694

Números que contienen algunos factores primos

Con la función CONTIENEDIVPRIM, modificando el TIPO desde 1 hasta el tope que deseemos, se obtendrán los números que al menos coinciden con tantos factores primos como indique el valor de TIPO. Así, para dos factores obtenemos:

Figuran en la tabla los números con al menos dos coincidencias, los factores con los que coinciden y el número k de ellos. Si prolongamos la lista, aparecerá algún número que coincida con tres factores o más. El primero, que figurará en la siguiente lista, será el 735, que contiene los factores 3, 5 y 7.

Con tres coincidencias o más, haciendo TIPO=3, obtenemos

735, 1326, 1365, 1785, 2346, 2510, 2570, 2730, 3162, 3192, 3276, 3570, 3675, 3792


Estos son los primeros que contienen cuatro primos:

21372, que contiene a 2, 3, 13 y 137
37296, respecto a los divisores 2, 3, 7 y 37

Y con cinco

271362, con divisores 2, 3, 7, 13 y 71
527310, con 2, 3, 5, 7 y 31

Por último, si hacemos TIPO=0, aparecerán los compuestos que contienen a todos sus factores primos (está publicada en http://oeis.org/A050694)

25, 32, 125, 128, 135, 175, 243, 250, 256, 324, 375, 432, 512, 625, 735, 875, 1024, 1250, 1352, 1372, 1593, 1675, 1715, 1792, 2048, 2176, 2304, 2500, 2510, 2560, 2570, 2744, 3072, 3087, 3125, 3375, 3645, 3675, 3792, 4232, 4375, 5120, 5210, 5230, 5832…

Con esta entrada despedimos el curso 2017-18. Volveremos en septiembre si el verano se da bien. Os deseo un buen descanso.

lunes, 25 de junio de 2018

Diferencias mínimas entre divisores


Si ordenamos en orden creciente (o decreciente) los divisores de un número compuesto, las diferencias entre dos consecutivos son siempre menores que las existentes entre dos más alejados, como es fácil de razonar, ya que todas las del segundo tipo son sumas de las consecutivas. La cuestión que nos planteamos es saber qué diferencia entre divisores es la mínima y cuántas veces se repite.

Luego particularizaremos a la diferencia 1, que daría lugar a divisores que son números consecutivos. Para la primera parte de este estudio no consideraremos el divisor 1, porque así obtendremos propiedades más interesantes.

Por ejemplo, si escribimos ordenados los divisores de 135 mayores que 1, obtendremos:

135 45 27 15 9 5 3

Vemos que la diferencia mínima entre los consecutivos es 2 (entre 3 y 5), y que es menor que todas las demás diferencias, sean o no entre consecutivos. Esta diferencia mínima se puede repetir en la sucesión de divisores. Tenemos, por ejemplo el caso del 540:

540 270 180 135 108 90 60 54 45 36 30 27 20 18 15 12 10 9 6 5 4 3 2

En él se repite cinco veces la diferencia mínima 1:

1=3-2=4-3=5-4=6-5=10-9

Es fácil ver que ocurre esto por ser múltiplo de un factorial.

Esta cuestión da lugar a varios cálculos distintos. Los vemos uno a uno.

Búsqueda de la diferencia mínima

La primera cuestión, dado un número concreto, es averiguar cuál es la diferencia mínima entre divisores.

La siguiente función en VBasic resuelve la cuestión utilizando tan sólo las funciones predefinidas de Excel o Calc. Recorre los divisores del número tomando nota de las diferencias entre consecutivos y almacenando la menor que se encuentre:

Public Function mindifdivi(n)
Dim i, p, p1, a1, a2, es

p = n - 1: p1 = p: a1 = 1: a2 = n: es = 0 ‘Variables iniciales
For i = 2 To n / 2 ‘Recorre desde 2 hasta la mitad del número
If n / i = n \ i Then  ‘Comprueba si es divisor
a1 = i: es = 1 ‘Guarda memoria del divisor
p1 = Abs(a2 - a1) ‘Calcula la diferencia con el divisor anterior
If p1 < p Then p = p1 ‘Si es más pequeña que la almacenada, la sustituye
a2 = a1
End If
Next i
If es = 0 Then mindifdivi = 0 Else mindifdivi = p ‘Si no es primo, devuelve la diferencia mínima
End function

Como la gran mayoría de números es múltiplo de los primeros primos, 2, 3, 5 o 7, abundan los resultados 0 (los primos), 1 y 2, como podemos ver en los valores de 1 a 20:



Las mayores diferencias suelen presentarse en los números semiprimos, como el 14, o potencias de primos, que sería el caso del 9. Es lógico que sea así. Por ejemplo el año 2018 es semiprimo con los factores muy alejados (2018=2*1009), por lo que su mínima diferencia es 1007.

Las mínimas diferencias se dan entre los múltiplos de 2 y 3 o de 3 y 5 (o 5 y 7, por ejemplo), que tienen el valor de 1 o 2. Esto puede ser engañoso. Las diferencias entre factores primos pueden no ser las mínimas. En el caso de 2450 sus factores son  7, 5 y 2, lo que haría esperar una diferencia mínima de 2, pero en realidad es 1, diferencia entre 49 y 50, consecutivos en la lista de divisores:

2450 1225 490 350 245 175 98 70 50 49 35 25 14 10 7 5 2 1

¿Cuántas veces se repite una diferencia mínima?

Una vez que hemos encontrado la diferencia mínima, con una función similar a la anterior podemos contar las veces en las que aparece. Recordamos de nuevo que se excluye el divisor 1.

Su código puede ser el siguiente:

Public Function nummindifdivi(n)
Dim i, p, p1, aa, a1

p = mindifdivi(n): p1 = 0 ‘Se calcula la diferencia mínima p y se pone el contador p1 a cero.
If p = 0 Then nummindifdivi = 0: Exit Function ‘Caso en el que n sea primo
For i = 2 To n / 2 ‘Recorremos los divisores propios
aa = n / i
If aa = Int(aa) Then ‘Si es un divisor, seguimos
a1 = aa + p ‘Incrementamos el divisor en la diferencia mínima
If n / a1 = Int(n / a1) Then p1 = p1 + 1 ‘Si resulta otro divisor, incrementamos el contador
End If
Next i
nummindifdivi = p1 ‘El resultado es el contador
End Function

A continuación reproducimos la tabla anterior adjuntando una columna con el número de ocurrencias de la diferencia mínima y la lista de divisores propios:



Así vemos, por ejemplo, que la diferencia mínima en el 12 es 1, y que se presenta dos veces, entre el 2 y el 3 y entre el 3 y el 4. En el caso del 14, la mínima es 5, y sólo aparece una vez, entre 2 y 7.

Con esta función podemos determinar los números con mayor número de ocurrencias de la diferencia mínima.

Ejemplos:

Números con más de cuatro diferencias mínimas

Los primeros son



Vemos que, por ejemplo, 420 presenta 7 diferencias mínimas iguales a 1:
2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 14-15 y 20-21.

Números con diferencia 2 y varias repeticiones

Los números 3465 y 4095 son los primeros que presentan cinco diferencias mínimas con valor 2. La razón es que todos sus factores primos son impares y esto facilita la repetición del 2. Así, 3465=3*3*5*7*11, y presenta diferencia 2 en
3-5, 5-7, 7-9, 9-11, 33-35

Las primeras diferencias son previsibles, restando los factores primos, pero otras es difícil encontrarlas por razonamiento, como 33-35.

Caso en el que diferencia mínima es 1 (consecutivos)

Este caso es el más interesante, por lo que merece una función especial para él. Aquí sí vamos a incluir el divisor 1, por la siguiente razón:

El número de pares de divisores consecutivos coincide con el de divisores oblongos, del tipo n(n+1). Es claro que todo número divisible por n y n+1 también lo es entre n(n+1), e igual ocurre a la inversa. Si no tenemos en cuenta el 1, perderíamos el oblongo 1*2=2.

Otro detalle que nos facilita la búsqueda es que los oblongos comienzan en 2 y luego sus diferencias van siendo 4, 6, 8, 12,…los pares consecutivos, lo que facilita el recorrido entre oblongos.

Según estas consideraciones, se puede diseñar la siguiente función numconsec que cuente los divisores consecutivos.

Public Function numconsec(n)
Dim i, m, p

m = 0: i = 2: p = 2 ‘Inicios de números oblongos
While i <= n
If n / i = n \ i Then m = m + 1 ‘Si es un divisor oblongo, se incrementa el contador
p = p + 2: i = i + p ‘Se genera el siguiente oblongo
Wend
numconsec = m
End Function


En http://oeis.org/A088723 están publicados los números que al menos poseen dos divisores consecutivos (sin contar el 1):

6, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 100, 102, 108, 110, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 180, 182, 186, 192, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260…

Tomamos uno de ellos, por ejemplo el 222. Le buscamos todos los divisores y resultan ser:

222 111 74 37 6 3 2 1, con consecutivos 2-3

Con nuestra función resultarían dos, ya que contamos 1-2 y 2-3, para que así coincida con oblongos, que en este caso serían 2 y 6.

Es claro que todos los múltiplos de 6 pertenecen al listado, pero hay otros, como el 110, no múltiplo de 6 pero es oblongo y sus divisores consecutivos son 10 y 11.

Estos son los que presentan más de dos pares de consecutivos:

12, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 105, 108, 120, 126, 130, 132, 144,…

Casi todos son múltiplos de 6 o incluso de 12.

Con más de tres consecutivos aparecen:

60, 72, 84, 90, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 210, 216, 240,…

Es fácil ver que al aumentar el número de consecutivos iremos obteniendo entre ellos múltiplos de 60, pues nos garantizamos los consecutivos 1, 2, 3, 4,  5 y 6. Un caso especial vemos que es el 132=2*2*3*11, cuyos consecutivos son 1-2, 2-3, 3-4 y 11-12.

Al llegar aquí podemos pensar en los factoriales, que tienen garantizados n-1 consecutivos. Veamos si aparecen muchos más pares:



Hasta el 4 resultan los previstos. Después van apareciendo más casos, como en el 6!, que podemos recorrer 8: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 8-9, 9-10 y 15-16.

Números “record”

En el párrafo anterior podíamos sospechar que el incremento del número de pares de divisores consecutivos no seguía una sucesión creciente. Hemos programado la búsqueda de los números en los que el número de pares se incrementa en una unidad, y hemos obtenido estos:




Vemos que el orden natural se rompe entre 72 y 60, ya que este segundo presenta más pares que el 72. Como era de esperar, no figuran apenas factoriales, que serían los mejores candidatos para poseer más pares de números consecutivos.

El resto de soluciones, salvo el ya conocido desfase en la primera,  lo tienes en http://oeis.org/A088726

A088726: Smallest numbers having exactly n divisors d>1 such that also d+1 is a divisor.

1, 6, 12, 72, 60, 180, 360, 420, 840, 1260, 3780, 2520, 5040, 13860, 36960, 41580, 27720, 55440, 83160, 166320, 277200, 491400, 471240, 360360, 1113840, 720720, 1081080, 3341520, 2162160, 2827440, 5405400, 4324320, 12972960, 6126120,…

Se vuelve a romper el orden en otros casos, como 3780 y 2520.

jueves, 14 de junio de 2018

Números piramidales centrados (4/4)



Otros números piramidales centrados


Hexagonales

Con estos números, como veremos, el inicio del estudio seguirá un camino más simple:

Partimos de los poligonales hexagonales centrados:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215

Y

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html)
En esta entrada nuestra incluimos su expresión, que es una diferencia de cubos consecutivos


Por tanto, si para construir los piramidales debemos ir formando las sumas parciales, resultarán cubos. En efecto:

1, 1+7=8, 1+7+19=27, 1+7+19+37=64

Luego la sucesión será:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167,…

En el boceto siguiente está representado el número 27, que a su vez contiene el 7 y el 1, en sus tres capas, luego 27=1+1+6+1+6+12



Los términos de la sucesión claramente son cubos. No hay que usar interpolador para verlo. Si también acudimos a la fórmula de Deza lo comprobaremos, para n=6




Así que estos números, además de ser piramidales centrados, representarán una figura cúbica. Aclara mucho la equivalencia si vas tomando grupos de tres unidades en la imagen anterior y te los imaginas alineados en una trama cúbica:



Al coincidir estos números con los cubos, todas sus propiedades se desprenderán de ese carácter, lo que les quita interés.

Suma de grupos de impares consecutivos

Añadimos esta propiedad porque se puede interpretar como un número trapezoidal. Cada número heptagonal centrado equivale a la suma de uno de estos grupos:

{1}, {3, 5},{7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19},…

1=1
8=3+5
27=7+9+11
64=13+15+17+19

Las sumas se pueden representar mediante trapecios. Por ejemplo, la última formaría esta imagen:



Para comprobarlo algebraicamente, usaremos, como en casos anteriores, los números triangulares. Sabemos que la suma de impares equivale al cuadrado de su número, pero estos grupos se han ido eligiendo siguiendo los triangulares, por lo que su valor coincidirá con la diferencia de cuadrados de dos triangulares consecutivos. Así:


Heptagonales

Partimos de los poligonales centrados de siete lados

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197,… http://oeis.org/A069099

Acumulamos:
1, 1+8=9, 9+22=31, 31+43=74,…y obtenemos:

1, 9, 31, 74, 145, 251, 399,…

Están publicados en http://oeis.org/A004126

Su expresión es fácil de obtener con la fórmula de Deza:



Propiedades

Como suma de triangulares

Casi todos los números figurados presentan relaciones sencillas con los números triangulares. En este caso es:

El piramidal heptagonal centrado de orden n equivale a la suma de n triangulares comenzando por T(n)

Por ejemplo:
31=6+10+15
74=10+15+21+28

Para el caso n basta recordar que la suma de los primeros números triangulares equivale a n(n+1)(n+2)/6, luego la suma de sólo cuatro será la diferencia entre la suma de los 2n-1 primeros menos la suma de los n-1 primeros. Lo desarrollamos:

(2n-1)2n(2n+1)/6-(n-1)n(n+1)/6

Simplificando en Wolfran-Alpha:



Obtenemos:



Coincide con la expresión obtenida más arriba, luego la propiedad es verdadera.


Fórmula combinatoria

La propiedad anterior se puede expresar así:


Octogonales

Los poligonales octogonales centrados, que no llegamos a estudiarlos en este blog, equivalen a los cuadrados de los números impares, como puedes ver en OEIS:










También los puedes recorrer con nuestra calculadora Calcupol

(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)

Eliges el tipo Centrado de orden 8



Escribes un 1 en pantalla y vas pulsando la tecla PROX, con lo que aparecerán en pantalla los cuadrados de los impares.

Acumulamos esos cuadrados mediante sumas parciales

1+9=10
1+9+25=35
1+9+25+49=84

Obtendremos la sucesión

1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770, 9139, 10660, 12341,…(http://oeis.org/A000447)

Estos serán los piramidales octogonales centrados.

De la fórmula de Deza se deduce:



También se puede escribir como



Se puede comprobar:

PIRC8(3)=3*5*7/3=35;  PIRC8(4)=4*7*9/3=84

Coincidencia con tetraedros

Si aplicamos la fórmula obtenida a los números impares nos resultará:



Los números combinatorios de orden 3 coinciden con los piramidales triangulares o tetraedros.

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html

Así que estos estos octogonales que estamos estudiando coinciden con los tetraedros en los lugares impares:

Piramidales octogonales centrados:

1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770,…

Piramidales triangulares:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925,…

Cada dos de estos coinciden con los de arriba.

Este tema se ha alargado mucho. Es el momento de cortar y dejar el resto para investigar.

jueves, 7 de junio de 2018

Números piramidales centrados (3/4)


Piramidales pentagonales centrados


En las entradas anteriores de este blog (puedes consultarlas pulsando en la frase Entradas antiguas de la parte inferior de este texto) estudiamos números piramidales centrados de tres dimensiones con tres o cuatro lados. En esta seguiremos aumentando el número de lados a 5, pero nos limitaremos a una relación esquemática de su construcción, que ya ha sido explicada anteriormente y suponemos que bien entendida, y añadiremos alguna propiedad interesante de cada tipo.


Formación

Lo explicamos de forma esquemática, pues es un procedimiento que hemos desarrollado anteriormente. Insertamos enlaces para una mejor comprensión. Procederemos de la misma forma en los siguientes tipos.

Tomamos los números  poligonales pentagonales centrados:
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976,…

http://oeis.org/A005891

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html

Sobre ellos acumulamos sumas parciales

1, 1+6=7, 1+6+16=23, 1+6+16+31=54,…

Y nos queda

1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289, 2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877, 10143,…http://oeis.org/A004068

Extraemos la expresión genera con nuestro interpolador (ver entradas anteriores):



Copiamos los coeficientes de abajo para obtener el polinomio interpolador, y resulta:

P(x)=1+6(x-1)+5(x-1)(x-2)+5(x-1)(x-2)(x-3)/6

Simplificamos en la página de WolframAlpha:



O bien


Es decir:



A partir de la fórmula de Deza (ver entrada anterior) también se obtiene:





Puedes ir engendrando así los términos de la sucesión o usar nuestra calculadora Calcupol, ya presentada en la anterior entrada. Ahora cambiamos el método. Ábrela y concreta en su parte derecha que deseas usar piramidales centrados y marca 5 como orden:



Después escribe un 1 en pantalla y ve usando la tecla PROX paso a paso, y obtendrás la sucesión 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287,…Después, con la tecla ANT los puedes recorrer descendiendo hasta el 1. También puedes encontrar un término más alejado. Por ejemplo, con la secuencia de teclas 5 PIRC 30 =  obtendrás el término 30, que resulta ser  22505. Si ahora usas PROX y ANT puedes descubrir los términos más cercanos a él.

Propiedades de estos números

Si los piramidales cuadrados centrados los interpretamos como octaedros, estos pentagonales los podemos convertir en decaedros, es decir en poliedros de diez caras. Así lo interpreta la sucesión de OEIS A004068, como ves en su inicio:

A004068 Number of atoms in a decahedron with n shells.
0, 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289, 2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877, 10143, 11524, 13025, 14651, 16407, 18298, 20329, 22505, 24831, 27312, 29953, 32759, 35735, 38886, 42217, 45733, 49439,…

Como es una cuestión geométrica y el sentido de la palabra decaedro es ambiguo, dejamos esta interpretación en este punto.

Otra interpretación de la fórmula

La expresión general del valor de estos números se puede escribir de otra forma:



Esta, a su vez equivale a


Llegamos a algo interesante, y es que la fórmula se reduce a un cubo y a un número combinatorio.

Relación con la Combinatoria

La última expresión de la fórmula se puede interpretar como una diferencia entre combinaciones con repetición de n elementos tomados de 3 en 3 y las combinaciones de n+1 elementos también de 3 en 3.

Esta consideración nos lleva a una interpretación combinatoria similar a otra que descubrimos para los piramidales centrados de 4 lados.

a(n+1) equivale al número de tripletas (w,x,y) con términos comprendidos en {0,...,n} y tales que x+y>=w. Esta propiedad también es debida a Clark Kimberling.

Antes de razonar nada, lo desarrollaremos mediante nuestra herramienta Cartesius, que construye productos cartesianos condicionados
(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Usaremos este planteo para el caso n=3:

En la primera línea pedimos un producto de tres factores. Después, que pertenezcan al intervalo (0,..3) y, finalmente, que el primero sea menor o igual que la suma de los otros dos.

El resultado es igual a 54 casos, que es el cuarto término de la sucesión. Veamos en detalle los valores de x1:

El valor x1=0 aparece sin restricciones, ya que es menor o igual que cualquier otro elemento. En total 16 veces:



El valor x1=1 ya tiene una restricción, que es (1, 0, 0), luego se presentará 16-1 veces:


De igual forma, x1=2 aparece 16-3=13 veces, donde 3 son las combinaciones que forman las excepciones: (2,0,0), (2,1,0) y (2,0,1)



Por último, el 3 sólo aparecerá en 16-6=10 casos





Se ve, y se puede generalizar fácilmente, que lo que se le va restando a cada 16 un número triangular:

16+16-1+16-3+16-6=64-1-3-6=54

Para n=4 obtendríamos:

5^3=125, luego la expresión que acabamos de obtener se convertiría en
25+25-1+25-3+25-6+25-10=125-(1+3+6+10)=105, como era de esperar. Los números triangulares representan las combinaciones de dos en dos que representan a las excepciones.

La suma de triangulares equivale al número piramidal triangular o tetraedro,  tal como puedes comprobar en nuestra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html

En ella vemos que equivale a un número combinatorio


Ajustando índices nos queda la expresión ya vista para los piramidales que estamos estudiando:



Así que la propiedad es cierta.

Todo este estudio nos da otra interpretación geométrica para estos piramidales centrados de orden 5, y es que son la diferencia entre un número cúbico e lado n y un tetraedro de lado n-1.


Suma de valores de un polinomio

Traducimos una propuesta de Reinhard Zumkeller, Nov 11 2012:

Otra expresión para estos números es


En efecto, si sumamos estos términos, obtenemos los piramidales centrados pentagonales:



Para demostrarlo recordemos que la suma de n naturales es n(n+1)/2 y la de sus cuadrados n(n+1)(2n+1)/6. Por tanto, al sumar n^2+nk+k^2 obtendremos:

 PIRC(5,n)=n(n+1)(2n+1)/6-n*n*(n+1)/2+n*n^2

Lo simplificamos en la página de WolframAlpha y nos queda comprobado:


Volvemos a la expresión inicial.

jueves, 31 de mayo de 2018

Números piramidales centrados (2/4)

Piramidales centrados de cuatro lados

Esta es la segunda entrada que trata de los números piramidales centrados. En la anterior tratamos de los triangulares (puedes consultarla bajando un poco las líneas de esta misma entrada). En esta avanzaremos en el número de lados, por lo que seguimos con los cuadrangulares.

Como procedimos con los triangulares, partiremos de los números poligonales cuadrangulares centrados:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381…http://oeis.org/A001844

Los puedes repasar en la siguiente entrada de este blog:
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html

Realizamos la acostumbrada construcción de sumas parciales:

1, 1+5=6. 1+5+13=19, 1+5+13+25=44,…

Así conseguimos los números piramidales cuadrangulares centrados:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736, 3281, 3894, 4579, 5340, 6181,… http://oeis.org/A005900

Como el uso del interpolador lineal ha sido explicado en la entrada anterior, sólo insertamos el esquema de cálculo:



Resulta el polinomio

1+5(x-1)+4(x-1)(x-2)+2(x-1)(x-2)(x-3)/3

Se simplifica mediante la web de Wolfram|Alpha y obtenemos:



Es decir:



Podíamos haberlo deducido de la fórmula general de Elena Deza y Michel Deza:

Para m=4 queda


Estos números coinciden con los octaédricos, como puedes comprobar en http://oeis.org/A005900. Por tanto, las propiedades que siguen las comparten ambos tipos de números. Puedes encontrar la causa si comparas las dos figuras siguientes. La primera corresponde al número piramidal cuadrangular centrado de orden 3. Por tanto, estará formado por las capas 1+(1+4)+(1+4+8)=19, tal como vimos en la sucesión general.


En la segunda figura hemos desplazado capas hacia abajo, y colocado el centro en la mayor:



Así vemos perfectamente formado el octaedro, que se puede generar con la suma 1^2+2^2+3^2+2^2+1^2=19, como cabía esperar.

Este resultado se puede generalizar sin problemas al término n, lo que nos da la primera propiedad de estos números.

Propiedades

Suma de cuadrados

Los términos de la sucesión que estamos estudiando se pueden calcular mediante la expresión:


Este desarrollo los identifica con los números octaédricos, como ya hemos visto.

Tomamos algún ejemplo:

85=1+4+9+16+25+16+9+4+1
231=1+4+9+16+25+36+49+36+25+16+9+4+1

Productos de sumandos impares

A continuación vemos una interesante propiedad debida a Jon Perry

PIRC4(n) coincide con la suma de todos los productos posibles p*q con p y q impares tales que p+q=2n

Es una consecuencia directa de la primera propiedad:



Si recordamos que un cuadrado es suma de impares consecutivos, obtendremos sumas repetidas que se podrán agrupar en productos:

PIRC4(3)=19=1+1+3+1+3+5+1+3+1=1*5+3*3+5*1
PIRC4(4)=44=1+1+3+1+3+5+1+3+5+7+1+3+5+1+3+1=1*7+3*5+5*3+7*1

Para el caso general no sería difícil ir agrupando los impares.


Como coeficiente de una potencia

Esta propiedad sólo la comprobaremos en algún caso concreto. Pues supone pesados cálculos algebraicos que no hay por qué abordar ahora. Lo dejamos para quién se atreva.

Estos números coinciden con el máximo coeficiente del desarrollo de (1+x+x2+x3+…xk)4

Lo comprobamos para el 44:

Escribimos (1+x+x^2+x^3)^4 en la página de WolframAlpha:


Leemos su desarrollo más abajo:



Comprobamos que el mayor coeficiente es 44.

A continuación insertamos un recorte de pantalla de wxMaxima en el que se comprueba la propiedad para exponente 5:


También aquí el mayor coeficiente es 85, el siguiente elemento de la lista.


Propiedad combinatoria

El número piramidal cuadrangular centrado de orden n equivale al número de conjuntos ordenados (w,x,y,z) con todos sus términos en {1,...,n} tales que w+x=y+z. (Clark Kimberling, Jun 02 2012)

No es difícil razonarlo. Las posibles sumas w+x son 2, 3,…,2n. Sus posibilidades van creciendo al principio y disminuyendo al final. Así:

Suma 2 o suma 2n: w, x tiene 1 posibilidad , (1+1 o n+n);  y+z otra: luego sale 1=1^2

Suma 3 o suma 2n-1: w, x tiene 2 posibilidades, (1+2, 2+1 o n-1+n. n+n-1);  y+z otras 2, luego al combinar ambas posibilidades quedan 4= 2^2

Suma 4 o suma 2n-2: con un razonamiento similar llegaríamos a 3^2

Así seguiríamos, con lo que volvemos a la propiedad básica, y es que el total sería igual a



Como no hay prisa por resolver las cuestiones, comprobamos esta propiedad con nuestra hoja Cartesius:

Con Cartesius

Descargamos la hoja desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius

Comprobamos la propiedad para  el caso 6. Para ello planteamos:



Estamos pidiendo que se combinen cuatro elementos (corresponden a w, x, y, z de la propiedad), que deberán estar contenidos en el rango 1..6 y que la suma de los dos primeros x1+x2 coincida con la de los segundos x3+x4.

Desarrollamos el planteo con el botón Iniciar y, efectivamente, resultan 146 casos


Aunque no nos cabe en este documento, podemos, con la función SI seleccionar los resultados cuyos dos primeros elementos sumen, por ejemplo, 5. En el recorte de la imagen asignamos un 1 a los casos en los que w+x=5



Después bastaría contar los unos y nos resultarían 16=4^2, tal como razonamos más arriba.