jueves, 18 de octubre de 2018

Escaladas de Conway


El año pasado, 2017, se notificó que una conjetura de Conway, conocida como “escalada a un primo” había resultado ser falsa. Tienes la noticia, comentarios y contraejemplos en estos dos blogs:

http://francis.naukas.com/2017/06/14/contraejemplo-a-una-conjetura-de-conway-sobre-los-primos/

https://www.gaussianos.com/la-conjetura-de-la-escalada-hasta-un-primo/

Si los has leído (y si no, te bastará con mi explicación) entenderás que el proceso que propone Conway es el de descomponer el número en sus factores primos agrupados con exponentes y ordenados en orden creciente, como 144=24*32, y después escribir seguidos y mezclados bases y exponentes de las potencias resultantes (2432).

Si un número primo está elevado a la unidad, esta se ignora y no se añade al nuevo número.

Si llamamos f(n) a esa función obtendremos:

f(144)=2432

La idea de Conway es la de ir reiterando esta función hasta llegar a un número primo p, en el que es evidente que f(p)=p, dando fin al proceso.
En el caso del 144:

F(144)=2432, f(2432)=2719, que es primo y con él termina el proceso.

Los dos blogs citados te darán más detalles. Nuestro objetivo en esta entrada es conseguir el algoritmo con el Visual Basic de las hojas de cálculo. Es, por tanto un interés operativo más que matemático.

Función fconway(n)

A continuación se inserta el listado para hoja de cálculo de la función de Conway, pero antes hay que acudir a la función ajusta(n), que elimina del número n los espacios en blanco que Excel o Calc añaden a los números naturales. Su código es el siguiente:

Function ajusta$(a)
Dim d$

d$ = Str$(a) ‘Convierte el número en un string
While Left$(d$, 1) = " " ‘Mientras esté precedido de un espacio, este se elimina
d$ = Right$(d$, Len(d$) - 1) ‘Se corta el string desde su segundo carácter
Wend
ajusta$ = d$
End Function 

Una vez contamos con esta función, se tratará ahora de descomponer el número en factores y concatenar factores primos y exponentes, eliminando aquellos iguales a la unidad. Puede ser así:

Public Function fconway(n)

Dim primo(20), expo(20), numomega ‘Reservamos 20 memorias para primos y exponentes
Dim s$
Dim f, a, e, i


a = n ‘Recibimos n en la variable a
f = 2: i = 0: numomega = 0 ‘numomega es el número de primos
While f * f <= a ‘Vamos extrayendo primos hasta la raíz cuadrada de a
e = 0
While a / f = Int(a / f)
e = e + 1 ‘Se toma nota del exponente, que va creciendo
a = a / f ‘Se elimina el factor primo encontrado
Wend
If e > 0 Then ‘Se incorpora el nuevo primo con su exponente a las memorias
numomega = numomega + 1
primo(numomega) = f
expo(numomega) = e
End If
If f = 2 Then f = 3 Else f = f + 2 ‘Se avanza en posibles primos
Wend
If a > 1 Then ‘Se recoge el último primo
numomega = numomega + 1
primo(numomega) = a
expo(numomega) = 1
End If
s$ = "" ‘Construimos la concatenación de primos y exponentes mayores que 1
For i = 1 To numomega
s$ = s$ + ajusta(primo(i)) ‘Se incorpora el primo
If expo(i) > 1 Then s$ = s$ + ajusta(expo(i)) ‘Se añade el exponente si es mayor que 1
Next i
fconway = Val(s$) ‘Convertimos el string en número
End Function

Si escribimos un número cualquiera (en los blogs citados no se recomienda usar el 20) en una celda de Excel y tenemos implementada la función anterior (debes entrar en Programador – VisualBasic. Puedes consultar http://hojamat.es/guias/descubrir/htm/macros.pdf), podemos calcularla en la celda inferior, y después extenderla hacia abajo hasta que el resultado se repita o alcancemos una magnitud para la que Excel pasa a notación científica. Puedes ver algún ejemplo en la imagen:



En el primero, se alcanza el primo inmediatamente. En el segundo, al segundo intento, como ya vimos más arriba. El siguiente sobrepasa la capacidad de Excel, y el cuarto llega al primo en cinco pasos.

Podemos convertir este proceso en una función, pero si llegamos a los límites de Excel habrá que devolver un valor que lo indique, como podría ser el cero. Hemos diseñado esta:

Public Function finconway(n)
Dim a, b

a = 1: b = n ‘Usamos dos variables para cada iteración
While a <> b And a < 100000000000# And a > 0 ‘Límites de la iteración
a = b ‘Guardamos b en la variable a
b = fconway(b) ‘Avanzamos un paso en la iteración
If a >= 100000000000# Then a = 0 ‘Si el número es muy grande, lo hacemos cero
Wend
finconway = a
End Function

Con esta función se resuelve rápidamente el ascenso a primo. Aquí tienes los resultados desde 5 hasta 15, por ejemplo:



Esta función, aplicada al 542, devolvería un 0, ya que sobrepasa el límite de Excel para la escritura de todas las cifras. Este inconveniente se salva usando otro lenguaje. Hemos adaptado y completado la función en PARI incluida en la sucesión http://oeis.org/A080670 para definir la función finconway en ese lenguaje. Su código es:

fconway(n)=if(n>1, my(f=factor(n), s=""); for(i=1, #f~, s=Str(s, f[i, 1], if(f[i, 2]>1, f[i, 2], ""))); eval(s), 1)
finconway(n)=my(a=1,b=n);while(a<>b&&a>>0,a=b;b=fconway(b));a

Con ella es fácil reproducir los resultados de la tabla anterior:



Con el lenguaje PARI sí podemos encontrar el primo al que llegan las iteraciones con inicio en 542. Sería 131811420855589. En la imagen se puede observar cómo lo presenta PARI:



La conjetura

Si has leído las entradas de blog recomendadas más arriba, sabrás que existe un contraejemplo en el que la iteración no asciende a un primo, sino a un compuesto. Se trata del valor 13532385396179=13*532*3853*96179

Con nuestra función en PARI se detecta su invariancia en la iteración:

fconway(n)=if(n>1, my(f=factor(n), s=""); for(i=1, #f~, s=Str(s, f[i, 1], if(f[i, 2]>1, f[i, 2], ""))); eval(s), 1)
finconway(n)=my(a=1,b=n);while(a<>b&&a>>0,a=b;b=fconway(b));a
print(finconway(13532385396179))

En la imagen observamos que el resultado es el mismo valor:



Con esto terminamos, ya que el único objetivo era usar medios elementales para reproducir los ascensos a primo de Conway y el contraejemplo descubierto recientemente.

lunes, 8 de octubre de 2018

Acercamiento entre potencias


Se sabe que sólo existen dos potencias que se diferencien en una unidad, que son 8=2³ y 9=3². Sí pueden existir otros casos con diferencias mayores entre cuadrado y cubo. Vemos los primeros ejemplos:

Dif=2: 5²+2=3³
Dif:=3: 2²-3=1³
Dif=4: 2²+4=2³; 11²+4=5³
Dif=5 y 6: No hay ejemplos elementales
Dif=7: 1²+7=2³; 181²+7=32³
Dif=8: 3²-8=1³; 4²-8=2³; 312²-8=46³
Dif=9: 6²-9=3³; 15²-9=6³; 253²-9=40³
Dif=10: No hay ejemplos elementales.

Todos son casos particulares de la ecuación x²=y³+k, que necesita conocimientos profundas de Teoría de Números para su resolución. Por eso, aquí se usarán técnicas de búsqueda de soluciones en casos particulares.

Diferencias entre cuadrados y cubos

Podemos usar una función que mida el acercamiento a un cubo. Así, si se construye una lista de cuadrados, se podrán elegir aquellos que se diferencien de un cubo en un número dado. Así se han encontrado los ejemplos del párrafo anterior.

La función adecuada puede ser esta, que está diseñada para cualquier valor del exponente. Actúa sobre un número (que puede ser otra potencia), una diferencia dada y el exponente de la potencia. Al número le sumamos y restamos la diferencia dada, y con otra función, espotentipo, se averigua si es potencia perfecta o no.


Public function difepot(n,dife,ex1) as boolean
'para un número n ver si dista dife unidades de una potencia dada
‘Variables: n es el número, dife, la diferencia dada y ex1 el exponente de la potencia.

dim a,b
dim es as boolean

es=false ‘Declaramos que la función es falsa
a=n+dife ‘Buscamos la potencia “por arriba”
if espotentipo(a,ex1) then ‘Más abajo se explica esta función
es=true ‘Si es potencia, la diferencia es válida.
else
b=n-dife ‘Buscamos la potencia “por arriba y procedemos del mismo modo”
if b>0 then
If espotentipo(b,ex1) then es=true
end if
end if
difepot=es
end function

La función espotentipo busca si un número es potencia con un exponente dado. Actúa sobre el número y el exponente y devuelve VERDADERO o FALSO. Su código es el siguiente:

Public Function espotentipo(n, k) As Boolean
Dim m, i
Dim e As Boolean

m = Log(n) / k
m = Int(Exp(m)) ‘Mediante logaritmos, encuentra un posible valor para la base de la potencia
e = False
For i = m - 1 To m + 1 ‘Por si existen errores de redondeo, prueba con m, m+1 y m-1
If i ^ k = n Then e = True ‘Si con uno de ellos se reconstruye la potencia, es válido
Next i
espotentipo = e
End Function

Con estas dos funciones, bastará crear una lista de cuadrados y ver si alguno de ellos se diferencia de un cubo (mayor o menor que él) en una cantidad dada.  Por ejemplo, si construimos la lista de los veinte primeros cuadrados, veremos que al llegar al 14, su cuadrado se diferencia en 20 unidades del cubo de 6: 14²+20=6³.

Potencia más cercana

Podemos encontrar, para un número cualquiera, la potencia de cierto exponente que esté más cercana, y evaluar su diferencia. Para ello podemos usar esta otra función:

Public function difepot2(n,ex1)
'busca la potencia ex1 más cercana y devuelve la diferencia
dim p,q

p=int(n^(1/ex1))
dife=abs(n-p^ex1)
q=abs(n-(p+1)^ex1) ‘Busca la potencia si es menor o mayor. Ambas valen.
if q<dife then dife=q ‘Se queda con la diferencia menor.
difepot2=dife
end function

En esta tabla puedes observar las diferencias con el cubo más cercano. Se descubre que esos cubos son el 8 o el 27. Hasta el 17, el cubo más cercano es el 8, y a partir del 18, el 27.

Versión en PARI

Estas funciones de Excel no tienen mucha potencia de cálculo. Por eso, en algún momento usaremos sus versiones en PARI, cuyo código es el siguiente:

espotentipo(n,k)=local(m,i,es);m=log(n)/k;m=truncate(exp(m));es=0;for(i=m-1,m+1,if(i^k==n,es=1));es
difepot(n,ex1)=local(p,q,dife);p=truncate(n^(1/ex1));dife=abs(n-p^ex1);q=abs(n-(p+1)^ex1);if(q<=dife,dife=q);dife

Con el uso de ambas, hemos reproducido la tabla anterior entre el 10 y el 20:



Como ejemplo del uso de esta función, se inserta a continuación la tabla de diferencias entre cuadrado y cubo menores que 10 (y mayores que 0) para potencias interiores a 1000000:


Otras potencias

Diferencias mínimas entre cubo y cuarta potencia, dife<30:



Entre cuartas y quintas potencias, dife<50:



Así podemos seguir con otros casos. Terminamos con cubos y séptimas potencias:



Para terminar, agrupamos en una misma tabla diferencias menores que 10 en algunos casos. Hemos eliminado en la segunda potencia los valores 1 y 2, ya conocidos y triviales:



lunes, 24 de septiembre de 2018

Permutación de cifras al sumar su producto


Nuestras colaboraciones en Twitter (@connumeros) nos sugieren otros estudios similares con más profundidad. En el día 9/5/18 publicamos que el número 9158, al sumarle el producto de sus cifras, se convertía en 9518, que está formado por las mismas cifras en distinto orden.

Investigando un poco vimos que Derek Orr ya había publicado casos similares en OEIS en 2014 (Ver http://oeis.org/A247888 y http://oeis.org/A243102)

Los primeros casos son:

239+2*3*9=293
326+3*2*6=362
364+3*6*4=436

Al estar publicados, aquí sólo estudiaremos las técnicas de hoja de cálculo que nos pueden permitir reproducir resultados.

Función PRODUCIFRAS

Es evidente que la primera herramienta que necesitamos es la función PRODUCIFRAS, que devuelve el producto de las cifras de un número. Ese producto no debe ser cero, pues en ese caso el resultado sería el número original y no se produciría la permutación “no trivial” de las cifras. Esto supone que sólo nos resultarán números sin la cifra cero en las soluciones.

Sugerimos este listado para PRODUCIFRAS en VBA de Excel:

Public Function producifras(n)
Dim h, i, s, m

h = n  ‘la variable h recoge el valor de n
s = 1 ,‘El producto comienza con un 1 en la variable s
While h > 0  ‘Mientras queden cifras…
i = Int(h / 10) ‘Se queda con todas las cifras menos la última
m = h - i * 10 ‘La variable m recoge la última cifra
h = i ‘La variable h tiene una cifra menos
s = s * m ‘La última cifra se incorpora al producto
Wend
producifras = s
End Function

Necesitamos además una función que nos indique si dos números presentan el mismo conjunto de cifras y con la misma frecuencia, como 2344 y 4342. El Basic de Excel no incluye la función VECSORT, propia de otros lenguajes, que nos permite ordenar un vector de números. Con ella bastaría ordenar las cifras de uno y otro número y comparar. Así se soluciona el problema en PARI, como puedes ver en la página enlazada, http://oeis.org/A243102.

Lo solucionaremos para VBA de Excel creando las matrices ca(10) y cb(10), que acumulen las frecuencias de las cifras de cada número a o b. Para gestionar bien el 0, anotaremos la cifra k en el elemento k+1. Así, un 7 se contaría en el elemento ca(8) o cb(8), y el conjunto {0,1,2…8,9) en los elementos ca(1), ca(2),… o bien cb(1), cb(2),…Finalmente, comparamos la matriz ca con la cb y si son idénticas es que los números contienen las mismas cifras con la misma frecuencia.

El listado sería este:

Public Function cifras_identicas(m, n) As Boolean

Dim i, j, s
Dim ci As Boolean
Dim nn$, mm$, c$
Dim ca(10), cb(10)

For i = 1 To 10: ca(i) = 0: cb(i) = 0: Next i ‘Vaciamos las matrices ca y cb

h = m  ‘Extraemos las cifras de m y las volcamos en la matriz ca
While h > 0
i = Int(h / 10)
s = h - i * 10
h = i
ca(s + 1) = ca(s + 1) + 1
Wend

h = n  ’Igualmente, las de n las volcamos en cb
While h > 0
i = Int(h / 10)
s = h - i * 10
h = i
cb(s + 1) = cb(s + 1) + 1
Wend
 ‘Ahora comparamos las dos matrices, y si existe una sola discrepancia, los números no tienen iguales cifras e iguales frecuencias

ci = True ‘Comenzamos suponiendo que las cifras son idénticas
For i = 1 To 9
If ca(i) <> cb(i) Then ci = False ‘Basta una discrepancia para que sea falso
Next i
cifras_identicas = ci
End Function

Ahora sólo nos queda recorrer un rango de números, por ejemplo del 1 al 3000 y quedarnos con aquellos en los que al sumarles el producto de las cifras (si es distinto de cero) se convierten en otros de las mismas cifras. Podría ser así:

For i=1 to 3000
a=producifras(i)
if a<>0 and cifras_identicas(i,i+a) then msgbox(i)
Next i

Aquí tienes el listado de los primeros números con esa propiedad, que coinciden con los publicados por Derek Orr


Como comprobación de la potencia del lenguaje PARI, se incluye el código usado por dicho autor, en el que usa la función vecsort:

for(n=1, 10^5, d=digits(n); p=prod(i=1, #d, d[i]); v=digits(n+p); if(v!=d, v=vecsort(v); d=vecsort(d); if(v==d, print1(n, ", "))))

Nuestro objetivo ha sido el uso de una hoja de cálculo, que es más lenta, pero encaja en los objetivos de este blog.

martes, 11 de septiembre de 2018

Suma de números oblongos consecutivos

En los cálculos sobre fechas que publicamos en Twitter (@connumeros) se dio la casualidad de que dos fechas muy cercanas se podían expresar ambas como extensas sumas de números oblongos consecutivos. Así:

Día 14/5/18

14518 es suma de siete productos de números consecutivos que a su vez son consecutivos (es decir, siete oblongos consecutivos):
14518=42×43+43×44+44×45+45×46+46×47+47×48+48×49

Día 19/5/18

Se nos vuelve a presentar la suma de productos de números consecutivos que a su vez son consecutivos (es decir, oblongos consecutivos), pero esta vez son nueve, nada menos:
19518=42×43+43×44+44×45+45×46+46×47+47×48+48×49+49×50+50×51

Esta cercanía nos animó a estudiar la propiedad con cierta extensión, para ver, como es costumbre en este blog, hasta dónde nos llevarían las exploraciones sobre un tema. Es fácil ver que, al ser los números oblongos doble de los triangulares, este problema esté muy relacionado con el de sumas de números triangulares consecutivos.

Sabemos que la suma de los n primeros números triangulares es n(n+1)(n+2)/6.
(Ver https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_triangular#Suma_de_los_primeros_n%C3%BAmeros_triangulares)

De aquí se deduce que en el caso de los oblongos será n(n+1)(n+2)/3. Si en la suma no se comienza desde el primer oblongo (1*2) podremos restar esta expresión aplicada al último sumando con la correspondiente al anterior al primer sumando.

Esto nos lleva a una generación de soluciones en forma de tabla de doble entrada y otra mediante una función:

Soluciones obtenidas mediante una tabla de hoja de cálculo

En la siguiente tabla hemos situado valores de n(n+1)(n+2)/3 tanto en fila como en columna. Si restamos después unos de otros nos resultarán los números que se pueden formar mediante sumas de oblongos consecutivos. Aparecerán desordenados y repetidos. Nos valen también los de la segunda fila:


Para obtener una lista ordenada es preferible una búsqueda algorítmica mediante una función. Lo vemos:

Búsqueda mediante una función

La suma entre n(n+1) y (n+k-1)(n+k), k sumandos, sería así:

 n(n+1)+(n+1)(n+2)+…..(n+k-1)(n+k)=(n+k-1)(n+k)(n+k+1)/3-(n-1)n(n+1)/3

Hemos restado la suma de los n+k-1 primeros con la correspondiente a n-1.

 Desarrollamos y queda:

Por ejemplo, 23*24+24*25+25*26+26*27+27*28=S(23,27)=3260 equivale a
5*23^2+5^2*23+(5-1)*5*(5+1)/3=3260

Este desarrollo nos da una primera condición para que un número P pueda desarrollarse como suma de oblongos consecutivos. Proseguimos:



Despejamos n en función de P:



El discriminante



ha de ser cuadrado perfecto. Esta es la primera condición para que P sea suma de oblongos. También el resultado para n ha de ser entero positivo.

Lo vemos para P=14518 y k=7, según lo publicado en Twitter:

D=12*7^2-3*7^4+36*7*14518=3651921=1911^2, luego se cumple que D es cuadrado perfecto. Sustituimos en la expresión de n y queda:

 n=(-3*7^2+1911)/(6*7)=42, que coincide con el desarrollo publicado para 14518.

Por una casualidad, 19518 también inicia su suma de oblongos en 42:

P=18518, k=9

D=12*9^2-3*9^4+36*9*19518=6305121=2511^2
  n=(-3*9^2+2511)/(6*9)=42

Este criterio nos puede servir para ver qué números se pueden descomponer en suma de oblongos consecutivos.

Tomamos el número P y probamos los criterios anteriores para los valores de k entre 1 y el máximo valor que cumpla k*(k^2-1)<3P, que es una cota fácil de deducir de las igualdades anteriores. Para cada k exigiremos que el discriminante sea cuadrado perfecto y calcularemos n para ver si es entero positivo.

Así encontraremos todos los números que sean suma de oblongos consecutivos:

2, 6, 8, 12, 18, 20, 30, 32, 38, 40, 42, 50, 56, 62, 68, 70, 72, 90, 92, 98, 104, 110, 112, 128, 132, 148, 156, 160, 162, 166, 168, 170, 182, 200, 210, 218, 220, 232, 238, 240, 242, 260, 272, 288, 290, 306, 310, 322, 328, 330,…

Para encontrarlos se puede usar esta función, que devuelve una cadena vacía si el número no se puede descomponer, o una cadena que contiene todos los valores de n y k para los que es suma de oblongos. Podría ser esta:

Function essumaob(n) As String
Dim e$
Dim k, p, q

e$ = "" ‘Comenzamos con una cadena vacía
k = 1
While k * (k ^ 2 - 1) <= 3 * n ‘Recorremos los valores posibles de k
p = 12 * k ^ 2 - 3 * k ^ 4 + 36 * k * n ‘Se calcula el discriminante
If escuad(p) Then ‘Si es cuadrado perfecto, se sigue el proceso
q = (Sqr(p) - 3 * k ^ 2) / 6 / k ‘Encontramos el valor de n inicial en la suma
‘Si n es entero positivo, se toma nota en la cadena
If q = Abs(Int(q)) and q>0 Then e$ = e$ + Str$(q) + ", " + Str$(k) + " "
End If
k = k + 1
Wend
essumaob = e
End Function

Esta función sólo se debe aplicar a números pares, que son los únicos que pueden coincidir con una suma de oblongos. Aquí tienes algunos:



Vemos que 12 presenta n=3, k=1, ya que 12=3*4. Existen dos soluciones para 20: n=4, k=1, pues 20=4*5, y también n=1, k=3, es decir, 20=1*2+2*3+3*4

Con esta función podemos analizar cualquier otro número. Aquí tenemos la solución para los ejemplo 14518, 19518:



Se confirman las soluciones encontradas más arriba.

Si todas las soluciones las dividimos entre 2, resultarán los números que equivalen a suma de triangulares consecutivos. Los tienes publicados en http://oeis.org/A034706 con el añadido de un cero:



Relación con los números combinatorios

Es fácil ver que n(n+1)(n+2)/3 es el doble del número combinatorio C(n;3). Por tanto, las fórmulas que hemos usado en párrafos anteriores se pueden resumir en


Tomamos la diagonal del 3 en el triángulo de pascal y formamos todas las diferencias mutuas multiplicadas por 2:



Deberemos tomar los valores 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168,…dobles de la cuarta diagonal y restar “todos con todos”. Llegaríamos a los mismos valores 2, 6, 8, 12, 18, 20, 30, 32, 38, 40, 42, 50,…

Relación con los números piramidales

La suma de triangulares consecutivos daba lugar a los números piramidales triangulares, u ortoedros (Ver nuestra entrada http://hojaynumeros.blogspot.com/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html)

Como en este caso no los sumamos todos, sino sólo a partir de un índice, en lugar de piramidales triangulares serían “troncopiramidales”. Como también nuestros sumandos son el doble de un triangular, lo que obtenemos son “troncopiramidales de base oblonga”. En la imagen tienes representado así el número 38=2*3+3*4+4*5


¿Qué números están repetidos en el listado?

Algunos números suma de oblongos aparecen repetidos en los listados. Por ejemplo, 128=7*8+8*9=56+72 y 128=5*6+6*7+7*8=30+42+56

Para descubrir el número de soluciones que puede presentar un número P como suma de oblongos consecutivos basta modificar ESSUMAOB para que nos devuelva el número de soluciones en lugar de los valores de n y k. Sólo hay que cambiar alguna línea. Puede quedar así:

Function numsumaob(n)
Dim k, p, q, v


v = 0 ‘En lugar de una cadena devuelve el número de soluciones
k = 1
While k * (k ^ 2 - 1) <= 3 * n ‘Esta parte coincide con ESSUMAOB
p = 12 * k ^ 2 - 3 * k ^ 4 + 36 * k * n
If escuad(p) Then
q = (Sqr(p) - 3 * k ^ 2) / 6 / k
If q = Abs(Int(q)) And q > 0 Then v = v + 1 ‘Incrementa el contador de soluciones
End If
k = k + 1
Wend
numsumaob = v ‘Devuelve el número de soluciones
End Function

Con esta función podemos identificar rápidamente los primeros números que coinciden al menos dos veces con una suma de oblongos consecutivos:



Por ejemplo, 328 presenta los valores n=7, k=4 y n=2, k=8, es decir:

328=7*8+8*9+9*10+10*11
328=2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10

El primer número que admite tres desarrollos es el 4360, con los valores n=31, k=4; n=27, k=5;  n=9,  k=15

Con más soluciones no existen ejemplos menores que 500000. Se podrían buscar con instrumentos más rápidos que las hojas de cálculo.

miércoles, 4 de julio de 2018

Números que contienen las cifras de sus divisores


No es infrecuente que un número expresado en un sistema de numeración (nos limitaremos a la base decimal) contenga las cifras bien ordenadas de alguno o de todos sus divisores. Por ejemplo, 1734 contiene a sus divisores 17 y 34 como  subconjuntos ordenados de cifras. Existen publicadas muchas listas, de las que veremos algunas, especialmente con números primos. Para efectuar búsquedas sería conveniente disponer de alguna función que nos devolviera si un número contiene las cifras (siempre consecutivas) de algún divisor o, mejor aún, que indicara esos divisores.

Funciones necesarias

El criterio de si las cifras de un número están contenidas dentro de otro es fundamental en esta cuestión, pero existen dos inconvenientes:

  • Los números deberán convertirse en cadenas de texto
  • El formato de hoja de cálculo puede añadir espacios en blanco delante de los números positivos.
Estos dos problemas los resuelve la función AJUSTA$, como podemos observar en su listado:

Function ajusta$(a)
Dim d$

d$ = Str$(a) ‘Convierte el número en String
While Left$(d$, 1) = " "
d$ = Right$(d$, Len(d$) - 1) ‘Le suprime los espacios en blanco
Wend
ajusta$ = d$ ‘El resultado es una cadena de caracteres
End Function

Con esta función es fácil construir otra, DENTROCIFRAS, que indique si las cifras de un número contienen a las de otro  de forma consecutiva, es decir que el segundo sea una subcadena del primero.

Public Function dentrocifras(a, b) As Boolean 'Ve si las cifras de b están en a
Dim aa$, bb$
aa$ = ajusta(a) ‘Ajusta ambos números
bb$ = ajusta(b) ‘después, con función InStr averigua si está contenido
If InStr(aa$, bb$) > 0 Then dentrocifras = True Else dentrocifras = False
End Function

Es una función tipo boolean, que devuelve VERDADERO (True) o FALSO (False). Puedes probarla: DENTROCIFRAS(2431;43) debe dar VERDADERO y DENTROCIFRAS(818;88), FALSO, porque las cifras han de ser consecutivas.

Función CONTIENEDIV

Con esta función ya estamos preparados para saber si las cifras de un número contienen las de un divisor determinado, como ocurre con 725 y 25. Bastará hacernos las preguntas de si es divisor y después de si sus cifras están contenidas. Podemos organizarlo así:

Public Function contienediv(a, b) As Boolean
contienediv = a / b = a \ b And dentrocifras(a, b)
End Function

En primer lugar determina si es divisor, mediante a/b=a\b, que significa que al dividirlos resulta el mismo cociente que en la división entera \ (no aparece resto, por lo que se puede usar también la expresión a MOD b = 0) y después, con dentrocifras, si está contenido. Así, contienediv(912;12)=VERDADERO, porque 12 es divisor y sus cifras están contenidas en 912. Por el contrario, contienediv(324;24) da FALSO, porque 24 está contenido pero no es divisor.

Están publicadas las listas de aquellos números múltiplos de alguno de los veinte primeros que contienen sus cifras. Por ejemplo, la de múltiplos de 17 es

17, 170, 1173, 1700, 1717, 1734, 1751, 1768, 1785, 2176, 3179, 3417, 5117, 6171, 6817, 7174, 8177, 8517, 10217, 11713,…

Todos contienen un 17 y son múltiplos de él. Los tienes publicados en http://oeis.org/A121037

Con las funciones que hemos presentado puedes emprender otras búsquedas. Aquí tienes los primeros que contienen 23 como divisor entre sus cifras:

23, 230, 2231, 2300, 2323, 2346, 2369, 2392, 4232, 4623,…

Aunque es algo complicado, se adjunta a continuación el código PARI correspondiente. En la última línea el resultado sería cero, ya que hemos visto que es falso que 324 contenga a 24 como divisor. Hay que recordar que en PARI el valor VERDADERO se codifica como 1 y el FALSO como 0.

indigit(a, b)={ local(u,v,indi=0,la,lb,i,d,x);u=Vec(Str(a)); v=Vec(Str(b)); la=#u; lb=#v; i=1; while(i<=la-lb+1&&indi==0, d=0; for(x=1, lb, if(v[x]==u[i+x-1], d+=1)); indi=(d==lb) ; i+=1); indi}
indigitdiv(a,b)=(a%b==0)&&indigit(a,b)
print(indigitdiv(324,24))

Números que contienen todos sus factores primos

En la propuesta anterior fijábamos el valor del divisor que debería estar contenido en las cifras del número, pero ese dato no tenemos por qué saberlo.

Podíamos introducir una función que recorriera los factores primos del número y fuera probando uno a uno para ver si están contenidos o no como subcadena.
El problema está en esa extracción de factores primos. Si deseas profundizar lee la entrada de este blog

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/09/tus-funciones-disponibles-en-todas-las.html

En ella se explica la rutina sacaprimos y la función factores. Si las usamos, los factores primos  se guardarán en la matriz primo(n), y es esta la que vamos a usar ahora. Crearemos la función CONTIENEDIVPRIM(A,TIPO). Ella recorrerá los factores primos de A, comprobará con CONTIENEDIV si las cifras de estos están contenidas en el total y las irá acumulando en un string, al que añadirá la expresión del número de primos contenidos localizado. Así,
CONTIENEDIVPRIM (432;0)=2  3 y k= 2

Significa que contiene los factores 2 y 3 y que se han encontrado 2.

El parámetro TIPO nos sirve para, si vale 0, exigir que aparezcan todos los factores primos del número, como en el ejemplo anterior, y si es distinto de  0, fijará el número de factores que deseemos.

Public Function contienedivprim(a, tipo) As String
Dim n, i, k
Dim c$

c$ = ""
n = sacaprimos(a)
k = 0
For i = 1 To n
If contienediv(a, primo(i)) Then c$ = c$ + Str$(primo(i)) + " ": k = k + 1
Next i
c$ = c$ + "y k=" + Str$(k)
If tipo = 0 Then
If k = n Then contienedivprim = c Else contienedivprim = ""
Else
If k >= tipo Then contienedivprim = c Else contienedivprim = ""
End If
End Function

Con el TIPO=0 podemos confeccionar un listado de aquellos números compuestos que contienen a todos sus factores (el caso primo carece de interés):
25, 32, 125, 128, 135, 175, 243, 250, 256, 324, 375, 432, 512, 625, 735, 875, 1024,...

http://oeis.org/A050694

Números que contienen algunos factores primos

Con la función CONTIENEDIVPRIM, modificando el TIPO desde 1 hasta el tope que deseemos, se obtendrán los números que al menos coinciden con tantos factores primos como indique el valor de TIPO. Así, para dos factores obtenemos:

Figuran en la tabla los números con al menos dos coincidencias, los factores con los que coinciden y el número k de ellos. Si prolongamos la lista, aparecerá algún número que coincida con tres factores o más. El primero, que figurará en la siguiente lista, será el 735, que contiene los factores 3, 5 y 7.

Con tres coincidencias o más, haciendo TIPO=3, obtenemos

735, 1326, 1365, 1785, 2346, 2510, 2570, 2730, 3162, 3192, 3276, 3570, 3675, 3792


Estos son los primeros que contienen cuatro primos:

21372, que contiene a 2, 3, 13 y 137
37296, respecto a los divisores 2, 3, 7 y 37

Y con cinco

271362, con divisores 2, 3, 7, 13 y 71
527310, con 2, 3, 5, 7 y 31

Por último, si hacemos TIPO=0, aparecerán los compuestos que contienen a todos sus factores primos (está publicada en http://oeis.org/A050694)

25, 32, 125, 128, 135, 175, 243, 250, 256, 324, 375, 432, 512, 625, 735, 875, 1024, 1250, 1352, 1372, 1593, 1675, 1715, 1792, 2048, 2176, 2304, 2500, 2510, 2560, 2570, 2744, 3072, 3087, 3125, 3375, 3645, 3675, 3792, 4232, 4375, 5120, 5210, 5230, 5832…

Con esta entrada despedimos el curso 2017-18. Volveremos en septiembre si el verano se da bien. Os deseo un buen descanso.

lunes, 25 de junio de 2018

Diferencias mínimas entre divisores


Si ordenamos en orden creciente (o decreciente) los divisores de un número compuesto, las diferencias entre dos consecutivos son siempre menores que las existentes entre dos más alejados, como es fácil de razonar, ya que todas las del segundo tipo son sumas de las consecutivas. La cuestión que nos planteamos es saber qué diferencia entre divisores es la mínima y cuántas veces se repite.

Luego particularizaremos a la diferencia 1, que daría lugar a divisores que son números consecutivos. Para la primera parte de este estudio no consideraremos el divisor 1, porque así obtendremos propiedades más interesantes.

Por ejemplo, si escribimos ordenados los divisores de 135 mayores que 1, obtendremos:

135 45 27 15 9 5 3

Vemos que la diferencia mínima entre los consecutivos es 2 (entre 3 y 5), y que es menor que todas las demás diferencias, sean o no entre consecutivos. Esta diferencia mínima se puede repetir en la sucesión de divisores. Tenemos, por ejemplo el caso del 540:

540 270 180 135 108 90 60 54 45 36 30 27 20 18 15 12 10 9 6 5 4 3 2

En él se repite cinco veces la diferencia mínima 1:

1=3-2=4-3=5-4=6-5=10-9

Es fácil ver que ocurre esto por ser múltiplo de un factorial.

Esta cuestión da lugar a varios cálculos distintos. Los vemos uno a uno.

Búsqueda de la diferencia mínima

La primera cuestión, dado un número concreto, es averiguar cuál es la diferencia mínima entre divisores.

La siguiente función en VBasic resuelve la cuestión utilizando tan sólo las funciones predefinidas de Excel o Calc. Recorre los divisores del número tomando nota de las diferencias entre consecutivos y almacenando la menor que se encuentre:

Public Function mindifdivi(n)
Dim i, p, p1, a1, a2, es

p = n - 1: p1 = p: a1 = 1: a2 = n: es = 0 ‘Variables iniciales
For i = 2 To n / 2 ‘Recorre desde 2 hasta la mitad del número
If n / i = n \ i Then  ‘Comprueba si es divisor
a1 = i: es = 1 ‘Guarda memoria del divisor
p1 = Abs(a2 - a1) ‘Calcula la diferencia con el divisor anterior
If p1 < p Then p = p1 ‘Si es más pequeña que la almacenada, la sustituye
a2 = a1
End If
Next i
If es = 0 Then mindifdivi = 0 Else mindifdivi = p ‘Si no es primo, devuelve la diferencia mínima
End function

Como la gran mayoría de números es múltiplo de los primeros primos, 2, 3, 5 o 7, abundan los resultados 0 (los primos), 1 y 2, como podemos ver en los valores de 1 a 20:



Las mayores diferencias suelen presentarse en los números semiprimos, como el 14, o potencias de primos, que sería el caso del 9. Es lógico que sea así. Por ejemplo el año 2018 es semiprimo con los factores muy alejados (2018=2*1009), por lo que su mínima diferencia es 1007.

Las mínimas diferencias se dan entre los múltiplos de 2 y 3 o de 3 y 5 (o 5 y 7, por ejemplo), que tienen el valor de 1 o 2. Esto puede ser engañoso. Las diferencias entre factores primos pueden no ser las mínimas. En el caso de 2450 sus factores son  7, 5 y 2, lo que haría esperar una diferencia mínima de 2, pero en realidad es 1, diferencia entre 49 y 50, consecutivos en la lista de divisores:

2450 1225 490 350 245 175 98 70 50 49 35 25 14 10 7 5 2 1

¿Cuántas veces se repite una diferencia mínima?

Una vez que hemos encontrado la diferencia mínima, con una función similar a la anterior podemos contar las veces en las que aparece. Recordamos de nuevo que se excluye el divisor 1.

Su código puede ser el siguiente:

Public Function nummindifdivi(n)
Dim i, p, p1, aa, a1

p = mindifdivi(n): p1 = 0 ‘Se calcula la diferencia mínima p y se pone el contador p1 a cero.
If p = 0 Then nummindifdivi = 0: Exit Function ‘Caso en el que n sea primo
For i = 2 To n / 2 ‘Recorremos los divisores propios
aa = n / i
If aa = Int(aa) Then ‘Si es un divisor, seguimos
a1 = aa + p ‘Incrementamos el divisor en la diferencia mínima
If n / a1 = Int(n / a1) Then p1 = p1 + 1 ‘Si resulta otro divisor, incrementamos el contador
End If
Next i
nummindifdivi = p1 ‘El resultado es el contador
End Function

A continuación reproducimos la tabla anterior adjuntando una columna con el número de ocurrencias de la diferencia mínima y la lista de divisores propios:



Así vemos, por ejemplo, que la diferencia mínima en el 12 es 1, y que se presenta dos veces, entre el 2 y el 3 y entre el 3 y el 4. En el caso del 14, la mínima es 5, y sólo aparece una vez, entre 2 y 7.

Con esta función podemos determinar los números con mayor número de ocurrencias de la diferencia mínima.

Ejemplos:

Números con más de cuatro diferencias mínimas

Los primeros son



Vemos que, por ejemplo, 420 presenta 7 diferencias mínimas iguales a 1:
2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 14-15 y 20-21.

Números con diferencia 2 y varias repeticiones

Los números 3465 y 4095 son los primeros que presentan cinco diferencias mínimas con valor 2. La razón es que todos sus factores primos son impares y esto facilita la repetición del 2. Así, 3465=3*3*5*7*11, y presenta diferencia 2 en
3-5, 5-7, 7-9, 9-11, 33-35

Las primeras diferencias son previsibles, restando los factores primos, pero otras es difícil encontrarlas por razonamiento, como 33-35.

Caso en el que diferencia mínima es 1 (consecutivos)

Este caso es el más interesante, por lo que merece una función especial para él. Aquí sí vamos a incluir el divisor 1, por la siguiente razón:

El número de pares de divisores consecutivos coincide con el de divisores oblongos, del tipo n(n+1). Es claro que todo número divisible por n y n+1 también lo es entre n(n+1), e igual ocurre a la inversa. Si no tenemos en cuenta el 1, perderíamos el oblongo 1*2=2.

Otro detalle que nos facilita la búsqueda es que los oblongos comienzan en 2 y luego sus diferencias van siendo 4, 6, 8, 12,…los pares consecutivos, lo que facilita el recorrido entre oblongos.

Según estas consideraciones, se puede diseñar la siguiente función numconsec que cuente los divisores consecutivos.

Public Function numconsec(n)
Dim i, m, p

m = 0: i = 2: p = 2 ‘Inicios de números oblongos
While i <= n
If n / i = n \ i Then m = m + 1 ‘Si es un divisor oblongo, se incrementa el contador
p = p + 2: i = i + p ‘Se genera el siguiente oblongo
Wend
numconsec = m
End Function


En http://oeis.org/A088723 están publicados los números que al menos poseen dos divisores consecutivos (sin contar el 1):

6, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 100, 102, 108, 110, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 180, 182, 186, 192, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260…

Tomamos uno de ellos, por ejemplo el 222. Le buscamos todos los divisores y resultan ser:

222 111 74 37 6 3 2 1, con consecutivos 2-3

Con nuestra función resultarían dos, ya que contamos 1-2 y 2-3, para que así coincida con oblongos, que en este caso serían 2 y 6.

Es claro que todos los múltiplos de 6 pertenecen al listado, pero hay otros, como el 110, no múltiplo de 6 pero es oblongo y sus divisores consecutivos son 10 y 11.

Estos son los que presentan más de dos pares de consecutivos:

12, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 105, 108, 120, 126, 130, 132, 144,…

Casi todos son múltiplos de 6 o incluso de 12.

Con más de tres consecutivos aparecen:

60, 72, 84, 90, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 210, 216, 240,…

Es fácil ver que al aumentar el número de consecutivos iremos obteniendo entre ellos múltiplos de 60, pues nos garantizamos los consecutivos 1, 2, 3, 4,  5 y 6. Un caso especial vemos que es el 132=2*2*3*11, cuyos consecutivos son 1-2, 2-3, 3-4 y 11-12.

Al llegar aquí podemos pensar en los factoriales, que tienen garantizados n-1 consecutivos. Veamos si aparecen muchos más pares:



Hasta el 4 resultan los previstos. Después van apareciendo más casos, como en el 6!, que podemos recorrer 8: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 8-9, 9-10 y 15-16.

Números “record”

En el párrafo anterior podíamos sospechar que el incremento del número de pares de divisores consecutivos no seguía una sucesión creciente. Hemos programado la búsqueda de los números en los que el número de pares se incrementa en una unidad, y hemos obtenido estos:




Vemos que el orden natural se rompe entre 72 y 60, ya que este segundo presenta más pares que el 72. Como era de esperar, no figuran apenas factoriales, que serían los mejores candidatos para poseer más pares de números consecutivos.

El resto de soluciones, salvo el ya conocido desfase en la primera,  lo tienes en http://oeis.org/A088726

A088726: Smallest numbers having exactly n divisors d>1 such that also d+1 is a divisor.

1, 6, 12, 72, 60, 180, 360, 420, 840, 1260, 3780, 2520, 5040, 13860, 36960, 41580, 27720, 55440, 83160, 166320, 277200, 491400, 471240, 360360, 1113840, 720720, 1081080, 3341520, 2162160, 2827440, 5405400, 4324320, 12972960, 6126120,…

Se vuelve a romper el orden en otros casos, como 3780 y 2520.

jueves, 14 de junio de 2018

Números piramidales centrados (4/4)



Otros números piramidales centrados


Hexagonales

Con estos números, como veremos, el inicio del estudio seguirá un camino más simple:

Partimos de los poligonales hexagonales centrados:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215

Y

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html)
En esta entrada nuestra incluimos su expresión, que es una diferencia de cubos consecutivos


Por tanto, si para construir los piramidales debemos ir formando las sumas parciales, resultarán cubos. En efecto:

1, 1+7=8, 1+7+19=27, 1+7+19+37=64

Luego la sucesión será:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167,…

En el boceto siguiente está representado el número 27, que a su vez contiene el 7 y el 1, en sus tres capas, luego 27=1+1+6+1+6+12



Los términos de la sucesión claramente son cubos. No hay que usar interpolador para verlo. Si también acudimos a la fórmula de Deza lo comprobaremos, para n=6




Así que estos números, además de ser piramidales centrados, representarán una figura cúbica. Aclara mucho la equivalencia si vas tomando grupos de tres unidades en la imagen anterior y te los imaginas alineados en una trama cúbica:



Al coincidir estos números con los cubos, todas sus propiedades se desprenderán de ese carácter, lo que les quita interés.

Suma de grupos de impares consecutivos

Añadimos esta propiedad porque se puede interpretar como un número trapezoidal. Cada número heptagonal centrado equivale a la suma de uno de estos grupos:

{1}, {3, 5},{7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19},…

1=1
8=3+5
27=7+9+11
64=13+15+17+19

Las sumas se pueden representar mediante trapecios. Por ejemplo, la última formaría esta imagen:



Para comprobarlo algebraicamente, usaremos, como en casos anteriores, los números triangulares. Sabemos que la suma de impares equivale al cuadrado de su número, pero estos grupos se han ido eligiendo siguiendo los triangulares, por lo que su valor coincidirá con la diferencia de cuadrados de dos triangulares consecutivos. Así:


Heptagonales

Partimos de los poligonales centrados de siete lados

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197,… http://oeis.org/A069099

Acumulamos:
1, 1+8=9, 9+22=31, 31+43=74,…y obtenemos:

1, 9, 31, 74, 145, 251, 399,…

Están publicados en http://oeis.org/A004126

Su expresión es fácil de obtener con la fórmula de Deza:



Propiedades

Como suma de triangulares

Casi todos los números figurados presentan relaciones sencillas con los números triangulares. En este caso es:

El piramidal heptagonal centrado de orden n equivale a la suma de n triangulares comenzando por T(n)

Por ejemplo:
31=6+10+15
74=10+15+21+28

Para el caso n basta recordar que la suma de los primeros números triangulares equivale a n(n+1)(n+2)/6, luego la suma de sólo cuatro será la diferencia entre la suma de los 2n-1 primeros menos la suma de los n-1 primeros. Lo desarrollamos:

(2n-1)2n(2n+1)/6-(n-1)n(n+1)/6

Simplificando en Wolfran-Alpha:



Obtenemos:



Coincide con la expresión obtenida más arriba, luego la propiedad es verdadera.


Fórmula combinatoria

La propiedad anterior se puede expresar así:


Octogonales

Los poligonales octogonales centrados, que no llegamos a estudiarlos en este blog, equivalen a los cuadrados de los números impares, como puedes ver en OEIS:










También los puedes recorrer con nuestra calculadora Calcupol

(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)

Eliges el tipo Centrado de orden 8



Escribes un 1 en pantalla y vas pulsando la tecla PROX, con lo que aparecerán en pantalla los cuadrados de los impares.

Acumulamos esos cuadrados mediante sumas parciales

1+9=10
1+9+25=35
1+9+25+49=84

Obtendremos la sucesión

1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770, 9139, 10660, 12341,…(http://oeis.org/A000447)

Estos serán los piramidales octogonales centrados.

De la fórmula de Deza se deduce:



También se puede escribir como



Se puede comprobar:

PIRC8(3)=3*5*7/3=35;  PIRC8(4)=4*7*9/3=84

Coincidencia con tetraedros

Si aplicamos la fórmula obtenida a los números impares nos resultará:



Los números combinatorios de orden 3 coinciden con los piramidales triangulares o tetraedros.

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html

Así que estos estos octogonales que estamos estudiando coinciden con los tetraedros en los lugares impares:

Piramidales octogonales centrados:

1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770,…

Piramidales triangulares:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925,…

Cada dos de estos coinciden con los de arriba.

Este tema se ha alargado mucho. Es el momento de cortar y dejar el resto para investigar.

jueves, 7 de junio de 2018

Números piramidales centrados (3/4)


Piramidales pentagonales centrados


En las entradas anteriores de este blog (puedes consultarlas pulsando en la frase Entradas antiguas de la parte inferior de este texto) estudiamos números piramidales centrados de tres dimensiones con tres o cuatro lados. En esta seguiremos aumentando el número de lados a 5, pero nos limitaremos a una relación esquemática de su construcción, que ya ha sido explicada anteriormente y suponemos que bien entendida, y añadiremos alguna propiedad interesante de cada tipo.


Formación

Lo explicamos de forma esquemática, pues es un procedimiento que hemos desarrollado anteriormente. Insertamos enlaces para una mejor comprensión. Procederemos de la misma forma en los siguientes tipos.

Tomamos los números  poligonales pentagonales centrados:
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976,…

http://oeis.org/A005891

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html

Sobre ellos acumulamos sumas parciales

1, 1+6=7, 1+6+16=23, 1+6+16+31=54,…

Y nos queda

1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289, 2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877, 10143,…http://oeis.org/A004068

Extraemos la expresión genera con nuestro interpolador (ver entradas anteriores):



Copiamos los coeficientes de abajo para obtener el polinomio interpolador, y resulta:

P(x)=1+6(x-1)+5(x-1)(x-2)+5(x-1)(x-2)(x-3)/6

Simplificamos en la página de WolframAlpha:



O bien


Es decir:



A partir de la fórmula de Deza (ver entrada anterior) también se obtiene:





Puedes ir engendrando así los términos de la sucesión o usar nuestra calculadora Calcupol, ya presentada en la anterior entrada. Ahora cambiamos el método. Ábrela y concreta en su parte derecha que deseas usar piramidales centrados y marca 5 como orden:



Después escribe un 1 en pantalla y ve usando la tecla PROX paso a paso, y obtendrás la sucesión 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287,…Después, con la tecla ANT los puedes recorrer descendiendo hasta el 1. También puedes encontrar un término más alejado. Por ejemplo, con la secuencia de teclas 5 PIRC 30 =  obtendrás el término 30, que resulta ser  22505. Si ahora usas PROX y ANT puedes descubrir los términos más cercanos a él.

Propiedades de estos números

Si los piramidales cuadrados centrados los interpretamos como octaedros, estos pentagonales los podemos convertir en decaedros, es decir en poliedros de diez caras. Así lo interpreta la sucesión de OEIS A004068, como ves en su inicio:

A004068 Number of atoms in a decahedron with n shells.
0, 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289, 2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877, 10143, 11524, 13025, 14651, 16407, 18298, 20329, 22505, 24831, 27312, 29953, 32759, 35735, 38886, 42217, 45733, 49439,…

Como es una cuestión geométrica y el sentido de la palabra decaedro es ambiguo, dejamos esta interpretación en este punto.

Otra interpretación de la fórmula

La expresión general del valor de estos números se puede escribir de otra forma:



Esta, a su vez equivale a


Llegamos a algo interesante, y es que la fórmula se reduce a un cubo y a un número combinatorio.

Relación con la Combinatoria

La última expresión de la fórmula se puede interpretar como una diferencia entre combinaciones con repetición de n elementos tomados de 3 en 3 y las combinaciones de n+1 elementos también de 3 en 3.

Esta consideración nos lleva a una interpretación combinatoria similar a otra que descubrimos para los piramidales centrados de 4 lados.

a(n+1) equivale al número de tripletas (w,x,y) con términos comprendidos en {0,...,n} y tales que x+y>=w. Esta propiedad también es debida a Clark Kimberling.

Antes de razonar nada, lo desarrollaremos mediante nuestra herramienta Cartesius, que construye productos cartesianos condicionados
(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Usaremos este planteo para el caso n=3:

En la primera línea pedimos un producto de tres factores. Después, que pertenezcan al intervalo (0,..3) y, finalmente, que el primero sea menor o igual que la suma de los otros dos.

El resultado es igual a 54 casos, que es el cuarto término de la sucesión. Veamos en detalle los valores de x1:

El valor x1=0 aparece sin restricciones, ya que es menor o igual que cualquier otro elemento. En total 16 veces:



El valor x1=1 ya tiene una restricción, que es (1, 0, 0), luego se presentará 16-1 veces:


De igual forma, x1=2 aparece 16-3=13 veces, donde 3 son las combinaciones que forman las excepciones: (2,0,0), (2,1,0) y (2,0,1)



Por último, el 3 sólo aparecerá en 16-6=10 casos





Se ve, y se puede generalizar fácilmente, que lo que se le va restando a cada 16 un número triangular:

16+16-1+16-3+16-6=64-1-3-6=54

Para n=4 obtendríamos:

5^3=125, luego la expresión que acabamos de obtener se convertiría en
25+25-1+25-3+25-6+25-10=125-(1+3+6+10)=105, como era de esperar. Los números triangulares representan las combinaciones de dos en dos que representan a las excepciones.

La suma de triangulares equivale al número piramidal triangular o tetraedro,  tal como puedes comprobar en nuestra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html

En ella vemos que equivale a un número combinatorio


Ajustando índices nos queda la expresión ya vista para los piramidales que estamos estudiando:



Así que la propiedad es cierta.

Todo este estudio nos da otra interpretación geométrica para estos piramidales centrados de orden 5, y es que son la diferencia entre un número cúbico e lado n y un tetraedro de lado n-1.


Suma de valores de un polinomio

Traducimos una propuesta de Reinhard Zumkeller, Nov 11 2012:

Otra expresión para estos números es


En efecto, si sumamos estos términos, obtenemos los piramidales centrados pentagonales:



Para demostrarlo recordemos que la suma de n naturales es n(n+1)/2 y la de sus cuadrados n(n+1)(2n+1)/6. Por tanto, al sumar n^2+nk+k^2 obtendremos:

 PIRC(5,n)=n(n+1)(2n+1)/6-n*n*(n+1)/2+n*n^2

Lo simplificamos en la página de WolframAlpha y nos queda comprobado:


Volvemos a la expresión inicial.