Números aritméticos (3) - Tipos de promedio

En esta tercera entrada de la serie sobre números aritméticos trataremos de los distintos tipos que puede presentar el promedio entero de los divisores de un números. Es un tema sin mucha trascendencia, pero abundante en curiosidades y pequeñas demostraciones.

Aritméticos con promedio primo

Estos son los más parecidos a nuestros números AROLMAR, ya que en estos últimos ha de ser primo el promedio de los factores primos, mientras que ahora tomaremos todos los divisores.

Deberemos unir a la función esaritmetico la condición de que SIGMA(n)/TAU(n) sea un número primo. Los primeros encontrados son:

También se obtienen con el Buscador y la condición

ES PRIMO(SUMDIV(N)/NUMDIV(N))

Están publicados en https://oeis.org/A048968

Para encontrarlos con PARI puedes usar lo siguiente:

is(n)={if(sigma(n)%numdiv(n)==0,m=sigma(n)/numdiv(n),m=1);return(isprime(m))}
for(i=2,10^3,if(is(i),print1(i,", ")))

Comprobación:

 

Caso de p primo

Si el número es un primo p, deberá ser también primo (p+1)/2, que es el cociente entre SIGMA(P) Y TAU(p). Esta situación recuerda a los primos de Sophie Germain, pero en ellos es primo (q-1)/2, siendo q el asociado de p.

Están publicados en https://oeis.org/A005383

Según esta página, vendrán seguidos del doble de un primo, como se deduce fácilmente. Por ejemplo, el número 157 que está en la tabla viene seguido del 158=2*79.

Según Zak Seidov, Feb 16 2017, todos ellos, a partir del 13, han de ser del tipo 12k+1. La razón es sencilla, y, como siempre, distinguimos entre primos del tipo 6k+1 y 6k-1

Si p=6k+1, (p+1)/2=(6k+1+1)/2=3k+1, lo que obliga a que k sea par, quedando el tipo 12k+1

Si p=6k-1 (p+1)/2=(6k-1+1)/2=3k, múltiplo de 3 y no primo.

Caso de p compuesto

Es fácil ver que son los siguientes:

 

También están publicados

(ver https://oeis.org/A048969)

 Subcaso de cuadrados de primos

Observamos que en el listado figuran cuadrados de primos, y todas las bases son primos del tipo 6k+1, como ya se comprobó en el caso general.

En estos, SIGMA(n)=1+p+p², con lo que ha de ser primo (1+p+p²)/3. Además, al igual que p, deberá ser del tipo 6k+1:

(1+6k+1+(6k+1)²)/3=(2+6k+36k²+12k+1)/3=12k²+6k+1.

Es del tipo deseado.

Podemos construir una tabla que compare los valores de p con los de la media de sus divisores, ambos primos del tipo 6k+1:

 

Los promedios primos de la segunda columna están publicados en https://oeis.org/A338299, y los de la primera columna, en https://oeis.org/A240971

En esta página se comenta que, según la hipótesis de Schinzel, ambas sucesiones tienen carácter infinito.

Subcaso de libres de cuadrados

Por analogía con los AROLMAR, nos quedamos con los compuestos libres de cuadrados, pero en este caso sólo hemos encontrado el número 6, aunque se ha buscado hasta 10^6.

Caso en el que el promedio es divisor del número

Otra propiedad que pueden tener los números aritméticos es la de que el promedio de sus divisores sea también un divisor. Los algoritmos que hemos usado hasta ahora se pueden adaptar fácilmente a esta nueva propuesta. La función esaritmetico puede quedar así:

Function esaritmetico(n) As Boolean
Dim t, s, i, c

t = 0
s = 0
For i = 1 To n
If n / i = n \ i Then
t = t + 1
s = s + i
End If
Next i
c = s / t
If c = Int(c) And n / c = n \ c Then esaritmetico = True Else esaritmetico = False
End Function

Ha bastado añadir el trozo de código que está subrayado en el listado, y que equivale a afirmar que el promedio de divisores es también un divisor. Con esta función obtenemos los primeros ejemplos:

En la tabla figuran los valores de N, sus factores primos, el promedio de divisores y el cociente de N entre el mismo, que ha de ser entero.

Este procedimiento se puede adaptar al lenguaje PARI:

is(n)={if(sigma(n)%numdiv(n)==0,m=sigma(n)/numdiv(n),return(0));return(n%m==0)}

for(i=2,10^6,if(is(i),print1(i,", ")))

Nos devolverá un listado ya publicado:

6, 140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400, 173600, 237510, 242060, 332640, 360360, 539400, 695520, 726180, 753480,… (ver https://oeis.org/A007340)

Estos promedios resultan ser números de Ore, en los que la media armónica de los divisores también es entera. Los estudiaremos más adelante.

Otros casos para el promedio

Hemos estudiado el caso en el que el promedio de divisores es primo, pero puede presentar otra naturaleza, como cuadrado o triangular. Buscaremos algunos:

Promedio cuadrado

Los primeros números en los que el promedio de sus divisores es un cuadrado son;

 

Respecto a su descomposición, observamos que figuran primos, semiprimos, no libres de cuadrados y otros.

El caso de los primos está publicado y existe una expresión para ellos. Los primeros son estos:

7, 17, 31, 71, 97, 127, 199, 241, 337, 449, 577, 647, 881, 967, 1151, 1249, 1567,…

(https://oeis.org/A066436)

Son los primos de la forma 2n²-1, como fácilmente se comprueba:

SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p)/2=n², luego p=2n²-1.

En efecto, todos los términos, al sumarles una unidad y dividir entre 2 resultará un cuadrado.

Promedio triangular

Como es un caso muy similar al anterior, omitiremos algunos pasos. Los primeros términos de la sucesión son:

1, 5, 6, 11, 14, 15, 19, 27, 29, 38, 41, 54, 56, 65, 68, 71, 78, 89, 91, 92, 94, 96, 109, 115, 118, 119, 128, 131, 132, 138, 140, 145, 154, 165, …

Y los primos contenidos en la sucesión:

5, 11, 19, 29, 41, 71, 89, 109, 131, 181, 239, 271, 379, 419, 461, 599, 701, 811, 929, 991, 1259, 1481, 1559, 1721, 1979,…( https://oeis.org/A002327)

Dejamos com ejercicio comprobar que todos tienen la forma n²-n-1. Por ejemplo: 11=4²-4-1, 599=25²-25-1.

Promedio oblongo

En este caso nos dedicaremos tan solo a los números primos cuyo promedio de divisores tenga la forma n(n-1), que es un número oblongo.

Los primeros en cumplir esta condición son:

3, 11, 23, 59, 83, 179, 263, 311, 419, 479, 683, 839, 1103, 1511, 2111, 2243, 2663, 2963, 3119

También están publicados, pero con otras definiciones, en https://oeis.org/A098828.

En realidad, existen diversas expresiones que los identifican, además de ser primos aritméticos con promedio de divisores oblongo. Estudiamos alguna:

SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p)/2=n(n-1), luego p=2n²-2n-1

Esta condición los identifica de forma algebraica. Por ejemplo, 839= =2*21²-2*21-1.

Si la escribimos como p=2n(n-1)-3, observaremos que el primer sumando es múltiplo de 4, con lo que todos los términos de la sucesión será primos del tipo 4k+3.

La condición que figura en A098828, como la diferencia p=3x²-y², siendo x e y consecutivos, resulta de inmediato:

2n²-2n-1=3n²-(k+1)²

Por ejemplo, 419=3*15²-16²

Otros tipos

Números de Fibonacci

Estos son los primeros números cuyo promedio de divisores pertenece a la sucesión de Fibonacci:

1, 3, 5, 6, 21, 41, 45, 65, 67, 68, 78, 96, 109, 382, 497, 517, 527, 658, 682, 705, 759, 805, 930, 966, 1155, 1557, 1973, 3211, 3653 (https://oeis.org/A272440)

Entre ellos se encuentran términos de esa sucesión: 1, 3, 5, 21.

Cubos

Existen muchos ejemplos de promedios cúbicos:

 

Curiosamente, en los primeros ejemplos no figura el cubo de 5, 125. Ignoramos la razón.

Destaca el número 9261, cubo de 21, cuyo promedio, 1000, es también un cubo..

 

Tríos de consecutivos con la misma suma

 

El día 5/09/2023 publiqué esta igualdad en Twitter (o X):

5923 es el inicio de una suma de primos consecutivos que equivalen a otra suma de cuadrados consecutivos:

5923+5927+5939=76^2+77^2+78^2

Aunque era una propiedad particular relacionada con la fecha, me interesó su generalización como forma de practicar algoritmos y por la posibilidad de crear igualdades similares con otros tipos de números.

Ideas previas

Para encontrar este tipo de igualdades se podría comenzar recorriendo las sumas de consecutivos del primer tipo y después buscar otro trío del segundo tipo que coincida en la suma con ellos. Después de una reflexión pausada quedó claro que era preferible recorrer los posibles tríos de las dos clases de forma paralela y alternada, como una persecución mutua:

Sucesiones de persecución

Podemos comenzar con los tríos más pequeños de cada clase. En el ejemplo serían s=2+3+5=10 y t=1+4+9=14, donde la variable s representa las sumas de primos y t la de cuadrados. Es claro que s<t, por lo que convendría avanzar hasta el siguiente trío de primos, 3+5+7=15. Ahora t<s, por lo que toca avanzar los cuadrados, t=4+9+16=29.

Ya se entiende el procedimiento elegido. Los siguientes pasos serían: s=5+7+11=23, s=7+11+13=31, t=9+16+25=50, s=11+13+17=41, s=13+17+19=49, s=17+19+23=59,...Le llamaremos persecución mutua, porque la suma pequeña siempre perseguirá a la mayor.

Tardaríamos en encontrar una coincidencia. La primera se produce en la siguiente igualdad:

1511+1523+1531=38²+39²+40²

La distancia entre soluciones nos indica la conveniencia de un algoritmo para hoja de cálculo, que automatice el proceso, y es nuestro objetivo principal.

Coincidencia entre sumas

Si se consigue una coincidencia como la anterior, deberemos publicar la solución, con al menos el sumando inicial de cada trío y el valor de la suma. Avanzaremos un paso uno de los tríos coincidentes, y reanudaremos la persecución mutua.

Estructura del algoritmo

Definiciones previas

(A) Necesitaremos dos funciones que hagan avanzar, tanto los primos como los cuadrados, al próximo número del mismo tipo. Usaremos prox2 para los primos y prox1 para los cuadrados:

function prox1(n)
dim m

m=n+1
while not escuad(m):m=m+1:wend
prox1=m
end function

function prox2(n)
dim m

m=n+1
while not esprimo(m):m=m+1:wend
prox2=m
end function

Tienen la misma estructura, pero la primera usa la función escuad y la segunda esprimo. Ambas avanzan los números de uno en uno hasta llegar al siguiente cuadrado o primo.

(B) Los tríos los representaremos como un vector de tres dimensiones, sean a(3) y b(3). De esta forma, los tríos avanzaran así: a(1)=a(2), a(2)=a(3), a(3)=prox(a(3)), e igual con el vector b. Estos avances se producirán en uno u otro vector según sean las sumas, que almacenaremos en las variables s y t. 

También definiremos el tope de la búsqueda, que si es muy grande ralentizará el proceso. Usaremos la suma de los tríos para controlar el final del algoritmo.

(C) Fases del algoritmo:

•         Se inician las variables
•         Los tríos comienzan a avanzar con el criterio de que el que tenga menor suma avanza.
•         Si coinciden las sumas, se publican los resultados y se sigue el avance alternativo.
•         Se continúa hasta que la suma llega a un tope.

Esto se puede traducir a cualquier lenguaje de programación, pero aquí usamos las hojas de cálculo. Los procedimientos leecelda y escribecelda son propios del autor, pero se pueden sustituir fácilmente en la hoja de cálculo que se use.

Código en Vbasic

sub trios()

‘Se dimensionan sumas, tope y vectores de los tríos

dim a(3), b(3)
dim tope, s, t, fila

‘Se inician las variables y vectores

tope=leecelda(3,5,2)
s=0:t=0:fila=4
a(1)=prox1(0):a(2)=prox1(a(1)):a(3)=prox1(a(2)):s=a(1)+a(2)+a(3)
b(1)=prox2(0):b(2)=prox2(b(1)):b(3)=prox2(b(2)):t=b(1)+b(2)+b(3)

'Puede darse igualdad inicial

If s = t Then

'Se publican resultados

fila = fila + 1
Call escribecelda(3, 3, fila, s)
Call escribecelda(3, 4, fila, a(1))
Call escribecelda(3, 5, fila, b(1))
a(1) = a(2): a(2) = a(3): a(3) = prox1(a(3)): s = a(1) + a(2) + a(3)
End If

‘El proceso continuará hasta que la suma alcance un tope

while s<=tope and t<=tope

‘Si s<t, avanza el primer trío

 while s<t
a(1)=a(2):a(2)=a(3):a(3)=prox1(a(3)):s=a(1)+a(2)+a(3)
‘Se ha producido coincidencia

if s=t then

‘Se publican resultados

fila=fila+1
escribecelda(3,3,fila,s)
escribecelda(3,4,fila,a(1)
escribecelda(3,5,fila,b(1))
a(1)=a(2):a(2)=a(3):a(3)=prox1(a(3)):s=a(1)+a(2)+a(3)
end if

wend

‘Avanza el segundo trío

while t<s

b(1)=b(2):b(2)=b(3):b(3)=prox2(b(3)):t=b(1)+b(2)+b(3)
‘Se ha producido coincidencia

if s=t then
‘Se publican resultados

fila=fila+1
escribecelda(3,3,fila,s)
escribecelda(3,4,fila,a(1))
escribecelda(3,5,fila,b(1))
b(1)=b(2):b(2)=b(3):b(3)=prox2(b(3)):t=b(1)+b(2)+b(3)
end if

wend

wend

end sub

A pesar de su complejidad, este algoritmo es razonablemente rápido. En pocos segundos, en un equipo antiguo, nos da los primeros resultados:

 

La tercera columna, la de los primos iniciales, está publicada en https://oeis.org/A298223. Es interesante estudiar su algoritmo en PARI, porque aprovecha las propiedades algebraicas de los cuadrados. Aquí nuestro interés es usar un algoritmo general, y por eso no lo hemos aprovechado.

Otros ejemplos de comprobación

Cuadrados y libres de cuadrados

 

La suma 14, por ejemplo, proviene de 14=1²+2²+3²=3+5+6

Primos y triangulares

 

Por ejemplo, 31 proviene de 31=7+11+13=6+10+15

Como deseábamos un algoritmo general, con estos ejemplos queda claro que funciona.

 

Números aritméticos (2) - Distribución y tipos

Esta es la segunda entrada dedicada a los números aritméticos. Puedes consultar al anterior, porque son consecutivas.

Distribución

Basta observar los listados de aritméticos para comprobar que es relativamente frecuente encontrar aritméticos consecutivos, o bien diferenciados en dos unidades o en tres, por lo que este estudio de pequeñas diferencias carecería de interés. De hecho, Paul Erdös y tres colaboradores hicieron notar que el conjunto de los aritméticos tiene densidad 1

 (ver https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/31.pdf)

Nos dedicaremos, pues, al extremo opuesto, a aritméticos consecutivos que se diferencien en varias unidades.

Si exigimos que la diferencia sea mayor que 2, ya observamos la poca frecuencia de este tipo de diferencias, como podemos comprobar en esta tabla:

Sólo existen ocho pares con diferencias mayores que 3 entre los 200 primeros números. Podemos contar los que se presentan, por ejemplo, entre los 10000 primeros, y nos resultarían pares de este tipo sólo 190. Como curiosidad, elaboraremos una tabla de intervalos:

 Vemos que las frecuencias son estables con tendencia a disminuir.

Si nos vamos a diferencias mayores, las frecuencias disminuyen bastante. Con las mayores que 3 baja a menos de la mitad, sobre 55 por cada 10000 y con mayores que 4 no llega a 10. Después, las diferencias mayores son muy escasas. Por tanto, los aritméticos presentan diferencias muy pequeñas, casi todas con valores 1, 2, 3 o 4.

Dentro de las diferencias pequeñas, deberán ser más escasas las ternas, los conjuntos de tres aritméticos ordenados que presenten las mismas diferencias. Hemos encontrado estos casos:

Conjuntos de aritméticos consecutivos

En un primer intento, con conjuntos de tres, resultan muchas ternas

Hemos advertido que en la terna (20, 21, 22) los promedios de los divisores son también consecutivos, pues son 7, 8 y 9 respectivamente.

7=(1+2+4+5+10+20)/6,

8=(1+3+7+21)/4,

9=(1+2+11+22)/4

Buscamos más ejemplos y no se han encontrado ninguno más entre los números menores que 500000.

Por curiosidad, hemos buscado conjuntos de cuatro consecutivos y también son muy frecuentes, por lo que no estiramos el tema. Queda abierta una línea de búsqueda.

Tipos de aritméticos

 Números cuadrados

Si combinamos la función esaritmetico con la de escuad (muy usada en nuestras publicaciones y en el blog) encontraremos los números aritméticos cuadrados:

 

 Con PARI llegamos más lejos en pocos segundos:

 aritm(n)={sigma(n)%numdiv(n)==0}
is(n)={aritm(n)&&issquare(n)}
for(i=1,100000,if(is(i),print1(i,", ")))

1, 49, 169, 361, 961, 1369, 1849, 3721, 4489, 5329, 6241, 8281, 9409, 10609, 11881, 14641, 16129, 17689, 19321, 22801, 24649, 26569, 32761, 37249, 39601, 44521, 47089, 49729, 52441, 58081, 61009, 67081, 73441, 76729, 80089, 87616, 90601, 94249, 97969,…

Están publicados en https://oeis.org/A277793, con el añadido de que la media geométrica de los divisores es también entera. Esta última propiedad es típica de los cuadrados, porque en ellos la media geométrica es la raíz cuadrada del número.

El caso más sencillo es el de un primo al cuadrado. Podemos demostrar fácilmente que si el primo es de tipo 6n+1, su cuadrado es aritmético, y no lo será en el caso 6n+5. En efecto, en ambos casos TAU vale 3, ya que los divisores son 1, p y p², y SIGMA se comporta de forma diferente en cada tipo:

1) SIGMA(p)=p²+p+1=(6n+1)²+6n+1+1=36n²+12n+1+6n+1+1=36n²+18n+3, claramente múltiplo de 3, que es el valor de TAU.

2) SIGMA(p)=p²+p+1=(6n+5)²+6n+5+1=36n²+60n+25+6n+5+1=36n²+66n+31, no divisible entre 3.

En la siguiente tabla (salvo el caso de 14641, que es una cuarta potencia) observamos que todos los números primos involucrados son del tipo 6n+1 (el 2 que figura en los corchetes es su exponente):

 

En la tabla figuran también los productos de cuadrados de primos cuando son del tipo 6n+1, como 8281 y 17689.

Podemos construir más aritméticos cuadrados si multiplicamos factores primos del tipo 6n+1, como sería, por ejemplo, 2989441=7²*13²*19², que hemos comprobado su carácter con la función esaritmetico.

Aritméticos triangulares

Si usamos las funciones esaritmetico y estriangular simultáneamente, obtenemos los primeros números de este tipo:

 

No es de extrañar su relativa abundancia, ya que todo triangular se puede descomponer en dos factores primos entre sí (no es difícil razonarlo), lo que, por la propiedad multiplicativa, facilita su carácter aritmético. Ocurre algo similar con los números oblongos, que son los dobles de los triangulares.

Aritméticos libres de cuadrados

Este tipo nos interesa en esta serie, pues veremos que contienen a nuestros números arolmar. Bastará usar la función esaritmetico y combinarla con la igualdad PARTECUAD(N)=1. Con ellas obtenemos la sucesión

 

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 107,…

Hemos destacado en negrita los arolmar.

Es fácil obtenerlos con el Buscador de Naturales:

 

 Otros tipos de aritméticos

 Repasamos brevemente algunos otros tipos de aritméticos 

 Aritméticos oblongos

 La segunda columna representa la descomposición factorial y la tercera su orden como oblongo.

 

También este caso y el siguiente se pueden encontrar con el Buscador.

 Aritméticos cubos

 Son más escasos que los anteriores:

 

Abundan entre ellos los cubos de primos p³, en los que SIGMA(p³)=1+p+p²+p³, y TAU(p³)=4

Todos los cubos de primos impares son aritméticos. Lo comprobamos con los dos tipos de primos, 4k+1 y 4k-1:

SIGMA((4K+1)³)=(4k+1)³+(4k+1)²+4k+1+1=64k³+48k²+12k+1+16k²+8k+1+4k+1+1=64k³+64k²+24k+4,
que es múltiplo de 4, que es el valor de TAU.

SIGMA((4K-1)³)=(4k-1)³+(4k-1)²+4k-1+1=64k³-48k²+12k-1+16k²-8k+1+4k-1+1=64k³-32k²+8k+4, también múltiplo de 4.

 Puedes comprobar que el número 2³ no es aritmético.

Todos los que tengan esos factores y que sean libres de cuadrados, por la propiedad multiplicativa, también serán aritméticos.

Además de ellos aparecerán otros con el factor 2, como 2744=2³*7³, pero no de forma sistemática.