¿Eres
un poligonal?
Pedimos prestado este título
de una entrada de este blog
https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/06/eres-un-poligonal.html
En ella nos planteábamos si
un número dado no puede ser poligonal de ningún tipo, sin contar con el que
tiene el mismo número de lados que él mismo:
Así, el número 9 es un
eneágono.
Lo que sigue complementa
otra entrada de este blog dedicada al tema
https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/01/multipoligonal.html
En la imagen también se
descubre que el máximo número de lados de un número poligonal coincide con él
mismo. Esto nos posibilita buscar qué poligonales pueden coincidir con N
buscando entre 3 y N mediante un bucle. Como disponemos de la función quepoligonal, bastará analizarla en ese
rango. Así se efectúa en esta función, que devuelve “NO” si un número no es
poligonal salvo con su mismo número de lados, o bien la colección de tipos de
poligonales si existen.
Function mpolig$(n)
Dim i, p
Dim s$
If n < 3 Then mpolig =
"NO": Exit Function ‘Si es menos que 3 no puede
ser poligonal
s$ = ""
For i = 3 To n – 1 ‘Llegamos
hasta
n-1, porque n no nos vale
p = quepoligonal(n, i) ‘Preguntamos
si es poligonal
If p > 0 And p = Int(p)
Then s$ = s$ + " #" + Str$(i) + ", " + Str$(p) ‘Si
lo es, devolvemos los tipos
Next i
mpolig = s
End Function
Con esta función
descubrimos los números N que pueden ser poligonales para un índice menor que
N. Son los verdaderos poligonales, por lo que se les denomina como poligonales regulares.
En la imagen puedes
consultar los primeros, que vienen acompañados por los distintos tipos que
admiten:
La lista termina con el 36,
que es, como ves, poligonal de tres tipos: triangular de lado 8, cuadrado de
lado 6 y poligonal de 13 lados de medida 3.
En nuestra entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/10/damos-vueltas-los-triangulares.html y
siguiente, se estudia el caso de los triangulares cuadrados, entre ellos el 36,
con el uso de la ecuación de Pell.
Estos poligonales regulares
están publicados en http://oeis.org/A090466
Cambiando ligeramente las
condiciones de búsqueda obtendremos aquellos números que no pueden ser
poligonales salvo con el tipo trivial.
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13,
14, 17, 19, 20, 23, 26, 29, 31, 32, 37, 38, 41, 43, 44, 47, 50, 53, 56…
Están publicados en http://oeis.org/A090467
Entre ellos figuran los
números primos. Los que son compuestos, como 4, 8 y 14, los tienes en http://oeis.org/A176949
Se puede razonar esta presencia.
Para que un número poligonal sea primo deberá ocurrir que
P=k(k(n-2)-(n-4))/2, con P
primo.
El número k es mayor que 2 en los poligonales
regulares, luego k/2 no puede valer 1. Por tanto, si queremos que P sea primo,
deberemos considerar que el paréntesis valga 2, es decir:
Será k(n-2)-n+4=2,
kn-2k-n+2=0, (k-1)(n-2)=0
Esto nos lleva o a k=1 o a
n=2, en cuyo caso P sería negativo. No hay posibilidad de que P sea primo.
Caso
de los múltiplos de 3
Los números que sí figuran
todos entre los poligonales regulares son los múltiplos de 3 mayores que 3.
Sigue la sucesión http://oeis.org/A090466 y verás que no falta
ninguno. Esto es así por dos razones:
a) En el criterio para saber
si un número es poligonal que sea un cuadrado la expresión (n-4)2+8P(n-2) hacemos P=3(n-1), con lo que representa a todos los múltiplos de 3 a partir
de 6 (recordemos que b>2). Unos cambios en la expresión nos llevarán a un
cuadrado:
(n-4)2+8P(n-2) = n2-8n+16+24(n-1)(n-2)
= n2-8n+16+24n2-72n+48 = (1+24)n2-(8+72)n+16+48
= 25n2-80n+64 = (5n-8)2
Esto demuestra que los
números múltiplos de 3 son poligonales. Su número de lados se obtendrá
despejando n en P=3(n-1) y nos queda n=P/3+1. Como veremos más adelante, esta
no sería la única solución. Muchos de ellos son también triangulares.
Un ejemplo: 39 es múltiplo
de 3. Encuentro n tal como se explicó en el párrafo anterior: n=39/3+1)=14. Por
tanto 39 se puede expresar como un polígono de 14 lados. Encontramos su índice,
despejando en 39=k(k*(14-2)-(14-4))/2 = 6k2-5k
Resolvemos 6k2-5k-39=0
y nos da k=3 como solución entera positiva.
Luego el poligonal pedido es
Está formado por la suma
(ver primera parte de este estudio) 1+(14-1)+(14*2-3)=1+13+25=39
b) Existe otra razón para
justificar que todos los múltiplos de 3 a partir de 6 sean poligonales. Basta
para ello fijar k en 3. Si k=3 queda:
P=3*(3*(n-2)-(n-4))/2=(9n-18-3n+12)/2)=(6n-6)/2=3n-3,
que es un múltiplo de 3.
Todos los poligonales de
índice 3 son múltiplos de 3
Número
de tipos de poligonal para un número
Si modificamos la función mpolig para que devuelva un número en
lugar de una cadena de texto, podremos clasificar los números naturales según
el número de tipos distintos de poligonal (no trivial) que admitan.
Los que acabamos de estudiar
tendrán un resultado de 0, pues solo admiten el poligonal trivial. Hemos visto
que otros admiten un poligonal nada más. Con la función mpolig modificada se descubren los primeros:
Un tipo: 6, 9, 10, 12, 16,
18, 22, 24, 25, 27, 30, 33, 34, 35, 39, 40, 42, 46, 48, 49, 52, 54, 57, 58, 60,…
Están publicados en http://oeis.org/A177029.
Allí se catalogan como que presentan dos tipos de poligonales, porque cuentan
el caso trivial.
Dos tipos: 15, 21, 28, 51,
55, 64, 70, 75, 78, 91, 96, 100, 111, 112, 117, 126, 135, 136, 141, 144, 145,
148, 154, 156,…
Por ejemplo, 111 puede ser
un eneágono de lado 6 (111=6*(6*(9-2)-(9-4))/2=3*37=111) y también un poligonal
de 38 lados de medida 3 (111=3*(3*(38-2)-(38-4))/2=3*37=111)
Tres tipos: 36, 45, 66, 81,
105, 120, 153, 171, 190, 196, 210, 261, 280, 351, 378, 396, 400, 405, 406, 456,
465, 477,…
Comienza con el 36, que
hemos indicado, se estudió en este blog como triangular cuadrado. Además, vimos
que podía ser un poligonal de 13 lados.
Los demás poligonales
regulares presentarán más de tres tipos (cuatro contando el trivial). Los
primeros son:
225,231,276,325,435,441,540,561,595,616,651,820,861,936,946,1035,1089,1128,1225,…
1128, por ejemplo, puede ser
triangular, hexagonal, poligonal de 42 lados o de 377.
Con esta cuestión
finalizamos el estudio general de los números poligonales. En otras entradas se
van estudiando los casos particulares, y en el año 2021 publicaremos en http://www.hojamat.es/ un
resumen de todos los casos.
Como los poligonales de
índice pequeño son los más populares, existen varias sucesiones con dos de esos
casos simultáneos. Algunas de ellas son:
Triangulares
y cuadrados
1, 36, 1225, 41616, 1413721,
48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796,… http://oeis.org/A001110
Les dimos unas vueltas en
las entradas de este blog
https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/10/damos-vueltas-los-triangulares.html
https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/11/damos-vueltas-los-triangulares.html
En ellas se acude a la
ecuación de Pell, a recurrencias y fórmulas generales para estos números. Se
añade una función generatriz y algunas curosidades.
Triangulares
y hexagonales
Es fácil ver que todo número
hexagonal de índice k equivale a un triangular de índice 2k-1. Puedes consultar
el capítulo de números hexagonales. En este blog hemos estudiado el caso
contrario, el de triangulares que no pueden ser hexagonales por tener lado par.
https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/09/triangulares-de-lado-par.html
Cuadrados
y pentagonales
Son más raros. Los primeros
están publicados http://oeis.org/A036353
1, 9801, 94109401,
903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801,…
Cuadrados
y hexagonales
También escasean: 1, 1225,
1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361,
2893284510173841030625, http://oeis.org/A046177
No merece la pena seguir.
Teorema
de Fermat para poligonales
El teorema del número
poligonal de Fermat afirma que cada número natural es suma de a lo máximo n
números poligonales. Omitimos su historia, que puedes consultar fácilmente.
Aquí nos interesa su comprobación mediante nuestra herramienta Cartesius
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius
Esta herramienta, diseñada
en Excel y Calc, no es muy potente, y solo es útil para comprobaciones con
números pequeños.
Explicaremos su uso con un
ejemplo, como sería encontrar todas las descomposiciones del número 100 en suma
de cinco pentagonales o menos. Para conseguirlo hemos usado esta programación
en Cartesius:
xtotal=5
xt=1..10
xt=suc((3*(n-1)^2-(n-1))/2)
suma=100
creciente
Con ella hemos conseguido
estas descomposiciones:
Observamos que 100 admite
una descomposición en suma de cuatro pentagonales y otras cuatro con cinco
pentagonales. Puedes comprobar en http://oeis.org/A000326 que, efectivamente,
todos los sumandos son pentagonales.
Explicamos línea por línea
el planteo:
xtotal=5
Como buscamos
sumandos pentagonales, según el Teorema de Fermat, debemos exigir que sean 5.
Se entiende que eso es lo que indica xtotal=5
xt=1..10
Esta línea indica el
rango de búsqueda de los sumandos. Suele estar indicado elegir la raíz cuadrada
del número que se estudia, en este caso el 100. Si no se tiene seguridad, basta
consultar las columnas de sumandos. En este caso:
Como llega a 100 y se
pasa, hemos elegido bien el rango.
xt=suc((3*(n-1)^2-(n-1))/2)
Esta es la fórmula
para pentagonales, pero la hemos aplicado a n-1 en lugar de a n,
para permitir la entrada del 0 en los sumandos.
suma=100
No necesita
explicación. Exige que la suma sea 100
creciente
Esta orden no es necesaria,
pero, al exigir sumandos crecientes, simplifica bastante la presentación final.
Al pulsar sobre el botón Iniciar, obtendremos todas las
descomposiciones que hemos incluido más arriba.
Si el rango elevado al
número de sumandos se acerca a números de cinco cifras, el proceso se hace muy
lento y hay que dejar al ordenador que trabaje él solo durante bastantes
minutos. Es una “explosión combinatoria”. Lo bueno es que consigues todos los
datos posibles.
Otro ejemplo sería
descomponer 80 en números hexagonales:
xtotal=6
xt=1..9
xt=suc((n-1)*(2*(n-1)-1))
suma=80
creciente
Resultado:
Dejamos aquí las propiedades
generales de los poligonales.
