jueves, 14 de marzo de 2019

Productos cíclicos



En los cálculos sobre fechas que publico en Twitter (@connumeros), uso a menudo el desarrollo de números naturales mediante expresiones del tipo N=a*b+b*c+c*a, a las que llamaré productos cíclicos, dando por supuesto que solo se usarán tres números enteros positivos a, b y c. No se extenderá el estudio a más sumandos.

Por ejemplo, 16119=69*75+75*76+76*69.

Adelantaremos el hecho de que casi todos los números enteros admiten este tipo de representación y, en general, con muchas soluciones. Las excepciones las iremos viendo a lo largo de la entrada.

Primer caso: 1<=c<=b<=a

Según acotemos los sumandos llegaremos a soluciones distintas. En primer lugar supondremos que 1<=c<=b<=a. Dado que los tres pueden alcanzar un valor mínimo de 1, no es difícil calcular la cota que tendría a:

Si es ab+bc+ca=N, entonces a=(N-cb)/(c+b), luego bc<N y como b>=c>=1, a<(N-bc)/2<=(N-1)/2, que sería el caso en el que b=c=1.

Podemos recorrer valores de a entre 1 y (N-1)/2, que sería el caso en el que b y c valieran 1. Y b puede también recorrer desde 1 hasta el valor actual de a. Con esos valores, la tercera constante c se calculará mediante c=(N-ab)/(a+b)

Estas consideraciones las podemos plasmar en una función que devuelva todas las descomposiciones de un número en productos cíclicos. Últimamente, para recoger varias soluciones acudimos a funciones tipo texto (string), acudiendo a la palabra “NO” cuando no exista descomposición en producto cíclico.

En este caso usamos la siguiente función:

Public Function prodciclo$(n)
Dim s$
Dim i, j, k

s$ = "" ‘Variable que recogerá las soluciones
For i = 1 To (n - 1) / 2 ‘Recorrido de la variable a
j = 1
While j <= i And j < n / i ‘Recorrido de b
k = (n - i * j) / (i + j) ‘Se calcula la tercera variable c
If k = Int(k) And k <= j Then s$ = s$ + Str$(i) + Str$(j) + Str$(k) + "  " ‘Se incorpora otra solución
‘k tiene que entero y menor o igual que j
j = j + 1
Wend
Next i
If s$ <> "" Then prodciclo = s$ Else prodciclo = "NO"
End Function

Números que no admiten un producto cíclico

Al construir una búsqueda con esta función nos llevamos la sorpresa de que los números que no admiten producto cíclico solo son estos:

1, 2, 4, 6, 10, 13, 18, 22, 25, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462

Se puede aceptar la conjetura de que no hay más números con esa característica, ya que al ir aplicando la función a números grandes, aumenta mucho el número de soluciones. Por ejemplo, 21823 admite las soluciones para a, b y c:

89 87 80   111 83 65   113 75 71   117 76 67   119 89 54   121 91 51   125 123 26   137 99 35   139 139 9   145 63 61   146 95 33   147 97 31   153 104 23   159 97 25   163 100 21   167 72 41   169 99 19   175 123 1   185 63 41   186 67 37   187 61 42   193 91 15   197 89 15   200 93 11   213 83 14   217 75 19   219 67 25   221 71 21   225 58 31   226 45 43   231 65 23   232 67 21   233 51 35   247 87 1   287 65 9   293 51 20   297 71 2   309 35 32   325 33 31   340 63 1   343 36 25   351 61 1   357 40 19   401 38 15   409 37 15   411 41 11   453 28 19   463 25 21   485 23 21   495 43 1   501 35 8   583 28 9   674 17 15   681 31 1   703 30 1   833 15 11   947 21 2   991 21 1   1360 9 7   1363 15 1   1677 11 2   1983 10 1   2726 5 3   2727 7 1   5455 3 1 

Vemos que en esta variante se admite el 1 como factor en el producto.

Con PARI también puedes detectar los números que no admiten estos productos cíclicos. Su código imita la función anterior, pero usa números como resultado en lugar de textos.

for(n=1,2000,a=0;for(i=1,(n-1)/2,j=1;while(j<=i&&i*j<n&&a==0,b=n-i*j;if(b%(i+j)==0,k=b/(i+j);if(k<=j,a=1));j+=1));if(a==0,print1(n,", ")))
Resultado



Estos números están publicados en OEIS (http://oeis.org/A025052)

A025052 Numbers not of form ab + bc + ca for 1<=a<=b<=c (probably the list is complete).              
1, 2, 4, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462
According to Borwein and Choi, if the Generalized Riemann Hypothesis is true, then this sequence has no larger terms, otherwise there may be one term greater than 10^11.

T. D. Noe hace notar que en esta sucesión, n+1 es primo. Lo puedes comprobar fácilmente.

Segundo caso: 1<c<b<a

Si restringimos los valores a que sean desiguales y mayores que 1, tampoco es infinita la sucesión de números enteros positivos que no admiten esta representación. De hecho, 1848 es el mayor entre ellos.

Cambiando adecuadamente el código de la función, obtenemos su listado:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35, 37, 40, 42, 43, 45, 48, 57, 58, 60, 67, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 163, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.

Se comprueba con PARI:


Se puede usar un código similar al siguiente:

for(n=1,6000,a=0;for(i=2,(n-4)/4,j=2;while(j<i&&i*j<n&&a==0,b=n-i*j;if(b%(i+j)==0,k=b/(i+j);if(k<j,a=1));j+=1));if(a==0,print1(n,", ")))

Estos números están publicados como los números idóneos de Euler en http://oeis.org/A000926

La definición de Euler la tienes en

Sobrepasa nuestra capacidad teórica y los objetivos de este blog demostrar la equivalencia entre ambas definiciones. Si lees los comentarios de la sucesión A000926 de OEIS podrás recorrer las diversas definiciones equivalentes y la posibilidad de que la conjetura sea cierta y con un elemento más.

Casos de unicidad

Son también interesantes los casos en los que solo existe una solución. Para investigarlos habrá que cambiar nuestra función PRODCICLO para que cuente soluciones y sólo nos devuelva un resultado cuando sea único. No lo desarrollamos. Es fácil realizar este cambio.

Se pueden plantear varios casos:

1<=a<=b<=c

Están publicados en http://oeis.org/A093670

La sucesión está acotada en el número 142 (conjetura).

3, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 25, 28, 34, 37, 46, 82, 142

Reproducimos los productos cíclicos mediante nuestra función PRODCICLO


0 < a < b < c

También están publicados los números que presentan un solo producto cíclico de ese tipo:


11, 14, 17, 19, 20, 27, 32, 34, 36, 43, 46, 49, 52, 64, 67, 73, 82, 97, 100, 142, 148, 163, 193

También aquí podemos conjeturar que 193 es una cota. El desarrollo de sus productos es el siguiente:


1<a<b<c

Terminamos con el caso, bastante razonable, de que los factores sean mayores que la unidad y distintos. El listado es un poco largo, por lo que solo se insertan los últimos resultados (conjetura):


Es razonable pensar que 883 es el máximo valor posible en este caso, al menos entre números accesibles a una hoja de cálculo.

lunes, 4 de marzo de 2019

Suma de cuadrados de cifras (5) - Suma de cifras que es cuadrada

Continuamos la serie que venimos publicando sobre la suma de los cuadrados de las cifras de un número. Se inserta a continuación la dirección de la primera, y a partir de ella puedes ir leyendo las siguientes, que no son consecutivas, pues tienen intercalados otros temas:



Esta entrada se aparta un poco de la serie, pues no se refiere a la suma de los cuadrados de las cifras, sino a su suma normal. Esta cuestión es bastante simple por lo que no perderemos mucho tiempo con ella. Se incluye para completar posibilidades. Así que olvidamos los cuadrados por ahora y sumamos cifras simplemente.

Suma de cifras que es cuadrada

Para encontrar soluciones basta establecer una búsqueda exigiendo que sumacifras(n;1) (ver esta función en cualquier entrada de la serie) sea un cuadrado. Estas son las primeras soluciones:

1, 4, 9, 10, 13, 18, 22, 27, 31, 36, 40, 45, 54, 63, 72, 79, 81, 88, 90, 97, 100, 103, 108, 112, 117, 121, 126, 130, 135, 144, 153, 162, 169, 171, 178, 180, 187, 196, 202, 207, 211, 216, 220, 225,…

(Están publicadas en http://oeis.org/A028839)

En esta dirección puedes comprobar la sencillez de la búsqueda con el lenguaje PARI:

(PARI) isok(n) = issquare(sumdigits(n)); \\ Michel Marcus, Oct 30 2014

Es muy sencillo encontrar el máximo cuadrado que se puede obtener según el número de cifras. Bastará considerar los números formados sólo por nueves: 999…99. De esa forma, si k es el número de cifras, deberemos resolver 9k>n2 y buscar el máximo valor de n. Así tendremos 9 como máximo para una cifra, 16 para dos (ya que 2*9>16), 25 para tres (3*9>25), y así podríamos seguir.

Propiedades de estos números

En A028839 se incluyen dos propiedades interesantes:
              
Difference between two consecutive terms is never equal to 8. - Carmine Suriano, Mar 31 2014

In this sequence, there is no number of the form 3*k-1. In other words, if a(n) is not divisible by 9, it must be of the form 3*k+1. - Altug Alkan, Apr 08 2016.

Ambas están relacionadas, por lo que demostraremos la segunda y de ella se derivará la primera.

Todos los cuadrados son del tipo 9k o 3k+1.

En efecto, si n=3k, n2=9k2, múltiplo de 9. Si n=3k+1, su cuadrado será n2=9k2+6k+1=3q+1, y si n=3k-1, n2=9k2-6k+1=3q+1 luego siempre aparece el tipo 9k o 3k+1.

De aquí se deduce la primera propiedad:

Restamos dos consecutivos. Si ambos son múltiplos de 9, su diferencia será:

9q-9p=9(q-p), que es múltiplo de 9 y por tanto no puede valer 8.

Si ninguno es múltiplo de 9, tendríamos:
3p+1-3q-1=3(p-q), no puede ser 8

Si uno es múltiplo de 9 y otro no, la diferencia será (o en orden contrario)
9p-(3q+1)

En ella podemos suponer que q no es múltiplo de 3, pues si no, sustituiríamos q por 3q. Desarrollamos:

9k-(3q+1)=8=3*3-1 llevaría a 9k-3q-1=3*3-1, luego 9k-3q=3*3, 3(3k-q)=3*3, 3k-q=3, luego q es múltiplo de 3, y en su definición no lo es, pues se simplificaría entre 3.

Por tanto, las diferencias nunca pueden valer 8.




jueves, 21 de febrero de 2019

Suma y diferencia de fracciones egipcias unitarias



Recordamos que una fracción egipcia unitaria es aquella de numerador igual a la unidad. Una fracción egipcia en general es una suma de varias fracciones egipcias unitarias.

Puedes consultar


Lo que nos interesa en esta entrada es encontrar sumas o diferencias de dos fracciones de este tipo unitarias, cuyo resultado también sea unitario. En concreto, deseamos encontrar tres valores enteros positivos a, b y c tales que


Simultáneamente estudiaremos su correspondiente expresión como diferencia:


Un ejemplo clásico es 1/2=1/3+1/6, o bien 1/3 = 1/2 - 1/6

Existe una solución trivial para cada valor de a y es que


Para evitar esa solución supondremos que b>c en 


 (podría ser a la inversa, pero llamamos b al mayor de los dos).

Es evidente que 1/a es mayor que 1/b y 1/c, luego a<b y a<c. Como hemos supuesto que b es el mayor, tendremos la doble desigualdad a<c<b.

Búsqueda mediante un algoritmo

Siguiendo nuestra metodología habitual, buscaremos soluciones en primer lugar y después las analizaremos. Si deseamos encontrarlas fácilmente, será bueno darle protagonismo a b, para que los valores de a y de c sean menores que él y se pueda acudir a un doble bucle, en el que c recorra (en principio) desde 2 hasta b-1 y a desde 1 hasta b-2. Por tanto b>2. Nos dedicaremos a la diferencia de fracciones, que sabemos que es equivalente a la cuestión de la suma.

Función sumaegipcias(b)

Hemos comenzado la búsqueda mediante la siguiente función que devuelve, para cada b, los valores posibles de a y c. Al ser varias las posibles soluciones, se devolverán en modo texto, para tener una visión global de todas ellas. La función que se presenta más abajo usa el hecho de que el valor de b despejado en la condición general es a*c/(c-a).

Su listado es el siguiente:

Public Function sumaegipcias$(b)
Dim a, c, d
Dim s$

s$ = "" ‘Recibirá las soluciones en modo texto
If b < 3 Then sumaegipcias = "NO": Exit Function
For c = 2 To b – 1 ‘Bucles de búsqueda
For a = 1 To c - 1
d = a * c / (c - a) ‘Fracción que ha de ser entera
If d = Int(d) Then If d = b Then s$ = s$ + "1/" + Str$(a) + "-" + "1/" + Str$(c) + "   "
‘Si es entera y coincide con b, se recoge en s$
Next a
Next c
If s$ = "" Then s$ = "NO" ‘Si la cadena está vacía, es que no hay solución
sumaegipcias = s$
End Function

Aplicada esta función a un conjunto de números, por ejemplo desde el 6 hasta el 15, observamos que no todos admiten esta descomposición:


Sólo la cumplen 6, 12 y 15. El 12 por partida doble. Puedes verificar estas igualdades (escritas como diferencias, pero podrían ser sumas):

1/6=1/2-1/3, 1/12=1/3-1/4, 1/12=1/4-1/6, 1/15=1/6-1/10

Aquí tienes los valores de b entre 1 y 100 que admiten la descomposición pedida:

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100

Estos valores te pueden dar alguna pista. Reflexionamos sobre ellos:

Escribamos c-a=k, con lo que el cociente b=a*c/(c-a) se convierte en b=(a+k)*a/k. Así lo analizamos mejor.

El denominador b no puede ser primo

En efecto: Al ser entero (a+k)*a/k puede ocurrir:

Si k divide a a: entonces k1=a/k y  b=k1(a+k). b tendría al menos dos factores (si k=a nos encontraríamos con la solución trivial de más arriba, en la que b=2a y que no consideramos)

Si k no divide a a: Llamemos d=MCD(a,k). Ese valor d no puede ser 1, pues entonces k sería primo con a, pero como tiene que dividir a a+k, dividiría a  (a+k)-k=a, lo que llevaría a una contradicción.

Si d>1, se podría simplificar b=(a+k)*a/k entre d, resultando los cocientes a’=a/d y k’=k/d: b=(a+k)*a/k=(a+k)*a’/k’, en el que k’ es primo con a’, luego, por el teorema de Euclides, k’ ha de dividir a (a+k), luego divide a la diferencia a+k-k=a. Así que k’ es un divisor de a. De esa forma b=a’*p, siendo a’>1 (ver el párrafo anterior) y p=(a+k)/k’>1, luego no puede ser b primo.

La diferencia c-a=k es menor que a

De la igualdad b=(a+k)*a/k deducimos b*k=(a+k)*a=c*a, pero sabemos que b>a y b>c, luego la igualdad solo es posible si k<a<c.

Este largo razonamiento nos ha descubierto que, o bien k divide a a, como es el caso en

1/12=1/4-1/6, en el que k=6-4=2 y divide a 4,

o bien unos factores de k dividen a a y otros a a+k, ambos mayores que 1. Sería el caso

1/15=1/6-1/10, en el que k=10-6=4=2*2 y 2 divide a 6 y “el otro” 2 al 10, resultando b=6*10/4=15.

Más adelante daremos una caracterización de estos números.

Otro algoritmo

Esta sección la puedes dejar si no te interesa demasiado la construcción de algoritmos.

Otro planteamiento parte de que  según lo anterior, b*k=c(c+k), hay que buscar  un número tal que si lo multiplico por k, se pueda descomponer en dos factores con diferencia k. Por ejemplo, 12 multiplicado por 2 da 24 que tiene dos factores, 4*6 diferenciados en 2.

El valor de c sería una solución de la ecuación c2+kc-bk=0, es decir:


De esa forma  el valor de c no se obtiene por búsqueda, sino por cálculo. Lo implementamos como otra función

Public Function sumaegipcias2$(b)
Dim k, c
Dim s$

s$ = ""
If b < 3 Then sumaegipcias2 = "NO": Exit Function
For k = 1 To b - 1
c = (-k + Sqr(k ^ 2 + 4 * b * k)) / 2 ‘Calculamos el valor de c
If c = Int(c) And c + k < b Then s$ = s$ + "1/" + Str$(c) + "-" + "1/" + Str$(c + k) + "   "
Next k
If s$ = "" Then s$ = "NO"
sumaegipcias2 = s$
End Function

Comprobamos que son equivalentes:


Es más rápida de proceso que la anterior.

Otra definición de los números encontrados

El listado de los valores de b está publicado, pero con otra definición distinta

Numbers having divisors d,e with d < e < 2d.

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132, 135, 138, 140, 143, 144, 150, 153, 154, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 174, 175, 176

Según esto, las soluciones para nuestras diferencias de fracciones egipcias coinciden con aquellos números que poseen dos divisores a y b, en los que a<b<2a, es decir, que uno de ellos está comprendido entre el otro divisor y su doble. Si repasas el listado anterior, todos lo cumplen, e incluso algunos de ellos son producto de dos divisores de este tipo:

6=2*3, 35=5*7, 42=6*7, …

Entre ellos figuran los números oblongos, 6, 12, 20, 30, 42,…del tipo n(n+1), como puedes comprobar.

Demostramos esta equivalencia:

El contrarrecíproco es fácil de razonar. Si no existen estos pares de divisores, a<b<2a, cualquier expresión que construyamos similar a b=(a+k)*a/k, no podría garantizar que k es menor que a, como demostramos más arriba que era necesario.

Al revés, parto de que existen dos divisores de un número N tales que a<b<2a
Podemos suponer que son primos entre sí, pues, en caso contrario, dividimos entre su M.C.D. y seguirán siendo divisores y cumpliendo a<b<2a. Si son primos entre sí, su producto, que sería el M.C.M, no puede ser mayor que N (en ese caso el M.C.M. sería N). Así que a*b<=N.

Para mayor claridad, distinguimos dos casos:

N=a*b

Entonces bastará multiplicar ambos por k=b-a, con lo que tendremos N=a*b=a(a+k)=ak(ak+kk)/k^2, pero k^2 es la nueva diferencia, luego N tiene la forma deseada de a1(a1+k1)/k1

Por ejemplo, 77=7*11 multiplicamos por 4 y queda 1/77=1/28-1/44=(44-28)/(77*16)=16/(77*16)=1/77, y 1/77=1/28-1/44 

70=10*7, diferencia 3, multiplico: 70=30*21/9, luego 1/70=1/21-1/30

N=m*a*b

En este caso el producto de a*b no iguala a N, En ese caso multiplicamos a y b por mk, resultando:

N=mamk(amk+mkk)/mkmk y mkk es la nueva diferencia. Simplificando N=amk(amk+mkk)/mkk, que es del tipo pedido:

Ejemplo: 66 contiene al 2 y al 3, con 2<3<2*2 y se cumple 66=11*2*3. 
Multiplicamos ambos por su diferencia 1 y por m=11, resultando 22 y 33 y queda

66=22(22+11)/11, es decir
1/66=1/22-1/33
84=2*6*7, con 6<7<2*6. El M.C.D(6,7)=1, k=1, m=2, luego multiplicamos por 2*1=2, y queda 12 y 14:
84=12*14/2, luego 1/84=1/12-1/14

También podíamos haber usado 4 y 7, con 4<7<2*4, k=3, m=3, 84=3*4*7, y multiplicamos ambos por 3*3=9, lo que nos llevaría a 1/84=1/36-1/63.

Hemos descubierto esta equivalencia bastante interesante, pues caracteriza cuándo un valor puede ser denominador en una diferencia de fracciones egipcias.

lunes, 11 de febrero de 2019

Simulaciones - Distribución normal


Simulación normal

Seguimos hoy la serie de simulaciones que iniciamos en


En esas entradas vimos la distribución uniforme y la de Bernouilli. Hoy lo haremos con la normal.

Nos basaremos en esta también en las prácticas de nuestro curso de Estadística, (http://www.hojamat.es/estadistica/iniestad.htm) adaptándolas al formato de un blog. Usaremos nuestro Simulador implementado para hojas de cálculo, el cual puede sufrir cambios a lo largo de la serie, por lo que se aconseja su recarga en caso de duda.

Distribución normal

Si no recuerdas la distribución normal puedes acudir a la Teoría correspondiente

Por ahora basta con saber que siguen esa distribución normal de forma aproximada muchos datos tomados de nuestra vida diaria:

  • Magnitudes que dependen de muchas causas independientes, cuyos efectos se suman y cualquiera de ellas aislada tenga efectos despreciables.
  • Distribuciones de errores en las medidas.
  • Medidas de tipo antropológico (estaturas, pesos, inteligencia...) y biológico (glucemia, nivel de colesterol...)
  • Límite de otras distribuciones estadísticas cuando n aumenta.
  • Todas ellas producen gráficos con forma de campana de Gauss, más o menos aproximada.



Nuestro simulador puede producir datos aleatorios que sigan esta distribución normal.

Puedes descargarlo para Excel


Y para LibreOffice Calc


Esta herramienta está en desarrollo, por lo que debes ignorar las hojas no terminadas.

La forma más práctica de plantear una simulación de este tipo es la de dar el promedio de los datos y la desviación típica, pero también funciona conociendo el mínimo y el máximo esperados.

Lo vemos con algún ejemplo:

Los de más altura

En un Centro de Enseñanza se han tallado todos los alumnos y alumnas de un nivel, 128 en total y ha quedado como estatura mínima la de 140 cm, y como máxima, 198 cm. Si deseamos seleccionar a aquellas personas con estatura superior a 180 cm. ¿Cuántas esperaremos encontrar?

La teoría estadística puede responder a esta pregunta mediante las propiedades de la distribución normal. Aquí lo intentaremos con el Simulador:



Hemos concretado lo siguiente:
  • ·        Distribución normal con decimales (son estaturas) usando máximo y mínimo
  • ·        Mínimo 140 y máximo 198
  • ·        Una columna de 128 filas (número de alumnos y alumnas)
  • ·        Diez intervalos

Procura localizar bien todos esos datos en sus celdas correspondientes. Pulsa el botón “Simulador”.

Con este planteamiento la simulación se aproximará bastante a las medidas reales. Si pasas a la segunda hoja advertirás la forma típica de campana de esta distribución, y que la estatura media es aproximadamente de 169 cm., y la desviación típica cercana a 8. No podemos pretender resultados idénticos a los previstos por la teoría, pero comparando los estadísticos de la simulación con los valores teóricos, vemos que existe una buena aproximación.


La gráfica también tiene forma aproximada de campana, aunque con tan pocos elementos de simulación, nunca seguirá ese tipo teórico:


También, de paso, hemos descubierto que esperaremos unas 12 personas con más de 180 cm. Afinamos esto más. Busca el apartado de Intervalos en la hoja de 
resultados



Con esta tabla podemos contar fácilmente resultados sin tener que recorrerlos. 

Tiene un funcionamiento simple, y es el de escribir en la columna correspondiente (en nuestro caso la primera, porque solo hay una) los extremos entre los que deseamos contar resultados. En nuestro caso serían 180 y 198, que es el máximo. Ahora basta con pulsar el botón Intervalos y nos devolverá la frecuencia absoluta, 14, y la relativa, 0,11 aproximadamente, un 11%.

Repitiendo la simulación han resultado, en varios intentos, 15, 11, 8, 11  y 15, por lo que juzgamos que lo más probable es que nos encontremos con unos 11, lo que nos permitirá organizar un equipo de baloncesto, si ese era el objetivo.

Si conoces algo de la teoría de esta distribución, sabrás que existen funciones y tablas que te devuelven este dato de forma teórica, pero nuestro objetivo estaba en recoger los datos de una simulación, no en prever el resultado. En nuestro caso, y no seguiremos con el tema, la aproximación sería:

1-DISTR.NORM.N(180;169;8,2857;1)=0,092157044

Un poco menor que la obtenida del 11%, en este caso un 9,2%. Así funcionan los resultados en las simulaciones. Nunca esperes aproximaciones destacables.


Un ejemplo con media y desviación típica

Una población de 500 personas con riesgo de diabetes en una ciudad ha presentado un promedio de 106 mg/100ml de nivel de glucosa en sangre y una desviación típica de 8 mg/100ml. Diseñar una simulación para encontrar a partir de qué nivel encontraremos las 50 personas con más riesgo.

Organizamos la simulación, pero usando ahora media y desviación típica:



Obtendremos una columna con 500 niveles de glucosa y una distribución en forma de campana de Gauss.



En nuestra simulación se obtuvieron media y desviación bastante cercanas a las teóricas:


Si ahora deseamos obtener los cincuenta niveles más altos, nos bastará con ordenar la columna G de la primera hoja (de mayor a menor) y observar n qué nivel se encuentra el número 50:

Vemos que hay que comenzar por el nivel 116,4 para así poder seleccionar los 50 posibles pacientes con más riesgo. Si repites la simulación varias veces podrás quedarte con una media más aproximada.

También podemos trabajar con los intervalos cambiando el mínimo hasta obtener un resultado aproximado de 50 personas. En otra simulación nos da un tope de un nivel de 114 o 115:

Como en el caso anterior, se puede acudir a la teoría:

INV.NORM(0,9;106;8)=116,25

Hemos tomado de probabilidad 0,9 porque los 50 en una simulación de 500 representa un 10% superior y un 90% inferior. Nuestra simulación se queda un poco corta.

Medidas válidas

En una medición con mucho riesgo de errores se ha decidido rechazar aquellas medidas que se alejen de la media más de una desviación típica y media. Supongamos que en mediciones anteriores resultó una media de 65 y una desviación típica de 8. ¿Qué número aproximado de mediciones debemos efectuar para garantizarnos 200 medidas catalogadas como válidas, si la distribución en la población se puede considerar normal?

De nuevo acudimos a una simulación. Según los datos que nos dan, las medidas válidas estarán entre 65-3*8/2 y 65+3*8/2, es decir, entre 53 y 77. Comenzamos una simulación de 250 mediciones y concretamos 14 intervalos.

Observamos, de forma aproximada, que habría que desechar unas 10 medidas inferiores y unas 15 superiores, lo que nos daría 250-10-15=225 medidas válidas.


Esta observación se confirma también con intervalos:



Probamos con 230 simulaciones, pare ver si nos acercamos a 200 válidas.

Después de la simulación hay que desechar 16+18=34, con lo que nos quedamos cortos, 196. Subimos y bajamos el número de simulaciones y 230 parece quedar en la media, luego es aconsejable usar muestras de 230 medidas.

Esto ha sido una especie de juego. Si acudimos a la distribución normal teórica, descubriremos que el porcentaje esperado de medidas que se alejen más de 3/2 de desviación típica por un lado es de 0,066807201. Por los dos lados será 0,133614403, y restando de 1, el porcentaje de medidas válidas sería 0,866385597. Dividimos 200 entre ese porcentaje y obtenemos 230,844096.
Nuestra simulación no estaba descaminada.

Con este experimento también hemos aprendido que los porcentajes no dependen de una media concreta sino de la medida tipificada Z, que en este caso valía Z=1,5.


Obtención de muestras

En el caso de la distribución normal es muy interesante el disponer de muestras de un colectivo del que sabemos algunos parámetros (generalmente media y desviación típica). Vemos algunos ejemplos:

Distribución de errores

75,6       78,0       77,8       77,5
75,2       79,0       76,8       78,0
76,5       76,8       76,6       77,2
77,3       78,4       76,6       76,6
77,1       77,6       77,3       76,1

Los datos anteriores simulan 20 repeticiones de una medida. A simple vista parece que la media es 77. En el Simulador se ha obtenido media 77,1 y desviación típica 0,9. Esta tabla puede servir para que el alumnado obtenga también la media, la  desviación típica y la gráfica, para saber si se aproxima a la distribución normal. Con el Simulador se pueden preparar rápidamente distintas muestras para un trabajo por equipos. También  puede aprenderse en clase el funcionamiento de esta herramienta y que los grupos simulen su propia muestra.

Colesterol en sangre

Esta muestra ha sido generada mediante el Simulador:

221,0     205,9     208,2     224,8     205,3     209,7     220,8     229,7
202,8     215,2     203,6     240,7     215,8     236,4     234,6     213,6
189,0     212,7     197,4     203,2     175,4     218,4     227,6     222,4
246,2     238,8     211,5     229,4     206,4     195,8     179,4     206,3
220,4     234,2     207,5     184,7     204,5     224,4     220,2     199,3

Se puede intentar adivinar en clase qué media se ha usado, e investigar si estos datos entran en lo que es frecuente en la vida real.

Cociente intelectual

A la vista de esta tabla, se puede discutir qué media y desviación típica se usa y seguir investigando en Internet:

103        87          106        57          100
62          88          81          98          83
102        90          98          103        100
109        76          93          99          100
107        84          75          104        105
91          96          111        121        108
93          89          89          88          92
71          85          92          104        83
82          97          88          91          82
103        85          110        108        94
84          101        94          86          97
105        92          85          120        121






jueves, 31 de enero de 2019

Suma de cuadrados de cifras (4) -Números consecutivos con suma de cuadrados de cifras cuadrada en ambos


Llegamos a la cuarta entrega de la serie que venimos publicando sobre la suma de los cuadrados de las cifras de un número. Se inserta a continuación la dirección de la primera, y a partir de ella puedes ir leyendo las siguientes, que no son consecutivas, pues tienen intercalados otros temas:


http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/11/suma-de-cuadrados-de-cifras-1-un.html

Números consecutivos con suma de cuadrados de cifras cuadrada en ambos

En el tema de la suma de cuadrados de las cifras. una cuestión curiosa es el descubrimiento de dos números consecutivos en los que ambos presenten sumas de cuadrados de cifras que también son cuadradas. Por ejemplo, 137209 y 137210 lo cumplen:

1^2+3^2+7^2+2^2+0^2+9^2=144=12^2
1^2+3^2+7^2+2^2+1^2+0^2=64=8^2

Usando la función SUMACIFRAS (ver entradas anteriores de esta serie) es fácil detectar estos pares de consecutivos, recorriendo todos y aplicando la suma de cuadrados de cifras a sus consecutivos. Así obtenemos la sucesión siguiente, formada por los elementos menores de cada par:


0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9999, 22449, 24249, 42249, 48889, 84889, 88489, 115609, 116509, 123709, 127309, 132709, 137209, 151609, 156109, 161509, 165109, 172309, 173209, 202449, 204249, 213709, 217309, 220449, 224049, 231709, 235509, 237109, 240249, 242049, 253509, 255309, 271309, 273109, 312709, 317209, 321709, 325509, 327109, 333609, 336309, 352509, 355209, 361999, 363309, 369969, 371209, 372109, 396969, 399669, 402249, 408889, …

Entre ellos están los de una cifra, que cumplen la condición trivialmente, y todos los demás terminan en 9.

Se puede razonar esa terminación en 9 para números de más de una cifra. La clave está en que la diferencia entre dos cuadrados es mayor o igual que 2N+1 si N es el menor del par. Si las unidades tuvieran otro valor, por ejemplo el 6, al incrementar esa cifra al 7 la diferencia de cuadrados sería de 2*6+1=13. La máxima diferencia entre los cuadrados de dos cifras consecutivas es de 2*9+1=19, pero eso no convertiría la suma total cuadrada en otra cuadrada mayor, pues al sumar los cuadrados de las cifras restantes se formaría un cuadrado mayor que el de la última cifra, que presentaría una diferencia mayor que la de la misma.

Ejemplos:

148 y 149 forman las sumas de cuadrados 1+16+64=81, 1+16+81=98. La diferencia es la prevista, 2*8+1=17, pero hemos elegido la primera para que forme el cuadrado 81, y su siguiente es 100, con una diferencia superior a 17.

Tomemos otro ejemplo, 488. La suma de cuadrados de cifras es 4^2+8^2+8^2=144. Si incrementamos el 8 al 9, la suma sería ahora de 4^2+8^2+9^2=161, con un incremento de 2*8+1=17, pero para pasar de 144 al siguiente cuadrado necesitamos 2*12+1=25, y nos faltan unidades.

Por tanto, la única cifra posible es 9, porque con ella se disminuye el cuadrado en lugar de aumentar, lo que no es posible, según hemos razonado.

Todos los elementos menores de estos pares terminarán en 9 si poseen varias cifras.

Si pasamos de un número terminado en 9 al siguiente, que lo hace en 0, se pierden 81 unidades en la suma de cuadrados de cifras (excluimos de este razonamiento el 9999, que es un caso especial). Esta pérdida se compensará con la ganancia que se produzca en las decenas. Sabemos que equivale a 2*k+1, luego la ganancia puede ser de 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 o 19, (según sean las decenas 0, 1, 2, 3,…,9), con lo que la pérdida equivaldrá a 80, 78, 76, 74, 72, 70,… Habría que investigar qué cuadrados presentan esa diferencia (no necesariamente consecutivos).

Se sabe que una diferencia de cuadrados, si es par,  ha de ser múltiplo de 4, luego las únicas diferencias válidas serían 80, 76, 72, 68 o 64, que se corresponden con las decenas 0, 2, 4, 6 y 8. Estas diferencias producen las siguientes diferencias de cuadrados (lo hemos calculado con una función adecuada):



Terminado en 09

La diferencia es 80 que equivale a tres diferencias de cuadrados, 9^2-1^2, 12^2-8^2 y 21^2-19^2

La primera sólo se da en el número 9, por razones evidentes

La diferencia entre 8^2 y 12^2 es la que más veces se presenta, como en 115609, 115610, en los que 1+1+25+36+0+81=144=12^2, 1+1+25+36+1=64=8^2

El par 19, 21 no aparece hasta números de siete cifras, así ocurre con 6999909 y 6999910:
36+81+81+81+81+0+81=441=21^2 y 36+81+81+81+81+0+1=361=19^2

Terminado en 29

Diferencia 76 que sólo se da en 20^2-18^2. Hay muy pocos casos. El primer ejemplo que hemos encontrado es 5889929 y 5889930.
25+64+64+81+81+4+81=400=20^2, 25+64+64+81+81+9+0=324=18^2

Otros ejemplos: 5898929, 5899829, 5988929, 5989829, 5998829 y 6699929

Terminado en 49

La diferencia es 72, que se da en 11^2-7^2 y 19^2-17^2

Se dan las dos diferencias:
7 y 11: 10231349 y 10231350, ya que 1+0+4+9+1+9+16+81=121=11^2, 1+0+4+9+1+9+25+0=49=7^2
19 y 17: 11689949 y 11689950: 1+1+36+64+81+81+16+81=361=19^2, 1+1+36+64+81+81+25+0=289=17^2

Terminado en 69

69 – Diferencia 68. Se da el 16,18, como era de esperar:

Uno de los primeros ejemplos es 396969 y 396970, con
9+81+36+81+36+81=324=18^2 y 9+81+36+81+49+0=256=16^2

Terminado en 89

La única diferencia es 64, en 17^2-15^2. No se da en los primeros ejemplos. Hay que buscar hasta más de un millón. El primero es 1156989 con 1156990, pues 1+1+25+36+81+64+81=289=17^2 y 1+1+25+36+81+81+0=225=15^2

Aunque la búsqueda ha resultado muy laboriosa, podemos afirmar que se dan todas las terminaciones posibles, 09, 29, 49, 69 y 89 y que los cuadrados resultantes tienen como valor máximo 400=20^2. Esto tiene un valor teórico importante, y es que las sucesión de números que estamos estudiando no tiene carácter infinito, pues está acotada por un número de 401 cifras, en el que todas las cifras fueran distintas de cero, por ejemplo,1111…(401…1111.

Si deseas experimentar por tu cuenta, puedes inspirarte en este código PARI, que está pensado para buscar terminaciones en 89 entre 1000000 y 3000000:

for(p=1000000, 3000000, a=norml2(digits(p)); b=norml2(digits(p+1)); if(issquare(a)&&issquare(b)&&p%100==89, print(p,", ",a,", ",b)))

Se han destacado en negrita los elementos que tendrías que cambiar.