martes, 7 de julio de 2015

Formas de ser un número equilibrado (3)

Equilibrados como media de números semejantes

Esta es la última entrada de la temporada 2014-15. Al igual que en años anteriores, nos tomaremos dos meses de descanso y preparación de material. Volveremos en septiembre si seguimos con fuerzas y aparecen nuevos temas, que cada vez son más difíciles de encontrar. 

Saludos a todas/os

Existen números equilibrados que son media entre el anterior y el posterior de la misma clase. Así, un número primo es equilibrado si es promedio de sus dos primos contiguos. Por ejemplo, 257 es media de su anterior 251 y el posterior 263, que por cierto también es primo equilibrado. Los tres primos componentes de la terna formarán, pues, una progresión aritmética.

Los primos equilibrados los tienes en http://oeis.org/A006562

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, …

Si dispones de las funciones ESPRIMO, PRIMANT y PRIMPROX (las puedes encontrar en http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#global ), es fácil encontrarlos. Por ejemplo, con esta función:

Public Function equiprimo(n)
If esprimo(n) And n = (primprox(n) + primant(n)) / 2 Then equiprimo = True Else equiprimo = False
End Function

Con ella es fácil reproducir la lista:



Las diferencias, salvo en el 5, son múltiplos de 6. La razón es que a partir del 5 todos los primos son del tipo 6n+1 o 6n+5. En las ternas que se forman tienen que ser todos del mismo tipo, ya que si el primero es 6n+1 y el segundo 6m+5, el tercero tendría el tipo 6m+5+(6k+4)=6h+3, no primo. Igualmente, si el primero es tipo 6n+5 y el segundo 6m+1, el tercero sería 6m+1+(6h+2). Lo puedes ver con Z6: Si el primero tuviera resto 1 y el último resto 5, el promedio presentaría resto 3 y no sería primo. Igual con los otros casos. Una consecuencia curiosa de esto es la sucesión publicada en http://oeis.org/A101597, que cuenta el número de compuestos comprendidos entre el primo equilibrado y sus contiguos, y es claro que todos los elementos tienen el valor 5, 11, 17,…es decir, un múltiplo de 6 menos 1.

Se ha conjeturado que existen infinitos primos equilibrados.

Otros números equilibrados

Con cuadrados

Ningún cuadrado como tal puede ser equilibrado, ya que (n+1)2-n2=2n+1 y n2-(n-1)2=2n-1. Igual le ocurre a los triangulares, ya que, por definición, la diferencia entre el triangular de orden n y su anterior es precisamente n, y con su posterior, n+1. No busques equilibrados entre números poligonales o procedentes de valores numéricos de polinomios.

Así que tendremos que ir visitando otros tipos de números hasta dar con aquellos que presenten elementos equilibrados.

Libres de cuadrados

Este tipo de números sí admite equilibrados. Los tienes en http://oeis.org/A245289

2, 6, 14, 17, 19, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 53, 55, 58, 66, 70, 78, 86, 89, 91, 94, 102, 106, 110, 114, 130, 138, 142, 158, 161, 163, 166, 170, 178, 182, 186, 194, 197, 199, 202, 210, 214, 218, 222, 230, 233, 235, 238,…

Los hemos reproducido con hoja de cálculo, incorporando sus factores primos, y nos ha llamado la atención que en la terna de libres de cuadrados consecutivos figuran muchos primos, lo que hace que el M.C.D. de los integrantes de la terna sea frecuentemente un 1.




Hemos buscado factores comunes en muchas ternas, hasta 10^8, y sólo hemos encontrado el 2. No parece que tengan en común los factores 3, 5 o 7. Si aparece este caso, será para números muy grandes. Con PARI hemos obtenido listados de ternas con M.C.D. igual a 2, pero no para valores mayores. No tenemos respuesta para la cuestión de si terminarán apareciendo.



Semiprimos equilibrados

También se pueden encontrar ternas de semiprimos consecutivos que formen progresión aritmética, con lo que el central de la terna sería un semiprimo equilibrado. Son estos:

34, 86, 94, 122, 142, 185, 194, 202, 214, 218, 262, 289, 302, 314, 321, 358, 371, 394, 407, 413, 415, 422, 446, 471, 489, 493, 497, 517, 535, 562, 581, 586, 626, 634, 669, 687, 698, 734, 785, 791, 815, 838, 842, 922, 982, 989, 1042, 1057, 1079, 1135, 1138,… http://oeis.org/A213025

Podemos investigar aquí también qué factores comunes tienen estas ternas de semiprimos. Hemos encontrado ternas con el factor 2 en común:



En ellas los otros factores que acompañan al 2 son ternas de primos equilibrados.

Esfénicos equilibrados

Existen esfénicos (productos de tres primos distintos) que son equilibrados, es decir, que forman ternas en progresión aritmética con el anterior y el posterior esfénico. Forman esta sucesión:

186, 370, 406, 418, 518, 582, 602, 710, 786, 814, 826, 830, 942, 978, 994, 1010, 1034, 1070, 1162, 1310, 1374, 1394, 1570, 1630, 1686, 1758, 1886, 1978, 2014, 2114, 2158, 2270, 2274, 2278, 2294, 2438, 2510, 2534, 2570, 2630, 2666, 2690, 2774, 2778, 2782, 2806, …

Entre ellos figura el año 2014, que ya se comentó en su día que formaba una terna de esfénicos con el 2013 y el 2015.

Los hemos publicado en http://oeis.org/A258276
(Aprobada y pendiente de publicación)
Siguiendo con la idea de estudiar el MCD de los tres elementos de la terna, aquí encontramos una gran variedad de números primos como resultado, entre ellos 705, 710 y 715 con factor común 5, o  3311, 3322 y 3333 con el 11. Al tener tres factores es más fácil obtener estos resultados.

Podríamos estudiar la misma cuestión con números formados por el producto de cuatro primos distintos, y también encontraríamos equilibrados:

1518, 1554, 2190, 2590, 3354, 4710, 4970, 5810, 7566, 8170, 10506, 11110, 11346, 12194, 12610, 13706, 14098, 15690, 16874, 17574, 18538, 18734, 19830, …

No hemos querido seguir para no cansar a los lectores. Si estudias el código PARI que hemos usado puedes proseguir el estudio en esa dirección, cambiando el 4 por 5, 6 o 7.

is4prim(n)=if(n>0,omega(n)==4&&bigomega(n)==4,0)
next4prim(n)={local(k=n+1);while(!is4prim(k),k+=1);k}
prec4prim(n)={local(k=n-1);while(!is4prim(k)&&k>0,k-=1);k}
{for(i=1,10^4,if(is4prim(i)&&2*i== next4prim(i)+ prec4prim(i),print(i)))}

domingo, 28 de junio de 2015

Formas de ser un número equilibrado (2)

Otros números digitalmente equilibrados

Continuamos el tema de la entrada anterior. Ahora pasamos a equilibrados en bases distintas de 10 y otros tipos de equilibrados.

Equilibrados en otras bases

Estudiábamos en la anterior entrada los números digitalmente equilibrados en base 10. Descubrimos que su distribución es lineal en tramos entre múltiplos de potencias de 10, y presentamos funciones para descubrir si un número es equilibrado o no y poder contarlos. Ampliamos ahora el concepto a digitalmente equilibrados en otras bases.

Equilibrados binarios

Serán aquellos que presenten los unos y ceros con la misma frecuencia (y también todo unos o todo ceros). Seguimos aquí con el problema de los ceros a la izquierda, que no nos deben confundir. Con la función presentada en la anterior entrada, esquilibrado(N,2) podremos encontrar los primeros:



Vemos que presentan o todo 1 o la mitad 1 y la otra mitad 0. Obsérvese que este concepto es más general que el presentado en http://oeis.org/A031443

Si contamos los equilibrados anteriores a un número con la función CEQ (ver entrada anterior) observamos que la distribución es lineal a trozos, con intervalos constantes. Lo vemos en el siguiente gráfico, construido sobre periodos de 100 en 100:



Los periodos constantes se corresponden con intervalos que van desde una potencia par de 2 a otra impar, porque entonces los números tendrían un número impar de cifras y sólo admitirían la solución 1111… En el gráfico se distinguen los comprendidos entre 256 y 512, y más arriba el que va de 1024 a 2048.

Idéntico fenómeno se percibe en otras bases. Por ejemplo, en base 3 la distribución sería




Y en base 4:




Con pares e impares

Hemos leído otra definición de equilibrado en base 10: es aquel número que contiene el mismo número de dígitos pares que de impares. También es un problema combinatorio.

En primer lugar hay que considerar que el número total de dígitos de estos números ha de ser par. Tal como consideramos en el primer caso de esta serie, habrá que comenzar por contar las distintas distribuciones de PAR  e IMPAR que se pueden dar. Por ejemplo, con seis cifras se pueden presentar así: PPPIII, PPIPPII, PPIIPI, PPIIIP, PIPPII, PIPIIP, PIIPPI,….Son permutaciones con repetición de dos símbolos tomados de seis en seis, es decir: 6!/(3!3!)=20, y después rellenar los elementos P e I con los cinco casos de cada clase, es decir con variaciones con repetición de cinco elementos tomados las veces necesarias. Aquí sería 20*53*53=312500

En general, para n pares y n impares:


Por ejemplo, con cuatro cifras nos resultaría 24/(2*2)*54=3750 y con dos: 2/(1*1)*52=50.

Estas fórmulas contienen los casos en los que el cero es la cifra inicial y el número de cifras disminuye en una unidad. La comprobación y en su caso corrección de esto la podemos efectuar contando los equilibrados entre dos números.

Descubrimiento de equilibrados

Otro enfoque es el de descubrir si un número de 2n cifras es equilibrado en este sentido. Podríamos recorrer sus dígitos y ver si el carácter PAR y el IMPAR se equilibran. Llegaríamos a un algoritmo semejante al siguiente:

Public Function esequilibradop(n) As Boolean 
Dim par, impar
Dim i, nc, co
Dim s$, ca$

par = 0: impar = 0 ‘Contadores de cifras pares e impares
s$ = Str$(n) ‘En las cuatro líneas siguientes convertimos el número en string
nc = Len(s$)
s$ = Right$(s$, nc - 1)
nc = nc - 1
If nc / 2 <> nc \ 2 Then esequilibradop = False: Exit Function ‘Número impar de cifras
For i = 1 To nc
ca$ = Mid$(s$, i, 1)
co = Asc(ca$) – 48 ‘Se halla el valor del dígito
If co / 2 = co \ 2 Then par = par + 1 Else impar = impar + 1 ‘Se acumula el contador
Next i
If par = impar Then esequilibradop = True Else esequilibradop = False
End Function

Con esta función es fácil contar equilibrados en un intervalo

Public Function contareq(m, n)
Dim a, c
If m > n Then a = m: m = n: n = a
c = 0
For a = m To n
If esequilibradop(a) Then c = c + 1
Next a
contareq = c
End Function

Por el problema del cero inicial, esta función contará menos casos que la anterior de tipo combinatorio. Lo vemos en esta tabla:



Para dos cifras el desfase es de 5, correspondiente a los casos 01, 03, 05, 07, 09.

Para cuatro cifras es de 375, que coincide con este cálculo: 3!/(2!1!)*53=375 y para seis cifras con 5!/(3!2!)*55=31250. Te dejamos razonar esto y descubrir una relación existente en la tabla.

Otras definiciones

Aún hemos encontrado más definiciones de números equilibrados. Las dejamos ahí por si las deseas estudiar:


  1. Un número es equilibrado cuando el número de veces que aparece en él una cifra par es IMPAR, y el número de cifras impares es PAR.
  2. Un número de tres cifras es equilibrado si la de las decenas es el promedio de las otras dos.
  3. La misma definición anterior, pero sin exigir que sean las decenas.


Hasta es posible que te inventes alguna nueva definición. Esto es como un juego.

miércoles, 17 de junio de 2015

Formas de ser un número equilibrado (1)

Números digitalmente equilibrados en base 10

Si se efectúa una búsqueda por Internet con la expresión “balanced number” aparecen muchos sentidos distintos para el calificativo “equilibrado” referido a los números naturales. Unos son más simples que otros y  algunos se refieren a una clase especial de números, como los primos o los triangulares. Todos ellos tienen en común que nos permiten un desarrollo en este blog, ya que el uso de algoritmos sencillos y de una hoja de cálculo permitirá aclarar algunos conceptos.

Resumiendo, nos hemos encontrado con estos significados de la palabra “equilibrado”:

Con cifras

 Un número es equilibrado en un sistema dado de numeración si (distintas definiciones):

(a) Todos sus dígitos aparecen con la misma frecuencia. Es popular el caso del sistema binario, en el que se exige que aparezcan el mismo número de 1 que de 0.
(b) Aparecen todos los dígitos posibles una vez.
(c) Posee el mismo número de dígitos pares que impares, o bien los pares figuran un número impar de veces y los impares un número par.
(d) Números de tres cifras en las una de ellas es promedio de las otras.
(e) Los primeros n dígitos tienen la misma suma que los n siguientes (en números de 2n cifras)

Con clases especiales de números:

(a) Primo equilibrado es aquel que es promedio de su primo anterior y el siguiente. Esta definición se puede extender a otras clases de números. En otra entrada lo haremos con los números esfénicos.

Habrá más casos definidos, pero con estos tenemos suficiente para trabajar un poco. No quiere decir que se desarrollen todos. En el momento de escribir esto no hemos concretado nada. Llegaremos hasta donde el cansancio o el aburrimiento nos dejen.

Comenzamos hoy con el primer caso: “Todos sus dígitos aparecen con la misma frecuencia”. Para no perder generalidad usaremos como parámetro la base de numeración. Esto nos exige que los algoritmos que usemos no se basen en el valor de los dígitos, sino en su representación tomando las cifras como símbolos.

Números digitalmente equilibrados

Si en una base dada de numeración un número se representa con unos dígitos tomados todos con la misma frecuencia, diremos que es “digitalmente equilibrado” Por ejemplo, 172712 es equilibrado en base 10 y 50 lo es en base 3, ya que 50(10=1212(3, equilibrado en el 1 y el 2.

Estudiaremos algunas cuestiones sobre ellos:
  •  Número total de equilibrados con un número dado de cifras.
  •  Función que nos devuelva si un número es equilibrado o no.
  •  Uniremos después los dos conceptos para comprobar cálculos o para averiguar cuantos equilibrados hay en un intervalo.

Si tomamos un número de dígitos determinado (divisor en este caso del total de dígitos), el número de posibles equilibrados no es difícil de calcular, pues es una cuestión combinatoria. En el caso de no concretar qué dígitos son, las formas equilibradas de llenar un número de m cifras con n dígitos equilibrados será un caso de permutaciones con repetición, en el que cada dígito se repite m/n veces.

Lo representaremos con la función FEQ (formas equilibradas de aparecer). Su expresión es fácil de conseguir:



Por ejemplo, con 6 dígitos en total y el uso de sólo 3 resultarán

FEQ(6,3)=(6!)/(6/3)!3 =720/8=90 formas

En el caso del ejemplo lo hemos comprobado con nuestra hoja Combimaq, resultando, efectivamente, 90 casos





Desarrollo de esta función con hoja de cálculo

Con este código se evita el uso de factoriales:

Function feq(m, n)
Dim q, i
Dim a, p

q = m \ n: If q <> m / n Then feq = 0: Exit Function
a = m: p = a

For i = 1 To n
For j = q To 2 Step -1
vale = False
While Not vale
If p / j = p \ j Then
p = p / j: vale = True
Else
a = a - 1: p = p * a
End If
Wend
Next j
Next i

If a > 1 Then For i = a - 1 To 2 Step -1: p = p * i: Next i
feq = p
End Function

Estas son las formas de aparecer, pero existe otra variable, y es el número de dígitos totales que usaremos. En el ejemplo hemos usado implícitamente los dígitos 1, 2, 3, pero pueden ser otros. Si deseamos estudiar el problema en base diez, esos serían los dígitos totales a considerar. Por tanto, la función FEQ se deberá multiplicar ahora por todas las combinaciones de k dígitos tomados de n en n.

 Es decir, el número total, NEQ será



Nótese que k ha de ser mayor o igual que n, lo que producirá algunos huecos en la distribución de estos números equilibrados. Lo veremos en otra entrada.

Desafortunadamente este valor incluye el cero como primer dígito en algunos casos, por lo que lo que solemos entender siempre como número de dígitos se puede falsear, pero el resultado es bastante aproximado al del uso común. La solución pasa por considerar sólo tramas de números con el mismo número de dígitos. Lo vemos:

Por ejemplo, desde 1000 hasta 9999 (cuatro dígitos), existen 4788 equilibrados (ya veremos más adelante cómo se han contado), y esta fórmula, aplicada a m=4, n=1, 2 o 4 (sus divisores) y k=10 nos da como resultado

NEQ(4;4;10)+NEQ(4;2;10)+NEQ(4;1;10) = 5040+270+10= 5320

La discrepancia consiste en que este segundo cálculo incluye ceros a la izquierda, y el otro no. Por tanto, bastará repartir 5320 entre 10 dígitos y después multiplicar por 9:
5320*9/10 = 4788

Algoritmo para distinguir si un número es digitalmente equilibrado.

Lo construiremos para bases de numeración entre 2 y 16, pues los casos de bases mayores no tienen el mismo interés. Trabajaremos con caracteres, y no con números, para poder usar los dígitos ABCDEF del sistema hexadecimal. Disponemos desde hace tiempo de la función que expresa un número en cualquier base. Por si no la hemos publicado nunca, la copiamos aquí. Es el primer paso para averiguar si un entero es equilibrado o no, expresarlo en una base dada:

Public Function exprebase(n, b) As String

Dim c$(16)
Dim m, p, r
Dim expre$

c$(0) = "0"
c$(1) = "1"
c$(2) = "2"
c$(3) = "3"
c$(4) = "4"
c$(5) = "5"
c$(6) = "6"
c$(7) = "7"
c$(8) = "8"
c$(9) = "9"
c$(10) = "A"
c$(11) = "B"
c$(12) = "C"
c$(13) = "D"
c$(14) = "E"
c$(15) = "F"
c$(16) = "G"

expre$ = ""
m = n

While m > 0
p = Int(m / b)
r = m - p * b
expre$ = c$(r) + expre$
m = p
Wend

exprebase = expre$
End Function

No la explicamos con detalle. Basta recordar la forma de pasar un número de base decimal a otra base. Lo importante es que para saber si un número es equilibrado hemos de usar sus dígitos uno a uno, y esta función lo consigue.

Una vez expresado un número en la base deseada, el problema de saber si es equilibrado o no es una cuestión de estructura de un conjunto de símbolos, independientemente de si son números o no. El algoritmo para averiguarlo puede ser el siguiente (en Basic de las hojas de cálculo):

(Está preparado para bases del 2 al 16, las más usuales, y no más de 16 dígitos)

Public Function esequilibrado(n, b) As Boolean ‘n es el número y b la base
Dim c(17)  ‘memorias para recoger los contadores de dígitos
Dim i, nc, co, cc, j
Dim s$, ca$
Dim esq As Boolean

For i = 0 To 16: c(i) = 0: Next i  ‘Pone las memorias a cero
s$ = exprebase(n, b)  ‘Expresa el número en la base dada, como cadena de caracteres
nc = Len(s$)

For i = 1 To nc  ‘Recorre todos los dígitos
ca$ = Mid$(s$, i, 1)
co = Asc(ca$) ‘carácter a estudiar
If co >= 48 And co <= 57 Then co = co – 47 ‘Convierte símbolos en códigos del 1 al 16
If co >= 65 And co <= 70 Then co = co - 54
c(co) = c(co) + 1  ‘Añade el código a su memoria
Next i
es = True
j = 1
While c(j) = 0: j = j + 1: Wend ‘se salta las memorias vacías
i = j
cc = c(j)
While es And i <= 16
If c(i) > 0 And cc <> c(i) Then es = False ‘Si dos frecuencias son distintas, ya no es equilibrado
i = i + 1
Wend
esequilibrado = es
End Function


Con esta función podemos crear listas de números equilibrados. Aquí tienes los primeros en base 2:



También se puede usar una función de N que cuente los equilibrados hasta N. Podría ser esta:

Public Function ceq(m, n)
Dim i, c
c = 0
For i = 1 To m
If esequilibrado(i, n) Then c = c + 1
Next i
ceq = c
End Function

No necesita explicación.


Equilibrados en base 10

Con la función CEQ podemos investigar cuántos equilibrados existen en base 10 en los distintos tramos de números:

Hasta el 99 todos son equilibrados. Lo son los de una cifra, y todos los de dos. Basta recorrerlos.
El 100 es el primer número no equilibrado en base 10.

En cada centena del 100 al 1000 aparecen 73 equilibrados, o lo que es lo mismo, hay 27 que no lo son. La razón es clara: el primer dígito es obligado en una centena, y un número será equilibrado si todos sus dígitos son iguales, es decir, un solo caso (por ejemplo, de 300 a 400 será el 333), o bien todos son diferentes, y como tenemos uno obligado, los otros dos aparecerán de 9*8=72 formas distintas, lo que suma 73.

Así que del 100 al 1000 contaremos 73*9=657 equilibrados. Ya llevamos del 1 al 1000 657+99=756.

Compruébalo con la función CEQ(1000;10)=756

Observa cómo resultaría el 73 de la función NEQ:

(NEQ(3;3;10)+NEQ(3;1;10))/10 = (720+10)/10=73

En cada millar aparecen 532 equilibrados

Para reproducir este número usamos la función NEQ:


Ahora bastará aplicarla a m=4, n=4,2,1 (divisores del 4) y k=10:

NEQ(4,4,10)+NEQ(4,2,10)+NEQ(4,1,10)=5040+270+10=5320, y como en cada tramo el primer dígito es obligado, dividiremos entra 10, quedando 5320/10=532.

El mismo desarrollo admitirían los tramos de 10000 en 10000. Dejamos solo el desarrollo numérico:
NEQ(5,5,10)+NEQ(5,1,10)=30240+10=30250 y dividiendo entre 10: 3025 por tramo.
Lo puedes comprobar en un tramo concreto con la función que cuenta equilibrados:

CEQ(30000;10)-CEQ(20000;10)=11594-8569=3025

Comprueba que los tramos de 100000 poseen 16291 equilibrados.

Hemos descubierto que la función que cuenta los equilibrados menores o iguales a un número en base 10 es lineal a trozos, pues presenta el mismo incremento en los tramos que poseen igual número de cifras.

lunes, 8 de junio de 2015

La función de Smarandache y los números de Kempner (3)


Asociado Kempner de un número entero

En las dos entradas anteriores llamamos S(n) al menor número tal que su factorial sea múltiplo de n. Estudiamos los algoritmos para encontrar valores de esa función y algunas de sus propiedades. Nos basaremos en éstas para desarrollar el concepto de “asociado Kempner” de un número. Lo definiremos así:

A(n)=S(n)!/n

Es fácil ver que A(n) es el número que multiplicado por n lo convierte en el factorial mínimo que es divisible por él. Si disponemos de S(n), bastará encontrarle el factorial, que será múltiplo de n y por tanto podremos dividir.

Los resultados de esta operación los tienes en http://oeis.org/A007672

1, 1, 2, 6, 24, 1, 720, 3, 80, 12, 3628800, 2, 479001600, 360, 8, 45, 20922789888000, 40, 6402373705728000, 6, 240, 1814400, 1124000727777607680000, 1, 145152, 239500800, 13440, 180, 304888344611713860501504000000…

Sólo con recorrerlos brevemente descubrimos las oscilaciones enormes que existen entre cada término y el siguiente. La razón es obvia, y está basada en las propiedades de S(n), de las que se derivan las de A(n):

El asociado de un número primo p es A(p)=(p-1)!

Porque S(p)=p, luego A(p)=p!/p=(p-1)!

En la sucesión puedes comprobarlo: A(7)=720=6!, A(11)=3628800=10!

Esto nos indica que la sucesión no está acotada. Dada una constante cualquiera, existe un factorial que la sobrepasa.

El asociado de un factorial es igual a 1

Es evidente, porque S(n!)/n=n/n=1

Ya tenemos aquí uno de los orígenes de las oscilaciones que se descubren en la sucesión.

Algoritmo de cálculo

La existencia de términos muy grandes en la sucesión nos aconseja un algoritmo que no tenga, en lo posible, que usar factoriales. Aquí está muy indicado el que propusimos del MCD en la entrada anterior. Para un valor n, recorremos el conjunto 1, 2, 3, 4,…n y dividimos n entre el MCD de n y un elemento del conjunto, hasta convertirlo en 1. Aquí recorreremos los mismos pasos, pero acumulando los cocientes obtenidos multiplicados entre sí en una variable. Al final del proceso tendremos el producto de todos los factores que multiplicados por n lo convierten en S(n)! Sólo hay que cambiar unas líneas en el algoritmo que propusimos. Destacamos en rojo los cambios:

Public Function asoc(x)
Dim n, x1, m, a

If x < 3 Then asoc = 1: Exit Function
n = 1: x1 = x: a = 1 ‘Introducimos una variable que recoja los cocientes n/m
While x1 > 1 ‘Estructura de algoritmo idéntica a la del cálculo de S(x)
n = n + 1
m = mcd(n, x1)
x1 = x1 / m
a = a * n / m ‘Se van multiplicando los cocientes para formar A(x)
Wend
asoc = a
End Function

Con Excel el cálculo es prácticamente instantáneo para los primeros números naturales:



Al igual que procedimos con el algoritmo primitivo, podemos traducir también a PARI para poder llegar a números mayores sin el estorbo de la notación exponencial:

a(n)={local(m=1,x=n,as=1,p);while(x>1,m++;p=gcd(x,m);x=x/p;as*=m/p);as}

Destacamos en rojo las novedades. Los resultados para los primeros números los tienes en esta imagen



Como era de esperar, coinciden con los publicados en A007672, y llegan más lejos. Hemos incorporado este algoritmo a esta sucesión http://oeis.org/A007672

Iteración de la función A(n)

Con lo expuesto hasta ahora podemos esperar que si iteramos la función desde un valor inicial dado, la órbita que se produzca será totalmente oscilante. Sin embargo, ocurre lo contrario, que para cualquier número entero, la iteración sólo puede presentar uno de dos finales posibles: o termina teniendo todos sus términos iguales a la unidad, o se convierte en periódica de periodo 2. Lo estudiamos:

Dado un número natural cualquiera N, el valor de la función A(N) es divisor de S(N)!, ya que por definición, A(N)=S(N)!/N. Quiere decir que S(N)! es un factorial múltiplo de A(N). Por tanto, si calculamos S(A(N)) nos dará S(N) o un número menor, si existe un factorial múltiplo de A(N) que sea menor que S(N). Por tanto:

S(N)>=S(A(N))

Pueden ocurrir dos casos

(1) Si para un N se da que S(N)=S(A(N)), al iterar y calcular A(A(N)) resultará A(A(N))=S(A(N))!/A(N)=S(N)!/(S(N)!/N)=N

Si S(N)=S(A(N)), resultará A(A(N))=N y la sucesión de iteraciones será periódica.

Esto ocurre, por ejemplo, para N=25, pues A(25)=145152 y A(145152)=25. Los dos asociados tienen el mismo factorial mínimo común a ambos. La sucesión será periódica. Lo podemos ver con la hoja de cálculo y la función ASOC:



(2) Si en un conjunto de iteraciones se da que S(N)>S(A(N)), los factoriales mínimos irán decreciendo, con lo que, o bien llegaremos a un número que produzca periodicidad como en el primer caso, o bien desembocaremos en 1!=1, y a partir de él todos serán iguales a la unidad, porque S(1)=1.

Esto se da en todos los números primos, porque entonces A(P)=(P-1)! Y A(A(P))=A((P-1)!)=1.

También en otros que no son primos, como el 21: A(21)=240, que es el cociente entre 7! Y 21. A(240)=3, es decir 6!/240. Seguimos iterando: A(3)=2 y por último, A(2)=1

Con la hoja:



La mayoría de números desemboca en la unidad al iterar la función A(N). Los únicos números que producen periodos de 2 términos son:

9, 16, 25, 45, 49, 63, 75, 80, 81, 99, 112, 117, 121, 125, 128, 147, 153, 169, 171, 175, 176, 207, 208, 225, 243, 245, 250, 256, 261, 275, 279, 289, 304, 315, 325, 333, 343, 361, 363, 368, 369, 375, 387, 405, 423, 425, 441, 464, 475, 477, 486, 495, 496, 500, 507, 512, 525, 529, 531, 539, 549, 560, 567, 575, 585, 592, 603, 605, 625, 637, 639, 640, …

Los hemos generado con el programa PARI siguiente:

a(n)={local(m=1,x=n,as=1,p);while(x>1,m++;p=gcd(x,m);x=x/p;as*=m/p);as}
{for(i=1,10^3,m=i;v=1;while(m>1&&v,n=a(m);if(m==a(n),v=0;print1(i,", "));m=n))}

Publicados en http://oeis.org/A256705

No hemos encontrado regularidades en estos números y sus asociados. Unos son cuadrados y otros no, en la mayoría de las veces un número y su asociado son coprimos, pero en otras tienen MCD mayor que 1, como MCD(495,80640)=3. Según hemos explicado anteriormente, ninguno es primo.

Lo que sí poseen todos es una parte cuadrada mayor que 1. Si fueran libres de cuadrados, se descompondrían en un producto de primos elevados todos a la unidad. Si los ordenamos de menor a mayor tendríamos  N=p1p2p3…pk  y según lo explicado en entradas anteriores, S(N)=pk!, con lo que A(N) carecería de ese factor pk, pero el factorial en que se basa ha de ser el mismo pk! o inferior. El mismo no es, porque al carecer de ese factor primo, no es necesario llegar hasta pk!. Por tanto, S(N)>S(A(N)) y no puede pertenecer al conjunto. Como la relación es recíproca, A(N) tampoco puede ser libre de cuadrados:

Si N pertenece a la sucesión que estamos estudiando, ni él ni su asociado serán números libres de cuadrados.

No existe la propiedad contraria. Existen números no libres de cuadrados, como el 12, que no pertenecen a la sucesión.

miércoles, 27 de mayo de 2015

La función de Smarandache y los números de Kempner (2)

Propiedades de la función S(n)

En la anterior entrada evaluamos la función de Smarandache con hoja de cálculo y PARI sin usar la descomposición en factores primos del número. Ahora investigaremos su comportamiento respecto a la descomposición factorial.

Comenzaremos con casos particulares de valores de S(n):

S(p)=p si p es primo

Para que p divida a un factorial, este ha de contenerlo como factor, y en los p-1 números anteriores no figura, luego hay que llegar a p y su factorial.

Recorre los valores de orden primo de los números de Kempner y observarás que el valor de la función de Smarandache en ellos coincide con el orden. Lo señalamos en rojo:

1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 6, 17, 6, 19, 5, 7, 11, 23, 4, 10, 13, 9, 7, 29,…

S(n!)=n

Es muy sencillo razonarlo. Observa que S(3!)=3, S(4!)=S(24)=4,…

Si n=p1p2p3…pk con pi primo y p1<p2<p3<…<pk,   S(n)= pk

En efecto, si tomamos el factorial del mayor primo, este incluirá como factores a todos los anteriores, y será el menor que sea divisible entre n. Elige números libres de cuadrados y lo comprobarás:

S(15)=S(3*5)=5, S(30)=S(2*3*5)=5, S(70)=S(2*5*7)=7

Si n=pk con k<=p, S(n)=p*k

Si n es potencia de un primo pk, éste deberá figurar k veces en S(n), pero la única forma de lograrlo es tomar p*p*p… k veces. Pero si k fuera mayor que p podrían aparecer más factores “p” y hay que tratarlo aparte.

Por ejemplo, S(49) ha de ser un factorial que contenga el 7 dos veces, pero el primero que cumple esto es el 14, que contiene el factor 7 en el mismo 7 y en el de 14, luego S(49)=7*2=14.

Caso n=pk con k>p

En este caso pueden aparecer más factores antes de llegar a k. Lo vemos con un ejemplo: S(27)=S(128). Aquí no hay que llegar a 2*7, porque aparecen 7 factores con valor 2 mucho antes. Construimos un factorial: 1*2*3*4*5*6*7*8*9…En él aparece un 2 en el mismo 2, 22 en el 4, 21 en 6 y 23 en el 8, con lo que ya tenemos el 7: 1+2+1+3=7. Por tanto S(128)=8 y no 14.

El objetivo será, pues, ver qué exponente de p será el adecuado para acumular al menos el valor de k. En este ejemplo, con llegar a 2*4 ya conseguimos el 7.

Si conoces el tema, te habrás acordado de la Fórmula de Polignac para encontrar los exponentes de un factor primo dentro de un factorial

(ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2009/02/formula-de-polignac.html)


Todo lo que sigue es de aplicación sólo al caso S(pk), con p primo y k>p

Algoritmo con la fórmula de Polignac

Hace tiempo que implementamos esta fórmula para hoja de cálculo:

Public Function polignac(n, p)
Dim pol, pote
pol = 0
If esprimo(p) Then
pote = p
While pote <= n
pol = pol + Int(n / pote)
pote = pote * p
Wend
End If
polignac = pol
End Function

Podemos usarla y plantear que para un número dado vamos aplicando esa fórmula desde 1 hasta N, deteniéndonos cuando el exponente k de pk sea inferior a lo que nos dé la fórmula de Polignac. Lo planteamos como una función de dos variables, el primo p y el exponente k. No analizaremos si p es primo y si k es entero.

Public Function smar3(p, k) ‘Dos parámetros, el primo p y el exponente k
Dim n, s
Dim sigue As Boolean
If k <= p Then smar3 = p*k: Exit Function ‘caso sencillo
n = 1: sigue = True: s = 1
While sigue And n <= p ^ k
If polignac(n, p) >= k Then sigue = False: s = n ‘paramos cuando se sobrepase el exponente
n = n + 1
Wend
smar3 = s
End Function

Aquí tienes una tabla con casos en los que k>p, comparando con los resultados de SMAR2



Kempner desarrolló un algoritmo para esta situación, pero como no lo hemos encontrado bien explicado y es complejo (téngase cuenta que se creó antes de la existencia del cálculo automático), nos quedamos con los tres nuestros.

Lo puedes consultar en http://mathworld.wolfram.com/SmarandacheFunction.html

Caso general

Si se ha resuelto el cálculo de S(pk), para calcular la función en un número cualquiera es fácil entender que se calculará para todas las potencias de primos contenidas en él, tomando después el máximo de los valores.

Esto supone mucha complicación, y como estamos muy satisfechos con nuestro algoritmo del MCD, nos quedamos con él.

Gráfica de la función de Smarandache

Nos quedamos con nuestra función SMAR2 para crear un gráfico, por otra parte muy conocido, de la función de Smarandache:



Vemos que es lineal para los números primos, que la función está acotada por el valor de N, y que es totalmente oscilante. Algunos máximos intermedios se corresponden con dobles de primos y, en general, los semiprimos y libres de cuadrados suelen presentar valores altos en su entorno.

lunes, 18 de mayo de 2015

La función de Smarandache y los números de Kempner (1)

La función de Smarandache se define, para un número natural n, como el menor entero tal que su factorial es divisible entre n. La designaremos como S(n). Por ejemplo, para n=12, el menor valor de k tal que k! sea divisible entre 12 es el 4, ya que 4!=24 es el menor factorial divisible entre 12. Lo expresaremos como S(12)=4. Es fácil que entiendas que S(6)=3 o que S(7)=7. Plantéate otros ejemplos.

Esta función fue estudiada por Lucas y Kempner antes de que Smarandache le asignara su propio nombre. Por eso, la sucesión de sus valores recibe el nombre de “números de Kempner”, y es esta:

1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 6, 17, 6, 19, 5, 7, 11, 23, 4, 10, 13, 9, 7, 29, 5, 31, 8, 11,… (http://oeis.org/A002034)

Aprovecha estos valores para comprobar la definición de la función en cada uno de ellos. Pronto descubrirás casos particulares, que podrás ampliar en la próxima entrada de este blog. Por ejemplo, adelantamos que el valor de S(p) para un número primo p es el mismo número: S(p)=p para p primo, o que S(n!)=n. Lo veremos más adelante.

En las dos primeras entradas de esta serie nos dedicaremos sólo a intentar construir algoritmos que reproduzcan los valores de la función. Comenzaremos por el más ingenuo y seguiremos con otros que contienen más artificio. Ante todo hay que notar que S(N)<=N, ya que todo número es divisor de su propio factorial. Esto nos beneficia, porque las búsquedas terminan en N.

Algoritmo “ingenuo”

Para encontrar el valor de S(n) bastará recorrer todos los factoriales desde 1 hasta n! y detenernos en el primero que sea múltiplo de n. El gran inconveniente de este procedimiento es que pronto se sobrepasará la capacidad de cálculo de la herramienta que usemos, especialmente si es una hoja de cálculo. Lo intentamos para Excel:

Public Function smar1(x)
Dim n, f
Dim seguir As Boolean

If x < 3 Then smar1 = x: Exit Function ‘Para x=1,2 S(x)=x
n = 1: f = 1  ‘Recorremos naturales desde 2 hasta x y f es su factorial
seguir = True  ‘variable para controlar el WHILE-WEND
While n <= x And seguir  ‘mientras no se llegue a n (cota natural) ni a la solución
n = n + 1: f = f * n  ‘se incrementa n y su factorial
If f = Int(f / x) * x Then seguir = False  ‘se ha llegado a un factorial divisible entre n
Wend
smar1 = n  ‘el valor de la función es el entero cuyo factorial es divisible
End Function

El algoritmo es sencillo, pero como se usan factoriales, aunque sea de forma indirecta, comete errores muy pronto (en Excel): De hecho, los valores para n=23 y n=29 ya son erróneos (destacados en rojo en la imagen):



Así no llegaremos muy lejos. Podíamos intentarlo en PARI a ver si funciona mejor (hemos eliminado los casos x=1,2):

smar1(x)={local(n=1,f=1,s=1);while(n<=x&&s,n+=1;f*=n;if(f(x==f\x,s=0));return(n)}
{for(i=3, 90, print1(smar1(i), ", "))}

Es el mismo algoritmo traducido a PARI. Para los 90 primeros casos funciona bien:

3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 6, 17, 6, 19, 5, 7, 11, 23, 4, 10, 13, 9, 7, 29, 5, 31, 8, 11, 17, 7, 6, 37, 19, 13, 5, 41, 7, 43, 11, 6, 23, 47, 6, 14, 10, 17, 13, 53, 9, 11, 7, 19, 29, 59, 5, 61, 31, 7, 8, 13, 11, 67, 17, 23, 7, 71, 6, 73, 37, 10, 19, 11, 13, 79, 6, 9, 41, 83, 7,…

Hemos probado el algoritmo para valores mayores y parece funcionar, pero nosotros deseamos mejorar el proceso para hoja de cálculo.

Algoritmo con el MCD

Este algoritmo lo hemos creado para el blog, pero es posible que ya esté publicado con anterioridad. Así que no se reclamará ninguna autoría.

La idea base es la de que el número dado va tomando factores de los elementos del conjunto 1, 2, 3, 4, 5,… hasta agotarlos todos. Por ejemplo, para encontrar S(18) necesitamos contar con los factores 2, 3, 3. Si tomamos los primeros números, el 18 podrá tomar de cada uno de ellos el MCD. La idea que lo simplifica todo es que una vez encontrado un factor, dividimos entre él para ir disminuyendo el valor primitivo (en este caso el 18).

Lo vemos en esta tabla:



Repetimos la idea: Elegimos un número, lo comparamos con 1, 2, 3, 4, 5,… dividiendo entre el MCD de ambos. Cuando el número llegue a 1, hemos terminado, y la solución será el último término de 1, 2, 3, 4, … probado. Lo explicamos de nuevo con n=250. Si el MCD es 1, lo saltamos:

MCD(250,2)=2, luego dividimos entre 2 y nos queda N=125
El MCD con 3 y 4 es 1, luego los saltamos
MCD(125,5)=5, dividimos N=25
Saltamos a 10: MCD(25,10)=5 y dividimos N=5
Saltamos al 15: MCD(5,15)=5, y al dividir obtenemos N=1. Ya hemos terminado: la solución es 15: S(250)=15

La ventaja de este método estriba en que no se multiplica, sino que se divide, con lo que los valores disminuyen hasta 1, evitando el desbordamiento en hoja de cálculo. Aunque se puede usar el cálculo manual con la misma hoja (sería muy pedagógico intentarlo en la Enseñanza), hemos implementado la función SMAR2, mucho más rápida, al disminuir los datos y poder eliminar una sentencia IF:

Public Function smar2(x)
Dim n, x1, m

If x < 3 Then smar2 = x: Exit Function
n = 1: x1 = x ‘la variable x1 recoge los cocientes entre x y el MCD con 1, 2, 3, 4,…
While x1 > 1 ‘se sigue mientras el cociente no llegue a 1
n = n + 1 ‘nuevo valor para los primeros números
m = mcd(n, x1) ‘encontramos el MCD
x1 = x1 / m ‘no hay que usar un IF porque es divisible con seguridad
Wend
smar2 = n
End Function

Con esta nueva implementación podemos calcular S(x) para valores mayores. Lo hemos intentado para comprobar que S(200001)=409 y se ha conseguido de forma prácticamente instantánea. Coincide con el resultado obtenido con PARI.

El problema está en que necesitas la función MCD. Aquí tienes una:

Public Function mcd(a1, b1)
Dim a, b, r

'Halla el MCD de a1 y b1

r = 1
a = a1
b = b1
If b = 0 Then b = 1
If a = 0 Then a = 1
While r <> 0
r = a - b * Int(a / b)
If r <> 0 Then a = b: b = r
Wend
mcd = b
End Function

Puedes estudiar esta versión muy sintética en PARI:

a(n)={local(m=1,x=n);while(x>1,m++;x=x/gcd(x,m));m}

En la siguiente entrada experimentaremos con algoritmos basados en la descomposición factorial, siguiendo las ideas de Kempner y basados en las propiedades de la función que estudiamos.

viernes, 8 de mayo de 2015

Relaciones entre un número y su sigma (2)

En la anterior entrada estudiamos casos curiosos de números poligonales con sigma triangular.
Seguimos hoy con otros casos:

Sigma cuadrada

Busquemos ahora los casos en los que SIGMA(N) sea un número cuadrado.
La lista de todos ellos ya está publicada en https://oeis.org/A006532. Son  estos:

1, 3, 22, 66, 70, 81, 94, 115, 119, 170, 210, 214, 217, 265, 282, 310, 322, 343, 345, 357, 364, 382, 385, 400, 472, 497, 510, 517, 527, 642, 651, 679, 710, 742, 745, 782, 795, 820, 862, 884, 889, 930, 935, 966, 970, 1004, 1029, 1066, 1080, 1092,…

Por ser SIGMA una función multiplicativa, y como el producto de dos cuadrados es otro cuadrado, se cumplirá (ver A006532) que si dos términos de esta sucesión son primos entre sí, su producto pertenecerá también a la sucesión. Por ejemplo, 3  y 70 son primos entre sí, y su producto, 210, también pertenece a las sucesión.

Nosotros ahora distinguiremos algunos casos y presentaremos sucesiones no publicadas.

En primer lugar nos preguntaremos si un número cuadrado puede tener su sigma también cuadrada. La respuesta es afirmativa.

Números cuadrados con sigma cuadrada

Se conocen todos los casos, que están recogidos en https://oeis.org/A008848

1, 81, 400, 32400, 1705636, 3648100, 138156516, 295496100, 1055340196, 1476326929, 2263475776, 2323432804, 2592846400, 2661528100, 7036525456, 10994571025, 17604513124, 39415749156, 61436066769, 85482555876, 90526367376, 97577515876, 98551417041,…

Aquí se ve que son muy escasos, porque estamos exigiendo una condición fuerte.

En esta sucesión no hay cuadrados de números primos. Todos tienen al menos dos factores  distintos. La razón es la siguiente: Si p es primo, SIGMA(p2)=p2+p+1. Si esta expresión ha de ser un cuadrado, se cumplirá p2+p+1=m2, con m>p. De ahí deducimos que p+1=m2 - p2 = (m+p)(m-p), pero esto es imposible porque con tomar sólo m+p ya es mayor que p+1.

El caso contrario sí se puede dar: la sigma de 81 es 112 y la de 400, 312. Es probable que sólo se den esos dos casos.

Tal como procedíamos en la anterior entrada, intentaremos buscar términos de la sucesión que sean triangulares, oblongos o de otro tipo. Primos no pueden ser porque sigma(p)=p+1 si es primo, y tendríamos p+1=m2 y p=m2-1=(m+1)(m-1) y no sería primo salvo el caso de 3.

Triangulares con sigma cuadrada

Este caso no estaba publicado y hemos procedido a ello  en https://oeis.org/A256151

1, 3, 66, 210, 820, 2346, 4278, 22578, 27966, 32131, 35511, 51681, 53956, 102378, 169653, 173755, 177906, 223446, 241860, 256686, 306153, 310866, 349866, 431056, 434778, 470935, 491536, 512578, 567645, 579426, 688551, 799480, 845650, 893116, 963966, 1031766, 1110795, 1200475, 1613706, 1719585, 1857628, 1991010,…

Los hemos obtenido con Excel y con este programa de PARI:

PARI {for(i=1,2*10^3,n=i*(i+1)/2;if(issquare(sigma(n)),print1(n,", ")))}

Algunos de ellos son libres de cuadrados



Como SIGMA es una función multiplicativa y todos los factores son primos, si un número es el producto de primos N=p*q*r*s*…, SIGMA(N)=(p+1)(q+1)(r+1)(s+1)… y deberá tener los factores primos “emparejados”, a fin de que se forme un cuadrado.

Lo vemos con un ejemplo: 210=2*3*5*7,
SIGMA(N)=(2+1)(3+1)(5+1)(7+1)=3*4*6*8=3*3*2*2*2*2*2*2=24^2

Casi todos ellos son múltiplos de 2 o de 3, e incluso de ambos, como puedes ver en su perfil para los primeros primos:


Un caso curioso que no es múltiplo de estos dos primos es el de 32131, producto de los primos 11, 23 y 127, que es triangular porque 32131=11*23*127=253*127=253*254/2, y su sigma, por la propiedad multiplicativa, será Sigma(32313)=12*24*128=212*32, número cuadrado. Se produce el emparejamiento de factores que vimos en anteriores párrafos.

Semiprimos con sigma cuadrada

Si los semiprimos tienen los dos factores primos iguales, no presentan interés, ya que son cuadrados y hemos estudiado ese caso. Si sus factores son distintos,  N=p*q y SIGMA(N)=(p+1)(q+1) ha de ser un cuadrado. Esto exige que las partes libres de cuadrados de p+1 y q+1 sean iguales.
Los números que cumplen esto son:

22, 94, 115, 119, 214, 217, 265, 382, 497, 517, 527, 679, 745, 862, 889, 1174, 1177, 1207, 1219, 1393, 1465, 1501, 1649, 1687, 1915, 1942, 2101, 2159, 2201, 2359, 2899, 2902, 2995, 3007, 3143, 3383, 3401, 3427, 3937, 4039, 4054, 4097, 4315, 4529, 4537, 4702, 4741, 5029, 5065, 5398, 5587, 5729, 6167, 6169, 6457, 6539, 6739, 6769, …

Se pueden reproducir con PARI

{for(i=1,10^4,if(omega(i)==2&&issquarefree(i)&&issquare(sigma(i)),print1(i,", ")))}

También se encuentran con Excel si se dispone de las funciones adecuadas.

Los hemos publicado en https://oeis.org/A256152

En su gráfico de múltiplos vemos que ningún elemento lo es de 3.



Ningún término es múltiplo de 3, por las razones que expondremos en el siguiente párrafo. Llama la atención el predominio de los múltiplos de 7. Una causa probable es que su sigma es 50, el doble de un cuadrado.

Esto nos invita a definir un primo asociado de otro si es el primero que multiplicado por él da un producto con sigma cuadrada. El 3 no tiene asociado, porque es el único primo del tipo k2-1, ya que otro primo de ese tipo sería el producto de dos factores (k+1)(k-1) ambos mayores que 1. Esto nos lleva a que sigma(3) es cuadrada, y su único asociado sería él mismo, pero entonces el semiprimo 3*3 no entrarían en nuestro estudio.

Aquí tienes los primeros (el 3 no tiene y se ha asignado un 1)



Hemos probado a encontrar otro más además del 3 que no tenga asociado. Hemos usado PARI y nos ha resultado que hasta 10000 todos tienen asociado algún primo. Aquí tienes algunos cuyo asociado sobrepasa 10^6:



Llama la atención el asociado a 7603

Es probable que sea cierta la conjetura de que todo primo mayor que 3 posee un asociado tal que su producto tenga sigma cuadrada.

Otros casos

Podemos intentar buscar situaciones nuevas. Nosotros no lo haremos, pero aquí tienes alguna propuesta por si deseas completarla y publicarla en OEIS:

Oblongos con sigma cuadrada

210, 930, 2652, 26082, 34782, 42642, …

Triangulares con sigma oblonga

6, 28, 55, 496, 666, 780, 1540, 2145, 6441, 6903, 8128,…

Entre ellos están los números perfectos.

Intenta completarlas a más términos.