sábado, 12 de abril de 2014

Primo mínimo detrás de un cuadrado


En la entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/04/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html) estudiamos la conjetura de Legendre y terminamos con la formulación siguiente: La conjetura de Legendre es equivalente a la afirmación de que entre dos números consecutivos n y n+1 siempre existe un número que es la raíz cuadrada de un número primo.


La conjetura nos afirma que existe uno al menos, pero lo normal es que existan más. Nos fijaremos en el primer número primo que es mayor que un cuadrado dado n2, y que, por tanto, su raíz cuadrada sea la más cercana de este tipo al valor de n. Esos valores son fáciles de encontrar. Aquí tienes una función en BASIC:

Function primomincuad(n)
 a=n*n+1
while not esprimo(a)
a=a+1
wend
primomincuad=a
End function

Dado un valor de n, esa función encuentra el menor número primo que es mayor que su cuadrado. Ya se conocen los valores de estos primos:

2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401, 443, 487, 541, 577, 631, 677, 733, 787, 853, 907, 967, 1031, 1091, 1163…
http://oeis.org/A007491

Las raíces cuadradas de estos números estarán comprendidas entre n y n+1. Por ejemplo, el octavo, que es 67, tiene su raíz cuadrada entre 8 y 9, como se ve sin calcularla.

Estos valores nos plantean una pregunta inocente: ¿Qué diferencias concretas existen entre cada número natural y la raíz cuadrada de primo más próxima?

Para encontrar esa raíz podemos usar la fórmula a = RAIZ(PRIMPROX(N ^ 2)). La hemos utilizado para crear este gráfico de diferencias:



Es muy curioso, porque esas diferencias oscilan con tendencia decreciente desde 0,4142 hasta acercarse a cero. Podíamos plantearlo como una conjetura:

Conjetura 1: Las diferencia entre cualquier número natural y la raíz cuadrada del mínimo número primo mayor que su cuadrado es siempre igual o menor que la raíz cuadrada de 2 menos 1.

Es razonable pensar en esta conjetura. Por una parte la hemos comprobado hasta 5*10^7 con este código PARI:

{for(i=1,5*10^7,b=sqrt(nextprime(i*i))-i;c=sqrt(2)-1;if(b>=c,print(i)))}

Si lo ejecutas verás que sólo imprime el valor 1. Los siguientes números producen diferencias más pequeñas.

Por otra, vemos que los valores son claramente decrecientes en conjunto. Realizamos algunas aproximaciones. ¿Cuántos primos se pueden esperar entre n2 y  (n+1)2?

Si usamos el Teorema de los números primos podemos establecer una aproximación grosera

(http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_n%C3%BAmero_primo)


Y más grosera y atrevida aún: si se esperan P primos entre los dos cuadrados consecutivos, el primero de ellos distará de n2 una distancia del orden de la fracción inversa, 2Ln(n)/(2n+1). ¿Será así? Recuerda que hablamos de tendencias, no de valores individuales.

Hemos construido una tabla doble: en una columna los valores de RAIZ(PRIMPROX(N ^ 2))-N y en la otra los de 2Ln(n)/(2n+1), con este resultado gráfico:









Vemos que la tendencia decreciente es razonable, luego podemos confiar en que nuestra conjetura sea cierta, que las diferencias nunca son mayores que 0,4142…¡Sólo confiar, nada más!

Conjetura 2: Dado un número natural cualquiera K, existe otro N tal que la diferencia (en valor absoluto) entre su cuadrado N2 y el mínimo primo mayor que él sea igual a K.

Expresado de otra forma, la expresión PRIMPROX(N ^ 2)-N^2 puede tomar cualquier valor.  Esta idea aparece cuando obtienes una lista de valores de N, tomas nota de esa diferencia en una hoja de cálculo y la ordenas después por los valores de la diferencia. No nos cabe aquí la tabla adecuada para que veas que se recorren todos los valores, pero puedes construirla en la hoja de cálculo conjeturas,xlsx  (ver http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas)

Algunos valores se resisten a salir, como el 29, 68 y 78, pero al final los obtienes. Puedes construir esta función que te devuelve el primer valor posible para K:

Public Function difproxprim(k)
Dim n, m
n = 0: m = -1
While k <> m
n = n + 1
m = primprox(n * n) - n * n
Wend
difproxprim = n
End Function

Si juegas con ella te darás cuenta de que puede resultar muy lenta en una hoja de cálculo, por ejemplo para obtener que el 68 aparece en la lista para K=5187.

Puedes usar la misma idea en PARI:

difproxprim(k)={local(m=-1,n=0);while(k<>m,n=n+1;m=nextprime(n*n)-n*n);return(n)}
{print(difproxprim(68))}

En ella sustituyes después el 68 por otro número. Por ejemplo, el 88 se retrasa hasta K=11499 y el 200 hasta K=90963. Es un poco atrevido plantear esta conjetura, pero también es razonable.

jueves, 3 de abril de 2014

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo – Legendre


Conjetura de Legendre

Esta conjetura afirma que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1) 2 existe siempre un número primo.

Se considera básica e importante, por lo que se incluyó en los Problemas de
Landau (http://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems)

Al igual que en la conjetura de Andrica (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html) sólo necesitamos para estudiarla las funciones ESPRIMO y PRIMPROX, incluidas en la herramienta que hemos preparado para el estudio de conjeturas.

 (ver http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas)

Es fácil organizar los cálculos. Diseñamos una columna con los primeros números naturales y junto a ella la de sus cuadrados. Después, a la derecha de cada cuadrado calculamos la función PRIMPROX sobre él para encontrar su próximo primo. Este deberá pertenecer al intervalo formado por ese cuadrado y el siguiente:

A simple vista vemos que cada primo de la tercera columna es menor que el siguiente cuadrado: 67 menor que 81, luego está comprendido entre 64 y 81, o 149, que pertenece al intervalo (144, 169), y así con todos.

Nada impide que comiences la lista no con el 1, sino con un cuadrado mayor, como ves en la imagen



Si lo vas a explicar a otras personas, podías añadir una cuarta columna con una fórmula de tipo condicional =SI(el primo es menor que el siguiente cuadrado;”Vale”;”Error”)

De hecho, no existe sólo un número primo entre dos cuadrados, sino que pueden entrar más. Tienes ese dato en http://oeis.org/A014085. Puedes descubrirlo tú con la función PRIMPROX. Sólo copiamos un esquema para el cuadrado de 26, con un resultado de 7 primos:



Si construyes bien un esquema similar podrás encontrar el número de primos entre otros cuadrados consecutivos.

Otro ejercicio sencillo sería, dado un número primo encontrar entre qué cuadrados está. No necesitas saber mucho ¿Cómo se haría? Recuerda la función ENTERO. Ahí tienes un ejemplo:



Otra formulación

Si usamos la función p, que da la distribución de los números primos (p(200) equivaldría a los primos que existen menores o iguales a 200), la conjetura de Legendre se podría expresar así:


En nuestra herramienta conjeturas.xlsm hemos implementado la función PPI(n) (le añadimos una p para que no se confunda con el número p, que se expresa como PI()) Con ella es fácil verificar la conjetura: escribes los dos cuadrados consecutivos y le aplicas la función PPI a cada uno. Restas y deberá darte un número mayor que 0. Puedes construirte un esquema de cálculo similar al de la imagen:



En la página http://oeis.org/A014085 citada más arriba se incluye una generalización de esta conjetura, en el sentido de el exponente 2 se podría sustituir por otro más pequeño. Se ha conjeturado que se podría llegar hasta log(127)/log(16)= 1,74717117169. Se entiende que con carácter general, para todos los valores. Más abajo verás que en un caso particular se puede llegar a valores más pequeños.

Si el esquema anterior lo modificamos para que en lugar de un cuadrado usemos el exponente que deseemos nos servirá para acercarnos al valor mínimo en el que la conjetura sigue siendo cierta:



Nos hemos dedicado a aproximar este caso al valor mínimo posible y hemos llegado hasta el exponente 1,20545 como mero entretenimiento.

Andrica y Legendre

Si la conjetura de Andrica es cierta (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html), de ella se deduce la de Legendre. En efecto, vimos en la entrada enlazada que la diferencia entre un primo Pn y el siguiente Pn+1, si la conjetura de Andrica se verdadera, debería cumplir la desigualdad

De ella se deduciría la de Legendre fácilmente. Supongamos que alguien descubre que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 no existe ningún número primo. En este caso llamemos pn al primo inmediatamente menor que n2. Sería pn<n2<pn+1. Según la desigualdad anterior ocurriría que si no existiera ningún primo entre n2 y (n+1)2 tendríamos


Esto está en contradicción con la desigualdad previa, luego ha de existir un primo entre ambos cuadrados.

Otra formulación más

Es evidente que la conjetura de Legendre es equivalente a la afirmación de que entre dos números consecutivos n y n+1 siempre existe un número que es la raíz cuadrada de un número primo. Pero esto nos va a dar juego para otra entrada.

lunes, 24 de marzo de 2014

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo – Andrica

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid


Nota importante: Hoy iniciamos una serie sobre conjeturas. Con ella no se pretende impartir teoría ni ilustrar temas de actualidad. Simplemente deseamos hacer ver que cuestiones de índole superior se pueden tratar con instrumentos simples. Si a través de ellos logramos interesar a los lectores para que investiguen más habremos conseguido nuestro objetivo. Como siempre en este blog usaremos la hoja de cálculo, instrumento excelente para presentar propiedades. Para no cansar a los seguidores del blog no las publicaremos de forma consecutiva.


Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica se expresa algebraicamente mejor que con palabras. Si representamos por pn el número primo que aparece en el lugar n de su lista, la conjetura se expresa como

“La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1”

Sobre su historia, autor y algunas consideraciones interesantes, en lugar de copiarlas aquí remitimos a una destacada entrada del blog “Gaussianos” (http://gaussianos.com/la-conjetura-de-andrica-o-que-distancia-hay-entre-dos-numeros-primos-consecutivos/)

Lo que nos interesa en esta entrada tiene carácter más humilde, y es la comprobación de esta conjetura con una hoja de cálculo y nivel medio de dificultad. Para ello necesitas dos funciones: ESPRIMO, que te devuelve si un número es primo o no y PRIMPROX, que encuentra el menor número primo que es mayor que uno dado (sea primo o no). Para evitarte tratar con definiciones de funciones y con el BASIC de las hojas, hemos creado la herramienta conjeturas.xlsm (y conjeturas,ods), que se encuentran en la dirección

http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas

La primera hoja contiene el espacio de trabajo, la segunda el catálogo de funciones implementadas y la tercera los enunciados de las conjeturas. Este archivo se podrá ir actualizando sin previo aviso conforme se vayan tratando conjeturas nuevas.

Supondremos, pues, que tienes abierta la hoja conjeturas. Puedes comenzar una tabla en la que figuren en la primera columna todos los números primos (verás cómo) y en la segunda los siguientes primos de cada uno de ellos. Después, en una tercera escribimos la diferencia de las raíces cuadradas de ambos.

Construcción de la tabla

Comienza, por ejemplo, escribiendo un 2 en la celda B2. Usa la función PRIMPROX para escribir el siguiente primo en C4: =PRIMPROX(B4). Evidentemente obtendrás un 3.

En la celda D4 escribe la diferencia de raíces cuadradas =RAIZ(C4)-RAIZ(B4)



Para que puedas extender la tabla hacia abajo, en la celda B5 copia el contenido de la C4, pero como fórmula, =C4. No uses Copiar y Pegar. Obtendrás un 3, como era de esperar.



Con el controlador de relleno copia hacia abajo las celdas C4 y D4



Lo que te queda por hacer es muy sencillo: de nuevo con el control de relleno copia las tres nuevas celdas de la fila 5 hacia abajo hasta el número de filas que desees:



Hemos marcado en negrita la máxima diferencia, y como era de esperar, todas son menores que la unidad.

Aunque ya están publicados, te puedes dar la satisfacción de crear tu propio gráfico, añadiendo, por ejemplo, otra columna con los números de orden:



En el gráfico se aprecia la máxima diferencia antes de llegar al 11 y que la tendencia general es que, con grandes oscilaciones, los valores tienden a cero, lo que da confianza en que la conjetura sea cierta.

Otra interpretación

Si representamos por Dn la diferencia entre dos primos consecutivos
Si la conjetura es cierta se cumple


La diferencia entre dos primos consecutivos siempre es menor que la suma de las raíces cuadradas de ambos.

Es fácil deducir otra expresión más simple:

Puedes crear dos columnas nuevas en tu tabla, una con la suma de raíces y otra con la diferencia de primos consecutivos. Intenta crear un gráfico similar a este:



Contrasta  la “suavidad” de la gráfica de la suma de raíces con la de la diferencia de primos. Hay que tener en cuenta que en la primera cada primo se suma en dos datos consecutivos, lo que produce un efecto de promedio, que oculta algo las irregularidades. Lo importante en este caso es se cumple la desigualdad deducida de la conjetura de Andrica.

Una interesante generalización

Si la conjetura de Andrica es cierta, podemos plantear la ecuación


Tendremos la seguridad de que x estará entre los valores 0,5 y 1. Para cada par de primos consecutivos x tendrá un valor distinto. El máximo lo alcanza para el par (2,3) en el que x=1 y el mínimo en pn+1=127 y pn=113 con x=0.567148... Este valor es conocido como la constante de Smarandache. La tienes en http://oeis.org/A038458

Es muy instructivo el procedimiento que podemos usar para encontrar el valor de x correspondiente a cada par de números primos consecutivos. Podemos usar para ello la herramienta de Búsqueda de Objetivos (lo desarrollamos para Excel, pero es muy fácil trasladarlo a otras hojas)

Tal como se explicó en párrafos anteriores, comienza por crear una tabla de pares de números primos consecutivos. Si te da pereza, usa lo que sigue para un solo par.

En la tabla hemos añadido una columna para x en la que iniciamos con el valor 1. Una cuarta columna la rellenamos con la fórmula p(n+1)^x-p(n)^x. Si la reproduces, comprueba que los valores que obtienes son los que figuran en la imagen.

Búsqueda del valor de x

Usaremos la Búsqueda de objetivos para resolver la ecuación


Elige un par cualquiera, por ejemplo 29 y 31. Señala la celda que contiene el valor 2 para la diferencia de potencias, y busca el procedimiento Buscar Objetivo en la fichas Datos y grupo Análisis Y si…


Ahora, en Definir la celda escribes la que contiene la diferencia 2, como valor escribes 1, porque ese es tu objetivo, y en Para cambiar la celda escribes la celda donde está el valor 1 de la x.
Al pulsar aceptar obtendrás la solución, tal como ves en la imagen:


La solución, 0,84555… está entre 0,5 y 1, tal como habíamos conjeturado.
Toma el par 113 y 127 y obtendrás la la constante de Smarandache con cinco decimales correctos:



El problema está en que has de ver cada par uno a uno, pero para un cálculo conjunto nos tendríamos que complicar el proceso.

Puedes consultar más generalizaciones en http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0707/0707.2584.pdf


viernes, 14 de marzo de 2014

Restos en la función PRIMO(n)


Seguimos con nuestra tendencia a jugar y experimentar con los conceptos matemáticos. Ahora lo haremos con la enumeración de los números primos, por la que asignamos a cada número natural N el número primo que ocupa el lugar N en su orden natural. Esta función así construida la podemos llamar PRIMO(N), prime(n) en inglés, o, como hemos usado este año en el blog, PRIMNUM(N).  Para simplificar la escritura usaremos P(N).

Esta función, como es de esperar, está bien estudiada. En http://oeis.org/A000040 tienes muchos detalles. Si la representamos (de forma falsamente continua) notamos que es casi lineal, con concavidad hacia arriba.


En la página de OEIS citada se incluye la propiedad de que P(n) es siempre mayor que nln(n). En efecto, si representamos ambas funciones en un mismo gráfico, observamos que son muy similares. Ambas tienden “suavemente” a infinito conjuntamente con n.



Relaciones lineales

Esto nos va a servir para lo siguiente: Para cualquier valor de N, podemos encontrar el cociente entero P(N)\N y el resto correspondiente. Por ejemplo, P(22)=79, porque este es el primo que ocupa el lugar 22. Podemos expresarlo así: 79=3*22+13. Esto siempre es posible, y el cociente entero será igual o mayor que 1, porque P(N)>N. Aquí nos interesará el resto 13.

Todo número primo se puede expresar mediante el cociente entero entre su número de orden y el resto correspondiente.

En la gráfica esto equivaldría a dibujar una línea recta que corta exactamente a la gráfica de los primos en el punto (N,P(N)).

Restos posibles

El resto de la división entera entre un primo y su número de orden puede presentar muchos valores distintos. Vemos algunos de los primos publicados:

2, 3, 11, 13, 37, 43, 1087, 64591, 64601, 64661,… se caracterizan porque su resto respecto a su número de orden es 1. Por ejemplo, 64661 es el primo número 6466 y se cumple que 64661=6466*10+1. Estos números primos los tienes en http://oeis.org/A048891

También aparecen restos 2 (ver http://oeis.org/A156152). Por ejemplo, P(73)=367=73*5+2. Y también 3 (A171430) o resto -1 (A052013)

¿Aparecerán todos los restos si recorremos los números primos y los dividimos entre sus números de orden? En http://oeis.org/A004648 tienes su enumeración ordenada:

0, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 5, 9, 9, 1, 2, 1, 2, 5, 8, 7, 10, 11, 10, 13, 14, 17, 22, 23…

Al recorrer los primeros 1000 primos echamos de menos algún resto, como el 18 o el 20 ¿acabarán apareciendo? Para averiguar esto usaremos una técnica similar a otras que han aparecido en este blog: fijamos un número grande, como el 10^6, y para cada valor de resto que elijamos, por ejemplo ese 18 que no aparece, recorremos todos los primos menores que el tope y les calculamos su resto respecto al número de orden. Si aparece  el que queremos, ya lo hemos encontrado; si no, aumentamos el tope. Lo podemos construir en el Basic de las hojas de cálculo:

Public Function primoresto(n)
Dim a, i, p, r
a = 2: i = 1: r = -1: p = -2  Iniciamos la lista de primos y la variable r a -1
While p <> n And i <= 10 ^ 6  Bucle hasta la solución o hasta el tope
p = a - i * Int(a / i)  Buscamos el resto entre el primo a y su orden i
If p = n Then r = a Si el resto coincide con el número propuesto, ya tenemos solución
i = i + 1  Si no, avanzamos en la lista de primos
a = primprox(a)
Wend
primoresto = r
End Function

Si la función devuelve el valor -1, es que no se ha encontrado solución y hay que subir el tope. Con esta función y con Excel, que es una hoja rápida, hemos encontrado estos valores:



Llama la atención el mínimo primo que presenta resto 18. Efectivamente, 176557 es el primo número 16049 y el cociente entre ellos es 11 y el resto 18, como cabía esperar. Más impresionante es el correspondiente a 44, nada menos que 1304867. Para avanzar más hemos traducido el algoritmo a PARI

resprime(n)={local(a,i,r,p);a=2;i=1;r=-1;p=-2;while(p<>n&&i<=10^6,p=a%i;if(p==n,r=a);i+=1;a=nextprime(a+1));return(r)}
{for(i=1,50,print(resprime(i)))}

Con él, subiendo el tope a 10^8, hemos descubierto que el resto 110 no aparece hasta el primo 514279133

¿Existirá siempre un número primo que produzca un resto igual a un número que elijamos? No lo sabemos. Lo dejamos como conjetura:

Conjetura: Para cada número natural n>1 existe un número primo P(k) que produce un resto respecto a k igual a n.

Si alguien sabe algo más lo publicaremos como extensión.


miércoles, 5 de marzo de 2014

Recogida de datos en tablas de marcado de casillas.


Ya hacía tiempo que no dedicábamos una entrada al manejo de las hojas de cálculo sin relacionarlas con el estudio de los números. Lo hacemos hoy con un problema que se presenta al recoger valoraciones cumplimentadas mediante el marcado de casillas.

Cuando se plantea una encuesta de valoración es fácil adivinar la orientación cultural de quien la ha confeccionado. Si es alguien con mentalidad numérica, la crea pensando ya en la recogida de datos y aplicación de medidas estadísticas. Utiliza escalas numéricas o ceros y unos. Por el contrario, personas más cercanas a una cultura de tipo humanístico prefieren esquemas sencillos, visuales y que transmitan bien la idea que se desea valorar.

Una estructura muy usada es la de una tabla de doble entrada en la que se marcan algunas celdas según la valoración deseada. En la imagen presentamos una muy popular, y es la de elegir del 1 al 5, como escala ordinal y subjetiva en las columnas, para la valoración de los aspectos que figuran en las filas.



En una tabla pequeña como esta, los totales por filas y columnas son muy sencillos de obtener, pero imaginemos que se manejan cientos de filas o que se han agrupado muchas encuestas en una, ¿cómo automatizar la traducción del símbolo “*” a datos numéricos? Deseamos dos cosas:

    (a) Crear unas frecuencias en la parte baja de la tabla con los distintos resultados
    (b) Traducir cada asterisco a la valoración numérica entre 1 y 5 correspondiente.

En la imagen recogemos nuestras pretensiones:



Las celdas coloreadas son las que deseamos obtener de forma automática.

Frecuencias por columnas

Con estas no hay problema, pues la función CONTAR.SI nos lo resuelve. En cada columna escribimos algo así como =CONTAR.SI(E5:E921;"*"), donde el primer argumento recorre toda la columna de la tabla y el segundo contiene el símbolo usado.

Como vemos, el problema se resuelve sin dificultad y no le prestamos más atención. Pasamos al otro.

Conversión de un símbolo en una valoración numérica

Este otro problema es más difícil de resolver y con el objeto de repasar técnicas de las hojas de cálculo lo abordaremos de varias formas.

Función COINCIDIR

Es la solución más sencilla, pues esta función nos devuelve la posición del asterisco dentro de la fila, si la organizamos de esta forma:




  • Valor buscado: el símbolo “*”
  • Matriz: La fila en la que estamos trabajando
  • Tipo de coincidencia: Usamos el 0 para que sea de tipo exacto: o es un asterisco o no lo es.

En la celda se escribiría una fórmula similar a esta: =COINCIDIR("*";D5:H5;0)

Este procedimiento tiene la ventaja de poder arrastrar la fórmula hacia abajo, porque sólo maneja referencias relativas.

El inconveniente es que si las puntuaciones no son del 1 al 5, sino otras, como 2,4,5,20, o A,B,C,D…esta técnica nos devolvería el número de orden y no el valor. Esto se puede arreglar con la función INDICE. Buscamos el asterisco con COINCIDIR y después lo volcamos en la primera fila con INDICE para localizar la puntuación.



Para obtener el resultado de la imagen hemos usado este tipo de fórmula:
=INDICE(D$4:H$4;COINCIDIR("*";D6:H6))

Función BUSCARH

Esta función es muy útil en estos casos, pero aquí tiene dos problemas, como veremos. BUSCARH  actúa sobre una matriz recorriendo la primera fila para buscar el valor deseado, y nos devuelve el valor correspondiente en la misma columna pero situado unas filas más abajo.

Primer problema: La fila de búsqueda es siempre la primera de la matriz y la de devolución de valores es otra, pero aquí lo que deseamos devolver, 1, 2, 3, 4 o 5 está precisamente situado en la primera fila. Una solución es copiar esa fila al final de la tabla y tomar nota de donde está situada. En la imagen la hemos copiado en la fila 11



Después el truco consiste en que al dar la fila de búsqueda damos la actual (por ejemplo, para el concepto “Acabado” sería la fila 7 y para la fila de devolución escribimos 12-FILA() y así la hoja cuenta las filas que van desde la nuestra hasta la final situada en el 11 incluida.

Segundo problema: La dimensión de la matriz cambia al rellenar hacia abajo, pero eso no nos va a afectar porque no importa si sobran filas, ya que sabemos que la que nos interesa está siempre en el 11 y el cálculo 12-FILA()  nos garantiza que llegamos a ella.

En resumen, usaríamos una fórmula como esta:

=BUSCARH("*";D8:H14;12-FILA();0)

que es la correspondiente a la fila 8.
Resulta algo artificioso el procedimiento. Se ve que es mejor el que usa la función COINCIDIR. No importa, porque nuestro objetivo es descubrir posibilidades.

¿Qué haría alguien de Matemáticas?

Esto va un poco en broma.

Cambiaría los asteriscos por un 1. Esto se puede conseguir con la orden Reemplazar.



Los huecos se pueden reemplazar por ceros, pero no es necesario. Una vez que nuestra matriz es numérica, para traducir la posición del asterisco a un número basta usar SUMAPRODUCTO, que multiplique la fila actual por la primera, y así sólo aparecerá la puntuación situada en la misma fila que el 1.



Sería una fórmula similar a esta:

=SUMAPRODUCTO(D6:H6;D$4:H$4)

Observa que la primera fila se usa con referencia absoluta, para que al rellenar hacia abajo se conserven siempre las puntuaciones 1, 2,…5.

El problema está en que la persona que haya diseñado la encuesta nos proteste por manipularla. Por eso decíamos que esto se trataba un poco como broma.

martes, 25 de febrero de 2014

Números de Pell

Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

El tema de hoy es parte de una serie que alargamos en el tiempo para no cansar a los lectores. Es muy conveniente repasar las dos primeras entradas, especialmente para recordar nuestra notación:

 http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/recurrencias-lineales-de-segundo-orden.html

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/sucesion-de-jacobsthal.html

Estudiamos un nuevo caso de sucesiones recurrentes de segundo orden, y aquí también usaremos nuestra herramienta de hoja de cálculo

(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Tomamos como coeficientes de recurrencia A=2 y B=1. Es decir, que X(n+1)=2X(n)+X(n-1). Si como valores iniciales tomamos 0 y 1 resultan los números de Pell  o números lambda (Horadam(0,1,1,2). http://oeis.org/A000129



0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832,…Los representaremos como P(n)

Como su nombre indica, contiene soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=1. En concreto, los valores P(2n+1), es decir 0, 2, 12, 70, 408, 2378,…corresponden con los valores de Y en la solución. Con nuestras hojas de cálculo pell.xls y pell.ods

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#ecuadio

 lo puedes comprobar, como se refleja en la imagen:


Si tomáramos como valores iniciales X(1)=1 y X(2)=1, resultaría una sucesión complementaria:

1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, 19601, 47321, 114243, 275807,…

Observa que aquí los términos de índice impar se corresponden con los valores de X en la solución de la ecuación: 1, 3, 17, 99, 577,…La llamaremos sucesión Pell2 y la representaremos como P’(n)

 Así que ya sabes por qué se eligió el nombre de “números de Pell”. Ambas sucesiones también contienen las soluciones de x2-2y2=-1.



En la imagen queda claro que los términos de índice 2n en ambas sucesiones son soluciones con -1 en el segundo miembro. Según eso, los números de PELL recogen todos los casos en los que 2k^2±1 es un cuadrado, porque es como despejar la X en la ecuación de Pell.

Te dejamos que saques tus consecuencias, o busques otras correspondencias en http://oeis.org/A000129 y en http://oeis.org/A001333. Una muy interesante es que

P(n+1)=P(n)+P’(n)

En efecto, se cumple para los primeros valores (ver tabla anterior) 3+2=5, 7+5=12, 17+12=29,…luego bastará comprobarlo por inducción.

P(n+2)=2P(n+1)+P(n)=2(P(n)+P’(n))+P(n-1)+P’(n-1)=P(n+1)+P’(n+1)

Intenta justificar esta otra:

P(n+1)=P’(n+1)-P(n) 

Los primeros cálculos en la tabla serían: 3-1=2, 7-2=5,17-5=12,…

De ellas dos resultaría una tercera:

2P(n+1)=P’(n+1)+P’(n)

Ambas sucesiones también intervienen en las fracciones continuas del desarrollo de la raíz de 2. Todo esto ocurre porque en ambos casos la generación de numeradores y denominadores siguen la misma ley de recurrencia. Lo vemos en nuestras herramientas fraccont.xls y fraccont.ods

(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#algoritmo)





Fórmula general

Acudimos al estudio de la ecuación característica, que vemos presenta dos soluciones reales: 2,4142 (uno más la raíz de 2) y –0,4142 (uno menos la raíz de 2) e interpretando los coeficientes de abajo resulta:

Comprueba: Para n=0 resulta P(0)=0, para n=1, P(1)=1, y además P(2)=2, P(3)=5,…

Al tener la segunda potencia una base menor que la unidad en valor absoluto, si n tiende a infinito, ese sumando tiende a cero, con lo que es fácil ver que


Puedes crear una columna de cocientes en hoja de cálculo para comprobarlo

Para la sucesión complementaria Pell2 la fórmula que resulta es

Para n=0 te resulta 1, para n=1, P’(1)=1, para x=2, P’(2)=3, y así con todos.

Con la primera fórmula se puede demostrar esta identidad:

P(n+1)P(n-1)-P(n)2=(-1)n

Aquí tienes la comprobación con hoja de cálculo:



Función generatriz

Con el procedimiento general explicado en la primera entrada del tema deduciremos que


Una curiosa propiedad

Para no recargar la primera entrada sobre recurrencias de segundo orden no incluimos este tipo de propiedades, y la desarrollamos ahora:

La cifra de las unidades de los distintos términos de la sucesión de Pell recorre el conjunto ordenado {0, 1, 2, 5, 2, 9, 0, 9, 8, 5, 8, 1} Lo puedes comprobar con los primeros: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461,…Para asegurarse de que es un fenómeno periódico, en el que se repiten resultados en el mismo orden basta saber que el valor de cada uno sólo depende de los dos anteriores, por tratarse de las unidades (si fueran decenas por ejemplo, se verían alteradas por los arrastres).

Si x(n) termina en una cifra K y x(n+1) en otra H, x(n+2) deberá terminar necesariamente en (2*K+H) MOD 10. Así 169 y 408 deberán producir una cifra de unidades (8*2+9) MOD 10, es decir, el 5, y en efecto, el siguiente término es 985. Como juegos del tipo {K,H} sólo pueden aparecer 100 distintos, se llegará a un término en el que se repita el mismo juego de cifras, luego:

La cifra de las unidades de cualquier sucesión definida por recurrencia de segundo orden debe repetirse en los términos sucesivos (salvo quizás los iniciales) con un periodo igual o menor que 100.

En la sucesión de Pell el periodo es 12, como hemos visto. En la de Jacobsthal (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/sucesion-de-jacobsthal.html) es de sólo 4: {1, 1, 3, 5} Compruébalo: 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691,…Con cálculos 1+1*2=3; 3+1*2=5; 5+2*3=11 (cifra 1)…

A veces el periodo es muy amplio. Lo intentamos con la sucesión de Fibonacci y se sobrepasaba la capacidad de la hoja de cálculo, por lo que acudimos  a nuestra STCALCU (http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#stcalcu) descubriendo que el periodo es de 60 elementos nada menos:

{1, 1, 2, 3. 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0. 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0} (ver http://oeis.org/A003893)

Aplicaciones y propiedades

¿Cuándo un número es triangular y cuadrado a la vez?

Lo planteamos: k^2=h(h+1)/2 y transformando 8k^2+1=4h^2+4h+1=(2h+1)^2 Si llamo x=2h+1 e y=2k nos queda 2y^2+1=x^2 y por fin x^2-2y^2=1, ecuación de Pell que nos da la solución mediante los números de Pell. Después aplicaremos k=y/2 y h=(x-1)/2

Según estas equivalencias, k será igual a la mitad de los números de Pell de orden impar y su cuadrado el triangular buscado. Calculamos y obtenemos así la lista de los números que son triangulares y cuadrados a la vez:



Nos han resultado 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, …(http://oeis.org/A001110)

Una interpretación

P(n) equivale al número de formas en las que se puede descomponer n-1 en sumandos ordenados 1 y 2, pudiendo tener el 1 dos colores diferentes.

Por ejemplo, P(4)=12, porque el 3 se puede descomponer así:

2+1, 2+1, 1+2, 1+2, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1

Primos de Pell

Para que un número de Pell P(n) sea primo es necesario que n sea primo. Los valores de n que producen esos primos son 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 1,… que producen los números de Pell primos

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409,…

Los compuestos no pueden producir primos, porque en la expresión


se puede descomponer entonces el exponente n, lo que produce la descomposición de la expresión en al menos dos factores, uno de los cuales será una diferencia de potencias similares con exponente mayor que 1, que absorberá el denominador.

Desarróllalo con cuidado y lo comprobarás.