Tres potencias enteras no negativas

En el desarrollo de mis cálculos sobre el año 2025 llegué a esta identidad:

2025²=36⁴+18⁵+9⁶

Al releerla se me ocurrió averiguar qué números admiten una descomposición en tres potencias enteras no negativas (admitiendo el 1 y el 0) y cuáles no. Por ejemplo, 72 se puede descomponer de seis formas:

72=2⁵+2⁵+2³=6²+3³+3²=6²+2⁵+2²=6²+6²+0¹=2⁶+2²+2²=2⁶+2³+0¹

Es evidente que el cero figura para poder considerar también las sumas de dos potencias, como 72=2⁶+2³, o de una para los números que sean potencias perfectas.

Otros números, como 7 y 23 no admiten esta descomposición. En unas primeras búsquedas se puede sospechar que estos números son más escasos. Lo iremos viendo.

Búsqueda de soluciones

Esta búsqueda no supone ninguna complicación. Se resuelve con dos bucles, uno para la primera potencia y otro para la segunda, porque la tercera se encuentra restando.

Hemos usado una función para Excel, siguiendo el espíritu de este blog, pero usa una función propia, ESPOTENCIA 

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html). 

También sustituye la función STR$ por la función AJUSTA, que funciona mejor. No obstante se incluirá su código aquí, porque a continuación se traducirá a PARI, con lo que todos los lectores podrán experimentar con ella.

Function trespotencias$(n)
Dim i, j, k, p1, p2, p3, m
Dim s$ 

s = "" ’Contenedor de la solución
m = 0 ’Contador de soluciones
For i = 0 To n ‘Bucle para la primera potencia
p1 = espotencia(i) ‘Devuelve el exponente
If p1 > 0 Then
For j = 0 To i ‘Bucle para la segunda potencia
p2 = espotencia(j)
If p2 > 0 Then
k = n - i – j ‘Tercera potencia
p3 = espotencia(k)
If k <= j And p3 > 0 And k >= 0 Then
 ‘Los tres sumandos son potencias. Lo que sigue construye la solución
m = m + 1
s = s + " ## " + ajusta(Int(i ^ (1 / p1) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p1) + "+"
s = s + ajusta(Int(j ^ (1 / p2) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p2) + "+"
s = s + ajusta(Int(k ^ (1 / p3) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p3)
End If
End If
Next j
End If
Next i
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s
trespotencias = s
End Function

 Con esta función podemos descomponer los primeros números:

Observamos que el 7 no admite esta descomposición.

Tal como el autor esperaba, al llegar a números mayores se incrementa el número de soluciones:

Volvemos a encontrar un número que no presenta soluciones, el 87. De hecho, experimentalmente van desapareciendo estos números sin solución. Estos son los primeros:

Están publicados en https://oeis.org/A113505 y al llegar al número  26375 se puede conjeturar que es posible que no aparezcan más. Suele ocurrir en casos similares.

A113505

Numbers not the sum of at most three perfect powers (A001597).

7, 15, 23, 87, 111, 119, 167, 335, 1391, 1455, 1607, 1679, 1991, 25887, 26375

a(16), if it exists, is larger than 10^8. - Giovanni Resta, May 07 2017

Para los lectores que deseen experimentar, se incluye nuestra versión en PARI.

u=100;for(i=0,u,if(ispower(i)||i<2,for(j=0,i,if((ispower(j)||j<2)&&(ispower(u-i-j)||u-i-j<2)&&j>u-i-j&&u-i-j>=0,print(i,", ",j,", ",u-i-j)))))

La variable u se rellena con el número a descomponer, en el ejemplo, 100

Observamos que admite tres sumas con sumandos que son potencias.

La siguiente imagen recoge parte del resultado para el año 2025:

La abundancia de resultados reafirma la sospecha de que los elementos sin solución serán limitados.

Estudio con nuestra herramienta Cartesius

Esta hoja de Excel, “Cartesius”, permite combinar muchas posibilidades, y resulta adecuada para esta cuestión. Se puede programar con estas condiciones:

Se interpretan como que buscamos tríos de potencias con suma 2025. Se consigue el resultado siguiente, compuesto por 28 resultados:

 

Tal como se sugirió al principio, esta búsqueda no es complicada, y produce un incremento tan grande de resultados que es razonable la conjetura de que a partir de cierto número, todos los enteros presentarán esta descomposición.

 

 

Diferencia de potencias con la misma base es un cuadrado

Existen muchos números con la propiedad de que dos potencias sucesivas de los mismos se diferencian en un cuadrado. Por ejemplo, 

26¹¹- 26¹⁰=59406880², o 5⁵- 5⁴=50². 

Parece un problema complicado, pero no lo es, como veremos.

La propiedad que buscamos se puede expresar como N^k+1=N^k+m², o bien

N^k(N-1)=m²

Para que se cumpla esto es necesario que  la potencia tenga exponente par y que N-1 sea cuadrado, por ser N y N-1 primos entre sí, lo que no permite construir un cuadrado entre ambos. Es la única forma de que la diferencia de potencias sea cuadrada, y en ellas, la menor ha de ser par y la mayor impar. Es muy sencillo razonar que la condición también es suficiente. Por tanto:

El conjunto de números que cumplen la condición pedida coincide con los que son del tipo n²+1

Están publicados en https://oeis.org/A002522

Los hemos estudiado en dos entradas de este blog:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html y la siguiente, así como en otra más antigua.

En la siguiente tabla figuran las primeras soluciones al problema. La primera columna es la lista de las bases (números tipo n²+1) y en la segunda las soluciones de diferencias de potencias. En primer lugar figura la potencia mayor (k+1) y después la base del cuadrado que es diferencia entre las potencias. Como era de esperar, se obtienen infinitas soluciones (todas las potencias impares de exponente k+1)

 

Por ejemplo, 82⁷-82⁶=4962312²

Esta lista se puede construir con nuestro Buscador de Naturales (https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador) aprovechando que N²(N-1) ha de ser cuadrado, como caso particular de la identidad previa:

Se observa que en la segunda columna figuran las raíces de la diferencia de potencias, y todas son enteras.

Según la entrada nuestra sobre este tema, estos números no pueden tener factores primos p que no admitan -1 como resto cuadrático módulo p. Son estos:

3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127,…

Esta exigencia no actúa sobre el cuadrado diferencia, ya que este puede poseer factores primos de N-1, según la primera identidad de esta entrada. Por ejemplo, el primer cuadrado de la tabla, 222, es múltiplo de 3, y 520 lo es de 13.

En realidad, m² puede poseer los factores primos de N y también de N-1. Por ejemplo, para N=82, el cuadrado correspondiente, 738, se descompone como 2*3²*41. Entre ellos, 2 y 41 son divisores de 82 y 3² lo es de 82-1=3⁴

Caso particular

Un caso interesante es el de las potencias cubo y cuadrado, pues resulta del mismo la descomposición de un cubo en dos cuadrados.

Por ejemplo, para N=65, se cumplirá

65³=65²+520²

Más particular

En el caso de que un término de la lista sea del tipo 4n²+1, obtendríamos más cuadrados. Por ejemplo,

37^3=12^2+35^2+222^2

Obtendríamos una descomposición de un cubo en tres cuadrados.

 

 

Regresos 14 – (2) Bases de cuatro cubos con suma cero

 En la anterior entrada estudiamos las sumas de cubos cuyas bases suman cero. En esta otra ampliaremos el estudio a cuatro cubos.         

Sumas con cuatro cubos

Algunas consideraciones relativas a las sumas de tres cubos cuyas bases suman cero son válidas para el caso de las sumas de cuatro cubos. La más importante es la de que el número que equivale a la suma de cubos ha de ser múltiplo de 6.

Distinguiremos dos casos, según sean los signos de las bases de los cubos.

Dos positivos y dos negativos

Si el esquema de los cuatro cubos es el de dos positivos y dos negativos, se puede intentar un estudio algebraico no muy complicado. Llamamos k a la suma de las dos bases positivas, y a ellas, p y k-p. Igualmente, podemos llamar –r y r-k a las negativas. Quedaría, pues, el valor de N como

N=p³+(k-p)³-r³-(k-r)³

N=p³+k³-p³-3k²p+3kp²-r³-k³+r³+3k²r-3kr²

N=-3k²p+3kp²+3k²r-3kr²=3k²(r-p)+3k(p²-r²)=3k(k(r-p)+(p-r)(p+r))

N=3k(p-r)(p+r-k)

Llegaríamos a una situación similar a la del caso de tres cubos, pero con un parámetro más. Por ejemplo:

30=6^3+4^3-5^3-5^3, y p=6, k=10, k-p=4, r=5 y k-r=5

30=3*10*(6-5)*(6+5-10)=30*1*1=30

30 también es igual a 4³+1³-3³-2³, y queda

30=3*5*(4-2)(4+2-5)=3*5*2*1=30

Esto abre camino a una función similar a la usada para tres cubos, pero con tres bucles de búsqueda en lugar de dos. El número N también ha de ser múltiplo de 6, porque k(p-r)(p+r-k) siempre es par.

Podemos usar esta función:

Function cubossum4$(n)
Dim p, q, r, k
Dim s$

s = ""
If n Mod 6 <> 0 Then cubossum4 = "NO": Exit Function
For k = 2 To n / 2
If n / k = n \ k Then
For p = 1 To k / 2 - 1
q = k - p
For r = 1 To k / 2
If n = 3 * k * (p - r) * (p + r - k) Then s = s + " # " + ajusta(p) + "^3+" + ajusta(q) + "^3-" + Str$(r) + "^3-" + Str$(k - r) + "^3"
Next r
Next p
End If
Next k
If s = "" Then s = "NO"
cubossum4 = s
End Function

No necesita comentarios, porque es similar a las anteriores.

Con ella conseguimos un listado de soluciones, todas ellas con dos cubos positivos y dos negativos:

Un cubo positivo y tres negativos

El otro caso de cuatro cubos presentaría este otro esquema

N=(p+q+r)³-p³-q³-r³

Esto obliga a que N sea par, pues así es para todos los juegos de paridad de p, q y r.

También es múltiplo de tres, ya que desarrollando esa diferencia llegamos a

N=3x²y+3x²z+3xy²+6xyz+3xz²+3y²z+3yz²

En este caso no es seguro que algún parámetro sea divisor de N, por lo que la búsqueda recorrerá más números. Sí ocurrirá que x, y, z serán menores que N/3.

Podemos usar esta función:

Function cubossum3(n)

Dim i, j, k

Dim s$

s = ""

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum3 = "NO": Exit Function

For i = 1 To n / 3

For j = 1 To i

For k = 1 To j

If (i + j + k) ^ 3 - i ^ 3 - j ^ 3 - k ^ 3 = n Then

s = s + "## " + Str$(i + j + k) + "^3-" + Str$(i) + "^3-" + Str$(j) + "^3-" + Str$(k) + "^3"

End If

Next k

Next j

Next i

If s = "" Then cubossum3 = "NO" Else cubossum3 = s

End Function

 

También en este caso dispondremos de bastantes resultados:

Hemos avanzado en la tabla hasta descubrir soluciones múltiples.

 

Caso general

 Si no nos apetece el estudio algebraico, podemos usar tan solo que las bases sean, en valor absoluto, menores que N/3

Buscaremos tres cubos de base entera cuya suma se aproxime a N. A las tres bases de esa suma le añadiremos otra que con ellas forme suma cero. Si los cuatro cubos suman N, habremos resuelto la búsqueda. Parece lento, pero no es tanto como se podría esperar.

 

Function cubossum0(n)

Dim i, j, k, h

Dim s$

 

s = ""

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum0 = "NO": Exit Function

'Usamos tres bucles para las tres primeras bases i, j y k

For i = -n / 3 To n / 3

For j = i To n / 3

For k = j To n / 3

h = -i - j - k 'h será la cuarta base para suma nula

If i ^ 3 + j ^ 3 + k ^ 3 + h ^ 3 = n And h >= k Then 'Se cumple la condición

s = s + "# " + Str$(i) + ", " + Str$(j) + ", " + Str$(k) + ", " + Str$(h)

End If

Next k

Next j

Next i

If s = "" Then cubossum0 = "NO" Else cubossum0 = s

End Function

 Con esta función obtenemos todas las soluciones al problema, las más frecuentes, del tipo de dos cubos positivos y dos negativos, el resto, como el 108, con un solo cubo positivo e, incluso, casos de tres cubos, cuando uno de ellos resulte nulo. Estos son los primeros resultados:

 

Con esto finalizamos las búsquedas

 

Regresos 14 – (1) Bases de tres cubos con suma cero

Hace unos años publiqué en este blog un estudio sobre las sumas de cubos cuyas bases suman cero. Lo restringí a las sumas de tres cubos.

Releyendo la entrada he visto que le sobra mucho material y que algunos aspectos de la cuestión no están bien explicados. Regresamos a ella para completarla y quitarle cuestiones poco interesantes.

Comenzaba así:

Otro estudio más que se basa en mis cálculos en Twitter (@connumeros). El día 22/3/2020 publiqué:

22320 se puede representar mediante dos sumas de cubos cuyas bases suman 0:

22320=(-16)^3+(-15)^3+31^3, con 31+(-15)+(-16)=0

22320 =(-60)^3+(-2)^3+62^3 y 62+(-2)+(-60)=0

No son muchos relativamente los números que cumplen una propiedad similar. Comenzaremos con aquellos que presenten suma de cubos cuyas bases sumen cero al menos una vez. El primero es el 6, que se puede representar como 6=2^3+(-1)^3+(-1)^3, con 2+(-1)+(-1)=0

Función adecuada

Todo el planteamiento del problema se basa en que N sea entero positivo, pues el caso contrario es equivalente en su planteamiento. Para que la suma de bases sea cero y la de cubos positiva deberá existir un cubo positivo y dos negativos, pues en ese caso la base del positivo será la suma de las los negativos, es decir, que el esquema de la suma sería (p+q)^3-p^3-q^3. Cualquier otro planteamiento daría suma no nula o negativa.

Para la búsqueda que sigue es preferible llamar p a la base del cubo positivo y a las negativas -q y –(p-q). Cualquier otra nomenclatura también nos serviría. Así que trabajaremos con el esquema  N=p³-q³-(p-q)³, con p>q

Si partimos de esa igualdad, desarrollando, N=p³-q³-(p³-3p²q+3pq²-q³)=3p²q-3pq²=3pq(p-q). Equivale a afirmar que N es el triple del producto de los valores absolutos de las bases de los cubos

Esta expresión 3pq(p-q) nos servirá para construir una parada en la búsqueda, exigiendo que 3pq(p-q)<=N para cada valor de p y q y que en el caso de la igualdad haga finalizar la búsqueda. Es más rápido así. También nos indica que N ha de ser múltiplo de 6, ya que pq(p-q) es siempre par.

Versión para Excel

La siguiente función actúa sobre un número natural y devuelve una cadena de texto, que puede estar vacía o contener la primera solución que se encuentre. Este es su listado:

Function cubossum(n)
Dim i, j, a
Dim es
Dim s$

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum = "": Exit Function ‘Da salida si no es múltiplo de 6
es = False ‘Parará el proceso si se encuentra solución
i = 1  ‘Contador para la variable p
s = ""  ‘Cadena de texto para el resultado
a = 0 ‘Contendrá la suma de cubos
While a <= n And Not es ‘Se para si se llega a n o se encuentra una suma
j = 1 ‘Contador de la variable q
While j < i And Not es
a = 3 * i * j * (i - j) ‘Expresión buscada
If a = n Then es = True: s = s + Str$(j) + Str$(i) ‘Se encuentra solución
j = j + 1
Wend
i = i + 1
Wend
cubossum = s
End Function

Con esta función podemos organizar una búsqueda de aquellos números que presentan la descomposición buscada. Los primeros son:

Cada número encontrado viene acompañado del valor de q y el de p. Así, para 210, q=2 p=7, luego 210 = 7³-2³-(7-2)³ = 7³-2³-5³ = 343-8-125 = 210

Un listado más completo es

6, 18, 36, 48, 60, 90, 126, 144, 162, 168, 210, 216, 252, 270, 288, 330, 360, 378, 384, 396, 468, 480, 486, 540, 546, 594, 630, 720, 750, 792, 816, 858, 918, 924, 972, 990, 1008, 1026, 1140, 1152, 1170, 1260, 1296, 1344, 1386, 1404, 1518, 1530, 1560, 1620, 1638, 1656, 1680, 1728, 1800…

Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A333821

Todo esto se puede traducir al lenguaje PARI:

ok(n) = {my(i=1,a=0,m=0,j);if(n%6==0,while(a<=n&&m==0,j=1;while(j<i&&m==0,a=3*i*j*(i-j);if(a==n,m=1);j+=1);i+=1)); m}

{for(p=1,2000,if(ok(p),print1(p,", ")))}

Si lo pruebas en https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html obtendrás la lista de los primeros números que cumplen esta descomposición:

6, 18, 36, 48, 60, 90, 126, 144, 162, 168, 210, 216, 252, 270, 288, 330, 360, 378, 384, 396, 468, 480, 486, 540, 546, 594, 630, 720, 750, 792, 816, 858, 918, 924, 972, 990, 1008, 1026, 1140, 1152, 1170, 1260, 1296, 1344, 1386, 1404, 1518, 1530, 1560, 1620, 1638, 1656, 1680, 1728, 1800,…

 

Algoritmo más rápido

En el anterior planteamiento no se aprovecha el hecho de que p, q y p-q son divisores de N/3 y por eso en los bucles de búsqueda se prueban demasiados valores inútiles. En la siguiente versión se consigue más velocidad, y se han añadido al resultado todas las posibilidades de forma más clara, así como el añadido al principio del número de soluciones, Este sería el listado de la nueva función:

Function cubossum2$(n)
Dim p, q, r, m
Dim s$

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum2 = "NO": Exit Function
s = " sol: "
m = 0 ‘Nuevo: contador de soluciones
For p = 2 To n / 3
If n / p = n \ p Then ‘Sólo se admite p si es divisor
For q = 1 To p - 1
If n / q = n \ q Then ’ También q ha de ser divisor
r = p – q ‘Tercera base de cubos
‘Prueba para identificar una solución y su incorporación
If n = 3 * p * q * r And r <= q Then m = m + 1: s = s + " # " + ajusta(p) + "^3+(-" + ajusta(q) + ")^3+(-" + Str$(r) + ")^3"
End If
Next q
End If
Next p
s = Str$(m) + s ’Se incorpora el contador de soluciones
cubossum2 = s
End Function

Así quedan las primeras soluciones, con más información que en la función anterior:

 

Ahora se perciben mejor las soluciones múltiples, que serán objeto del siguiente apartado.

Resultados múltiples

Algunos de estos números presentan varias descomposiciones. El primero es 90, que admite las dos sumas 90=5^3-3^3-2^3 y 90=6^3-5^3-1^3. Después le siguen estos:

Si adaptamos a PARI obtenemos un listado más extenso:

90, 630, 720, 1170, 1260, 1386, 2430, 2640, 3024, 3060, 3168, 3366, 3570, 4446, 5040, 5760, 5940, 6210, 6300, 6930, 8910, 9360, 10080, 11088, 11250, 12480, 12870, 12960, 14490, 14742, 16380, 17010, 18018, 18270, 18810, 19440, 19890, 21120, 22140, 22320, 23310, 24192, 24480, 24570, 25344, 25740, 26928, 27360, 27720, 28560, 29700, 30870, 31590, 31920, 34020, 35568, 36630, 37296, 37422, 39330, 40320, 41328, 42120, 42840, 43056, 44460, 45408, 46080, 47250, 47520, 49680,…

Se ha usado el código

ok(n) = {my(p,q,r,m=0);if(n%6==0,for(p=2,n/2,if(n%p==0,for(q=1,p-1,if(n%q==0,r=p-q;if(n==3*p*q*r&&r<=q,m+=1)))))); m}

{for(p=1,30000,h=ok(p);if(h>1,print1(p,", ")))}

Destaca el 720 con tres descomposiciones:

720=10^3-6^3-4^3=12^3-10^3-2^3=16^3-15^3-1^3

El primero con 4 es 19440: 19440=30^3+(-18)^3+(-12)^3=36^3+(-30)^3+(-6)^3=48^3+(-45)^3+(-3)^3=81^3+(-80)^3+(-1)^3

Con cinco hemos obtenido el 55440, equivale a estas sumas:  

55440=42^3+(-22)^3+(-20)^3=44^3+(-30)^3+(-14)^3=55^3+(-48)^3+(-7)^3=70^3+(-66)^3+(-4)^3=80^3+(-77)^3+(-3)^3

Lo dejamos aquí, porque nuestros instrumentos de cálculo se ralentizan con números grandes. En la siguiente entrada estudiaremos el caso de cuatro cubos.

Regresos 13 - Diferencia de potencias

En este blog hemos tratado frecuentemente las diferencias de cuadrados y, recientemente, las de cubos. Parecía conveniente intentar una generalización a pares de potencias de cualquier exponente.

Para ello nos basaremos en la conocida fórmula

Para nuestro estudio es preferible expresar la diferencia de potencias como (a+h)^k- a^k

Observamos que se puede extraer factor común la diferencia h:

Expresión de un número N como diferencia de potencias

Si igualamos la anterior expresión a N, llegaremos a una conclusión interesante:

Si un número entero positivo N es expresable como diferencia de potencias, (a+h)^k - a^k, la diferencia h entre las bases ha de ser divisor de N

Esto nos da una base segura para las búsquedas, pero es que, además, con esa fórmula, tal como efectuamos para los cubos (ver mi entrada http://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/diferencias-de-cubos-enteros-positivos.html), obtenemos una cota para el valor de a:

Sería ka^k-1h menor que la diferencia de potencias, o lo que es igual, que N. Así que tendríamos:

Con esta cota y el carácter de divisor de h ya podemos intentar determinar si un número N es expresable o no como diferencia de potencias de exponente dado.

Ya se vio en la entrada enlazada que en el caso de los cubos la acotación era

Una idea sencilla es que si un número es diferencia de dos potencias de exponente k, si lo multiplicamos por otro número b^k obtendremos otro número con la misma propiedad. De aquí deducimos que este tipo de números forma una sucesión infinita para cualquier valor de k, ya que el primero siempre existe.

 Función de búsqueda

Con esta base teórica podemos construir una sencilla función de búsqueda:

Function espotencia_igual(n, k)’Parámetros número y exponente
Dim a, h, tope
Dim s$

s = "" ’Contenedor de soluciones
For h = 1 To n / 2 ‘Posibles valores de h
If n / h = n \ h Then ‘Es divisor
tope = Int((n / k / h) ^ (1 / (k - 1))) ‘Tope calculado para h
For a = 1 To tope ‘Si es diferencia de potencias, se publica
If (a + h) ^ k - a ^ k = n Then s = s + "# " + Str$(a) + ", " + Str$(a + h)
Next a
End If
Next h
If s = "" Then s = "NO"
espotencia_igual = s
End Function

Por ejemplo, para k=4 obtenemos todos los números expresables como b⁴-a⁴ (y por tanto, también como m²-n²) y con divisor diferencia de cuadrados. Igualmente, por el Teorema de Fermat, no existirá entre ellos ninguna cuarta potencia:

Están publicados en https://oeis.org/A147857

En esta sucesión y en las que seguirán sólo podrán aparecer números primos si h=1, según las fórmulas de los primeros párrafos de esta entrada. En este caso de k=4 no aparecerán, porque b⁴-a⁴ es múltiplo de b²-a², que no valdrá 1 para b>a. Ocurrirá lo mismo en todos los casos en los que el exponente sea número compuesto.

Según un comentario de OEIS, no figuran cuadrados en esta sucesión. Hemos visto alguna demostración similar y resulta larga y complicada.

Para k=5 obtenemos:

Al ser el exponente primo impar, sí pueden figurar primos en esta sucesión, para h=1. Los primeros son estos:

 

Tal como se comentó ya, el valor de h ha de ser 1, o bien a y b consecutivos.

Están publicados en https://oeis.org/A121616 , y ahí se sugiere el nombre de primos “pentan”, por analogía con los primos “cubanos”, ya estudiados en este blog.

También figuran cuadrados, como 7744=88^2=6^5-2^5.

Así podríamos seguir con otros valores de exponentes.

Versión en PARI

Sabemos que las hojas de cálculo no pueden manejar bien los números grandes. Para ello son mejores otras herramientas, como el lenguaje PARI. Hemos creado una rutina que devuelve las formas, si existen, de expresar un número como diferencia de potencias en varios casos de exponentes. En el ejemplo lo hemos aplicado al número 7744 y exponentes en un rango de 3 a 20, pero todo eso se puede cambiar.

n=7744;for(k=3,20,for(h=1,n/2,if(n%h==0,tope=(n/h/k)^(1/(k-1));for(a=1,tope,if((a+h)^k-a^k==n,print("# n=",n," k=",k," a=",a," b=",a+h))))))

Nos devuelve algo ya conocido:

 

 Nos indica que 7744 se expresa con exponente 5 como diferencia 6⁵-2⁵.

Si no nos importa dejar a nuestro equipo varios minutos calculando, podemos investigar todo un rango de números, con esta otra versión:

for(n=1000,2000,for(k=4,20,for(h=1,n/2,if(n%h==0,tope=(n/h/k)^(1/(k-1));for(a=1,tope,if((a+h)^k-a^k==n,print("# n=",n," k=",k," a=",a," b=",a+h)))))))

Aquí le hemos añadido al código un bucle entre 1000 y 2000, con este resultado:

Destaca el número 1023, y es fácil adivinar la razón.