lunes, 23 de mayo de 2016

Volvemos a los números arolmar (6) Semiprimos arolmar enlazados


Vimos en la anterior entrada dedicada a este tema

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2016/04/volvemos-los-numeros-arolmar-5.html)

que cada semiprimo arolmar está determinado por un par de primos cuya media es otro primo. Podíamos intentar enlazar el tercer primo de la terna con un cuarto primo (el menor posible) que también formara un arolmar con el tercero. Según la tabla incluida en la anterior entrada


21=3*7 está enlazado con 133=7*19, con lo que los tres primos 3, 7 y 19 están enlazados con sus medias 5 y 11 y sus números arolmar 21 y 133. El 33=3*11 está enlazado con 253=11*23.

Igual que conjeturamos que a cada primo P le correspondía un arolmar semiprimo cuyos factores primos sumaran 2P, ahora podemos intentar que dado un primo P, encontrar otro primo cuya media con el primero también sea prima. Así, las cadenas de semiprimos arolmar enlazados alcanzarían una longitud infinita.

Hemos implementado esta búsqueda de un segundo primo en hoja de cálculo, con lo que podemos crear cadenas de primos enlazados con media prima entre cada dos consecutivos. Su código es el siguiente:

Public Function proxprimrol(p)
Dim pr, prox
Dim es As Boolean

If Not esprimo(p) Then proxprimrol = 0: Exit Function ‘Si no es primo se devuelve un cero
pr = p + 1 ‘La variable pr busca el siguiente primo válido
es = True ‘Control del WHILE
prox = 0
While es
pr = primprox(pr) ‘Busca los primos siguientes
If esprimo((p + pr) / 2) Then prox = pr: es = False ‘Si la media es prima, lo hemos encontrado
Wend
proxprimrol = prox
End Function

En esta función nos hemos arriesgado a que se entre en un bucle sin fin si no se encuentra el siguiente primo, pero confiamos en la conjetura de que todo primo encontrará su pareja.

En una primera exploración podemos observar que todos los primos se encadenan con otros mayores, y que se forman cadenas que al principio son independientes, pero que al final aparecen términos comunes. En la siguiente tabla están ordenados por columnas:


Calcula mentalmente la media entre dos consecutivos de una misma columna y verás que el resultado es primo: (61+73)/2=67, (109+193/2=151…

Observamos que los primos 3, 5, 11, 13, 31, 37 y 41 inician cadenas independientes (al principio), pero algunas de ellas desembocan en un elemento común. Por ejemplo. El 53 tiene como antecesores el 29 y el 41, ya que (29+53)/2=41, primo, y (41+53)/2=47, también primo. No se incluye el 2 porque su carácter par lo invalida para esta operación.

Otros primos, como el 7, tienen antecedentes, y no inician cadena (ya que (3+7)/2=5, primo).

Elementos primarios

¿Qué números primos no tienen antecedentes? Conocemos por la tabla que parecen no tener el 3, 5, 11 y 13 (luego veremos que no es cierto, pues el 11 sí tiene antecedente 3). A aquellos que no provienen de otros en la cadena les llamaremos primarios. Un número primo será de este tipo si no forma media prima con ninguno de los primos menores que él. Como siempre, resolveremos esta cuestión con una función, que recorra los primos menores que el dado y busque si forman media prima con él. Puede ser esta:

Public Function esprimario(p) As Boolean 
Dim prev
Dim espr As Boolean

If Not esprimo(p) Then esprimario = False: Exit Function
prev = primant(p) ‘comenzamos la búsqueda con el primo anterior
espr = True
While espr And prev > 0
If esprimo((prev + p) / 2) Then espr = False ‘Si aparece media prima, no es primario
prev = primant(prev) ‘seguimos descendiendo en la lista de primos
Wend
esprimario = espr
End Function

Al aplicar esta función nos llevamos una sorpresa: los únicos primarios que resultan son 3, 5, 13 y 37. Hemos buscado en números mayores sin encontrar ningún otro. Los demás poseen un antecedente en la cadena. Si no aparecen claramente en la tabla anterior es porque se construyó con primos de este tipo consecutivos, y no han de serlo. Por ejemplo, un antecedente de 11 es el 3, porque (11+3)/2=7 es primo. Si modificamos ligeramente la función anterior, podemos construir una tabla de antecedentes mayores, los más próximos al primo dado:



Figuran con un cero los elementos primarios. Para quienes se interesen por la programación, adjuntamos su código:

Public Function antec(p)
Dim prev, espr

If Not esprimo(p) Then antec = 0: Exit Function
prev = primant(p)
espr = 0
While espr = 0 And prev > 0
If esprimo((prev + p) / 2) Then espr = prev
prev = primant(prev)
Wend
antec = espr
End Function

Al recorrer la tabla descubrimos algo muy interesante, y es que si formamos cadenas descendentes con cada primo y su antecedente mayor, al final desembocaremos en 3, 5, 13 o 37. Por ejemplo, elegimos un elemento de la tabla, sea el 109. Buscando en la misma iremos descendiendo mediante antecedentes: 109 – 97 – 61 – 13. Otro: 101 – 41 – 17 – 5.

Conjetura: Si se forma una cadena a partir de un número primo insertando en cada tramo el máximo primo que forma media prima con el anterior, el proceso terminará en 3, 5, 13 o 37. 

Esta propiedad divide a los números primos en cuatro clases, según sea el final de su cadena de antecedentes. Estas clases son disjuntas, porque el final es único, y abarcan todos los números primos salvo 3, 5, 13 o 37 o bien otro mayor que se descubra algún día como contraejemplo de la conjetura. Aquí las tienes:



La primera está formada por todos los primos que se encadenan hasta el 3, y son todos del tipo 4K+3. Las dos siguientes desembocan en 5 y 13 respectivamente. Su tipo es 4K+1. La cuarta clase, sorprendentemente, sólo está formada por el número 37. Ningún primo superior parece terminar su serie de antecedentes en el 37

Como observación empírica, destacamos que las diferencias entre términos en la primera clase son menores (en promedio) que las de la segunda y las de esta con la tercera.

Si a cada elemento de estas cuatro clases le calculamos la media con su antecedente, no aparecen regularidades en los tipos 4K+1 y 4K+3.

Semiprimos arolmar maximales

Si en las clases anteriores multiplicamos cada primo con su antecedente, resultan números arolmar semiprimos maximales, es decir, los mayores engendrados por una media prima.



La cuarta clase no puede producir semiprimos. En la tabla tienes los primeros en las tres primeras clases. Comprobarás que no están todos los arolmar semiprimos.

Al igual que los primos arolmar presentaban una correspondencia biyectiva con los números primos (ver entrada anterior), y eran elementos minimales, esto no se da con los maximales, pues no todo doble de un número primo se puede descomponer en un primo sumado con su antecedente.

Grado de equilibrio en un número arolmar

Las ideas que hemos estado manejando, de primos arolmar y semiprimos maximales podrían concretarse en un índice entre 0 y 1 que midiera el grado de equilibrio existente entre los dos primos constituyentes de un semiprimo arolmar. El cálculo que nos parece más adecuado es el del cociente entre el primo menor y el mayor. Así, los semiprimos maximales tendrán un índice cercano a 1, y los primos arolmar presentarán un valor pequeño. Aquí tienes los índices de los primeros semiprimos arolmar:


Entre los semiprimos arolmar menores que 10000 el más equilibrado (maximal en su clase de suma de factores 146) es el 5293=67*79, con una media prima de 73 y el más desequilibrado 9993=3*3331, de media prima 1667.


jueves, 12 de mayo de 2016

Rachas de dígitos


En Combinatoria es interesante el problema de las rachas, conjuntos de elementos consecutivos iguales. Por ejemplo, el conjunto AABBCDDDDEE posee cinco rachas; AA, BB, C, DDDD y EE. No se impone ninguna condición a la longitud de cada racha.

Aquí estudiaremos algunas rachas de dígitos que puede presentar un número entero. Distinguiremos tres tipos con sus estadísticas correspondientes y después particularizaremos en algunos casos, como primos, cuadrados o triangulares.

Tipos de racheado

Un número puede presentar los dígitos agrupados, es decir, con rachas todas de longitud mayor que 1, como pueden ser 3366677 o 112222. Le llamaremos número de tipo 1, o con “dígitos agrupados”.

Puede ocurrir que ningún dígito se agrupe con el siguiente, que equivale a afirmar que todas las rachas tienen longitud 1, como en 345643. Obsérvese que no se prohíbe que los dígitos se repitan, siempre que no sean consecutivos. Serán estos números los del tipo 2, o de “dígitos aislados”

Los restantes números presentarán rachas de longitud 1 y otras mayores, como en el caso de 1442 o 54322111. Les asignaremos el tipo 3, que es el menos interesante.

Independientemente de consideraciones combinatorias, podemos evaluar de forma aproximada la frecuencia que presenta cada uno de los casos. Usaremos una función en Visual Basic de hoja de cálculo, que, por su relativa complejidad, explicamos al final de la entrada.

El algoritmo que usa funciona en dos fases:

(1) Búsqueda de las rachas existentes entre los dígitos del número entero. En el listado del final puedes ver que se almacenan en una matriz r.

(2) Estudio de la longitud mínima y máxima de racha existente en el número.
Si la mínima longitud no es 1, los dígitos se presentan agrupados, y el entero será de tipo 1. Si la máxima es 1, no habrá agrupamientos, y el tipo será 2. Los restantes ejemplos serán de tipo 3.

Si te apetece, sigue estas fases en el listado VBA del final.

Frecuencias de los tipos

Mediante la función citada  y un contador adecuado, hemos observado que las frecuencias en los distintos intervalos son bastante parecidas a las de la tabla, obtenida en el intervalo (10000, 100000)



Se observa que son muy escasos los de tipo 1, con todos los dígitos agrupados, un 0,19%, los más frecuentes los del tipo 2, con dígitos aislados, con un 65,61%, quedando los del tipo mixto en una frecuencia intermedia del 34,20%. En otros intervalos las frecuencias son semejantes, ya que están basadas en propiedades combinatorias.

Justificar estas frecuencias puede resultar complejo, pero en el caso del tipo 1 no es difícil. Son 171 porque de dos cifras los únicos agrupados son 11, 22, 33,…99. Si le añadimos una cifra más, deberá ser idéntica a la última, luego, seguirán siendo 9: 111,222,…,999. Al llegar a cuatro cifras disponemos de dos caminos para construir los números de tipo 1: O bien añadimos dos cifras iguales por la derecha a los de dos cifras (incluido el cero), con lo que tendríamos 9*10=90 casos, como 1199, 2200,… o bien las añadimos por la izquierda (sin el cero), lo que daría 9*9=81 casos. Sumamos y obtenemos 90+81=171, que es lo que nos da la estadística.

En general, para una racha existen 9 posibilidades si ignoramos el 0. Para dos, 9*9, ya que ambas han de contener dígitos distintos, y para tres rachas, 9*9*9=729. Con una hoja nuestra sobre Combinatoria hemos calculado el número de rachas de cada tipo hasta 7 cifras, quedando esta tabla:



Todas las cantidades están comprobadas: 9 números de tipo 1 de dos cifras, 9 de tres, 90 de cuatro, 171 de cinco, 981 de seis y 2520 de siete.

¿Presentarán los distintos tipos de números frecuencias parecidas? Por ejemplo, ¿existirán más rachas con longitud superior a 1 en los cuadrados?¿y en los primos?...Nos dedicaremos, en plan lúdico, a estudiar diversos casos y observar, si existen, variaciones apreciables en las frecuencias.

Los cuadrados

Por este carácter informal que queremos darle a este estudio, nos limitaremos en todos los casos al intervalo (1, 100000), ya que con él basta para detectar curiosidades.

En ese intervalo sólo aparece el cuadrado 7744=88^2, y las frecuencias son



Prácticamente coinciden con el caso general. No aparece ningún otro cuadrado de ese tipo entre 1 y 500000. Estás invitado a buscar uno. Por cierto, si lo encuentras, deberá terminar en 00 o 44. Razónalo si te apetece.

Los primos

Establecemos el mismo intervalo, para ver si tampoco en este caso se aprecian diferencias importantes. Y no, resultan casi iguales a las anteriores:



Los 15 primos encontrados son: 11, 11177, 11777, 22111, 22277, 22777, 33311, 33377, 44111, 44777, 55333, 55511, 77711, 77999 y 88811. Como ves, son muy atractivos. Puedes ver más en http://oeis.org/A034873

Como en el caso de los cuadrados, sólo unas terminaciones son válidas: 11, 33, 77, 99, como es fácil entender.

Otros casos

Ya vamos sospechando que las frecuencias variarán poco. Lo vemos:

Triangulares

En este caso aumentan algo las frecuencias de tipo 1 y 2 en detrimento del 3:



Los cuatro triangulares de tipo 1 son muy sugestivos: 55, 66, 666, 2211, Tienes más en http://oeis.org/A116055

Oblongos

Como estos números son los dobles de los triangulares, presentan frecuencias similares, también con ligero predominio de los tipos 1 y 2 respecto al conjunto de todos los números.

En el intervalo (1,100000) sólo aparecen tres de tipo 1: 1122=33*34, 4422=66*67 y 9900=99*100. No están publicados los siguientes. Si te atreves…

Pentagonales

Aparecen tres de tipo 1:22, 8855 y 55777.

Pitagóricos

¿Qué longitudes de hipotenusas de triángulos de lados enteros aparecerán de tipo 1?

De este tipo aparecen muchos más, pues estarían entre ellos algunos múltiplos adecuados de 55, 111 y 100, que presentan rachas de al menos dos elementos. Estos son los primeros, con sus correspondientes catetos:



Aquí lo dejamos. Podemos analizar algunos más, pero vemos que las proporciones no cambian mucho. Es tan imprevisible la aparición de las cifras en los cálculos previos, que al reunir las frecuencias se llega a resultados muy similares.

Aquí tienes una tabla resumen:



ANEXO

Función para encontrar el tipo de agrupamiento de dígitos

Public Function tipoagrupa(n) 
Dim i, t, nr, l, maxr, minr
Dim r(20) ‘Esta variable contendrá las rachas
Dim sr$, c$, d$

sr$ = Str$(n)
sr$ = Right$(sr$, Len(sr$) - 1) + "$" ‘Convierte el número en un string adecuado
nr = 0
maxr = 1: minr = 1000 ‘Máxima y mínima longitud de racha
For i = 1 To 20: r(i) = 0: Next i
i = 1
l = Len(sr$)
While i < l ‘La variable i recorre los dígitos
nr = nr + 1
r(nr) = 1
c$ = Mid$(sr$, i, 1)
d$ = Mid$(sr$, i + 1, 1)
While c$ = d$ ‘Un dígito es igual al siguiente. Hay racha mayor que 1
r(nr) = r(nr) + 1
i = i + 1
c$ = Mid$(sr$, i, 1)
d$ = Mid$(sr$, i + 1, 1)
Wend
If r(nr) > maxr Then maxr = r(nr) ‘Toma nota de la racha máxima
If r(nr) < minr Then minr = r(nr) ‘Toma nota de la racha mínima
i = i + 1
Wend

t = 3 'En principio suponemos que el tipo es 3, caso mixto
If minr > 1 Then t = 1 'Tipo 1. Todos agrupados, porque las rachas son mayores que 1
If maxr = 1 Then t = 2  'Tipo 2. Todos aislados y rachas unitarias
tipoagrupa = t
End Function

miércoles, 4 de mayo de 2016

“Palprimos” (primos palindrómicos)

Tomamos la palabra palprimo directamente del inglés, pero si te apetece, nómbralos como primos palindrómicos.

Según se deduce del nombre, los palprimos son números primos capicúas o palindrómicos (nos limitaremos al sistema de numeración en base 10 por ahora), es decir, que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Los números de una sola cifra se suelen considerar palindrómicos (en realidad, cumplen la definición), por lo que es fácil entender que los primeros palprimos son

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721,…
(https://oeis.org/A002385)

Para identificarlos con hoja de cálculo necesitaremos la función ESPRIMO y la ESCAPICUA. Disponemos de las dos en nuestra colección, por lo que nos limitaremos a copiarlas aquí.

Public Function esprimo(a) As Boolean
Dim n, r
Dim es As Boolean

'Devuelve true si es primo.
es = False
If a = Int(a) Then  ‘Ha de ser entero
If a = 1 Then es = False ‘Casos particulares
If a = 2 Then es = True
If a > 2 Then
If a / 2 = Int(a / 2) Then ‘Descarta los pares
es = False
Else
    n = 3: es = True: r = Sqr(a) ‘Busca posibles divisores
    While n <= r And es = True
    If a / n = Int(a / n) Then es = False ‘Si se encuentra un divisor se declara compuesto
    n = n + 2
    Wend
End If
End If
End If
esprimo = es

End Function


Public Function escapicua(n) As Boolean
Dim l, i, k
Dim c As Boolean
Dim auxi$

  'Convierte el número en texto para lograr más rapidez. Devuelve VERDADERO si es palindrómico o capicúa
  
auxi = haztexto(n) ‘Se puede usar la función STR$ del Basic
l = Len(auxi)
If l < 2 Then
escapicua = False
Else
c = True
i = 1
k = Int(l / 2)
While i <= k And c
  If Mid(auxi, i, 1) <> Mid(auxi, l - i + 1, 1) Then c = False ‘Va comparando cada dígito con su simétrico
  i = i + 1
  Wend
End If
escapicua = c
End Function

Con estas dos funciones podemos encontrar palprimos en cualquier intervalo, contarlos u operar con ellos. Por ejemplo, con esta rutina podemos destacar los existentes en un intervalo:

Sub buscapalprimos()

Dim i,j
i = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(6, 7).Value ‘Suponemos que el intervalo está
j = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(6, 8).Value ‘alojado en las celdas G6 y H6.

fila = 15 ‘Inicio del listado

For i = j To l
If esprimo(i) And escapicua(i) Then
ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 6).Value = i ‘Se presenta e incrementamos la fila
fila = fila + 1
End If
Next i
End Sub

Aquí tienes el listado de los palprimos comprendidos entre 10000 y 11000:

10301
10501
10601

Como ves, muy pocos. Entre 1000000 y 1100000 sólo encontramos estos:

1003001
1008001
1022201
1028201
1035301
1043401
1055501
1062601
1065601
1074701
1082801
1085801
1092901
1093901

Antes de seguir adelante, quizás te hayas percatado de que no existen palprimos con un número de cifras par, porque entonces serían múltiplos de 11, y no primos, como le ocurre a 1771, que es igual a 7*11*23. Así que siempre nos referiremos a un número impar de cifras.

Se ha conjeturado que existen infinitos primos palídrómicos. Unos de los mayores encontrados es


(Tomado de Wikipedia)

Entre los mayores conocidos se encuentra el número de Belfegor, 1000000000000066600000000000001, llamado así por sus referencias al número de la bestia, 666.

La anterior rutina para destacar palprimos en un intervalo se puede transformar en una función que los cuente simplemente, sin tener que mostrarlos. Su estructura sería muy similar:

 Public Function cuentapalprimos(m, n)

Dim i, c
c = 0
For i = m To n
If esprimo(i) And escapicua(i) Then c = c + 1
Next i
cuentapalprimos = c
End Function

Con esta función comprobamos que entre 10000 y 11000 existen tres, que son los que presentamos arriba, y entre 1000000 y 1100000, los catorce reseñados.

Con un poco de paciencia se puede obtener el número de palprimos para cada número de cifras: De tres cifras existen 15, de cinco 93 y de siete 668. El resto requiere de otras herramientas. Tienes los datos en http://oeis.org/A016115

Suma de inversos

Se ha comprobado que la suma de inversos de los primeros palprimos converge a una constante cuyos primeros decimales son 1.32398… Pondremos a prueba la capacidad de nuestra hoja de cálculo: buscaremos los primeros con la rutina presentada más arriba, hallaremos sus inversos y posteriormente la suma de estos. Como la tabla resultará larga, copiaremos sólo los primeros y últimos términos:





Podíamos seguir con más cifras, pero ya vemos la tendencia a la constante límite. Con hoja de cálculo es preferible dejarlo aquí.

Hemos probado con los inversos de los cuadrados y ha aparecido una convergencia más fuerte (como era de esperar) hacia la constante 0,43008339502. Puedes probar otras posibilidades.

lunes, 25 de abril de 2016

Función “parking”



Estudiamos hoy un tema de Combinatoria, que la teníamos un poco abandonada. Se trata de la función “parking”, o arreglos de aparcamiento. El planteamiento es el siguiente:

Imaginemos un aparcamiento de una empresa, situado en una calle estrecha, en la que no es posible dar marcha atrás, y que contiene n aparcamientos, que numeraremos de 1 a n. Podemos pensar que es el inicio de una jornada de trabajo y que suelen aparcar en ella siempre los mismos n coches.

Puede ocurrir que cada coche tenga preferencia por un determinado aparcamiento. Si llega y está libre, lo ocupa, y si no, como no puede retroceder, ocupa el siguiente que esté libre. Esto hace que no todas las preferencias de los coches sean viables. Unamos en un mismo conjunto ordenado las preferencias de los conductores. Por ejemplo, si n = 3, el conjunto ordenado (2, 1, 1)  es viable, porque el primer coche ocuparía el aparcamiento 2, su preferido. El segundo iría al 1, y el tercero, aunque prefiere el 1, ha de irse al 3, pero aparca.

El arreglo (2, 3, 2) no es válido, ya que el primer coche aparca en el 2, el segundo en el 3, pero el tercero, encuentra ocupado su preferido 2 y también el siguiente, y no puede aparcar. Vemos que una hipótesis poco creíble es que cada conductor se dirige a su aparcamiento preferido ignorando los anteriores.

Imaginemos que su empecinamiento le costaría volver a intentarlo y esta vez ocupar el 1 aunque no fuera su preferido, pero esas son las reglas de este juego.

Simulación

Hemos preparado una hoja de cálculo muy simple para que experimentes qué preferencias son válidas. La tienes alojada en la dirección

http://www.hojamat.es/blog/parking.xlsm

Basta escribir en ella dichas preferencias, ajusta el retardo en segundos para ver bien el proceso, y rellenar las preferencias. Al pulsar los botones “Vaciar parking” e “Intento”, se desarrollará, con el retardo que desees, el proceso de aparcamiento.


En la imagen puedes ver el final del proceso con unas preferencias válidas.

Todos los coches han podido aparcar.

En esta otra imagen hemos creado unas preferencias no válidas.



La plaza tercera se ha quedado vacía y el coche G no ha podido aparcar.

Llamamos coches afortunados (“lucky car”) a aquellos vehículos que aparcan donde ellos prefirieron previamente. En el ejemplo de la imagen son afortunados A, B, C, D, E y F. Si las preferencias se repiten, sólo serán afortunados algunos de los coches pretendientes a una plaza. Se llama salto (“jump”) al número de plazas que ha de desplazarse un coche si no logra su plaza preferida. Es evidente que los afortunados presentan un salto igual a cero.

Criterio de validez

Se puede razonar que una función parking es válida si se pueden ordenar las preferencias en orden creciente, y entonces, cada una de ellas es menor o igual que su número de orden. En caso contrario, si una preferencia fuera mayor, se dejaría una plaza vacía aunque entraran todos los coches, por lo que alguno de ellos quedaría fuera. En el anterior ejemplo (2, 3, 2) ordenamos de forma creciente (2, 2, 3) y observamos que no hay forma de llenar la plaza número 1, que quedaría vacía. Por el contrario, si en el orden creciente no se sobrepasa el número de orden, como en (1, 3, 1), o en orden creciente (1, 1, 3),  sea cual sea el orden de entrada, siempre habrá plaza para todos. Si el orden creciente es válido, cualquier permutación del mismo también lo será.

Con esta condición, no es difícil escribir todas las funciones válidas en su forma ordenada creciente. En el caso de 3 serían

(1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 1, 3) (1, 2, 2) (1, 2, 3)

Ahora le aplicamos a cada una las permutaciones posibles, con lo que nos dará
1+3+3+3+6=16 funciones válidas distintas. Coincide este resultado con la expresión


 En este caso (3+1)(3-1)=42=16. Se puede demostrar, mediante teoría de grafos, que esta expresión es válida. En esta dirección puedes leer un esbozo de demostración

http://www-math.mit.edu/~rstan/transparencies/parking.pdf

La idea consiste en añadir otra plaza más de aparcamiento, la n+1 que dejamos vacía, y permitir a los coches otro intento. De esta forma todos aparcarán, aunque se puedan dejar una plaza vacía. El número de opciones ahora será (n+1) elementos para n plazas. El número de funciones es, por tanto, (n+1)n. Si sometemos al proceso a una traslación módulo n+1, sólo será función válida aquella que deje vacía la plaza n+1. Dividimos y queda (n+1)n.

Generación de resultados

Las funciones parking ordenadas se pueden obtener mediante construcción directa, ya que sólo hay que tener cuidado de no sobrepasar del índice i en el término a(i). Para valores de n mayores hemos usado nuestra hoja de cálculo Cartesius (no publicada en este momento). Por ejemplo, en la imagen puedes observar las 14 funciones ordenadas para n=4.



Para n=5 resultarían 42 arreglos. En general, el número de funciónes parking ordenadas coincide con los números de Catalan:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,… (http://oeis.org/A000108).

Como tales, se pueden generar con la fórmula



Por ejemplo, C(4)=1/5C(8,4)=70/5=14


jueves, 14 de abril de 2016

Volvemos a los números "arolmar" (5) - Semiprimos arolmar

Semiprimos arolmar

Esta es la quinta entrada de la serie que dedicamos a estos números de nuestra invención. Si deseas leer las anteriores basta con que señales la etiqueta “Números AROLMAR” en el blog.

Proseguimos en esta entrada el regreso a los números arolmar que emprendimos en las anteriores. En esta nos dedicaremos a estudiar los términos de la sucesión que son semiprimos. Hemos descubierto que son bastante interesantes, ya que dan lugar a propiedades curiosas.

Caso de dos factores primos

En esta sucesión de números arolmar https://oeis.org/A187073 es fácil encontrar los términos que son semiprimos:

21, 33, 57, 69, 85, 93, 129, 133, 145, 177, 205, 213, 217, 237, 249, 253, 265, 309, 393, 417, 445, 469, 489, 493, 505, 517, 553, 565, 573,…



Vemos en el listado que todos se descomponen en dos factores primos distintos (el 1 que les acompaña es el exponente). En ellos la suma de sus dos factores primos es evidente que equivale al doble de otro primo. Consecuencia inmediata es que en estos números la suma de sus factores primos presenta al menos dos soluciones para lo exigido por la conjetura de Goldbach. Por ejemplo, 205=5*41, y 46=5+41=23+23=2*23

Ambos primos han de ser del tipo 4k+3 o del tipo 4k+1, pues si fueran de tipos distintos, su suma sería equivalente a 4k+1+4p+3=4(k+p+1), un múltiplo de 4 que no puede ser doble de un primo. Por ejemplo, en 133=7*19, 7=4*1+3 y 19=4*4+3, y en 445=5*89, 5=4*1+1 y 89=4*22+1, ambos del mismo tipo. Sin embargo, respecto al 6, los factores admiten todas las variantes, como puedes comprobar fácilmente.

Por otra parte, los dos factores de un semiprimo arolmar no pueden ser primos consecutivos, ya que la media de ambos está intercalada entre ellos.

Así que a cada número de esta lista le corresponderá un número primo, la mitad de la suma de sus factores. Esta relación no tiene que ser biyectiva. Por ejemplo, los términos 93, 145 y 253 se corresponden con el 17. Compruébalo con sus factores primos:

93    [3,1][31,1]       17
145 [5,1][29,1]       17
253 [11,1][23,1]     17

Número arolmar correspondiente a un primo

Se puede ver la correspondencia desde el punto de vista opuesto. Podemos tomar un número primo, calcular su doble y descomponerlo en todas las soluciones posibles como suma de primos diferentes. Cada una de ellas, multiplicando ambos primos, producirá un arolmar.

(Ver en el documento de Rafael Parra http://www.hojamat.es/parra/arolmar.pdf la explicación de este proceso con el estudio de varios casos)

Por ejemplo, tomemos el 23. Su doble, 46, se puede descomponer como suma de dos primos diferentes así: 46=3+43=5+41=17+29. Si ahora multiplicamos los dos factores de cada descomposición, nos resultarán tres números arolmar: 129, 205 y 493.

La correspondencia entre números primos y números arolmar semiprimos no es biyectiva.

En el documento de Rafael Parra se consideran todos los casos similares, se descompongan en dos o en más sumandos primos. Ahora nos limitaremos al caso de dos factores.

Número arolmar mínimo y asociados para un primo dado.

Siguiendo las ideas del documento citado de Rafael Parra, si de todos los números arolmar que se corresponden con un primo dado eligiéramos el mínimo (en el ejemplo anterior el 129) sí podríamos establecer la correspondencia biyectiva. Es fácil ver, como sugiere Rafael Parra, que basta elegir el que posea el número primo menor en una descomposición en dos factores, en el ejemplo 129=3*43.

Con un poco de álgebra es fácil demostrarlo: llamemos P a ese factor primo mínimo (será P<N/2) y N al doble del primo dado. El número arolmar generado será entonces P(N-P), mientras que todo otro número de ese tipo tendrá la expresión (P+k)(N-P-k) con 0<P+k<N/2 (si suponemos los factores ordenados). Restamos ambas expresiones:

(P+k)(N-P-k)- P(N-P)= PN-PP-Pk+kN-kP-kk-PN+PP=k(N-P-P-k)=k(N/2-P+N/2-(P+k))>0

Luego (P+k)(N-P-k) es siempre mayor que P(N-P). Si aumentamos el número de factores, el número arolmar correspondiente sería aún mayor, luego este semiprimo con un primo mínimo es el menor posible.

Así que el número arolmar mínimo asociado a cualquier número primo es el que contiene el factor primo menor posible en una descomposición con dos factores. Podemos resumir el proceso mediante este esquema:



Tomamos el primo 73, le calculamos el doble 146, ensayamos sumas de primos para él y nos quedamos con la que presente el menor primo. En este caso 7+139. Multiplicamos ambos y nos resulta 973.

Dado un primo P y su número arolmar asociado R, se tendrá, si sólo posee dos factores, que R=(P+K)(P-K), siendo ambos paréntesis primos, es decir P2-K2 con un K adecuado, siempre par. Por tanto R estará siempre acotado por P2

Rafael Parra ha llamado a estos números mínimos “primos arolmar”, y al resto, no minimales, “asociados”. En la secuencia publicada por él (http://oeis.org/A191683) figuran todas las soluciones para cada primo mayor que 3 y para cada número de sumandos:

21, 33, 57, 69, 93, 105, 129, 177, 195, 213, 217, 237, 249, 265, 309, 393, 417, 445, 465, 483, 489, 565, 573, 597, 633, 645, 669,…

Es evidente que es una subsecuencia de la sucesión A187073. Como nos hemos comprometido en esta entrada a un desarrollo limitado a los semiprimos, seguimos con esa condición. Veremos lo siguiente:

A cada número primo le corresponde un único “primo arolmar” semiprimo

Esto es fácil de entender, pero la característica de ser únicos convierten a estos números en imágenes de una función. Podemos definir PRIMAROL a la función que hace corresponder a cada número primo el semiprimo ya definido.

Un ejemplo:

Elegimos el número primo 103. Su doble, 206, admite estas descomposiciones de dos sumandos primos (recuerda que nos limitamos a este caso, pero podrían ser 3 o más)

7 199 1393
13 193 2509
43 163 7009
67 139 9313
79 127 10033
97 109 10573

Elegimos el mínimo, 1393, y lo definiremos como primarol(103)=1393.

La formación de PRIMAROL queda clara con el esquema incluido más arriba. No está definida ni para el 2 ni para el 3. La razón es que detrás de todo esto está la conjetura de Goldbach. Esta correspondencia biyectiva nos demuestra que los conjuntos de números arolmar y primos arolmar es infinito, hecho que se podía adivinar observando su evolución.

Implementación en una hoja de cálculo

No es difícil implementar esta función en Basic si cuentas con la función ESPRIMO

Public Function primarol(a)
Dim i, p, k, n
Dim novale As Boolean

k = 2: p = 0: n = a * 2
novale = True
While novale And k < n / 2 ‘Buscamos la primera suma de primos
If esprimo(k) And esprimo(n - k) Then
p = k * (n - k) ‘Hemos encontrado la suma. Como sólo queremos el mínimo, paramos.
novale = False ‘Señal de parada
End If
k = k + 1
Wend
primarol = p ‘La función recoge el producto más pequeño
End Function

Esta función no conserva el orden, pues a mayor número primo no le corresponde una imagen también mayor. Por ejemplo, el 217 aparece como imagen de 19 y más adelante el 129 como imagen de 23

La función primarol no es creciente.

Lo puedes comprobar con este gráfico de dispersión:



El máximo que destaca corresponde al primo 1321, cuyo doble 2642 se descompone en la suma 2642=103+2539, que da el semiprimo minimal 261517=103*2539

Estudio con PARI

Para quien tenga una cierta experiencia en el tema, no es difícil traducir el código de primarol a PARI:

primarol(a)={local(k=2,p=0,n=a*2,v=1); while(v>0&&k<n/2, if(isprime(k)&&isprime(n-k),p=k*(n-k);v=0);k+=1);p}

Con esta definición podemos, por ejemplo encontrar la imagen del primer primo de 7 cifras:

Primarol(1000003)=6000009=3*2000003

Relación con ternas de primos en progresión

Es evidente, según lo tratado hasta ahora, que los números arolmar semiprimos se basan en una progresión aritmética formada por una terna de números primos, pues en ese caso el primo central será la media aritmética de los otros dos. Así por ejemplo, 3, 13 y 23 forman el número arolmar semiprimo 3*23=69 y, al contrario, cualquier otro elemento de la sucesión, como 669=3*223, da lugar a la progresión 3, 113, 223. Así que, de paso, hemos comprobado que existen infinitas ternas de primos en progresión aritmética.

Un caso especialmente llamativo es el de los primos equilibrados: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977 (http://oeis.org/A006562)

En ellos los integrantes de la terna son el anterior y posterior primo al central y darán, según consideraciones que hemos visto en párrafos anteriores, el mayor número arolmar correspondiente al primo central. Formamos una tabla:



En ella vemos el rápido crecimiento, por ser maximales los números generados por este procedimiento.

jueves, 7 de abril de 2016

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo: Opperman

Conjetura de Oppermann

Esta conjetura está relacionada con otras tres que ya hemos estudiado en este blog:

Legendre 

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/04/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html

Andrica

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html

Brocard 

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/05/conjetura-de-brocard-y-otras-cuestiones.html

La primera afirma que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 existe siempre un número primo, la de Andrica que “La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1” y la de Brocard que “Para n>1, si representamos como p(n) al enésimo número primo, se verificará que entre p(n)2 y p(n+1)2 existirán al menos cuatro números primos”.

En las entradas enlazadas se estudian las tres y sus relaciones mutuas.

Conjetura de Oppermann

Esta conjetura está muy relacionada con las tres referidas, y es una condición más fuerte que ellas. Fue establecida por Opperman en 1882.

Afirma lo siguiente:

Para todo número entero x>1, existe al menos un número primo entre x(x - 1) y x2, y otro primo entre x2 y x(x + 1).

El que tenga un carácter más fuerte proviene de que x(x-1)>(x-1)2 y  x(x+1)<(x+1)2, con lo que los intervalos en los que se ha de encontrar un número primo se acortan.

Observamos que tanto x(x-1) como x(x+1) son números oblongos, y además consecutivos, siendo x2 la media de ambos.

Al igual que nos ocurrió con la conjetura de Legendre, si usamos la función p, que da la distribución de los números primos (p(200) equivaldría a los primos que existen menores o iguales a 200), la conjetura de Opperman se podría expresar así:


Lo interesante aquí es que las desigualdades son estrictas, lo que indica que existen números primos intercalados, que es lo que afirma la conjetura.

Comprobación de la conjetura

Como en anteriores entradas de esta serie, usaremos nuestra herramienta conjeturas.xlsm, que puedes descargar desde la página

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm

Esta hoja posee algunas funciones interesantes, aunque el trabajo de comprobación depende de nosotros. Hemos construido un esquema que nos permitirá la comprobación. Puedes intentarlo también. El nuestro es así:



En primer lugar se ha diseñado la cabecera, de forma que contenga los tres valores que figuran en la conjetura, N(N-1), N2 y N(N+1). Entre ellos se han reservado dos columnas para que aparezcan los números primos que anuncia la conjetura.

La estructura es muy sencilla. Todo depende del número que escribamos en la parte superior izquierda, en la imagen el 100. Debajo de él figurarán automáticamente los siguientes. Esto no es necesario, bastaba con un número, pero así percibimos mejor la potencia de la conjetura. Hemos programado que cada celda sea igual a la anterior más una unidad.

Las columnas N(N-1), N2 y N(N+1) son fáciles de rellenar en una hoja de cálculo y no las explicaremos. Las correspondientes a los primos que se esperan las hemos rellenado con la función PRIMPROX, que nos da el próximo primo mayor que un número. En la segunda columna aparecerá PRIMPROX(N(N-1)) y en la cuarta PRIMPROX(N2).

Esta función nos da el primer primo entre esos números, pero con eso nos basta, ya que sólo deseamos resaltar que existe uno al menos. Si hubiera más, aparecería el primero de ellos.

Bastará ahora elegir números más pequeños o mayores para que verifiquemos la conjetura en casos particulares.



Forzamos la hoja de cálculo con números mayores:



Si forzamos un poco más, ya no podemos contar con el cálculo en números enteros, y la hoja nos da error:



Esto es normal y lo tenemos asumido en este blog. No pretendemos grandes cálculos, imposibles con el formato de coma flotante, sino crear esquemas que nos ayuden a entender mejor las conjeturas.

La conjetura afirma la existencia de un número primo, pero en la práctica pueden aparecer muchos más. En la imagen que sigue hemos usado la función PRIMENTRE, que también está incluida en la hoja Conjeturas, y se puede observar que el número de primos es considerable.



Relación con la espiral de Ulam

Si observamos una imagen de la espiral de Ulam, nos daremos cuenta de que la conjetura que estudiamos viene a decir que cada lado de dicha espiral ha de contener un número primo.



Ya sabemos que pueden existir más. La imagen está tomada de nuestro documento

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm

que puede tener los vértices algo desplazados, pero se ven con claridad los distintos oblongos y cuadrados de cada lado y los primos comprendidos entre ellos.

Conjetura de Schinzel

Se puede afinar más la conjetura de Opperman. Schinzel conjeturó que para x>8, existe al menos un número primo entre x y x+(lnx)2.

Te invitamos a comprobarlo. En la imagen puedes ver cómo lo hemos hecho en este blog:




miércoles, 23 de marzo de 2016

Volvemos a los números "arolmar" (4) ¿Qué hay entre dos arolmar?


Esta es la cuarta entrada de la serie que dedicamos a estos números de nuestra invención. Si deseas leer las anteriores basta con que señales la etiqueta “Números AROLMAR” en el blog.

Una cuestión que ya estudiamos en otra entrada respecto a los números primos, la aplicamos hoy a los números arolmar. Deseamos saber qué hay entre dos arolmar consecutivos, por ejemplo si hay primos, cuadrados, triangulares y otros. La frecuencia de nuestros números es similar a la de los números primos, por lo que los resultados mostrarán similitudes. Comenzamos con los cuadrados.

Cuadrados entre dos arolmar

En la primera entrada de esta serie

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html

definimos la función esarolmar, tanto para Basic VBA como para PARI. Ahora necesitaremos la función proxarol, que devuelve el primer arolmar que sigue a cualquier número:

Function proxarol(a) As Long (Versión para VBA)
Dim p, prim As Long
Dim sale As Boolean

p = a + 1: sale = False: prim = 0
While Not sale
If esarolmar(p) Then prim = p: sale = True
p = p + 1
Wend
proxarol = prim
End Function

No necesita mucha explicación para entender el proceso: va avanzando en los números siguientes al dado hasta encontrar el primer arolmar.

La función en PARI, basada en la ya definida esarolmar, quedaría así:

proxarol(n)={local(p=0,k);k=n+1;while(p==0,if(esarolmar(k),p=k);k+=1);p}

Con esta función podemos investigar qué tipo de números se puede encontrar entre dos arolmar consecutivos. Comenzamos con los cuadrados. En Basic se puede programar así:

Function num_entrearol(n, tipo)
Dim nm, p, i
nm = 0

If esarolmar(n) Then
p = proxarol(n)
For i = n + 1 To p - 1
Select Case tipo
Case 1: If escuad(i) Then nm = nm + 1
Case 2: If estriangular(i) Then nm = nm + 1
End Select
Next i
End If

num_entrearol = nm
End Function

Está preparada para contar cuadrados, triangulares u otros según el tipo. En el listado nos hemos limitado a los casos cuadrado o triangular. También se adapta a PARI, pero no lo incluimos por no alargar.

Al recorrer esta función para cuadrados en todos los números arolmar nos llevamos una sorpresa: entre dos arolmar consecutivos aparecen como mucho dos cuadrados. En efecto, aquí tienes el listado para los primeros:



De hecho, el valor de 2 sólo se alcanza en el 33 y el 309. En el resto sólo se han encontrado o un cuadrado o ninguno. Una causa probabilística de esto es que los cuadrados se van espaciando, para cada N en un incremento de 2N+1, mientras que los arolmar siguen un crecimiento aproximadamente lineal con incrementos próximos a 17. Hemos probado hasta 10^7 sin encontrar dos arolmar consecutivos entre los que existan tres cuadrados. La cota se queda en 2 para los casos citados. El 309 lo volveremos a encontrar más adelante, ya que presenta una diferencia grande con el siguiente arolmar.

Expresamos la conjetura:

Entre dos números arolmar consecutivos mayores que 309, existe a lo más un cuadrado.

Triangulares comprendidos

Esperamos aquí un fenómeno similar, ya que los triangulares crecen con incrementos también crecientes. Acudimos al programa en Basic y nos queda:


Descubrimos un 3, lo que es lógico, ya que los triangulares dejan intervalos entre ellos más pequeños que los cuadrados. Con el valor 3 aparecen los mismos números que en el caso de los cuadrados: el 33, que está seguido por los triangulares 36, 45 y 55 antes de llegar al siguiente arolmar 57, y el 309, seguido de 325, 351 y 378.

Esto nos hizo sospechar que nunca se daría el valor 4. Hemos adaptado nuestro código en PARI y, en efecto, para n<10^7 no se presenta ningún 4. Lo damos por bueno, como conjetura:

Entre dos números arolmar consecutivos mayores que 309, existen a lo más tres triangulares.

¿Ocurrirá algo parecido con los oblongos, dobles de triangulares o los poligonales?

Así es: sólo en los valores 33, 265 y 309 se intercalan 2 oblongos. Hemos buscado el valor 3 y no aparece. Con los pentagonales sólo poseen el valor 2 los ya sabidos 33 y 309. Prueba con otros tipos, pero por nuestra parte ya está bien. Hemos descubierto de paso que estos números 33 y 309 presentan un comportamiento especial.

Primos intercalados

Vimos en entradas anteriores que el ritmo de aparición de primos y de números arolmar es parecido. Por eso no debe extrañar que se den muchos valores distintos al contar primos entre dos arolmar consecutivos. Desde 0 hasta 30 aparecen para números inferiores a un millón. Aquí tienes los primeros:



Llama la atención que de nuevo el 309 destaca, en este caso por tener 14 primos intercalados hasta el siguiente arolmar 393. No es nada extraordinario, pues un par que está distanciado entre sí.

Potencias de primo

Si en lugar de contar primos contamos sus potencias no triviales (de exponente mayor que 1), el número de intercalados disminuye bastante:



Entre 21 y 33 aparecen 5^2, 3^3 y 2^5, y entre 105 y 129, 11^2, 5^3 y 2^7. Detrás de estos hay que saltar al 2173 y no aparecen más, al menos hasta 10^7.

Consideraciones probabilísticas nos llevan a pensar que no hay más casos.

Como resumen destacamos que el comportamiento de los intervalos entre arolmar es bastante parecido al comprendido entre primos, pero con las frecuencias de aparición un poco mayores.