lunes, 20 de enero de 2020

Multipoligonal


Recordemos que los números poligonales son aquellos que pueden organizar sus unidades en forma gráfica de polígono 

Ya han aparecido varias veces en este blog. Llamamos dimensión k a su número de lados y orden n al número de unidades por lado. Su expresión algebraica es


Con nuestra calculadora de números figurados puedes calcularlos fácilmente.


Por ejemplo, el número octogonal de orden 3 será igual a 21, ya que

P8,3 = 3*(3*6-4)/2 = 3*14/2 = 21

Gráficamente:


El problema que abordaremos en esta entrada es el de clasificar aquellos números poligonales que lo son tomando distintos órdenes y dimensiones. Por ejemplo, el número 36 se puede representar con cuatro lados y también con trece:


En efecto:

P4,6 = 6*(6*2-0)/2 = 6*6 = 36
P13,3 = 3*(3*11-9)/2 =3*24/2 = 36

¿De cuántas formas poligonales se puede expresar un número? 

Es evidente que todos ellos son poligonales de orden 2, incluso los primos, ya que es posible ordenar las unidades sobre un perímetro de n lados. Buscamos ahora aquellos que admitan varias representaciones.

Comenzaremos con una búsqueda ordenada. Nuestra costumbre es usar una función en Basic de Excel o Calc. Podría ser esta:

Function mpolig$(n)
Dim i
Dim s$

If n < 3 Then mpolig = "NO": Exit Function
s$ = ""
For i = 3 To n
If espoligonal(n, i) Then s$ = s$ + " #" + Str$(i) + ", " + Str$(quepoligonal(n, i))
Next i
mpolig = s
End Function

Esta función es de tipo texto, para poder añadir todos los tipos de poligonal que admite un número. Comienza desechando los números inferiores a 3. Después aplica un criterio, espoligonal, para ver si es poligonal o no. Si lo es, aplica la función quepoligonal, que encuentra el orden y dimensión. Si todo va bien, añade el nuevo polígono a la serie.

Estas dos funciones, espoligonal y quepoligonal, son algo teóricas, por lo que las añadimos a un Apéndice.

Por ejemplo, si aplicamos esta función al número 15, resultan tres formas de ser poligonal, y se presentan de esta forma:

MPOLIG(15)= # 3,  5 # 6,  3 # 15,  2

Significa que 15 puede ser un número triangular de lado 5, o bien hexagonal de lado 3, o, por último, un polígono de 15 lados. A partir de ahora no consideraremos esos polígonos formados por tantos lados como indique el número. Gráficamente:



Es fácil ver que las tres estructuras están compuestas por 15 unidades.
El primer número que presenta cuatro modalidades de poligonal es el 36:

MPOLIG(36)= # 3,  8 # 4,  6 # 13,  3 # 36,  2

Puede presentar 3, 4, 13 y 36 lados.

A estos números les podemos denominar multipoligonales. En el extremo opuesto figuran aquellos números que solo admiten forma de polígono simple, con lados de una unidad. Entre ellos están los primos y otros que no lo son, como el 38, que no admite ninguna otra forma poligonal salvo la trivial de un polígono de 38 lados. Este tipo de números está recogido en http://oeis.org/A090467.

Es fácil transformar la función mpolig en otra que simplemente cuente las soluciones de los distintos tipos de poligonal que admite un número. Quedaría así:

Function npolig(n)
Dim i, p

If n < 3 Then npolig = 0: Exit Function
p = 0
For i = 3 To n
If espoligonal(n, i) Then p = p + 1
Next i
npolig = p
End Function

Su funcionamiento es fácil de entender. Por ejemplo, con ella podemos listar los números que admiten cuatro representaciones como poligonales. Los primeros son:


En la primera columna figuran los números y en la segunda el número 4 y los distintos tipos de poligonal que admiten.

Los listados de los números con un número dado de tipos de poligonal están todos publicados en sus casos más sencillos. Por ejemplo, los anteriores figuran en http://oeis.org/A195528

Números con dos tipos determinados de poligonal

Para saber si un número es de dos tipos determinados basta usar esta función:

Function doblepolig(n, p, q) As Boolean
If espoligonal(n, p) And espoligonal(n, q) Then doblepolig = True Else doblepolig = False
End Function

Es sencilla de entender, ya que exige que sea poligonal de tipo p y también de tipo q, que son los parámetros que acompañan a n.

No vamos a recorrer todos los casos, ya que los valores del número de lados aumentan muy pronto, y se hacen inabordables.

Por ejemplo, con hoja de cálculo solo podemos obtener de forma razonable dos números que son heptagonales y cuadrados, el 81 y el 5929. El siguiente, 2307361, necesita más tiempo de cálculo, y no digamos los que siguen: 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025,…

Un caso concreto

(Complemento con uso de técnicas algo más avanzadas)

¿Qué números son hexagonales y también cuadrados?

Si los buscamos con la función doblepolig y parámetros 4 y 6, nos resulta el número 1225, pero el siguiente 1413721, ya necesita unos minutos de proceso. Intentamos una aproximación algebraica:

Un número cuadrado de orden n tiene como fórmula n2, y un hexagonal de orden m, m(2m-1). Igualamos:

Sería n2=2m2-m

Multiplico por 2:

2n2=4m2-2m

Completo un binomio al cuadrado:

2n2=(2m)2-2*2m*1/2+(1/2)2-(1/2)2
2n2=(2m-1/2)2-(1/2)2

Multiplico por 4

8n2=(4m-1)2-1
(4m-1)2-8n2=1

Llamando x=8m-1 e y=n, logramos el planteo de una ecuación de Pell: x2-8y2=1

Acudimos a nuestra herramienta 

Rellenamos los parámetros 8, RAIZ(8) y 1 y obtenemos las soluciones:



Al pasar de X a n, deberemos desechar las soluciones no enteras. Aplicamos a X la función (X+1)/8 para volver a n:



Nos quedamos con las soluciones enteras. La primera es Y=N=35 y X=25. 

Vemos que, efectivamente, se cumple que el cuadrado de 35, 1225, coincide con el hexagonal de 25, 2*252-25=1250-25=1225.

Veamos la segunda solución entera:

Y=N=1189, X=841, con lo que 11892=1413721=2*8412-841

De igual forma obtendríamos la tercera, 403912=1631432881
(Puedes comprobarlo en http://oeis.org/A046177)

Recurrencia

Esta parte la desarrollaremos sin justificar.

En una ecuación de Pell de parámetro 8, las soluciones se obtienen a partir de las primeras X=3, Y=1 mediante las recurrencias

Xn+1=3Xn+8Yn  y  Yn+1=Xn+3Yn

Puedes comprobarlo en la tabla de más arriba.

Como las soluciones enteras aparecen cada dos pasos, las recurrencias quedarán

Xn+2=3(3Xn+8Yn)+8(Xn+3Yn)=17Xn+48Yn
Yn+2=3Xn+8Yn+3*(Xn+3Yn)=6Xn+17Yn

Así, de x=99, y=35, obtenemos:

X=17*99+48*35=3363
Y=6*99+17*35=1189

Estas serían las siguientes soluciones. Reiterando, obtendríamos todas las demás:

X=17*3363+48*1189=114243
Y=6*3363+17*1189=40391

Este ha sido un ejemplo concreto, sin demasiada dificultad algebraica. Las demás coincidencias entre dos tipos se resuelven de forma similar, pero quizás con un desarrollo más complejo.



Apéndice

Función espoligonal
Devuelve VERDADERO o FALSO
Function espoligonal(n, k) As Boolean
Dim d
Dim e As Boolean

e = False
d = (k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2)
If escuad(d) Then
If esentero((k - 4 + Sqr(d)) / 2 / (k - 2)) Then e = True
End If
espoligonal = e
End Function

Función quepoligonal

Encuentra la dimensión de un número como poligonal

Function quepoligonal(n, k)
Dim d
d = Sqr((k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2))
If d <> Int(d) Then quepoligonal = 0 Else quepoligonal = (k - 4 + d) / (2 * k - 4)
End Function



viernes, 3 de enero de 2020

Resumen de cálculos sobre el año 2020


Los últimos días del año 2019 los he dedicado en Twitter a dar la bienvenida al 2020 mediante todo tipo de cálculos. Los copio a continuación:

Día 1

Como todos los años por estas fechas, interrumpo los cálculos habituales y los sustituyo por los de bienvenida al nuevo año. Volveré en enero al estudio de las fechas.

Comienzo la bienvenida destacando que 2020 posee una factorización palindrómica:
                             
2020=2×505×2  


Si 2020 tiene factores palindrómicos, también su función SOPF:

SOPF(2020)=108=101+5+2 y 108=2×3×3×3×2


La función PHI de 2020 tiene una descomposición algo simétrica PHI(2020)=800=2^5×5^2


Día 2

Hoy recodamos propiedades sencilla de 2020:
              
2020 constituye un doblete de concatenación 2020=20//20


2020 se forma así con las cifras 5 y 9: 2020=5×9×9×5-5

                             
Ya sabemos que 2020 es producto de un cuadrado y un capicúa: 2020=2^2×505, pero también es suma de cuadrado y capicúa: 2020=43^2+171


2020 solo necesita tres potencias de 2 para su generación:
2020 =2^11-2^5+2^2


Así se autogenera 2020:
2020=2×(0+2020)/(2+0)
2020=2020-2×0×20

Día 3

Comenzamos los desarrollos monocifra del 2020. Hoy con 1, 2 y 3


2020 con la cifra 1:          2020=(111-11+1)(11+11-1-1)


2020 con el 2: 2020=2222-222+22-2

2020 con la cifra 3: 2020=(333+3)(3+3)+3+3/3


Día 4

Hoy toca relacionar 2020 con las cifras 4, 5 y 6:

2020 con el 4: 2020=4×(4^4+4^4-(4+4))+4


2020 con el 5:  2020=(555-55+5)×(5-5/5)


2020 con el 6     2020=(666×(6+6+6)+66+66)/6


Día 5

Finalizamos hoy los desarrollos monocifra para 2020

2020 con el 7: 2020=(7+7+7-7/7)×7777/77

2020 con la cifra 8: 2020=(88+88+88)×8-88-8×8/(8+8)

2020 con el 9: 2020=999+999+(99+99)/9


Día 6

Hoy vamos de ascensos y descensos de cifras y de pandigitales para el 2020:
                             
Ascensos y descensos:

Cifras del 1 al 9: 2020=(1+234+56)×7-8-9

Cifras del 9 al 1: 2020=9×(8+7)×(6+5+4)-(3+2)×1
                             
Cifras del 1 al 12: 2020=-12+345×6-78+(9+1)(0+1)(1+1+2)
Cifras del 11 al 1: 2020=11×1×(0+9)(8+7+6)-54-3-2×1
Subida y bajada: 2020=(12+3+4)×(5!+6+7+8)-9-8×76-5-4-32-1


2020 con los pandigitales

2020=156×(3+8+4)-(9+7)×20
2020=6×(1+5)(3+8+49)-7×20
2020=(6+3+7+0)(12+89)/4×5
2020=4×562-9×(8+17+0)-3


Día 7

Hoy vamos de cubos

Comenzamos con una atractiva suma simétrica y alternada entre 6^3 y 7^3:

2020=7^3+6^3+7^3+6^3+7^3+6^3+7^3


Continuamos con cubos. Dos sumas de cinco sumandos con base entera:
2020=1^3+(-2)^3+3^3+10^3+10^3
2020=2^3+(-7)^3+8^3+8^3+11^3


Finalizamos con los cubos: Varias sumas con bases repetidas:

2020=1^3+1^3+1^3+7^3+7^3+11^3
2020=12^3+(-9)^3+7^3+7^3+7^3+(-2)^3
2020=12^3+7^3+(-3)^3+(-2)^3+(-2)^3+(-2)^3

Día 8

Hoy tocan desarrollos en sumas de potencias:

Sumas de cuatro cuadrados

2020 equivale a 48 sumas distintas de cuatro cuadrados cada una. Destacamos aquellas con bases números primos de dos cifras:
2020=11^2+13^2+19^2+37^2
2020=11^2+23^2+23^2+29^2
2020=13^2+13^2+29^2+29^2
2020 =13^2+19^2+23^2+31^2

2020 =17^2+19^2+23^2+29^2 (primos consecutivos)


Potencias cuartas

2020=1^4+1^4+2^4+3^4+5^4+6^4
2020=1^4+1^4+4^4+4^4+4^4+5^4+5^4




Potencias quintas para el 2020:

2020=4^5+4^5-2^5+1^5+1^5+1^5+1^5
2020=11^5+9^5+8^5+2^5+(-4)^5+(-4)^5+(-12)^5
2020=9^5+9^5+3^5+3^5+3^5+(-7)^5+(-10)^5



Potencias de exponentes decrecientes con suma igual a 2020:

2020=1^5+4^4+(-1)^3+42^2
2020=2^5+3^4+11^3+24^2
2020=2^5+4^4+12^3+2^2
2020=4^5+4^4+4^3+26^2


Día 9

No pueden faltar para el 2020 las sumas algebraicas de siete factoriales:
2020=6!+6!+6!-5!-4!+2!+2!                       
2020=6!+6!+6!-5!-4!+3!-2!


Y ahora, 2020 con cinco, seis o siete factoriales y cualquier operación:
2020=3!×8!/5!+2!+2!
2020=(4!×(3!+0!)×3!+2!)×2!
2020=7!-(3!+5!)×4!+3!-2!
2020=6!×3!/2!-4!-5!+2!+2!




A continuación, unos dígitos simétricos para formar el 2020:

               2020=5×(3+84+48)×3-5
               2020=5×(5+4)×45-5
               2020=(59+63+5+5+3)×(6+9)-5
               2020=(125+77)×5×2×1
               2020=(93+6+2)×(2+6+3+9)
                             

2020 generado por las cifras de los primeros primos:

Hasta el 19:

2020=2×(3+5+71+1+13+1+7)×(1+9)
2020=(2+3+5+71+113+1+7)×(1+9)
Hasta el 29:
2020=(2+3+571+1)×(1+3)-(1+7+1+9)×(2+3+2+9)


2020 con las cifras de los primeros pares y los primeros impares:

2020=2×46×(8+1+0+12+1)-4
2020=(24+68)×1×(0+1+21)-4
2020=1×(3+5+7)×9×1×(1+13+1)-5
2020=135×(7+9)-(1+1)×(13+1)×5


Día 10

2020 se puede formar con cuatro potencias de primos:

2020=2^2*(19^2+3^2*2^4)
2020=2^2*(2^6+3^2*7^2)
2020=2^11-2^2-5^2+3^0



2020 admite muchas descomposiciones en suma de tres potencias. He aquí algunas:
2020=2^9+2^10+22^2
2020=2^6+5^4+11^3
2020=3^5+2^8+39^2
2020=18^2+20^2+6^4




2020 admite 17 representaciones en suma algebraica de tres cuadrados. Destacamos algunas:
2020=18^2+20^2+36^2
2020=10^2+44^2-4^2
2020=14^2+43^2-5^2
2020 =30^2+34^2-6^2


El número 2020 solo presenta una descomposición del tipo m+n+m×n:
2020=42+46+42×46


Día 11

2020 es el resultado de otros tipos de suma además de los estudiados hasta ahora:

Sumas alternadas con exponentes heterogéneos (elegimos los más altos):
2020=38^2+2^9+2^6
2020=11^3+5^4+2^6
2020=2^10+2^9+22^2
2020=10^3+2^10-2^2
2020=39^2+3^5+2^8



Números triangulares

Suma y diferencia de dos:

2020=19×20/2+60×61/2
2020=406×407/2-401×402/2
2020=256×257/2-248×249/2


Todo número se puede expresar como suma de tres números triangulares (contando el 0). De 2020 destacamos cuatro casos:

2020=16×17/2+21×22/2+57×58/2
2020=20×21/2+40×41/2+44×45/2
2020=20×21/2+25×26/2+54×55/2
2020=27×28/2+33×34/2+46×47/2

Día 12

2020 es pitagórico de cuatro formas:
2020^2=400^2+1980^2
2020^2=868^2+1824^2
2020^2=1212^2+1616^2
2020^2=1344^2+1508^2


Los números oblongos son los del tipo N(N+1).
2020 puede escribirse como suma de ellos:

Dos oblongos
2020 =19×20+40×41

Tres
2020 es el resultado de ocho sumas de oblongos distintas. Las simétricas se publicarán otro día. Nos quedamos hoy con tres de ellas:
2020=22×23+26×27+28×29
2020=16×17+27×28+31×32
2020=10×11+25×26+35×36

Día 13

Una descomposición atractiva para 2020: los cubos de cinco números acompañados de los cuadrados correspondientes:
2020=2^3+2^2+4^3+4^2+6^3+6^2+8^3+8^2+10^3+10^2



2020 cumple la conjetura de Goldbach con 41 sumas distintas de dos primos cada una. Los pares más cercanos son:
2020=971+1049=929+1091=911+1109=…



Sumas simétricas para el 2020

De capicúas hay 6:
2020=999+22+999=909+202+909=808+404+808=707+606+707=606+808+606=9+2002+9

Seguimos mañana.

Día 14

Seguimos con las sumas simétricas para 2020:

De potencias enteras
2020=2^7+42^2+2^7


Sumas simétricas con números oblongos para 2020:
2020=19×20+35×36+19×20
2020=4×5+44×45+4×5
2020=40×41-35×36+40×41


2020 no se puede formar con una suma simétrica de tres cuadrados, pero sí de cinco, y  de siete formas distintas. Vemos cuatro de ellas:

2020=8^2+8^2+42^2+8^2+8^2
2020=1^2+19^2+36^2+19^2+1^2
2020=21^2+21^2+16^2+21^2+21^2
2020=8^2+28^2+18^2+28^2+8^2

Día 15

Comenzamos hoy el uso de las primeras cifras de los números importantes para formar el 2020:

2020 con las cifras de π

2020=(3+1)(4+1)(5+92+6)-(5+3)×5
2020=(3+1+4+15)×(9+26+53+5)-(8+9)×7
2020=314×(1+5)+(9+26)×5-3×5-8-(9+7)



2020 con el número e

2020=(2+7+18+28+18+28)×4×5
2020=2718-2-818-2+84+5×9+0×4-5
2020=271×8-(28+182)+(8+45)+9



El número áureo aporta sus cifras en la generación de 2020

2020 =1618+0+339+8×8-7-4+9-8+9
2020 =(161+8+0+3)(3+9)-(8+8+7+4+9+8)


Día 16

Seguimos usando las cifras de números notables para generar 2020:

Con la raíz de 2

2020=1×4×(1+4)×(2+1+3+56+2+37)
2020 =1414+213×(-5+6+2)-37+3+0!



Con la raíz de 3

2020=(17+3)×(2+0)×50+8+0+7+5



Con el número de plata

2020=2414-21-356-2×3-7-3-0!


Finalizamos con las cifras del número de bronce:

2020=3302-(77+56)×(3+7)+73-(1+99)/4



Día 17

Aún no hemos terminado los cálculos con el 2020

2020 equivale a diez productos cíclicos distintos. Destacamos tres: el primero contiene una igualdad (44=42+2) y los otros dos, un elemento repetido:

2020=44×42+42×2+2×44
2020=504×2+2×2+2×504
2020=96×10+10×10+10×96



La función PHI de Euler aplicada a 2020 da un valor de 800. Quiere decir que existen 800 números coprimos con 2020 y menores que él, incluido el 1.


2020 es la suma de los cuadrados de cuatro números primos consecutivos:

2020=17^2+19^2+23^2+29^2

Día 18

2020 equivale al producto de dos números primos consecutivos al que se le resta una unidad:

2020=Primo(14)×Primo(15)-1=43×47-1

2020 es el número de primos inferiores al cubo de 26, 17576


2020 tiene los mismos dígitos que 60 escrito en base 3: 60(10=2020(3





lunes, 16 de diciembre de 2019

Cadenas de Cunningham


Esta entrada se dedica a explicar los procedimientos para estudiar las cadenas de Cunningham con ayuda de la hoja de cálculo y del lenguaje PARI. Su definición y propiedades las puedes consultar en


Para comenzar nuestro trabajo, solo necesitamos conocer la generación de una cadena de este tipo:

Elegimos un número primo cualquiera.
* Lo sometemos a la recurrencia pi+1 = 2 pi + 1 (cadena de Cunnigham de primera especie) o bien a la  recurrencia pi+1 = 2 pi - 1 (cadena de        Cunningham de segunda especie) .  
* Interrumpimos la recurrencia cuando el resultado no sea primo.

Aquí solo estudiaremos las cadenas de primera especie, porque contienen las propiedades más interesantes.

Todos los elementos de una de estas cadenas serán primos de Sophie Germain salvo el último y todos serán primos seguros salvo el primero.


Una cadena de este tipo se llama completa si no se puede prolongar más, tanto con términos mayores como menores. Esas son las que estudiaremos aquí. Es fácil ver que el primer término no ha de ser “primo seguro”, pues (p-1)/2 no pertenece a la cadena y no es primo. Igualmente, el último no puede ser de Sophie Germain, porque 2p+1 no será primo.

En primer lugar crearemos una función que nos devuelva la cadena de Cunningham que se puede generar a partir un número primo, aunque este no sea el origen de una cadena completa, por ser a su vez generado por otro primo anterior. La función posee este código:

Function cunningham$(p)
Dim s$
Dim m

s$ = "" ‘Esta variable recibirá la cadena en modo texto
If esprimo(p) Then ‘Solo se trabaja con primos
m = 2 * p + 1 ‘Primer paso en la iteración
While esprimo(m) ‘Mientras sea primo, se continua
s$ = s$ + Str$(m) ‘Se recogen los elementos de la cadena
m = 2 * m + 1
Wend
End If
cunningham = s
End Function

Con esta función es fácil ver si un número primo produce una cadena de al menos dos elementos. Los primeros resultados son:


En esta tabla observamos algún detalle interesante:

Los inicios 2, 3, 5, 11, 23,…, como era de esperar, son primos de Sophie Germain, en los que si p es primo, 2p+1 también lo es. Los tienes en http://oeis.org/A005384.

Los finales de cadena son primos que no pertenecen a ese tipo, como el 7 y el 47. Vemos en la tabla cierres con 47, 107 o 167.

Las cadenas se solapan, porque 11 pertenece a una y genera otra. Para evitar esto, la condición de que el número inicial sea primo habrá de ser completada con la de que (p-1)/2 no lo sea (And Not esprimo((p - 1) / 2)). De esa forma crearemos cadenas completas, sin solapamientos. Añadimos esa condición a la función y obtenemos:


Ahora ya sí tenemos cadenas completas, en las que según la teoría, los inicios son primos de Sophie Germain pero no primos seguros, que es la condición que habrás leído en la teoría.

Estos inicios de cadenas los tienes en http://oeis.org/A059453.

Llama la atención que muchas cadenas solo tienen dos elementos. Para estudiar sus longitudes bastará cambiar el código de la función, de forma que devuelva esa variable. Podemos asignar un 0 a los números que no son posibles inicios y después, con el mismo algoritmo, devolver las longitudes de las cadenas en lugar de su contenido.

El nuevo código sería:

Function lcunningham$(p)
Dim s
Dim m

 If esprimo(p) And Not esprimo((p - 1) / 2) Then
s = 1
m = 2 * p + 1
While esprimo(m)
s = s + 1
m = 2 * m + 1
Wend
End If
lcunningham = s
End Function

Ahora la variable s cuenta los elementos en lugar de incorporarlos al texto. La nueva tabla sería esta:


Para estadísticas y clasificaciones es más útil que la que devuelve un texto. La podemos traducir a PARI.

lc(p)=my(c=0,m=2*p+1);if(p==2,c=5,if(isprime(p)&&!isprime((p-1)/2),c=1;while(isprime(m),c+=1;m=2*m+1)));c

Aquí asignamos un 5 al valor 2, para sacarlo del algoritmo general, y el resto es traducción del lenguaje de Excel.

Los inicios de la tabla anterior se pueden reproducir con

forprime(n=2,500,if(lc(n)>=2,print1(n,", ")))

Así resultan los primeros inicios:

2, 3, 29, 41, 53, 89, 113, 131, 173, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 419, 431, 443, 491,…

Sustituyendo lc(n)>=2 por otras condiciones, como lc(n)==2, lc(n)==3, lc(n)<5…podemos clasificar las cadenas según su longitud. Esto ya está estudiado, por lo que nos limitaremos a comprobar algunos resultados:

lc(n)==3

Nos resultan las cadenas de longitud 3, con inicios
41, 1031, 1451, 1481, 1511, 1811, 1889, 1901, 1931, 3449, 3491, 3821, 3911,…
Están recogidos en http://oeis.org/A059762.

lc(n)==5

2, 53639, 53849, 61409, 66749, 143609, 167729, 186149, 206369, 268049, 296099, 340919, 422069, 446609,

Observamos que entre 2 y 50000 no hay soluciones. Puedes estudiar estos números en http://oeis.org/A059764.

Si cambiamos la condición, es posible que los resultados no estén publicados.

lc(n)>=4

2, 89, 509, 1229, 1409, 2699, 3539, 6449, 10589, 11549, 11909, 12119, 17159, 19709, 19889, 22349, 26189, 27479, 30389, 43649,…

En efecto, al menos en OEIS no se recoge esta sucesión. No seguimos, porque se reduciría a una casuística.

Parece ser que se ha llegado a encontrar cadenas de 13 elementos (en el momento de escribir esto probablemente se habrá sobrepasado este número).

Con nuestras herramientas podemos encontrar los primeros números que son inicios de cadenas de longitud ocho. Los primeros son 19099919 y 52554569.

Con la función cunningham podemos encontrar esas cadenas:

19099919, 38199839, 76399679, 152799359, 305598719, 611197439, 1222394879, 2444789759.

52554569, 105109139, 210218279, 420436559, 840873119, 1681746239, 3363492479, 6726984959.

También hemos encontrado la primera cadena con nueve elementos:

85864769, 171729539, 343459079, 686918159, 1373836319, 2747672639, 5495345279, 10990690559, 21981381119.

Con hoja de cálculo no llegaremos más allá.

Estadísticas

Es curioso que el número de cadenas por intervalos se mantiene casi constante. En la siguiente tabla hemos estudiado intervalos de 5000 números, tomando nota del número de cadenas y el promedio de sus longitudes:

Total de cadenas y longitud media

De 1 a 5000                  597             1,20771
De 5001 a 10000          517             1,15474
De 10001 a 15000        481             1,18087
15001 a 20000              477             1,15304
20001 a 25000              462             1,13853
25001 a 30000              446             1,06867
30001 a 35000              458             1,12664
35001 a 40000              439             1,14806
40001 a 45000              433             1,13857
45001 a 50000              432             1,12269

Observamos una gran semejanza en los datos, con ligera tendencia a disminuir.
Se observa la misma tendencia si los intervalos tienen longitud 50000:

De 50000 en 50000
De 2 a 50000               4742           1,15099
De 50001 a 100000     4180           1,13254
De 100001 a 150000   4005           1,12784
150001 a 200000         3886           1,11863

Se deja como propuesta comparar estos datos con las distribuciones de números primos y de los de Sophie Germain.