La hoja de cálculo ayuda a razonar

Recientemente, en el blog Problemas matemáticos , se ha publicado este elegante problema:

Dado un número cualquiera, llamamos MFI de ese número a su mayor divisor impar. Así, el MFI de 12 es 3, y el MFI de 15, es 15. Por cierto, que hay números, como el 8, que tienen por MFI a 1.

Demuestra que la suma de los MFI de los números n + 1, n + 2, ..., 2n de cualquier entero positivo n siempre da n².

Puedes comprobarlo con cualquier número, si no te lo crees.

¿Podrás convencer a todo el mundo de que sucede de verdad para todos los números?

Como por mi edad tengo las neuronas bastante trabajadas :-), me quise ayudar de la hoja de cálculo para resolverlo.

La solución dada n² me dio la pista de que aparecerían todos los números impares desde 1 hasta n. Para comprobarlo creé para OpenOffice.org Calc la siguiente función para determinar el MFI de cualquier número:

public function mayordivimp(a1) as long

dim a,n, max as long

a=int(abs(a1))

if a=0 then max=0

if a=1 then max=1

if a>1 then

max=1

for n=1 to a step 2

if a/n = int(a/n) then max=n

next n

end if

mayordivimp=max

end function

Con ella creé tablas de dos columnas entre n y 2n para varios valores de n, escribiendo en la primera el número y en la segunda su mayor divisor impar

14 7

15 15

16 1

17 17

18 9

19 19

20 5

21 21

22 11

23 23

24 3

25 25

26 13

Teniendo a la vista este tipo de tablas se observa que en ellas figuran todos los impares desde 1 hasta 2n+1, luego mi sospecha estaba justificada. ¿Por qué ocurre esto?

La causa es que todo número n se puede expresar como n=MFI.2^p, y esto produce dos hechos: Todos los impares menores que n figurarán con seguridad en la lista de MFI entre n+1 y 2n y además una sola vez.

(a) Que figuran una sola vez es fácil de ver, pues si h.2^p figura en la lista desde n+1 hasta 2n, su siguiente número del mismo tipo sería el doble n=MFI.2^p+1, y sería mayor que 2n.

(b) Que deban figurar todos se deduce de que para cualquier número menor que n, al multiplicarlo por 2, 4, 8, etc., siempre será posible que el múltiplo formado esté en el intervalo pedido n+1 a 2n. Omito los detalles.

Este ejemplo ilustra la dificultad que a veces se tiene de "ver" los componentes de un problema. Al comprobar con la hoja de cálculo que la lista contenía todos los números impares deseados, fue mucho más simple investigar la causa.

(Continuará)