Terna pitagórica en la que el perímetro es múltiplo de uno de los catetos.

Hace unas semanas tuve ocasión de estudiar la terna pitagórica (9, 40, 41) y me llamó la atención el hecho de que la medida del cateto 9 dividía al perímetro 9+40+41=90. Me pregunté si existían muchos números con esa propiedad. Aquí tenéis mis búsquedas y razonamientos.

Al principio creí que sería un hecho más bien extraordinario, pero después de las primeras búsquedas me di cuenta de que existen muchos casos de este tipo, aunque son más abundantes aquellos en los que el perímetro no es múltiplo de ninguno de los catetos.

Solo tiene interés estudiar las ternas primitivas, en las que los tres lados son primos entre sí, porque si se cumple en una primitiva, también se cumplirá en sus derivadas, porque tanto el perímetro como los lados se multiplican por el mismo número, con lo que el carácter de múltiplo se conserva.

La primera terna en la que se cumple esto es la (3, 4, 5). Su perímetro es 12, y es múltiplo de 3 y 4.

La siguiente es (5, 12, 13), porque P=5+12+13=30, que es múltiplo de 5 (pero no de 12)

La primera terna en la que no se cumple es la (20, 21, 29), ya que el perímetro es 70, que no es múltiplo ni de 20 ni de 21.

Sospechamos, pues, que ninguno de los dos casos contrarios es excepcional.

Función de búsqueda

Hay dos formas de construir ternas primitivas. Una de ellas es la tradicional de buscar expresiones del tipo (2mn, m²-n², m²+n²) con m y n primos entre sí y paridad distinta. Esta forma la dejamos para más adelante. Hemos visto que el algoritmo correspondiente no gana mucha velocidad.

(Ver este procedimiento en  https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica)

La otra forma es la que no usa esa teoría. Para una posible hipotenusa n, se descompone su cuadrado, si es posible, en suma de otros dos cuadrados enteros, y si las bases son primas entre sí y además el perímetro es múltiplo de uno al menos de los catetos, se cumplirá lo exigido. Lo plasmaremos en VBasic de Excel y más tarde en PARI.

Para Excel podemos usar la siguiente función de tipo texto. Su nombre recuerda cómo iniciamos la entrada, con un cateto 9 que dividía al perímetro 90.

Public Function cateto_div_terna$(n) 'n es la hipotenusa de la terna estudiada

Dim a, b, c, p, j, k

Dim s$

Dim noes As Boolean

 

a = n ^ 2 ‘Descomponemos n^2 en dos cuadrados

j = 1

b = 1: c = a - 1

s$ = ""

noes = True

j = 1 ‘Es la base del primer cuadrado

While j < n And noes

b = j ^ 2: c = a - b

If escuad(c) Then ‘Segundo cuadrado posible

k = Sqr(c)

p = n + j + k ‘Perímetro

If (p Mod j = 0 Or p Mod k = 0) And mcd(mcd(j, k), n) = 1 Then noes = False: s$ = Str$(n) + Str$(j) + Str$(k) + Str$(p)

‘La condiciones son que p sea múltiplo de j y de k y que todos sean primos entre sí.

Si se cumplen se recoge la solución en s$.

End If

j = j + 1

Wend

cateto_div_terna = s

End Function

 

Con esta función no es difícil recorrer números, quedarnos con la hipotenusa y reconstruir la terna. Aquí tienes las primeras soluciones:

Si continuamos buscando, llegaremos a una lista más extensa:

5, 13, 17, 25, 37, 41, 61, 65, 85, 101, 113, 145, 181, 197, 221, 257, 265, 313, 325, 365, 401, 421, 481, 485, 545, 577, 613, 677, 685, 761, 785, 841, 901, 925, 1013, 1025, 1105, 1157, 1201, 1297, 1301, 1405, 1445, 1513, 1601, 1625, 1741, 1765, 1861, 1937, 1985, 2113, 2117, 2245, 2305, 2381, 2501, 2521, 2665, 2705, 2813, 2917, 2965, 3121, 3137,

 La versión en PARI es una simple traducción de la de Excel. 

ok(k)={my(a=k^2,j=1,b=1,c=a-1,l,p, m=0);while(j<k&&m==0,b=j^2;c=a-b;if(issquare(c),l=sqrtint(c);p=k+j+l;if((p%j==0||p%l==0)&&gcd(gcd(j,l),k)==1,m=1));j+=1);m}

for(i=1,2000,if(ok(i),print1(i,", ")))

Su resultado coincide, como era de esperar, con el obtenido en Excel:

Hemos recorrido listas de ternas primitivas para seleccionar las que cumplen lo exigido, y se llega al mismo listado.

Estudio teórico

Tras la búsqueda a ciegas podemos plantearnos un estudio más profundo. Nos basaremos en la clásica fórmula de generación de ternas primitivas:

(2mn, m²-n², m²+n²) con m y n coprimos y de distinta paridad.

En ese caso el perímetro P tendrá la fórmula P=2mn+m²-n²+ m²+n²=2m(m+n)

Se pueden dar tres casos:

1) El perímetro es múltiplo del cateto par

2m(m+n)/(2mn)=(m+n)/n=m/n+1

Al ser m y n coprimos y de distinta paridad, para que sea múltiplo ha de ser n=1 y m=2r, con lo que hipotenusa será m²+n²=4r²+1.

El perímetro será 4r+4r²+1+4r²-1=8r²+4r=4r(2r+1) y pertenecerá a http://oeis.org/A033586 y la diferencia entre hipotenusa y cateto mayor será de dos unidades.

Puedes verificar que todas las soluciones en las que el perímetro es múltiplo del cateto impar tienen esta forma. Así ocurre con el ejemplo con el 17, que forma la terna (8, 15, 17), en la que 17=4*2²+1, el perímetro es 8+15+17=40, que es múltiplo de 8.

Por tener esta expresión, las hipotenusas correspondientes pertenecerán a http://oeis.org/A053755 y las primeras serán 5, 17, 37, 65, 101, 145, 197, 257, 325, 401,…

2) El perímetro es múltiplo del cateto impar

En ese caso hay que estudiar el cociente 2m(m+n)/(m²-n²)=2m/(m-n)=2+2n/(m-n), lo que obliga a que 2n/(m-n) sea entero. El denominador m-n ha de ser impar, luego ha de dividir a n y n/(m-n)=t será entero. Se deduce que n=(m-n)t; n(t+1)=m*t; n/t=m/(t+1)=k, lo que lleva a que k=1, pues en caso contrario, m y n no serían primos entre sí. Por tanto queda que n=t y m=t+1, es decir, que m y n son consecutivos. La hipotenusa quedaría como (n+1)^2+n^2.

Esto ocurre en el ejemplo del principio de esta entrada, (9, 40, 41): 41=5²+4², 9=5²-4²; 40=2*4*5, y 41+40+9=90 es múltiplo del cateto impar.

Las hipotenusas de este tipo pertenecen a http://oeis.org/A001844

La terna quedará: (2mn, m²-n², m²+n²)=(2n²+2n, 2n+1, 2n²+2n+1) y serán consecutivos la hipotenusa y un cateto

El perímetro será 2(n+1)(2n+1) y pertenecerá a http://oeis.org/A002939

Estos dos casos cubren toda la sucesión de hipotenusas que estamos estudiando.

Esto da lugar a otra función alternativa más rápida:

Public Function cateto2_div_terna(n) 'Da la hipotenusa para que el perímetro sea divisible

Dim b, c, j, k, a

Dim es As Boolean

 

j = 1

a = j ^ 2

es = False

While a < n And Not es

b = n - a

If escuad(b) Then ‘Se descompone n en suma de dos cuadrados

c = Sqr(b)

If c < j And (c = 1 And a Mod 2 = 0 Or Abs(j - c) = 1) Then es = True ‘Las dos condiciones

End If

j = j + 1: a = j ^ 2

Wend

cateto2_div_terna = es

End Function

 

Es interesante la intersección entre los dos casos:

3) El perímetro es múltiplo de los dos catetos

Es el caso del 5 y del 145, que cumplen las dos condiciones estudiadas. Es decir, en ellos se dará que

4r²+1=(n+1)^2+n^2

5=4*1²+1=2²+1²

145=4*6²+1=9²+8²

Desarrollando y despejando 4r² tenemos: n²+2n+1+n²-1=2(n²+n) ha de ser un cuadrado (que será par con seguridad) y la hipotenusa una unidad mayor. Aquí tienes los primeros:

Resultan ser elementos de http://oeis.org/A076218, pero con una definición alternativa.

 Si te gustan las ecuaciones diofánticas, puedes plantear lo siguiente:

 (n+1)²+n²=4r²+1; 2n²+2n+1=4r²+1; 4n²+4n+2=8r²+2; (2n+1)²-8r²=1.

 Esta es una ecuación de Pell, y la puedes resolver con nuestra hoja de cálculo

 http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.xls

 

 Los valores de X serán, según lo visto más arriba, iguales a 2n+1. Si les restamos 1 y los dividimos entre 2, resultarán los índices de la tabla de arriba y las soluciones serán del tipo n²+(n+1)²:

 

 Esta tabla completa el estudio, que ha resultado con más base teórica de la que podía pensarse al inicio de las búsquedas.

 

Media contraarmónica entera

 

 Al cociente (a²+b²)/(a+b) se le suele llamar media contraarmónica de a y b (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Contraharmonic_mean). Si a y b son enteros (estudiaremos solo  los positivos) podemos preguntarnos si esta media es también entera.

En la página direccionada más arriba podrás descubrir que esa media y la media armónica son equidistantes de la media aritmética, siendo la armónica la de menor valor. Lo expresamos:

Si resta cada una de la anterior observarás que esa diferencia equivale a

La tercera es la media armónica, que es el inverso de la media aritmética de los inversos de a y b. Puedes estudiarla en 

https://es.wikipedia.org/wiki/Media_arm%C3%B3nica

Lo repasamos con un ejemplo, a=30, b=20. Los valores de estas medias serían:

Contraarmónica: (30²+20²)/(30+20)=26 (hemos elegido el ejemplo con valor entero)

Aritmética: (30+20)/2=25

Armónica: 2*20*30/(20+30)=24

Hemos comprobado que los tres valores son equidistantes.

También cumplen unas proporciones interesantes. Si llamamos mc a la contraarmónica y mh a la armónica se cumple:

En el ejemplo, 30/20=3/2; (30-24)/(24-20)=(26-20)/(30-26)=6/4=3/2

Puedes repasar estas proporciones en el documento 

https://oeis.org/A210494/a210494.pdf

 

Media contraarmónica entera para un a dado y b máximo

Ya podemos entrar en el estudio que nos hemos propuesto, y es investigar para qué pares la media contraarmónica es entera. Como para cada valor de a pueden existir varias soluciones para b, nos vamos a dedicar tan solo a los valores de b que sean máximos, pero menores que a.

En principio, encontrar esos pares de valores no parece complicado. La siguiente función nos lo facilita. La idea es recorrer, para cada n, el mayor valor de k que cumpla esa condición. Buscamos el mayor porque puede abrir rutas hacia otras cuestiones, y porque suelen aparecer varias soluciones. Hemos cambiado la notación de a y b a n y k, para destacar que lo trataremos todo como una propiedad de n.

Public Function divsumapote(n)

Dim k, a

a = 0

For k = 1 To n - 1

If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0 Then a = k

Next k

divsumapote = a

End Function

 

El interés de este algoritmo está en la quinta línea. En primer lugar nos preguntamos If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0, o dicho de otra forma, si se cumple la media contraarmónica de n y k es entera. En ese caso le damos a la variable a el valor de k correspondiente, pero como el bucle de cálculo continúa, ese valor de a llegará lo más alto posible, devolviéndonos así el máximo valor de k. Si ese valor es 0, el número n elegido no cumple esa condición.

Con esta función hemos encontrado los primeros valores de n y k que tienen su media contraarmónica entera:

Los valores de n ya están publicados, aunque con una orientación diferente, en http://oeis.org/A005279

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132,…

Por ejemplo, 42 y 30 figuran en nuestra tabla porque

Mc(42,30)=(42²+30²)/(42+30)=37

Si esta media es entera, la armónica también lo será. Se puede demostrar con este desarrollo:

Si el primer miembro es entero, el último término también lo será, y resulta que se trata de la media armónica. En el ejemplo:

Si 37 es entero, la media armónica será 42+30-37=35, también entero.

Así que si la media contra armónica es entera, también lo será la armónica (y a la inversa), con lo que la aritmética será entera o un  racional con denominador 2.

Por ejemplo, con 45 y 36, las medias son: mc=(45²+36²)/(45+36)=41, mh=2*45*36/(45+36)=40 y ma=(45+36)/2=40,5=81/2

 Si 2ab/(a+b) es entero h, será 1/h=(a+b)/2ab=1/2b+1/2a

Esta expresión relaciona tres fracciones egipcias unitarias.

En nuestra entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/02/suma-y-diferencia-de-fracciones.html dedicamos muchas líneas para demostrar que el denominador de una fracción egipcia unitaria que es diferencia de otras dos del mismo tipo debía tener dos divisores d y e tales que d<e<2d. Por tanto, eso le debe ocurrir a 2a, ya que

Esto explica que en la sucesión que hemos descubierto para a se defina así en OEIS: “Numbers having divisors d,e with d < e < 2*d”

Por ejemplo, 42 posee los divisores 6 y 7 que cumplen 6<7<6*2.

Esto también explica el hecho de haber encontrado números primos entre los valores de a ni ninguna de sus potencias.

 

Pertenencia de los números hexagonales

Estos números se obtienen con la fórmula H(n)=n(2n-1). Esto nos garantiza que cumplen la condición del párrafo anterior. En efecto, si repasamos los dos listados, el de números hexagonales (http://oeis.org/A000384) y el de los números que hemos obtenido (http://oeis.org/A005279) se tendrá:

Hexagonales( sin el cero y el 1): 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496,

Nuestros: 6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132, 135, 138, 140, 143, 144, 150, 153,

Hemos destacado en negrita los hexagonales dentro de la otra sucesión.

Lo podemos ver de forma algebraica: H=n(2n-1) forma un par con K=(n-1)(2n-1) y queda:

Efectivamente, es un entero. Por ejemplo:

45=5*(2*5-1) es hexagonal y K=(5-1)(2*5-1)=36

La media mc sería (45²+36²)/(45+36)=41, que coincide, como hemos visto, con 5²+(5-1)²