Llamaremos logaritmo entero de un número natural a la suma de todos sus factores primos, contando sus repeticiones. Se suele representar por la función sopfr(n). Así, sopfr(28)=2+2+7=11, sopfr(30)=2+3+5=10, sopfr(64)=2*6=12. El valor más pequeño corresponde a sopfr(1)=0 y los máximos coinciden con los números primos, como es evidente. Aquí tienes la gráfica de esta función para los primeros números, en la que se perciben dichos máximos:
Se le llama logaritmo porque posee la propiedad aditiva: sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b). Se cumple por el hecho de contar las repeticiones de los factores primos. Si se contaran una sola vez, esta propiedad sólo se verificaría si los números fueran primos entre sí y daría lugar a otra función que se representa por sopf(n).
Podemos estudiar tres cuestiones:
(a) La función sopfr nunca sobrepasa el valor de su argumento, es decir, n>=sopfr(n). No es difícil demostrarlo. Se da la igualdad en el número 1, el 4 y en los números primos. Después considera que si k=m*n (no necesariamente primos) y alguno de los dos factores es mayor que 2, se cumple que k>m+n. Finalmente, aplicas esta propiedad de forma reiterada a las descomposiciones en un número creciente de factores hasta llegar a los primos.
(b) Si sopfr(n) es menor o igual que n, se podrían buscar los números que son divisibles entre su logaritmo entero. No hay muchos. Sin contar los números primos, en cuyo caso la divisibilidad es en realidad una identidad, entre los 1000 primeros números sólo hay 42 que sean divisibles entre su logaritmo entero, y entre los 10000 primeros hay 201. Entre ellos sólo en un caso es además su raíz cuadrada ¿En cuál?
(c) En los casos anteriores, si sopfr(n) divide a n, y n no es primo, tampoco lo es sopfr(n) ¿Sabrías demostrarlo? El razonamiento es fácil. Sin embargo, si suprimimos la condición de divisibilidad, el logaritmo entero puede ser primo, y de hecho lo es en multitud de casos. Por ejemplo, entre los 1000 primeros, el valor 19 es el que más se repite.
(Continuará)
Se le llama logaritmo porque posee la propiedad aditiva: sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b). Se cumple por el hecho de contar las repeticiones de los factores primos. Si se contaran una sola vez, esta propiedad sólo se verificaría si los números fueran primos entre sí y daría lugar a otra función que se representa por sopf(n).
Podemos estudiar tres cuestiones:
(a) La función sopfr nunca sobrepasa el valor de su argumento, es decir, n>=sopfr(n). No es difícil demostrarlo. Se da la igualdad en el número 1, el 4 y en los números primos. Después considera que si k=m*n (no necesariamente primos) y alguno de los dos factores es mayor que 2, se cumple que k>m+n. Finalmente, aplicas esta propiedad de forma reiterada a las descomposiciones en un número creciente de factores hasta llegar a los primos.
(b) Si sopfr(n) es menor o igual que n, se podrían buscar los números que son divisibles entre su logaritmo entero. No hay muchos. Sin contar los números primos, en cuyo caso la divisibilidad es en realidad una identidad, entre los 1000 primeros números sólo hay 42 que sean divisibles entre su logaritmo entero, y entre los 10000 primeros hay 201. Entre ellos sólo en un caso es además su raíz cuadrada ¿En cuál?
(c) En los casos anteriores, si sopfr(n) divide a n, y n no es primo, tampoco lo es sopfr(n) ¿Sabrías demostrarlo? El razonamiento es fácil. Sin embargo, si suprimimos la condición de divisibilidad, el logaritmo entero puede ser primo, y de hecho lo es en multitud de casos. Por ejemplo, entre los 1000 primeros, el valor 19 es el que más se repite.
(Continuará)
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