viernes, 22 de enero de 2016

Los interprimos (1)

Los interprimos

Se llaman “interprimos” a los números naturales que son media de dos primos consecutivos. El conjunto de estos números es amplísimo, y se puede descomponer en diversos subconjuntos interesantes, la mayoría ya publicados.

Los primeros interprimos son

4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 26, 30, 34, 39, 42, 45, 50, 56, 60, 64, 69, 72, 76, 81, 86, 93, 99, 102, 105, 108, 111, 120, 129, 134, 138, 144,…y están publicados en https://oeis.org/A024675.

Basta estudiar la lista para darse cuenta de que hay entre ellos cuadrados (A075190), como 81 y 144, pares (A072568) e impares (A072569), triangulares (A130178), como el 6 y el 15, semiprimos (A078443), como el 21, y muchos más tipos. Sólo los que son potencias ocupan muchas páginas de OEIS (A075190, A075191, A075192, A075228, A075229,…)

Visita la página http://oeis.org/wiki/Interprimes y te abrumará la cantidad de variantes que presentan los interprimos.

Quedan pocas posibilidades para explorar, pero alguna habrá por ahí.

Evidentemente, un interprimo no puede ser primo, pues entonces los dos primos no serían consecutivos.

Casi todos los interprimos son múltiplos de 2 o de 3, pero no todos (que es lo que afirma Wikipedia), ya que hemos encontrado este contraejemplo: 803 es interprimo entre 797 y 809, y no es múltiplo ni de 2 ni de 3, ya que 803=11*73.

De hecho, están publicados los interprimos que no lo cumplen:

205, 217, 473, 515, 625, 667, 803, 1003, 1207, 1243, 1313, 1465, 1505, 1517, 1537, 1681, 1715, 1795, 1817,… https://oeis.org/A072573

Interprimos entre primos gemelos

Entre ellos son interesantes los que son media de dos primos gemelos:

4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138, 150, 180, 192, 198, 228, 240, 270, 282, 312, 348,… https://oeis.org/A014574

Salvo el primero, todos son múltiplos de 6, ya que los primos gemelos han de tener la forma 6k-1 y 6k+1 (salvo 3 y 5), con lo que la media será 6k. Este mismo hecho demuestra también que el interprimo es la raíz cuadrada del producto de los dos primos más una unidad:

(6k-1)(6k+1)+1=36k2=(6k)2

Según esto, (6k)2-1 es un semiprimo, pues sólo tiene como factores 6k-1 y 6k+1. Esta puede ser una definición alternativa para estos interprimos. Lo puedes comprobar con PARI

{for(i=1,10^3,m=i*i-1;if(!issquare(m)&&bigomega(m)==2,print1(i,", ")))}

Te devuelve la misma sucesión, pero con la definición de números tales que n2-1 es un semiprimo.

Interprimos entre primos “cousin” y “sexy”

Los primos “cousin” son los que se diferencian en 4 unidades. Sus promedios son estos:

5, 9, 15, 21, 39, 45, 69, 81, 99, 105, 111, 129, 165, 195, 225, 231, 279, 309, 315, 351, 381, 399, 441,… https://oeis.org/A087679

Si los anteriores eran todos múltiplos de 6, salvo los primeros, estos lo serán de 3 y no de 6. La razón es que los primos que se diferencian en 4 unidades han de tener la forma 6k+1 y 6k+5, con lo que el promedio será (12k+6)/2=6k+3.

Si el par de primos es “sexy”, es decir, que se diferencian en 6 unidades, sus interprimos son:

26, 34, 50, 56, 64, 76, 86, 134, 154, 160, 170, 176, 236, 254, 260, 266, 274, 334, 356, 370, 376, 386,… https://oeis.org/A072571

En este caso, para que diferencien en 6, los primos han de ser 6k+1 y 6(k+1)+1 o bien 6k+5 y 6(k+1)+5. Y los promedios 6k+4 o 6(k+1)+2, luego estos interprimos son todos pares, pero no múltiplos de 3.

Algunos tipos curiosos de interprimos

Ya hemos destacado que existen interprimos cuadrados (A075190). También los hay triangulares (A130178)

Interprimos cuadrados

Son los siguientes:

4, 9, 64, 81, 144, 225, 324, 441, 625, 1089, 1681, 2601, 3600, 4096, 5184, 6084, 8464, 12544, 13689, 16641, 19044, 19600, 25281, 27225, 28224, 29584, 36864, 38025, 39204, 45369,…( http://oeis.org/A069495)

Salvo el primero, asociado a los primos gemelos 3 y 5, ningún otro será media de este tipo de primos, pues estos tendrían la expresión n2-1 y n2+1, y el primero no es primo para n>3, por ser igual a (n+1)(n-1). El mismo razonamiento nos vale para afirmar que la diferencia entre el cuadrado dado y sus primos próximos no puede ser un cuadrado k2, pues el anterior sería n2-k2=(n+k)(n-k), no primo. De hecho, estas son las primeras diferencias entre el interprimo cuadrado y el primo más próximo:


Vemos que ninguna es un cuadrado. En ocasiones similares nos hemos preguntado si se recorrerán todas las diferencias posibles, en este caso no cuadradas. Vemos 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12,…¿Estarán todas? Hemos creado una función para averiguarlo. Si no te interesa la programación, ignora el código que se inserta a continuación:

Public Function difcuad(d) ‘Busca el primer cuadrado interprimo con diferencia d
Dim i, n, d1, d2, n0
Dim novale As Boolean

i = 1 ‘Contador de búsqueda
n0 = 0 ‘En el inicio damos el valor 0 a la función por si fracasa la búsqueda
novale = True ‘Variable para controlar el fin de la búsqueda
While i < 10 ^ 5 And novale ‘El tope de 10^5 es arbitrario. Si salen ceros habrá que aumentarlo
n = i * i ‘Se construye un cuadrado
d1 = n - primant(n) ‘Se analizan sus diferencias con los primos próximos
d2 = primprox(n) - n
If d1 = d And d2 = d Then n0 = n: novale = False ‘Si es interprimo, se toma nota y paramos
i = i + 1
Wend
difcuad = n0 ‘La función devuelve el primer cuadrado con la diferencia pedida.
End Function

Con esta función hemos creado una tabla, en la que a cada diferencia (no cuadrada) se le asigna el primer cuadrado n2 tal que sea interprimo y su diferencia con los primos próximos sea la dada:



Observamos que hasta el 37 todas las diferencias se corresponden con un cuadrado. A partir de ahí, el cálculo se ralentiza, aunque es de esperar que todas las diferencias no cuadradas tengan una imagen en esta función. Si quieres experimentar por tu cuenta, usa este programa en PARI

difcuad(n)= { local(i=2,m,v=0,p,q);
while(v==0&&i<10^6,m=i*i; p=m-precprime(m-1);q=nextprime(m+1)-m;if(p==n&&q==n,v=m);i+=1)
;return(v) }
{x=difcuad(50);print(x);print(sqrt(x))}

Sustituye el 50 por otro número cualquiera, y si el resultado es 0, cambia 10^6 por una potencia mayor. Aunque PARI es rápido, puedes tener que esperar un poco. Si nuestra conjetura es cierta, al final obtendrás un cuadrado.

Interprimos triangulares

Existen también números triangulares que son interprimos. Los primeros son estos:

6, 15, 21, 45, 105, 120, 231, 300, 351, 465, 741, 780, 861, 1176, 1431, 1485, 3081, 3240, 3321, 3828, 4005, 4278, 5460, 6786, 6903, 7140, 7381, 7503, 7875, 8001, 10731, 11175, 11325, 11781, 12246, 12561,…( http://oeis.org/A130178)

Casi todos ellos son múltiplos de 2, 3 o ambos, pero no todos. Una excepción es 7381=11*11*61, interprimo entre 7369 y 7393.

No hemos encontrado interprimos triangulares cuya diferencia con sus primos próximos sea también triangular, salvo el caso trivial de 6 con 5 y 7.

lunes, 11 de enero de 2016

Volvemos a los números AROLMAR (2) Diferencias


En una entrada anterior, cuya lectura previa recomendamos,

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html

se desarrollaron algunas técnicas para la búsqueda e identificación  de los números arolmar (aquellos números compuestos que tienen todos sus factores primos distintos (son números libres de cuadrados) y el promedio de esos factores es un número primo). En esta buscaremos propiedades y curiosidades sobre ellos.

Todos son impares

No puede haber números pares en esta sucesión arolmar, porque en ese caso uno de los factores primos sería 2 (elevado a la unidad por ser libres de cuadrados) lo que daría lugar a lo siguiente:

Si el 2 está acompañado de un número impar de primos impares, su suma con el 2 sería impar, y al hallar el promedio deberíamos dividir entre un número par, lo que produciría un promedio no entero. Si el número de factores primos que acompañan al 2 es par, la suma de todos sería par, pero habría que dividir entre un impar, con lo que, en el caso de media entera, esta sería par y no prima.

No obstante este razonamiento, hemos generado términos hasta altas potencias de 10 sin encontrar ningún par, como era de esperar.

Estudio de las diferencias

Podemos encontrar números arolmar que se diferencien en un número par dado 2K. Así podemos encontrar, por ejemplo números arolmar gemelos (que se diferencien en 2 unidades). Usaremos esta función para ver si N y N+2K son ambos del tipo arolmar:

Public Function aroldif(n, k) As Boolean
If esarolmar(n) And esarolmar(n + 2 * k) Then aroldif = True Else aroldif = False
End Function

(Tienes la descripción de la función esarolmar en la anterior entrada citada)

Si formamos un bucle con todos los números naturales hasta un tope y una diferencia dada, se nos devolverán aquellos números N del tipo arolmar tales que N+2k también lo sea.

Números arolmar gemelos

Si hacemos k=1 y pasamos la función anterior a un conjunto de números, obtendremos la lista de los números arolmar gemelos. Son estos:


En las dos primeras columnas tenemos los pares de números arolmar gemelos, en las siguientes su descomposición en factores primos, y en las últimas, los promedios primos de sus factores. Los hemos incluido para que se destaque que aparecen valores promedio bastante alejados, especialmente si el número de primos en la descomposición es diferente en ellos.

También se observa que ambos gemelos han de tener factores primos diferentes. Si hubiera uno igual en ambos, al sacarlo factor común veríamos que la diferencia debería ser mayor que 2. Destacamos en la tabla el par (5883,5885), que produce primos promedio muy cercanos, 31 y 41.

Como estas entradas van de curiosidades en gran parte, incluimos ahora conjuntos de cuatro impares consecutivos, en los que los dos primeros son del tipo arolmar y los últimos primos gemelos:

Arol,    Arol,   Primo, Primo
3367,   3369,   3371,   3373
5017,   5019,   5021,   5023
15637, 15639, 15641, 15643
16645, 16647, 16649, 16651
23737, 23739, 23741, 23743
42277, 42279, 42281, 42283
48307, 48309, 48311, 48313
52285, 52287, 52289, 52291
52357, 52359, 52361, 52363
91093, 91095, 91097, 91099

Por su magnitud vemos que no parece ser un caso infrecuente, y que surgirán más en números mayores.

También existen conjuntos similares, pero con los dos primos gemelos anteriores a los gemelos arolmar:

Primo,   Primo,   Arol,      Arol
5879,     5881,     5883,     5885
59357,   59359,   59361,   59363
82529,   82531,   82533,   82535
116189, 116191, 116193, 116195
121439, 121441, 121443, 121445
122609, 122611, 122613, 122615
152039, 152041, 152043, 152045
192629, 192631, 192633, 192635
206909, 206911, 206913, 206915
223829, 223831, 223833, 223835

Y ya, por terminar, situaremos a los arolmar en el centro y los primos en los extremos:

Primo, Arol,    Arol,    Primo
7681,   7683,   7685,   7687
10831, 10833, 10835, 10837
23167, 23169, 23171, 23173
27067, 27069, 27071, 27073
28387, 28389, 28391, 28393
30631, 30633, 30635, 30637
33311, 33313, 33315, 33317
33931, 33933, 33935, 33937
37561, 37563, 37565, 37567

Os invitamos a encontrar otras posibilidades.

Números arolmar cousin (se diferencian en 4)

Usando la misma técnica que con los gemelos, podemos encontrar pares (N, N+4) entre los arolmar. Los primeros son:




Al igual que los anteriores, estos tampoco pueden tener factores primos comunes, pues en ese caso la diferencia no podría ser 4. Predominan los pares en los que uno de los términos es múltiplo de 3, con pocas excepciones, como 19561=31*631 y 19565=5*7*13*43. Como ambos son impares, si el primero es múltiplo de 3 se cumplirá que el segundo es del tipo 6k+1. Basta desarrollar 3*(2m+1)+4=6m+7=6k+1. Si el múltiplo de 3 es el segundo, el primero será 3*(2m+1)-4=6m-1

Los arolmar sexy

En los pares (N,N+6) sí puede existir el factor común 3, y es un caso que se presenta frecuentemente:



Como en casos similares, nos podemos preguntar si existirán pares con cualquier diferencia par que imaginemos. En la tabla siguiente hemos reflejado la primera aparición de dos números arolmar con diferencia 2k igual al doble de la dada k.



Podemos confiar en que sea verdadera la conjetura de que para una diferencia dada 2k siempre existirá un par de números arolmar con esa diferencia.

Hemos proseguido con PARI y para las primeras 1000 diferencias pares nos resultan números arolmar no excesivamente grandes.

913, 129, 231, 85, 195, 21, 217, 69, 177, 85, 195, 33, 205, 57, 597, 145, 231, 21, 445, 93, 195, 85, 889, 21, 145, 33, 177, 253, 195, 33, 133, 21, 129, 145, 195, 21, 553, 57, 231, 133, 483, 21, 145, 57, 105, 85, 1239, 33, 133, 33, 93, 133, 1239, 21, 85, 21, 195, 133, 663, 57, 505, 21, 69, 85, 663, 85, 493, 69, 57, 253, 793, 33, 85, 57, 483, 85, 627, 21, 469, 57, 33, 85, 627, 69, 493, 33, 21, …

Ello puede ser debido a la tendencia prácticamente lineal de los números arolmar.

Ternas de números arolmar gemelos

Ya hemos adivinado que los números que estudiamos son más asequibles que los primos para ciertas propiedades. Por ejemplo, podemos encontrar muchas ternas de números arolmar con diferencia igual a 2:

4713,   4715,   4717
12813, 12815, 12817
26941, 26943, 26945
27861, 27863, 27865
46293, 46295, 46297
56013, 56015, 56017
57757, 57759, 57761
63969, 63971, 63973
66009, 66011, 66013…

Dejamos a los lectores su búsqueda, así como otras estructuras similares. Sólo daremos algún otro ejemplo destacado.

663243, 663245, 663247, 663249, es una cuaterna de números arolmar gemelos. Aquí tienes el desarrollo:



979145, 979147, 979149, 979151 es la siguiente.

Con cinco pares consecutivos hemos encontrado estos: 10075387, 10075389, 10075391, 10075393, 10075395. La comprobación es esta:



Os dejamos el resto de búsquedas de este tipo.