Cubos y gnomones (3)

En las dos entradas anteriores hemos sumado números impares y potencias. La demostración algebraica de las fórmulas de este tipo puede estar sujeta a errores. Nadie puede decir que no se ha equivocado en un desarrollo algebraico de dos hojas.

Un método para comprobar cálculos de sumas de este tipo es el uso de una fórmula de interpolación. En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton. Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros equidistantes.

En la siguiente dirección puedes encontrar su implementación en Excel y Calc:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm

Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando, por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión: S=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)

Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3,4,5,6,7,… para verifiar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432, 775,…

Otro problema es el de simplificar esta expresión, que también sería una operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente la fórmula equivale a T_2k+r - T_2k-1.

Nota: No me resisto a incluir la interpolación que se logra con la calculadora en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:


El resultado final es la diferencia de números triangulares que ya hemos obtenido para la suma 27+64+125+216+...

¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo?

Yo tengo mi propia respuesta, y es que resulta muy divertido pedalear. No todo va a ser ir en coche.