Función “dígitos”

Si escribimos la serie de números 1,2,3,….N-1,N, ¿cuántos dígitos hemos escrito en el sistema decimal de numeración?

Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:

Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:

(a) Recuento simple

Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión

N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270

luego el libro tiene 270 páginas.

(b) Truco de Hoja de Cálculo

A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?

Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:

D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.

Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo

(c) Uso en el aula

Esta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de

* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos

Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.

¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.