El contenido de la entrada anterior se podría haber visualizado usando el sistema binario de numeración. La idea fundamental es la siguiente: Si un número n se expresa en sistema binario como un conjunto de unos y ceros, multiplicarlo por 2 equivale a añadir un cero a su derecha, o, en términos muy gráficos, "empujarle" sus cifras hacia la izquierda.
Así, si 7=111(2 su doble 14=1110(2 y multiplicado por 4 28=11100(2
En el problema citado, todos los números impares menores o iguales a n son "empujados" hasta convertirse en los números pares existentes entre n+1 y 2n. Como además esa operación equivale a ir multiplicando por 2, ls números primitivos serán los MFI de los resultantes.
Puedes verlo en la siguiente tabla, que contiene los números del 1 al 22 con su correspondiente desarrollo binario (se han suprimido los ceros): Los impares menores o iguales a 11 (1,3,5,7,9 y 11) son desplazados según las celdas de color naranja (que representan potencias de 2), hasta situarlos en las celdas de color verde, lo que los hace iguales a los números situados a su izquierda. Es mejor verlo que seguir la explicación.
| 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | ||||
| 3 | 1 | 1 | |||
| 4 | 1 | ||||
| 5 | 1 | 1 | |||
| 6 | 1 | 1 | |||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||
| 8 | 1 | ||||
| 9 | 1 | 1 | |||
| 10 | 1 | 1 | |||
| 11 | 1 | 1 | 1 | ||
| 12 | 1 | 1 | 3 | ||
| 13 | 1 | 1 | 1 | ||
| 14 | 1 | 1 | 1 | 7 | |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 16 | 1 | 1 | |||
| 17 | 1 | 1 | |||
| 18 | 1 | 1 | 9 | ||
| 19 | 1 | 1 | 1 | ||
| 20 | 1 | 1 | 5 | ||
| 21 | 1 | 1 | 1 | ||
| 22 | 1 | 1 | 1 | 11 |
Estudiando el problema de esta forma quedan claras algunas propiedades que de otra forma pueden pasar desapercibidas:
(a) Entre n+1 y 2n siempre hay una potencia de 2 ¿Por qué?
(b) (Esta ya se comentó en la entrada anterior) Entre n+1 y 2n, dado un impar k menor o igual que n, existe siempre un número y sólo uno de la forma k*2h
Intenta verlas de forma binaria.
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