domingo, 27 de enero de 2013

Pandigitales, cromos y un poco de Benford (2)

Esta es la segunda parte de nuestra participación en el  Carnaval de MatemáticasEdición 3.1415926535, cuyo anfitrión es La Aventura de la Ciencia.

Estudiamos en la anterior entrada cuándo unos resultados de potencias se convierten todos en pandigitales en sentido amplio (con repetición) Llegamos a la conclusión de que esto ocurre aproximadamente cuando la potencia alcanza unas 50 cifras. A partir de este resultado sospechamos que la distribución de cifras no presentan uniformidad.

Estadísticas de cifras

Según lo anterior, hemos de tener cuidado en considerar como casi uniforme la aparición de cifras en las potencias de un número. Si así aparecieran, deberíamos encontrar más similitud entre lo que se espera de un fenómeno aleatorio y este que nos ocupa.

La uniformidad

Para estudiar de forma empírica la distribución de cifras en las potencias hemos elegido las bases entre 2 y 9, a cada una la hemos elevado a todos los exponentes comprendidos entre 1 y 50, pues son los cálculos antecedentes de la región en la que desaparecen los resultados que no son pandigitales. Para ello nos ha sido útil nuestra calculadora STCALCU para hoja de cálculo (que presentaremos próximamente). Hemos obtenido este resultado:



 (1) Las desviaciones típicas mayores se corresponden con los divisores del 10, 2 y 5. Después baja algo en los números no coprimos con 10: 4, 6 y 8. Por último, son más homogéneas en los coprimos, 3, 7 y 9. Esto tiene cierto sentido, pero no seguiremos por ahí.

(2) La distribución por cifras presentan un máximo en la cifra 1 (como en la Ley de Benford) de 11,2%, muy alejado del 8,7% de la cifra 0. Además, las cifras impares aparecen más que las pares. Esto lo afirmamos descriptivamente, pues una prueba chi-cuadrado no da significación.

(3) Casi todas las cifras presentan un máximo en la base igual a ellas. Las hemos destacado en rojo. Llama la atención el 14% del 5 y del 6. A eso no es ajeno el que en esas cifras coincidan las terminaciones de sus potencias sucesivas: 5, 25, 125, 625, … y 6, 36, 216,…Te puedes divertir intentando analizar otros casos.

Resumiendo, no aparece una uniformidad clara en los resultados, que más bien parecen sesgados hacia el 1 y los impares. ¿Se mantendrá esta tendencia para potencias mayores?

Hemos acumulado los resultados desde exponente 1 al 200, para ver cómo evoluciona la distribución de cifras, llegando a esto:



Aquí el panorama cambia algo: se percibe más uniformidad, aunque el 1 es la cifra que presenta mayor frecuencia. Por tanto debemos pensar que en las primeras potencias las cifras aparecen con frecuencias más alejadas del 10% y que eso es lo que produce que se tenga que llegar a unas 50 cifras para llegar a completar el carácter pandigital

La herencia

Otra pregunta sería pertinente: estas desviaciones de la uniformidad ¿se mantienen de cierta forma entre unas potencias y las posteriores dentro de una misma base? Si una cifra presenta una frecuencia en 2N sería interesante saber cómo se comporta en 2N+1. Pues bien, aquí tampoco se ve relación clara y significativa entre las frecuencias de un exponente  con el siguiente. Tomamos como ejemplo la base 5 haciendo trampa, porque podía esperase que la cifra 5 y la 0 se mantuvieran en sus frecuencias al crecer N.



Basta ver los máximos y mínimos para darnos cuenta de lo alejada de la uniformidad que está la distribución de cifras. Respecto a la herencia, si recorres los porcentajes correspondientes a cada cifra sí se percibe una cierta constancia en la tendencia. No es importante. Le hemos aplicado la prueba Chi-cuadrado y no nos da una diferencia significativa respecto a la homogeneidad máxima.

Así que, por si acaso, no uses potencias para extraer números psudoaleatorios, que te puedes llevar sorpresas.

Nuestra Ley de Benford

Y ya puestos, ¿cómo se comportan las primeras cifras de cada potencia? Recuerda que según la Ley de Benford (en la Red tienes muchas referencias a ella, por ejemplo en http://www.estadisticaparatodos.es/taller/benford/benford.html),

se podría esperar un  30% para el 1, un 17% para el 2, 12% para el 3 y así disminuyendo para el resto, como se ve en la gráfica incluida en la página recomendada.

Lo intentamos: elevaremos las distintas bases de 2 a 9 (podían ser otras) a todos los exponentes comprendidos entre 1 y 250 y recogeremos las estadísticas de la primera cifra.
Son estas:


Esto quiere decir que respecto a la Ley de Benford las potencias se comportan admirablemente. Hemos comparado nuestras frecuencias con la fórmula de Benford LOG((d+1)/d) y nos ha resultado:



No necesita comentario. El comportamiento de las estadísticas globales viene dado más por las cifras intermedias que por la primera, que sigue la distribución esperada. A partir de aquí puedes emprender un estudio del que sólo hemos esbozado el principio.


lunes, 21 de enero de 2013

Pandigitales, cromos y un poco de Benford (1)


Esta es la primera parte de nuestra participación en el  Carnaval de MatemáticasEdición 3.1415926535, cuyo anfitrión es La Aventura de la Ciencia. El proximo día 27 publicaremos la segunda parte. 

Hace unas semanas conocí esta conjetura:

El número 168 es el mayor N que cumple que la potencia 2^N no contiene todas las cifras del 0 al 9

http://www.johndcook.com/blog/2012/11/23/digits-in-powers-of-2/comment-page-1/#comment-316640

Es decir, a partir de 2^169 todas las potencias de 2 son pandigitales en sentido amplio, pues contienen todas las cifras, pero repetidas (usualmente se exige que los pandigitales presenten cada cifra una sola vez).

2^168 = 374144419156711147060143317175368453031918731001856
(le falta la cifra 2)

2^169 = 748288838313422294120286634350736906063837462003712
2^170 = 1496577676626844588240573268701473812127674924007424
2^171 = 2993155353253689176481146537402947624255349848014848
2^172 = 5986310706507378352962293074805895248510699696029696
2^173 = 11972621413014756705924586149611790497021399392059392
(todos contienen las cifras 0 al 9)

Esta conjetura también está publicada en http://oeis.org/A130696

Comienzo de los pandigitales

Nos podíamos preguntar qué ocurre con las demás bases y sus potencias. Hemos trabajado un poco con la hoja de cálculo y llegado a esta tabla, en la que figuran las siguientes bases (no múltiplos de 10, que serían casi triviales) y los exponentes hasta donde llega la carencia de alguna de las cifras en sus potencias



Esta tabla “huele” a inverso de un logaritmo. En efecto, si en lugar del tope en el que se acaban las potencias no pandigitales (con repetición) nos fijamos en las cifras de esas potencias llegamos a una cierta uniformidad, especialmente en las primeras:



Para que una potencia alcance un número de cifras se deberá cumplir de forma aproximada esta igualdad:


B es la base dada, T el tope no pandigital y C el número de cifras a partir del cual están representadas todas las posibles. Si tomamos este número de cifras en un promedio de 50, por ejemplo, nos daría una aproximación del tope:

El logaritmo es decimal, evidentemente. Si aplicáramos esta fórmula obtendríamos:



Resulta coherente con los cálculos, luego lo importante es el número de cifras. El tope es una consecuencia de ellas.

Esto no funciona como algo aleatorio

Este problema, si tuviera una base aleatoria se parecería al de completar una colección de cromos. Aquí la colección completa sería el conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y los “cromos” se incorporarían uno a uno a la colección. Cuando aparezcan todos la colección estará completa, pero se habrán producido repeticiones.

En este blog estudiamos dichas colecciones de sobre en sobre, lo que no es este caso.

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/05/este-cromo-lo-tengo-repe-1.html
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/05/este-cromo-lo-tengo-repe-2.html

En otras direcciones puedes consultar una fórmula sencilla para cuando se incorporan a la colección los cromos de uno en uno, caso más parecido al que nos ocupa.

http://www.cienciaonline.com/2012/07/25/%C2%BFpor-que-nunca-complete-mi-coleccion-de-cromos/
http://www-eio.upc.es/~delicado/docencia/Daniel_Alcaide/Documento/PFC.pdf

En ellas puedes estudiar una fórmula que te da el total de cromos T que has de comprar para completar una colección de N



En el caso de diez cifras T=29,29

En nuestro ejemplo hemos necesitado más, unos 50. Es claro. Estamos comparando como mera diversión dos conceptos diferentes:
  •  Los cromos aparecen de forma aleatoria y las cifras de las potencias constituyen un cálculo exacto, determinista.
  •  En los cromos cada  vez que sale uno ya lo tenemos definitivo y aquí en cada potencia hay que volver a empezar. Esto, en parte, justifica la discrepancia entre 29 y 50.
  •  Aquí existe una relación clara de causalidad entre las cifras de 2N y las de 2N+1

Acabamos de afirmar que estudiamos un fenómeno determinista, pero si la distribución de cifras fuera muy uniforme, sus resultados se acercarían a los aleatorios. Cuidado: no confundas aleatorio con uniforme. Sólo afirmamos que los resultados serían más parecidos.

¿Cómo se comportan las potencias respecto a la frecuencia de las distintas cifras? ¿Qué grado de uniformidad presentan? Lo vemos en la siguiente entrada.

domingo, 13 de enero de 2013

Números altamente compuestos (3)


Encontrar sin ver

La hoja de cálculo tiene una precisión limitada en el cálculo con enteros, pero para encontrar números altamente compuestos no es necesario ver su desarrollo en el sistema de numeración decimal, pues basta poder dar los exponentes correspondientes de 2, 3, 5, 7, 11, 13,…(ver entradas anteriores) Así podemos estar seguros de haber encontrado un NAC aunque no lo veamos escrito, sólo leyendo los exponentes.

Hemos preparado una herramienta siguiendo las ideas contenidas en el documento http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/julianmanuscript3.pdf de D. B. Siano and J. D. Siano - Oct. 7, 1994

La idea consiste en manejar tan sólo las potencias del tipo


Para cada juego de exponentes tendremos en cuenta los siguientes hechos:

(a) El número 2N tiene más divisores que N, luego si tenemos un N altamente compuesto, para encontrar el siguiente partiremos de ese valor 2N hacia abajo, números cada vez más pequeños hasta llegar a N. Uno de ellos será el mínimo que cumpla el tener más divisores que N.

(b) Ramanujan descubrió una desigualdad doble para los exponentes de 2, 3, 5, 7,…en un NAC, que nos da el mínimo y máximo valor que han de tener estos en el desarrollo. Si llamamos aq al exponente con el que figura el número primo q en ese desarrollo, se cumple que


En la desigualdad p representa el último número primo del desarrollo y p+ el siguiente primo después de él.

Podemos recorrer todas las combinaciones posibles  entre estas cotas para descubrir el próximo NAC a partir de un juego de exponentes dado. Necesitaremos efectuar cuatro comparaciones:


  •  Con 2N y exigir que el número encontrado sea menor o igual
  •  Con N y exigir que sea mayor
  •  Con el anterior candidato  para ver si es menor 
  •  Sus divisores han de compararse con los de N y presentar mayor número

No daremos excesivos detalles, pero la idea es la de comparar los exponentes de cada candidato con los de N y llamar exceso al número formado por aquellas potencias en las que el primero sobrepasa al segundo y defecto a aquellos en los que ocurre lo contrario. Es la única forma de comparar si tener que escribir los números en el sistema decimal.

Si el exceso es mayor que el doble del defecto, se desecha el candidato, porque sobrepasaría a 2N. Si el defecto es mayor que el exceso también, porque sería menor que N. Entre los que quedan analizaremos sus divisores calculados mediante. Además, deberán presentar más divisores que N

(c) Lo anterior presenta un problema, y es que dado un juego de exponentes para N, el siguiente puede tener el mismo número de ellos, uno más e incluso uno menos. Puedes verlo en estos ejemplos de la lista de NAC:

Los mismos primos:

20160 2* 2* 2* 2* 2* 2* 3* 3* 5* 7
25200 2* 2* 2* 2* 3* 3* 5* 5* 7

Un primo más

50400 2* 2* 2* 2* 2* 3* 3* 5* 5* 7
55440 2* 2* 2* 2* 3* 3* 5* 7* 11

Un primo menos

27720 2* 2* 2* 3* 3* 5* 7* 11
45360 2* 2* 2* 2* 3* 3* 3* 3* 5* 7

Así que el algoritmo que intentemos deberá ser triple, uno para cada caso. Como dijimos, no damos más detalles, que podrían ser largos y pesados.

Herramienta

Hemos preparado una herramienta que sacrifica la velocidad para que se vean bien los cambios de exponentes, el exceso y defecto y el resultado final




En la fila 6 escribimos los exponentes de un NAC conocido, en este caso 21621600, cuyo juego es 5, 3, 2, 1, 1 y 1 (en el resto, para que estén en blanco, usa la tecla Supr). En la 9 se irán formado todas las combinaciones posibles dentro de las cotas de Ramanujan (algo ampliadas) y en las 12 y 13 se calculan los excesos y defectos, para garantizar que se mueven entre 2N y N.

También se calcula el número de divisores del inicial y el candidato, así como sus valores, aunque estos no son representativos y pueden presentar desbordamiento.

Si usas el botón “Buscar el próximo NAC” verás que van cambiando los valores de las filas 9 a 19, pero que en esta última se puede ir estabilizando el mejor candidato, hasta que termina el proceso y se convierte en el definitivo. En nuestro ejemplo se obtiene el siguiente  32432400.

A la derecha tienes la posibilidad de obtener varios NAC consecutivos a partir del escrito en la fila 6. No abuses de números grandes, que lo que obtendrás será un gran bloqueo en los cálculos. Si te metes en ese terreno, intenta salir con la tecla ESC.



En este caso aparecen los valores, pero si avanzáramos más llegaría un momento en el que sólo podríamos leer los exponentes. Por eso usábamos la expresión “encontrar sin ver”

En la anterior entrada ya dimos la dirección para que descargues la herramienta. Sólo la hemos implementado en Excel, pues su complejidad nos ha llevado bastante tiempo.

http://hojamat.es/blog/nac.xlsm

Puedes intentar exprimirla y comparar con la lista publicada en http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.txt. Y también puedes mejorar el algoritmo…con paciencia.

martes, 8 de enero de 2013

Números altamente compuestos (2)



Generación ordenada de los NAC (ver entrada anterior)

Ya hemos visto una forma de generar los NAC a base de columnas en una hoja de cálculo, pero este procedimiento tiene el inconveniente de que para números grandes los intervalos de aparición son tan amplios que no se pueden presentar en una columna. Lo ideal sería poderlos tener en filas consecutivas, como vemos en la imagen:


Pero esto no es fácil, porque el orden natural de los números no coincide con el del número de divisores, por lo que deberemos avanzar uno a uno y quedarnos con el máximo.

Veamos qué necesitamos:

Una función POTE(a;p) que nos indique el exponente con el que figura un número p en la descomposición en factores primos de a. Si no figura, el valor de la función será cero.

Otra función ESPRENAC(n) que indique si un número puede ser altamente compuesto o no, dependiendo de si presenta el esquema exigido con exponentes decrecientes.


Deberemos usar la función POTE y con ella verificar que los exponentes son los adecuados.

Un truco muy útil es el siguiente:

Si el número no obedece el esquema previo, la función ESPRENAC devuelve un cero, pero si lo obedece, la salida será el número de divisores. De esta forma podremos comparar este número con los de los anteriores y descubrir cuándo se ha llegado a un NAC.

Función POTE

Dado un número natural a y un primo p (en el algoritmo no se necesita que sea primo), para calcular el exponente con el que figura p en la descomposición de a bastará ir dividiendo a entre p todas las veces posibles siempre que p siga siendo divisor de a. Algo así:

  •  Pongo un contador a cero
  •  MIENTRAS p sea divisor de a
  •  Divido a entre p y vuelvo a probar
  •  Aumento el contador por cada división exacta
  •  FIN del MIENTRAS

 El contador será el exponente

Su funcionamiento se entiende bien: al principio no sabemos si p es divisor de a, por lo que le asignamos exponente cero (el contador). Después intentamos una división exacta de a entre p. Cada vez que lo logremos aumenta el contador del exponente.

Código en Basic de hoja de cálculo

Public Function pote(a, b)
Dim p, c, d

p = 0: c = a
d = c / b (división con decimales)
While d = c \ b (división entera)
p = p + 1
c = c / b
d = c / b
Wend
pote = p
End Function

Dejamos a nuestros lectores la interpretación de este código.

Función ESPRENAC

Su objetivo es descubrir si un número tiene la estructura adecuada para ser NAC, es decir, que en su descomposición en factores primos sólo figuren los primeros con exponentes no crecientes.

Esta función recorre los primeros números primos 2, 3, 5, 7, … (representados en el código por la variable pr(i)) y va calculando la función POTE para cada uno de ellos. Analiza si ninguno es cero y si forman una sucesión no creciente. De paso, almacena (1+POTE) para al final calcular el número de divisores.

El esquena sería:

  •  Inicio una variable SIGUE a uno
  •  MIENTRAS el número N sea mayor que 1 y SIGUE>0
  •  Recorro los primeros números primos
  •  Para cada uno de ellos evalúo la función POTE, con lo N disminuirá
  •  Si POTE es nula o mayor que la anterior, hago SIGUE=0
  •  En caso contrario multiplico SIGUE por (1+POTE), con lo que preparo el cálculo del número de divisores
  •  FIN del mientras


 Por último, ESPRENAC toma el valor de SIGUE. Si es cero, es que el número no puede ser altamente compuesto y si no lo es, devolverá el número de divisores.

Su código puede ser:

Public Function esprenac(n)
Dim p(20)
Dim c, i
Dim sigue

c = n
i = 0
sigue = 1
While c > 1 And sigue > 0
If i < 20 Then
i = i + 1
p(i) = pote(c, pr(i))
If p(i) = 0 Then sigue = 0
c = c / pr(i) ^ p(i)
sigue = sigue * (p(i) + 1)
If i > 1 Then
If p(i) > p(i - 1) Then sigue = 0
End If
Else
sigue = 0
End If
Wend
esprenac = sigue
End Function

Búsqueda ordenada

Con estas dos funciones podemos generar fácilmente la lista de NAC. Es un algoritmo “ingenuo” porque recorre todos los números entre cada dos posibles NAC, con el consiguiente gasto de trabajo y tiempo, pero para números no muy grandes va bastante bien.

Consistiría en


  •  Iniciamos la lista con el 1. Llamamos ANTERIOR al mismo y DANTERIOR  a su número de divisores (también 1)
  •  DESDE el valor 2 hasta el tope que marquemos
  •  Analizamos cada número consecutivo para ver si puede ser NAC. Le calculamos su número de divisores y lo comparamos con DANTERIOR. 
  •  Si el resultado de la comparación es que es mayor, ya hemos encontrado el siguiente NAC. Lo almacenamos en ANTERIOR y su número de divisores en DANTERIOR
  •  FIN del DESDE
  • De esta forma iremos comparando los divisores de los candidatos y cuando encontremos un NAC lo consideramos como ANTERIOR y vuelta a empezar.

El código de esta búsqueda contiene elementos propios cada hoja de cálculo concreta, por lo que es preferible que los descargues desde

http://hojamat.es/blog/nac.xlsm

¿Y qué ocurre si llegamos a números tan grandes que las hojas de cálculo no pueden ya representar sus cifras? Pues o bien nos pasamos a programas más potentes o intentamos buscar NAC sin verlos. Eso es lo que haremos en la siguiente entrada.

jueves, 3 de enero de 2013

Números altamente compuestos (1)



Estos números fueron estudiados por Ramanujan, que ya tenía ideas sobre ellos antes de su colaboración con Hardy. Su definición es muy sencilla:

Un número altamente compuesto es un entero positivo con más divisores que cualquier número entero positivo menor que él mismo.

Así, el 12 tiene 6 divisores, mientras que todos los números menores que él tienen (del 1 al 11) 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4 y 2 respectivamente, luego 12 es altamente compuesto (lo expresaremos como NAC)

Los primeros son:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, ... 

(http://oeis.org/A002182)

La sucesión contiene infinitos términos, porque si N es NAC, el número 2N tiene los mismos factores que N y uno más, luego al menos existe un número con más divisores que N y recorriendo N+1, N+2, N+3,…N+N=2N bastará quedarse con el primer número que presente un máximo de divisores respecto a los anteriores (puede ser el mismo 2N).

Podemos expresarlo mediante la función divisor o sigma0, que cuenta los divisores de un número. En los NAC esta función presenta un valor superior al de cualquier otro número entero menor que él.
Pero si recordamos que la expresión de la función divisor es





siendo  ai los exponentes en su descomposición en factores primos






comprenderemos  que lo que debemos estudiar son los máximos de esta expresión, que sólo dependen de la signatura prima de N (esto es, el conjunto de los exponentes en la factorización. Esto es importante: si sustituimos uno de los números primos de la factorización por otro, el valor de la función divisor no se altera. Esta idea tan simple nos lleva a la primera propiedad de los NAC:

Todo número altamente compuesto tiene como factores primos los primeros de la lista, de forma consecutiva: 2, 3, 5, 7, 11, …


Es sencillo demostrarlo. Imagina que en su desarrollo no figuraran todos los primeros números primos. Por ejemplo, que figurara el 11 y no el 7. Entonces, si sustituyéramos el 11 por un 7, el valor de N disminuiría, pero el de su función divisor, tal como vimos en el párrafo anterior, se mantendría igual, lo que contradice lo afirmado de que N presenta más divisores que cualquier otro número menor.

Esto recuerda a los primoriales. Puedes repasarlos, que los usaremos más adelante. Los tienes en http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/02/el-primorial.html

No sólo han de figurar los primeros primos, sino que sus exponentes deberán ser no crecientes si ordenamos las potencias mediante bases crecientes: e1 ³ e2 ³ e3 ³ e4 ³ e5 ³

También es fácil demostrarlo: si un par de exponentes se presentaran en orden inverso, intercambiando sus bases obtendríamos un número menor que N con sus mismos divisores, luego N no es NAC.

Por último, salvo en los casos de N=4=22 y N=36=22*32, el último de los exponentes debe ser 1. No he encontrado demostración de este hecho.

Obtención con hoja de cálculo

Debes disponer de la función divisor. Puedes definirla con esta versión muy simple

Public Function divisor(n)
Dim i, s

s = 1
For i = 1 To n / 2
If n / i = n \ i Then s = s + 1
Next i
divisor = s
End Function

Para implementarla en la hoja de cálculo puedes seguir las instrucciones contenidas en http://hojamat.es/guias/descubrir/htm/macros.htm

Comprueba que funciona bien y escribe en columna los primeros números naturales y junto a ellos el valor de divisor(n)


Una tercera columna la rellenaremos con los máximos consecutivos que se produzcan en la segunda. En la siguiente imagen te damos una idea del método para conseguirlo. Lee la fórmula en la línea de entrada.



Por último, en los saltos que se produzcan en ese máximo, allí estarán los NAC. Te dejamos en la imagen la fórmula usada



Con estas cuatro columnas te irán apareciendo los números altamente compuestos, para lo que basta que rellenes las fórmulas hacia abajo hasta donde quieras.



Más adelante volveremos a la generación ordenada de los NAC.

Relación con los primoriales

Si has visitado http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/02/el-primorial.html sabrás ya que un número primorial el que equivale al producto de los primeros números primos sin saltar ninguno, es decir, son primoriales 1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510

Pues bien, es fácil demostrar que todo número altamente compuesto es un producto de primoriales.
La clave está en que los exponentes son no crecientes. De esa forma extraemos del NAC un primer primorial con todos los factores primos usados. Al cociente que nos resulte le hacemos lo mismo, dividirlo entre los primos que hayan quedado, y así sucesivamente. Al ser los exponentes no crecientes, siempre quedarán primos consecutivos que comenzarán en 2. Es mejor verlo con un ejemplo:

2520 es un NAC y se descompone como 2520=25*33*5*7= (2*3*5*7)*(2*3)*(2*3)*2*2 = P(5)*P(3)*P(3)*P(2)*P(2), si representamos por P(k) el k-ésimo primorial.

Se ve que se pueden repetir primoriales  y que no tienen que estar todos lo posibles. El recíproco no es cierto: no todo producto de primoriales es un NAC. Por ejemplo, en el caso de P(2)*P(2)*P(2)*P(3)*P(4)=2*2*2*6*30=1440 no resulta un NAC.

Otra propiedad: A partir del 6, todos los elementos de la sucesión son múltiplo de 6 y abundantes.

En la siguiente entrada generaremos todos los NAC de forma ordenada en filas consecutivas de una hoja de cálculo.