martes, 27 de diciembre de 2011

Saludamos al 2012

Saludamos al año nuevo con una sola expresión:

2012=(9*8*7 - 6 + 5)*4 - 3 + 2 + 1 + 0


Las diez cifras bien ordenaditas de mayor a menor.

lunes, 26 de diciembre de 2011

El 2012 como inspiración

Con motivo de la entrada del 2012, nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío nos obsequia con otro de sus interesantes documentos. Con base en las propiedades de este año nos recorre varios temas de Matemáticas Recreativas, propiedades de los números y diversas representaciones del 2012.

Lo podéis descargar desde

http://hojamat.es/parra/prop2012.pdf

Os regalará un buen tiempo de aprendizaje y recreo.

jueves, 22 de diciembre de 2011

Yo ya sabía que saldría el 58268

(Mi pequeña broma sobre el Gordo)

Era fácil: Intuí que en el año 2011 el Gordo saldría pronto, exactamente cuando yo cumpliera 70 años, 21 días y 7 horas. Bastaba sumar años con años, aparte sumar también las otras dos medidas y multiplicar ¡Sencillo!:

(2011+70)*(21+7)=58268

No podía ser otro.

Como no iba a ir hasta Huesca, me compré otro parecido y he obtenido 6 € por euro. Otro año me aplicaré más.

Cuando éramos niños esta mañana del 22 marcaba el inicio de la Navidad, antes de que las multinacionales y ayuntamientos la adelantaran un mes. Es un buen día para desearos feliz Nochebuena y que, si hay suerte, os visite la mágica ilusión de la niñez.

miércoles, 21 de diciembre de 2011

El algoritmo de Moessner

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.9, cuyo anfitrión es el blog "Que no te aburran las M@TES")



Presentamos hoy una curiosidad matemática a base de cribados: toma la lista de los primeros números naturales.
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10   11    12    13     14

Tacha después uno de cada cuatro, comenzando con el mismo 4:
1    2    3    5    6    7    9    10    11    13   14

Después escribe la lista de sus sumas parciales.
1    3    6    11    17    24    33    43    54    67    81

Y ahora tachas de tres en tres, sumando después de nuevo.
1    3    11    17    33    43    67    81
1    4    15    32    65    108   175    256

Después tachas de dos en dos
1    15    65    175

Y sumas
1    16    81    256

El resultado es la serie de las potencias cuartas de los naturales. Recuerda que hemos comenzando tachando de cuatro en cuatro. ¿Funcionará con el tres?


Lo escribimos sin explicaciones:

1    2    4    5    7    8    10    11    13    14    16    17
1    3    7   12  19  27  37  48  61  75  91  108
1    7   19   37    61     91
1    8   27  64   125   216

Resultan los cubos. Prueba de dos en dos y obtendrás los cuadrados. ¿Funcionará esto siempre? Este algoritmo lo propuso Alfred Moessner y fue demostrada su validez para cualquier valor natural por Oskar Perron en 1951 usando la inducción matemática.

Nuestro objetivo hoy es reproducir este algoritmo con hoja de cálculo, que por cierto no es nada fácil. Contiene una verdadera trampa, que es la posible confusión entre valores y posiciones. Lo vemos:



En la celda A9 escribimos la amplitud de los saltos. En la imagen está preparado para que resulten las cuartas potencias. La hoja se encarga de ir restando una unidad hacia abajo y dejar de escribir cuando se llegue a 1. El modelo está preparado para llegar a 5, pero si lo descargas puedes ampliarlo a tu gusto.

La fila 7 contiene la serie de números naturales. Después se van repitiendo hacia abajo tres filas:

Primera: Es un artificio, pues la hoja debe buscar el elemento a tachar cada vez más lejos, y dependiendo del valor de A9. Esto lo hemos resuelto con la fórmula (usamos la contenida en C8)

=SI(ESNUMERO($A12);SI(RESIDUO(C$7-1;$A12)=0;B8+1;B8);"")

En primer lugar verifica si aún quedan saltos por dar con ESNUMERO($A12). Después encuentra el residuo del número de arriba respecto al salto y hace avanzar el contador (B8) si ese número es múltiplo del salto. Así medimos el alejamiento del elemento que debemos tachar. Observa que van aumentando los valores cada tres (representan los tres supervivientes después de tachar)

Segunda: Aquí se eligen los números entre los de arriba, saltando los que ocupan un lugar múltiplo de 3. Después, con la función DESREF se dirigen a la celda adecuada para copiar el número:

=SI(ESNUMERO($A12);DESREF(C9;-2;C8);"")

DESREF se dirige a dos filas más arriba (-2) y salta según indica el valor de arriba (C8). Como esta contiene los saltos adecuados, cada vez que cambie su valor se tacha un número. Es lo que queríamos. No es fácil de entender y cuesta encontrar el procedimiento.

Tercera: Se limita a acumular sumas, y al llegar al nivel 1 produce las potencias deseadas.
Aunque esto no pasa de una curiosidad, la construcción del algoritmo es apasionante. Este que ofrecemos no usa macros, y lo puedes descargar en dos versiones desde

hojamat.es/blog/moessner.zip

jueves, 15 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (4)

¡Que quedan flecos sueltos!

Después de tres entradas sabrás ya mucho sobre los cuadrados que rodean a un número natural. Demuéstralo:

(a)  Si A divide a B, ¿crees que la parte cuadrada de A dividirá a la de B?

(b) ¿Ocurrirá lo mismo con los menores múltiplos cuadrados?

(c) Si A divide a B y son distintos, ¿cuándo se dará que PC(A)=PC(B)?

(d) ¿Podemos relacionar de igual forma la parte libre de A con la de B?

(e) Considera el máximo común divisor de la parte cuadrada y la libre de un número natural N ¿qué podremos afirmar de él? ¿Se comportará como una función multiplicativa?

martes, 13 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (3)

En esta entrada comprobaremos la potencia del concepto de función multiplicativa. Usaremos fundamentalmente dos propiedades:

(1) Según vimos en la entrada correspondiente a las funciones multiplicativas, si  g(x) es una función multiplicativa, entonces, la función f(n) definida por


en la que el sumatorio recorre todos los divisores de n, también es multiplicativa.

(2) Debemos recordar también que la definición de una función multiplicativa basta hacerla para los factores primarios pe de un número, siendo p un factor primo y e su exponente.

Estudiaremos esas sumas que recorren todos los divisores en las funciones multiplicativas estudiadas en la entrada anterior

Suma de las partes cuadradas de los divisores de N SPC(N)


Es una función multiplicativa

Si la parte cuadrada de un número es multiplicativa, su suma a lo largo de los divisores del número también lo será. Una forma rápida de encontrar esa suma se consigue con el Buscador de Naturales, usando estas condiciones y consultando después la suma en el evaluador.  Observa cómo lo hemos conseguido para el número 252= 2*2*3*3*7












Se ha definido una búsqueda entre 1 y 252, con las condiciones DIVISOR DE 252 y EVALUAR PARTECUAD(N) y nos da un resultado de 132.

Así que la suma de esas partes cuadradas (SPC(N)) para 252 es 132.

Esta función está publicada en http://oeis.org/A068976 y ahí se dan fórmulas y desarrollos para el cálculo de la misma. Es claro que es multiplicativa y por eso la fórmula de Vladeta Jovovic que se propone en esa página sólo define la función para un factor primario pe.

La escribimos de forma algebraica aplicada a pe:

Si e es par:



Si e es impar:



¿Cómo demostrarlo? Te damos una idea.

Considera todos los divisores del número pe:

1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe


Si les aplicamos la función “parte cuadrada” PC deberemos truncar los exponentes al máximo número par que contienen.

Si e es par quedaría:

1   1   p2   p2   p4   p4   p6 … pe-2   pe   que se puede descomponer en dos sumas:

SPC(pe)=( 1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe  )+(   1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe-2 ) que al final desembocan en la suma propuesta

Si es impar las dos sumas serían iguales, luego

SPC(pe)=2( 1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe-1 ) que también nos lleva a la fórmula propuesta arriba.

Aplicamos estas fórmulas a 252= 22*32*7, en el que aplicaría el caso par para el 2 y el 3 y el impar para el 7:

SPC(252)=(15/3+3/3)(80/8+8/8)(2*48/48)=6*11*2=132, como era de esperar.

Si practicas estos cálculos con otros números, tanto manualmente como con el Buscador o las fórmulas aprenderás mucho.

Suma de partes libres SPL(N)

Es también multiplicativa

Con los mismos procedimientos y propiedades podemos intentar sumar las partes libres de los divisores de un número.

Con el Buscador podemos encontrar esa suma para 1102, por ejemplo:












Las condiciones usadas son DIVISOR DE 1102 y EVALUAR N/PARTECUAD(N), ya que esa es una definición de parte libre. Recorremos los números del 1 al 1102 y el evaluador nos da una solución de 180.

En la página http://oeis.org/A069088 puedes ver la lista de los primeros valores de esta función (1, 3, 4, 4, 6, 12, 8, 6, 5, 18, 12, 16, 14, 24…) y la definición ligeramente distinta a la nuestra. Lo que no ofrece es una fórmula para la evaluación directa. La ofrecemos nosotros para pe, como en los casos anteriores:

Si e es par:



Si e es impar



La demostración también se basa en el conjunto

1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe
 
Al aplicarle la función “parte libre” PL las potencias pares se convertirán en 1 y las impares en p, por lo que la suma de las partes libres será

1+p+1+p+1+p+1+p+…. Que terminará en 1 o en p según el exponente sea par o impar. El resto de la demostración es trivial, sacando factor común el factor (1+p) hasta donde se pueda.

Aplicamos la fórmula a 2200=23*52*11: SPL(2200)=(2+1)*4/2*((5+1)*2/2+1)(11+1)*2/2=3*2*7*12=504

Lo hemos comprobado con el Buscador y coincide.

Suma de los mínimos múltiplos cuadrados de los divisores de N SMMC(N)

Otra multiplicativa

Si ahora, en lugar de N/PARTECUAD(N) usamos N*N/PARTECUAD(N) en el Buscador (¿Por qué? Revisa la propiedades vistas en las entradas anteriores ) obtendremos la suma de MMC(N)

Esta función multiplicativa la hemos publicado en OEIS, pues en la fecha de su creación permanecía inédita (ver https://oeis.org/A198286). Sus primeros valores son

1, 5, 10, 9, 26, 50, 50, 25, 19, 130, 122, 90, 170, 250, 260…

Podemos usar una fórmula similar a las anteriores. No es difícil que la puedas justificar si entendiste las primeras.

Si e es par


Si e es impar


Lo vemos con un número compuesto, el 12=22*3

En primer lugar aplicamos la definición de SMMC y para cada primo sumamos el mínimo múltiplo cuadrado de cada una de sus potencias: SMMC(12)=(1+4+4)(1+9)=9*10=90, como puedes ver en la lista general.

Ahora aplicamos la fórmula:

SMMC(22) (caso par) = 1+2((16-4)/(4-1))=1+2*4=9, que era lo esperado

SMMC(3) (caso impar) = (1+9)((9-1)/(9-1))=10*1=10, que con el 9 anterior da 90.

Proponemos una cuestión:

(a) La suma de las partes cuadradas de los divisores de un número coincide con esta suma:


¿Sabrías demostrarlo? Se consigue como en las anteriores, comenzando a considerar el conjunto 1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe

jueves, 8 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (2)

Relaciones entre los cuadrados que rodean a un número

Según lo definido en la entrada anterior, para conseguir el mínimo múltiplo cuadrado de N sólo tendremos que multiplicar N por su parte libre. En efecto, esa parte libre contiene los factores primos de N elevados al residuo de cada exponente módulo 2. Más claramente: contiene los números primos elevados a 1 si su exponente era impar. Pero si los multiplicamos por N todos esos exponentes se harán pares, con lo que hemos conseguido el MMC(N).

Lo repasamos con un ejemplo:

Sea 11400=52*23*3*19. Su parte cuadrada contendrá los factores con exponente truncado a par: PC(1140)= 52*22 = 100. Su parte libre estará formada por el resto de factores, es decir, PL(1140)=2*3*19=114. Es evidente pues que:

PC(N)*PL(N)=N   (1)

Pero si ahora volvemos a multiplicar por PL(N), todos los exponentes se harán pares y el producto se habrá convertido en MMC(N):

1140*PL(1140)= 52*23*3*19*2*3*19=52*24*32*192=1299600=MMC(11400)

Hemos razonado que

N*PL(N)=MMC(N)   (2)

Uniendo (1) con (2) llegamos a una conclusión muy elegante: N es la media geométrica entre el mayor cuadrado que lo divide y su menor múltiplo cuadrado.

Es así porque N2=PC(N)*MMC(N), según (1) y (2)

 En nuestro ejemplo 114002=100*1299600.

Como los factores del segundo miembro son cuadrados, podemos considerar sus raíces cuadradas. Así definiremos:

(a) Raíz interna de N es la raíz cuadrada de su parte cuadrada. En el ejemplo sería 10. La representaremos como RI(N). En este caso RI(11400)=10

(b) Raíz externa de N es la raíz cuadrada de su menor múltiplo cuadrado. En el caso de 11400 podríamos escribir RE(11400)=1140, que es la raíz cuadrada de MMC(11400)

Un resumen también muy elegante:

Todo número natural equivale al producto de sus dos raíces enteras, interna y externa

En efecto: 11400=10*1140

Podemos representar todo lo anterior gráficamente. Observa esta imagen:

Representa los cuadrados correspondientes al número 180=22*32*5.

El cuadrado rojo de la esquina es su parte cuadrada PC(180)= 22*32=36, que son los cuadritos que contiene. Su raíz cuadrada es RI(180)=6, que se representa por el lado del cuadrado.

La parte libre de 180 es 5. Si copiamos el cuadrado rojo cinco veces a la derecha nos resultará un rectángulo (el separado por la línea gruesa roja) de 180 cuadros, o sea, el número considerado. Esto es así porque N=PC(N)*PL(N).

Si ese rectángulo que contiene 180 cuadros lo trasladamos cinco veces hacia arriba nos resultan 900 cuadros, que es precisamente el menor múltiplo cuadrado. Esto funciona porque N*PL(N) =MMC(N). El lado de ese cuadrado, 30, será la raíz cuadrada externa de 180.

¿Qué hemos visualizado?:

  • Todo número se puede representar por un rectángulo de base su raíz externa y de altura la interna.
  • Si el interior de ese rectángulo lo descomponemos en tantos trozos iguales como indique la parte libre obtendremos la parte cuadrada.
  • Si ese rectángulo lo adosamos consigo mismo por su base tantas veces como indique la parte libre, formaremos un cuadrado que será su menor múltiplo de ese tipo.
¡Se completó el emparedado!

Y lo mejor, como todas las funciones que hemos usado son multiplicativas, dados dos números coprimos, sus esquemas de este tipo se pueden fundir en uno solo multiplicando uno a uno los datos que han intervenido: PC, PL, RI,…

Todo esto no pasa de ser un divertimento, pero te ayuda a aprender conceptos.

sábado, 3 de diciembre de 2011

Funciones multiplicativas. Emparedado de cuadrados (1)

Comentábamos en una entrada anterior los conceptos de parte cuadrada y parte libre de un número. Ahora tomaremos estos conceptos para usarlos como ejemplo de funciones multiplicativas. Antes añadiremos otra definición. Repasamos:

Parte cuadrada PC(N): Es el mayor divisor cuadrado de N (Ver http://oeis.org/A008833)

Parte libre PL(N): Equivale al cociente entre N y su parte cuadrada (http://oeis.org/A007913)

Radical RAD(N): Es el mayor divisor de N que está libre de cuadrados (http://oeis.org/A007947)

Y añadimos otra

Menor múltiplo cuadrado MMC(N): Como indica su nombre, es el menor cuadrado divisible entre N
(http://oeis.org/A053143)

Así que el número N está emparedado entre dos cuadrados.

Uno es el mayor divisor cuadrado PC(N) y el otro es el menor múltiplo de esa clase MMC(N).

Lo aclaramos con un ejemplo

Si consideramos el número 126, sus factores primos son 2*3*3*7, luego
PC(126)=9 porque es el único cuadrado que podemos formar con 2,3,3,7. El exponente de 3 es par, como cabía esperar.
PL(126)=126/9=14, que equivale al producto de 2*7, ambos elevados a 1
RAD(126)=2*3*7=42 Está formado por todos los factores primos elevados a 1.
MMC(126)=22*32*72=1764. Se consigue este número completando los exponentes de sus factores primos a un número par.

Así que, como veremos, cualquier número está comprendido entre dos cuadrados de este tipo. A continuación estudiaremos su cálculo y carácter multiplicativo, dejando para la siguiente entrada sus relaciones.

Parte cuadrada PC

Es evidente que para calcularlo bastará sustituir cada exponente de los factores primos por el mayor número par contenido en cada uno de ellos. Por ejemplo, si N=23*72*11=4312, su parte cuadrada se obtendrá truncando cada exponente al máximo número par que contiene, es decir: PC(N)= 22*72*110=196

Vimos en la primera entrada de las funciones multiplicativas que estas quedaban caracterizadas por su acción sobre los factores primarios de N. De esta forma, la definición de parte cuadrada podía quedar como



Es decir, que a cada exponente se le resta su resto al dividirlo entre 2. Por este tipo de actuación sobre factores primarios de forma independiente, multiplicando después los resultados, ya sabemos que la parte cuadrada es multiplicativa.

Intenta reproducir esta comprobación:



En ella vemos que 1617 y 2000 son coprimos y que el producto de sus partes cuadradas 49 y 400 coincide con la parte cuadrada del producto 3234000=1617*2000. Tendrás que trabajar un poquito, pero aprenderás mucho.

Parte libre

Para no alargar el tema, tan sólo destacaremos que su definición para factores primarios puede ser:

Esto quiere decir que los factores pares desaparecerán en la parte libre y que los impares se convertirán en 1. Al actuar sobre los factores primarios de forma independiente, esta función es también multiplicativa.

Te proponemos una comprobación de su carácter multiplicativo:



Repasa los cálculos y recuerda que ahora se trata de la parte libre.

Mínimo múltiplo cuadrado

Con todo lo que ya llevamos, su definición te vendrá a la mente al momento. Es esta:



Era de esperar. El número N está “emparedado” entre dos cuadrados: el que resulta de restar un 1 o un 0 a los exponentes y el que se calcula sumando ese 1 a los impares y un 0 a los pares.

Por ejemplo:

PC(2400)= =24*52=400; 2400= =25*52*3;  MMC(2400)=14400= =26*52*32

Esta función es multiplicativa por la misma razón que las anteriores.

(Continuará)

martes, 29 de noviembre de 2011

Pasito a pasito hacia la complejidad (ampliación)

Después de publicar las dos entradas anteriores referentes a “pasito a pasito hacia la complejidad” nuestro amigo Claudio Meller nos escribió destacando propiedades muy parecidas. En concreto:

47 primo
46 = 2 x 23
45 = 3 x 3 x 5

107 primo
106 = 2 x 53
105 = 3 x 5 x 7
104 = 2 x 2 x 2 x 13

71999 primo
71998 = 2 x 35999
71997 = 3 x 103 x 233
71996 = 2 x 2 x 41 x 439
71995 = 5 x 7 x 11 x 11 x 17

En este blog si nos dan un empujoncito salimos corriendo a descubrir cosas nuevas. Así que Claudio ha sido en este caso el motor de arranque de nuevas búsquedas.

Pasitos hacia atrás

En efecto, los pasos no tienen que ser necesariamente hacia un crecimiento. Pueden decrecer, como en los ejemplos propuestos por nuestro amigo. Investigando en OEIS y con nuestros buscadores podemos presentar lo siguiente:

Primos p con p-1 semiprimo

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467,…

https://oeis.org/A005385

Como en la entradas anteriores, p-1 ha de ser múltiplo de 2 y de otro primo q=(p-1)/2 Por tanto ese nuevo primo q sería del tipo de Sofie Germain.

(Ver http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Sophie_Germain
y http://oeis.org/A005384)

Primos p con p-1 semiprimo y p-2 3-casiprimo

47, 107, 167, 263, 347, 359, 467, 479, 563, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1907, 2039, 2063, 2099, 2447, 2819, 2879,…

En ellos p-1 es par, p-2 múltiplo de 3 y p es del tipo 12k-1

Esta sucesión estaba inédita en OEIS y la acabamos de publicar incluyendo a Claudio Meller como “sugeridor”. Está en http://oeis.org/A201147

Con tres pasos

107, 263, 347, 479, 863, 887, 1019, 2063, 2447, 3023, 3167, 3623, 5387, 5399, 5879, 6599, 6983, 7079, 8423, 8699, 9743, 9887,…

En ellos p-1 es par, p-2 múltiplo de 3, p-3 múltiplo de 4 y p es del tipo 12k-1

También la acabamos de publicar con la cita correspondiente a Claudio en http://oeis.org/A201220

Más pasos

Los primeros números naturales que inician sucesiones similares son

2, 5, 47, 107, 71999, 392279, 4533292679...

http://oeis.org/A093552

Por ejemplo, tenemos:

4533292679=4533292679
4533292678=2*2266646339
4533292677=3*251*6020309
4533292676=2*2*11*103029379
4533292675=5*5*17*1871*5701
4533292674=2*3*3*41*661*9293
4533292673=7*7*13*13*29*43*439

Si a alguien se le ocurre otro tipo de pasito a la complejidad no tiene más que avisarnos.

viernes, 25 de noviembre de 2011

Pasito a pasito hacia la complejidad (Soluciones)

(Con esta entrada y la anterior participamos en el 2.8 Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por Ciencia Conjunta)


Soluciones a las cuestiones planteadas en la entrada anterior:

(a) Si N es primo y N+1 semiprimo, como N+1 es par, ha de ser múltiplo de 2, luego (N+1)/2 ha de ser primo para que se cumpla que N+1 sea semiprimo. Recíprocamente: si (N+1)/2 es primo, N+1 es semiprimo, pues N+1=2p con p primo.

(b) El directo es muy sencillo, pues sigma(N)=1+N por ser primo, luego sigma(N)/2 es primo. El recíproco hay que verlo con más cuidado: si sigma(N)/2 es primo, sigma(N)=2p con p primo. Pero la fórmula de sigma(N) se compone de varios factores del tipo 1+q+q2+q3+… con q factor primo de N. En este caso sólo puede haber un factor primo, ya que 1+q>2, luego el 2 se ha producido como factor de 1+q+q2+q3+…Para que 1+q+q2+q3+…=2p ha de reducirse a 1+q. En efecto, si la potencia mayor es impar, la suma de potencias 1+q+q2+…sería impar y no podría ser múltiplo de 2. Si la mayor es par, se puede descomponer en (1+q)+q(1+q)+q2(1+q)+…=(1+q)(1+q+q2+…) y ambos factores serían mayores que 2, lo que no es lo supuesto.

(c) Si N=4k+3 entonces N+1=4(k+1) con lo que no podría ser semiprimo.

(d) N es primo, luego no será múltiplo de 3. N+1 es del tipo 2p con p primo. Ese primo no puede ser 3, porque entonces N+1=6 y N=5 y hemos afirmado que es mayor. Si no es 3, no será tampoco múltiplo de 3, pues entonces N+1 no sería semiprimo. Por tanto, N+1 no es múltiplo de 3, Como los múltiplos de 3 aparecen de 3 en 3 números, N+2 sí tendrá que serlo.

(e) Si N es primo, su resto módulo 12 sólo puede ser 1, 5, 7 u 11. Por tanto los restos que producirá N+2 serán 2, 6, 8 o 0 y los de N+2 3, 7, 9 y 1. Hay que desechar estos:
11- Si el resto es 11, N+1 sería múltiplo de 12, y no podría ser semiprimo.
5- N+2 sería del tipo 12k+7, lo que impediría que fuera múltiplo de 3.
7- N+1 sería del tipo 12k+8=2*2*(3k+1) y no sería semiprimo
Luego sólo nos queda que el resto sea 1.

(f) Porque N+1 es múltiplo de 2, N+2 de 3, N+3 de 4, y así sucesivamente, luego N ha de tener resto 1 para 2, 3, 4, 5… y por tanto también para su MCM.

lunes, 21 de noviembre de 2011

Pasito a pasito hacia la complejidad

(Con esta entrada y la siguiente participamos en el 2.8 Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por Ciencia Conjunta)


Toma el número 807905281, que es primo. Súmale una unidad y lo habrás convertido en un semiprimo múltiplo de 2:

807905282 = 2*403952641

Una unidad más y ahora será un 3-casiprimo (tres factores primos) múltiplo de 3:

807905283 = 3*15733*17117

Pero sigue de uno en uno. Descubrirás que cada vez tendremos un factor primo más y que será múltiplo de 4, 5, 6, 7, … Observa:

807905284 = 2*2*1871*107951
807905285 = 5*11*43*211*1619
807905286 = 2*3*3*3*37*404357
807905287 = 7*7*7*7*29*41*283


Pero hasta aquí llegamos, pues con una unidad más se disminuye el número de primos. En efecto, 807905288 = 2*2*2*53*1905437

¿Es frecuente este avanzar de unidad en unidad a estructuras más complejas?
Pues sí y no. Muy frecuente no es, pero si nos conformamos con menos pasos, existen muchos ejemplos, ya publicados, y que puedes reproducir fácilmente con un par de funciones. Aprovecharemos estos ejemplos para que razonemos un poco. Las soluciones aparecerán en una próxima entrada.

Un paso

Es el caso más simple, el de N primo y N+1 semiprimo. Lo cumplen estos primos: 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193, 277, 313, 397, 421, 457, 541, 613, 661, 673, 733,… y está publicado en https://oeis.org/A005383

(a) Un razonamiento sencillo: Una condición equivalente para todos los primos N de la lista es que  (N+1)/2 sea también primo. ¿Descubres la causa?
(b) Otro más difícil: Estas condiciones también equivalen a que sigma(N)/2 sea un número primo. ¿Por qué?
(c) Salvo el 3, todos los demás son primos del tipo 4k+1. Piensa en resto que debería tener N+1 con módulo 4.

Dos pasos

Existen primos N en los que N+1 es semiprimo y N+2 tiene 3 factores primos. Son estos:
61, 73, 193, 277, 397, 421, 613, 661, 757, 1093, 1237, 1453, 1657, 2137, 2341, 2593,… https://oeis.org/A112998

Es evidente que forman un subconjunto de los anteriores, y esto nos va ocurrir en cada paso que demos.
Piensa un poco: (d) Si N>5 (y todos lo son) N+2 ha de ser múltiplo de 3

Y otro poco más: (e) Todos los primos de la sucesión presentan resto 1 al dividirlos entre 12: 61=5*12+1; 73=6*12+1,…Razónalo (lo tienes en inglés en A112998. Lo aclararemos en la próxima entrada)

Tres pasos

También los conocemos: 193, 421, 661, 1093, 1657, 2137, 2341, 2593, 6217, 7057, 8101, 9817, 12421, 12853,…https://oeis.org/A113000 Subconjunto de los anteriores y con las mismas propiedades.

En ellos N+1 es par, N+2 múltiplo de 3 y N+3 múltiplo de 4. Si has desarrollado las cuestiones anteriores, no te costará entenderlo.

Más pasos

Para seguir jugando a esto necesitas las funciones ESPRIMO y BIGOMEGA, que es la función que cuenta los factores primos con multiplicidad (Ver su código en http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/01/redondez-de-un-numero.html)

Para crear un código de búsqueda puedes tener en cuenta que para el caso de k pasos, el número primo inicial ha de tener resto 1 tomando como módulo el MCM de los números 1,2,3…k 
 (f) Si has entendido todo lo anterior sabrás la razón.

En Basic puedes intentar algo así:

Input k Escribimos el número de pasos
Input mcm Para dar más velocidad, escribimos ya calculado el MCM
Input n Final de búsqueda. Generalmente un número grande.

For i = 1 To n Step mcm Los saltos de mcm en mcm ahorran muchos pasos de cálculo
a = 0
If esprimo(i)  Then
  For p = 1 To k
  If bigomega(i + p) = p + 1 Then a = a + 1
La línea fundamental
  Next p
  If a = k Then Msgbox(i)
End If
Next i
End Sub


Por ejemplo, para k=4, bastante tiempo y paciencia, llegarías a esta sucesión:

15121, 35521, 52321, 117841, 235441, 313561, 398821, 516421, 520021, 531121, 570601, 623641,… http://oeis.org/A113008

Para comprobar tu código y ahorrar tiempo, aquí tienes el primer número primo de cada caso:
2, 3, 61, 193, 15121, 838561, 807905281, 19896463921, 3059220303001, 3931520917431241,… https://oeis.org/A072875

Y para ampliar y asombrarte con el trabajo de algunos, estudia esta página:

http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_425.htm

Las soluciones de las cuestiones (a) a (f) las tendrás en la próxima entrada de este blog

jueves, 10 de noviembre de 2011

Mi pequeño homenaje al 11/11/11

111111 se descompone en los factores primos 3, 7, 11, 13, 37. Si los concatenamos en ese orden resulta otro bonito número primo: 37111337 (Ver http://oeis.org/A046411) Si los sumamos, también: el 71

Y si expresamos 111111 en base 8: 331007(8, usa todas las cifras de la descomposición anterior.

6562-5652=111111 El curioso efecto de sustituir entre sí 6 y 5.

Como sólo quedan unas horas, no me da tiempo de buscar más.

martes, 8 de noviembre de 2011

El conjunto de los divisores

Aunque el conjunto de los divisores de un número aparece en muchas cuestiones y en este blog hemos hecho bastantes referencias a él, conviene, para entender algunas cuestiones sobre funciones multiplicativas, que le demos un repaso.

Consideremos, por ejemplo, el conjunto de los divisores de 240=24*3*5:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

Lo primero que hay que considerar es que es un conjunto finito. Eso parece una trivialidad, pero nos evita preocuparnos por sumas o productos infinitos.

Orden

Los divisores presentan un orden total respecto a su valor absoluto, y además, cada divisor d está asociado a N/d mediante una correspondencia biunívoca que invierte ese orden. Si multiplicamos en la tabla siguiente dos divisores en columna siempre nos resulta 240:

240  120   80   60   48   40   30   24   20   16   15   12   10     8    6    5    4   3     2      1
  1     2       3     4     5     6    8   10   12    15   16   20   24   30  40  48  60  80 120  240

Por tanto, d y N/d recorren el mismo conjunto con órdenes opuestos.

Como todo tipo de divisores, los de N presentan también un orden parcial respecto a la relación divisor-múltiplo. En el siguiente esquema representamos el retículo correspondiente a los divisores de 240:



No se han representado todas las relaciones, para no complicar el esquema, pero cada dos divisores tiene un elemento minimal que es su MCD y otro maximal, su MCM. Obsérvese que al recorrer el esquema de arriba abajo va aumentando el número de divisores primos de las descomposiciones factoriales.

Número

Desde las enseñanzas secundarias sabemos que si un número N se descompone en factores primos como



El número de divisores, o función Tau, viene dado por

D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )

Y el conjunto de divisores coincide con los términos del producto


Esto ya es algo sabido. Sólo hay que destacar que el número de divisores depende de la signatura prima, que es el conjunto de exponentes, y no de los factores primos.

La fórmula anterior se traduce en un producto cartesiano formado eligiendo una potencia de un factor primo cada vez. Este producto cartesiano que forman los términos de la expresión (1) es fundamental para entender más tarde cómo se comportan las funciones multiplicativas sobre el conjunto de divisores.

El conjunto de divisores de un número es uno de los mejores ejemplos que existen de concurrencia entre cuestiones combinatorias y de divisibilidad.

Divisores libres de cuadrados

Si sólo consideramos los factores libres de cuadrados obtendremos un esquema similar al del Binomio de Newton. Esto nos será muy útil para algunas funciones multiplicativas.

Los divisores libres de cuadrados poseen factores primos distintos. De esta forma, para engendrar uno de estos divisores bastará elegir algunos de los factores primos, pero una sola vez cada uno. Así desembocamos en un problema de combinaciones. Lo vemos para el caso del 240, para el que el número de factores primos distintos es 3:
  • Divisores sin ningún factor primo: El 1. Hay en total C3,0
  • Divisores con un factor: 2, 3, 5. En total C3,1
  • Con dos factores distintos: 6, 10 y 15: C3,2
  • Con tres factores: 30, es decir C3,3
Así que en total hay 8. Si recuerdas el desarrollo del binomio, esto ocurre porque C3,0+ C3,1+ C3,2+ C3,3 = 23 = 8

Generalizando:


El número de divisores libres de cuadrados en un número que posee k factores primos distintos es 2k


Esta clasificación la usaremos en una próxima entrada. Hemos recorrido los ocho números libres de cuadrados 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.

Por tanto, el número de divisores no libres de cuadrados será:

D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )- 2k

En el caso de 240 sería: 5*2*2-8=12, que son estos: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 40, 48, 60, 80, 120, 240

Divisores del producto

Si tomamos dos números A y B primos entre sí y los multiplicamos, sus conjuntos de divisores quedarán multiplicados término a término, todos los de A con cada uno de B.

Por ejemplo, si 240, con 20 divisores, lo multiplicamos por 119=7*17, que posee 4 divisores, 1, 7, 17 y 119, resultará 28540, con estos 80 divisores:


No sólo eso, sino que cada divisor de 28540 será el producto de uno de 240 por otro de 119, como puedes ver en esta otra forma de presentar los divisores:


Esto es así porque al ser primos entre sí A y B aportan factores primos distintos sin que se mezclen los de uno con los del otro.


Por tanto, los divisores de un producto AB en el que A y B son coprimos, están formados por todos los productos posibles dd’ en los que d divide a A y d’ a B

Y con esto llegamos a donde queríamos. Es fácil ya ver lo siguiente:

Si f es multiplicativa y se define F como




Entonces F es también multiplicativa

Ya que las multiplicativas actúan por separado sobre los factores primos y hemos visto que estos se combinan totalmente en el producto.

Este teorema hace que las funciones sigma y tau sumadas a lo largo de sus divisores sean multiplicativas, pero ya volveremos sobre ello. Por ahora lo comprobaremos para la tau mediante un ejemplo:

La suma de la función Tau para el número 77 recorriendo todos sus divisores es 9, la correspondiente a 12, coprimo con 77, es 18. Si los multiplicamos resulta 77*12=924, cuya suma de Tau es 162, producto de 9 con 18.

domingo, 30 de octubre de 2011

Al complicar se simplifica

El uso conjunto de las operaciones de sumar y multiplicar en los temas de Teoría de Números da lugar a resultados aparentemente paradójicos. Los conceptos de divisor y múltiplo, de número primo, compuesto, abundante o deficiente se basan en la operación de multiplicar, pero nos empeñamos en sumarlos. A veces lo que logramos con esto es que al complicar una situación lo que logramos es una estructura menos compleja.

Un ejemplo claro es el de sumar números compuestos de varios divisores y que el resultado resulte ser un número primo. Así, 60=22*3*5 y 931=72*19 y sin embargo su suma 991 es un número primo. La operación de sumar ha significado una pérdida de complejidad.

Otro ejemplo: En una entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/06/un-par-de-abundantes.html) vimos que todo número par mayor que 46 es suma de dos abundantes. Esta operación también puede suponer una pérdida de complejidad. Así, 18 y 40, ambos abundantes, con su suma producen el número 58, que es deficiente.

Estudiaremos con detenimiento otro ejemplo: La función sigma (http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/03/la-familia-de-las-sigmas-2.html) suma todos los divisores de un número. Es una operación que requiere varios pasos y bastantes operaciones. ¿Podrá producir resultados primos o semiprimos?

Podríamos intentar una búsqueda simple con hoja de cálculo: recorreríamos todos los números en un cierto rango, calculando su sigma y viendo si es prima o semiprima. El resultado sería el siguiente (para números menores que 1000):
Número N
Sigma
Tipo
Factores de N
Factores de Sigma(N)
3
4
Semiprimo
 3
 2 2
4
7
Primo
 2 2
 7
5
6
Semiprimo
 5
 2 3
8
15
Semiprimo
 2 2 2
 3 5
9
13
Primo
 3 3
 13
13
14
Semiprimo
 13
 2 7
16
31
Primo
 2 2 2 2
 31
18
39
Semiprimo
 2 3 3
 3 13
25
31
Primo
 5 5
 31
36
91
Semiprimo
 2 2 3 3
 7 13
37
38
Semiprimo
 37
 2 19
49
57
Semiprimo
 7 7
 3 19
50
93
Semiprimo
 2 5 5
 3 31
61
62
Semiprimo
 61
 2 31
64
127
Primo
 2 2 2 2 2 2
 127
73
74
Semiprimo
 73
 2 37
81
121
Semiprimo
 3 3 3 3
 11 11
100
217
Semiprimo
 2 2 5 5
 7 31
121
133
Semiprimo
 11 11
 7 19
144
403
Semiprimo
 2 2 2 2 3 3
 13 31
157
158
Semiprimo
 157
 2 79
169
183
Semiprimo
 13 13
 3 61
193
194
Semiprimo
 193
 2 97
225
403
Semiprimo
 3 3 5 5
 13 31
256
511
Semiprimo
 2 2 2 2 2 2 2 2
 7 73
277
278
Semiprimo
 277
 2 139
289
307
Primo
 17 17
 307
313
314
Semiprimo
 313
 2 157
361
381
Semiprimo
 19 19
 3 127
397
398
Semiprimo
 397
 2 199
400
961
Semiprimo
 2 2 2 2 5 5
 31 31
421
422
Semiprimo
 421
 2 211
457
458
Semiprimo
 457
 2 229
529
553
Semiprimo
 23 23
 7 79
541
542
Semiprimo
 541
 2 271
576
1651
Semiprimo
 2 2 2 2 2 2 3 3
 13 127
578
921
Semiprimo
 2 17 17
 3 307
613
614
Semiprimo
 613
 2 307
625
781
Semiprimo
 5 5 5 5
 11 71
661
662
Semiprimo
 661
 2 331
673
674
Semiprimo
 673
 2 337
729
1093
Primo
 3 3 3 3 3 3
 1093
733
734
Semiprimo
 733
 2 367
757
758
Semiprimo
 757
 2 379
841
871
Semiprimo
 29 29
 13 67
877
878
Semiprimo
 877
 2 439
961
993
Semiprimo
 31 31
 3 331
997
998
Semiprimo
 997
 2 499

Se ve que en algunos casos, como el del 576, la pérdida de complejidad es notable.

Concretemos un poco, y supongamos que N es semiprimo: N=p*q con p y q ambos primos. ¿Cuándo su sigma resultaría ser prima o semiprima?

Podemos razonar que p ha de ser igual a q: si son ambos iguales a 2, se cumple, porque 4=2*2 y sigma(4)=1+2+4=7 que es primo. En caso contrario, uno de ellos, supongamos que sea p, ha de ser impar, con lo que sigma(N)=(1+p)(1+q)=2h(1+q), con al menos tres factores, por lo que no puede ser primo ni semiprimo. En resumen: N ha de tener la forma de N=p2 con p primo. Puedes comprobarlo en la tabla anterior, pues todos los valores de N que presentan dos factores son cuadrados de primos (aunque no están todos)

Número N
Sigma
Factores de sigma
4
7
 7
9
13
 13
25
31
 31
49
57
 3 19
121
133
 7 19
169
183
 3 61
289
307
 307
361
381
 3 127
529
553
 7 79
841
871
 13 67
961
993
 3 331


En efecto, no están todos los cuadrados de primos, y además, los factores que aparecen en sigma(N) son el 3 y números primos del tipo 6m+1. ¿Por qué? Aclararemos algo a continuación. Repasaremos con ello la teoría de los restos cuadráticos:

Para este tipo de números sigma(N)=1+p+p2. Como el caso de p=2 está resuelto, podemos suponer que p>2 y por tanto impar, N será impar y sigma(N) también. Por tanto, si poseen divisores h, estos serán mayores que 2. Llamemos k a un posible divisor de sigma(N). Al ser primo impar, podremos aplicar la teoría de los restos cuadráticos (ver Parra Restos cuadráticos y Ley de reciprocidad cuadrática http://hojamat.es/parra/restocuad.pdf)

(NOTA: Por razones tipográficas usamos el signo = en las congruencias).

Si k es un divisor, se ha de cumplir que 1+p+p2=0 (mod k). Si multiplicamos por 4 quedará:

4+4p+4p2=(2p+1)2+3=0 (Mod k)   (1)

Esta congruencia puede darse en dos situaciones:

(a) Que sea k=3. Con ello se cumpliría (1) siempre que 2p+1=0 (mod 3), 2p=2 (mod 3), p=1 (mod 3) (se puede dividir entre 2 porque es primo con k), es decir que p ha de ser de la forma 3m+1. Esta es condición necesaria para que k=3, pero no suficiente.

(b) Que k no sea 3. En ese caso el número -3 ha de ser resto cuadrático respecto  a k (Ver Parra http://hojamat.es/parra/restocuad.pdf). Para que esto se cumpla, k ha de tener la forma k=6m+1. Esto completa el razonamiento: k ha de ser 3 o del tipo 6m+1, como puedes comprobar en la tabla anterior.

Una vez determinada la naturaleza de los factores (que sean el 3 u otro primo de la forma 6m+1), debemos tener en cuenta que sigma(N) puede tener un sólo factor y por tanto ser primo, o bien dos, pasando a ser semiprimo.

(A) Sigma(N) es primo

Para el caso de sigma prima puedes consultar  https://oeis.org/A023194. Es interesante que leas algunos comentarios, pero ten en cuenta que aquí solo hemos estudiado el caso en el que N era el cuadrado de un primo. Por tanto, nuestra secuencia de estos primos

2, 3, 5, 17, 41, 59, 71, 89, 101, 131, 167, 173, 293, 383, 677, 701, 743, 761, 773, 827, 839, 857, 911, 1091, 1097, 1163, 1181, 1193, 1217…

es una subsecuencia de https://oeis.org/A055638 y coincide con https://oeis.org/A053182 en la que figura un comentario de nuestro amigo Claudio Meller.

Todos sus elementos, salvo los primeros 2 y 3, son números primos de la forma 6m-1.

(A) Sigma(N) es semiprimo

En este caso los resultados son:

Primo p
Sigma(p*p)
Factores de Sigma
7
57
3 19
11
133
7 19
13
183
3 61
19
381
3 127
23
553
7 79
29
871
13 67
31
993
3 331
43
1893
3 631
47
2257
37 61
53
2863
7 409
73
5403
3 1801
83
6973
19 367
97
9507
3 3169
103
10713
3 3571
113
12883
13 991
127
16257
3 5419
157
24807
3 8269
179
32221
7 4603
197
39007
19 2053
199
39801
3 13267
223
49953
3 16651
227
51757
73 709


Como se ve, los factores primos de Sigma sólo pueden ser el 3 o los del tipo 6m+1