Repitunos y progresiones geométricas

Existen números, como el 31, que equivalen simultáneamente a dos o más sumas distintas de las primeras potencias de un número natural. En este caso son:

31=1+2+4+8+16
31=1+5+25

Estas igualdades se pueden interpretar como que 31 tiene como expresión un “repituno” en las bases 2 y 5:

31(10 = 11111(2 = 111(5

Ya he usado estos números en entradas antiguas, pero hoy buscaremos los que, como el 31, presentan esta propiedad en dos o más bases distintas.

Equivalencia de sumas de primeras potencias

Este tema se puede tratar de forma algebraica, pero parece preferible la algorítmica, porque además de descubrir qué números son de este tipo se pueden contar las sumas a las que equivalen. Usaré esta función:

Function essumapot$(n) ‘Función string

Dim tope, i, k, m, r

Dim s$

 

tope = Int((Sqr(4 * n - 3) - 1) / 2) ‘Este tope se basa en el caso a=2

r = 0 ‘Número de soluciones

For i = 2 To tope ‘Posibles bases de potencias

k = 1 ‘Primer exponente a probar

m = 1 + I ‘Primera suma de potencias

Do Until m > n

k = k + 1 ‘Siguiente exponente

m = m + potencia(i, k) ‘Siguiente suma

If m = n Then s = s + " # " + ajusta(i) + ", " + ajusta(k): r = r + 1 ‘Hay una solución

Loop

Next i

If s <> "" Then s = ajusta(r) + " ## " + s ‘Se construye la solución

essumapot = s

End Function

 

Con esta función se determina qué números son “repitunos” en alguna base y de cuántas formas. Los primeros detectados son estos:

Se observa que el 31 es suma de potencias de 2 hasta la cuarta y del 5 hasta el cuadrado, como ya sabíamos. La inclusión del número de soluciones al principio nos facilitará las búsquedas.

Están publicados en  https://oeis.org/A053696

Todos son “números brasileños”, como puedes comprobar en la entrada de este blog dedicada a esos números.

https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=brasile%C3%B1os

Lo que nos interesa aquí es la existencia de soluciones múltiples, como en el caso del 31. Bastará buscar las soluciones en las que el primer carácter tenga un valor superior a 1.

Tal como se podía sospechar por anteriores trabajos sobre temas afines, sólo se encuentran dos soluciones, 31 y 8191, ambos primos de Mersenne (31=2^5-1 y 8191=2^13-1. No existen más entre los números menores de 2^44.

Puedes ampliar el tema en https://oeis.org/A119598

Progresiones geométricas múltiples

Estos dos números, 31 y 8191 pueden sea base para encontrar los primeros elementos de progresiones geométricas con el mismo término inicial. Basta elegir un múltiplo de cualquiera de ellos dos.

Por ejemplo, elegimos 31 por 13, es decir, 403. Tomamos 13 como término inicial de una progresión geométrica, y desarrollamos 31 de dos formas distintas, como ya sabemos:

403=13*31=13*(1+2+4+8+16)=13+26+52+104+208

403=13*31=13*(1+5+25)=13+65+325

Hemos expresado el 403 como suma de dos progresiones geométricas. Podemos efectuar idénticas operaciones con múltiplos de 8191. Por tanto:

Existen infinitos números naturales que se pueden expresar como dos sumas distintas de progresiones geométricas con el mismo término inicial.

 
Coincidencia de dos progresiones en general

Si eliminamos la condición de igualdad del término inicial en las progresiones geométricas, el problema sería totalmente distinto, con muchos más parámetros a considerar. En mis cálculos diarios encuentro muchos casos de varias progresiones geométricas que coinciden en su suma. Si quieres experimentar, esta función detecta estas progresiones para razones entre 2 y 9

Function pg$(n) 'Es suma de una o más progresiones geométricas

Dim i, j, a, s

Dim ss$

 

ss = "" ‘Contenedor de soluciones

For i = 2 To 9 ‘Razón de la progresión

j = 1

s = 1 ‘Inicios

While j < 10 And s <= n

s = s + i ^ j ‘Se suma la progresión

a = n / s ‘Posible inicio de la progresión

If a = Int(a) And j > 1 Then ss = ss + "##" + Str$(j + 1) + " sumandos " + Str$(i) + " razón " + Str$(a) + " Inicio"

j = j + 1 ‘Número de sumandos

Wend

Next i

pg = ss

End Function

Con él se pueden detectar sumas múltiples para cualquier número, si es que existen. Por ejemplo, el número 1001 es suma de tres progresiones geométricas distintas:

1001 ## 3 sumandos  2 razón  143 Inicio## 3 sumandos  3 razón  77 Inicio## 3 sumandos  9 razón  11 Inicio

En efecto:

1001=143+143*2+143*4
1001=77+77*3+77*9
1001=11+11*9+11*81

Es claro que cambia el término inicial en cada suma.

Sumas de términos en progresión

En esta entrada nos preguntaremos, dado un número natural N, qué progresiones aritméticas de números, también naturales, tienen como suma el número dado N.

Esta cuestión maneja tres variables distintas, como son el término inicial de la progresión, a₁, el número de términos k, y la diferencia de la progresión, sea d. Para una gestión cómoda del problema, es conveniente fijar una de ellas y dejar como variables las otras dos. Su relación algebraica es sencilla, si se recuerdan las fórmulas de las progresiones aritméticas:

Término general:

Suma de la progresión

Si combinamos las dos fórmulas, y  llamamos N a la suma (que es nuestro objetivo), obtendremos, después de simplificar:

Multiplicando por 2:

Esta es nuestra igualdad básica, que nos informa de algo fundamental, y es que el número de términos k ha de ser divisor de 2N.

Por otra parte, el máximo valor de k sería el resultante de sumar una progresión aritmética formada por los primeros números naturales (d=1). Cualquier otra progresión requiere menos sumandos. Esa suma de los primeros naturales constituye un número triangular, luego la cota de k se desprendería de la desigualdad

En otras entradas de este blog hemos despejado el equivalente a k respecto a N, y nos ha resultado, después de manipulaciones algebraicas:

En lenguaje de VBASIC y similares, k<=Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)

Además de ser divisor de 2N y presentar esta acotación, al despejar a₁ o d en la fórmula básica, deberá resultar un entero positivo. Según planteemos la búsqueda, exigiremos que uno u otro sean de ese tipo.

Por otra parte, si llamamos q al cociente (que será entero) 2N/k, es fácil ver que la diferencia d tiene como cota q/(k-1) (que sería cuando  a₁=0).

Por ejemplo, la siguiente función depende de N y k, y en ella exigimos que a₁ sea entero positivo:

Function sumaprogre$(n, k) ‘Es un texto, para abarcar todas las soluciones

Dim a, d, b, c, q
Dim s$

s$ = "" ‘Contenedor para el texto
q = 2 * n / k ‘Cociente para ver si k es divisor de 2N
If q = Int(q) Then ‘Es divisor
For d = 2 To q / (k - 1) ‘Usa la cota q/(k-1) para d
a = (q - d * (k - 1)) / 2 ‘Cálculo de a₁
If a > 0 And a = Int(a) Then ‘Si a₁ es entero positivo, seguimos
b = a + d * (k - 1) ‘Último término
s = s + " ## a(1)=" + Str$(a) + " a(k)=" + Str$(b) + " d=" + Str$(d)
‘Se presenta el resultado como texto, con inicio, fin y diferencia
End If
Next d
End If
If s = "" Then s = "NO" ‘No hay solución
sumaprogre = s
End Function

Por ejemplo, el número 142 es igual a 2*71, con lo que los divisores de 284 (2N) son  284, 142, 71, 4, 2, 1, y constituyen los valores posibles de k. Si probamos k=71, la función nos devuelve un “NO”, porque no existen sumas con k=71. Por el contrario, si elegimos k=4, nos resulta un número excesivo de soluciones:

Sumaprogre(142;4)= ## a(1)= 31 a(k)= 40 d= 3 ## a(1)= 28 a(k)= 43 d= 5 ## a(1)= 25 a(k)= 46 d= 7 ## a(1)= 22 a(k)= 49 d= 9 ## a(1)= 19 a(k)= 52 d= 11 ## a(1)= 16 a(k)= 55 d= 13 ## a(1)= 13 a(k)= 58 d= 15 ## a(1)= 10 a(k)= 61 d= 17 ## a(1)= 7 a(k)= 64 d= 19 ## a(1)= 4 a(k)= 67 d= 21 ## a(1)= 1 a(k)= 70 d= 23

Observamos que varían entre d=3: 31+34+37+40=142 hasta d=23, 1+24+47+70=142.

Los valores posibles de las diferencias cumplen la acotación 2N/k/(k-1), que en este caso sería 284/4/3=23,666…

Llama la atención que probando varios números, suelen aparecer muchas soluciones, o ninguna. En algunos casos, la solución es única. Por ejemplo, el número 2024 sólo admite una solución con 44 sumandos:

Sumaprogre(2024;44)= ## a(1)= 3 a(k)= 89 d= 2

Es una suma de impares desde 3 hasta 89. Con otra herramienta, usando diferencias de cuadrados,  se llega al mismo resultado:

Aquí se ha expresado 2024 como 45²-1², de donde resulta la misma suma de impares.

Estudio para un número dado

La anterior función se puede aplicar a todos los divisores de un número, con lo que obtendríamos un panorama general de todas las posibilidades que tiene de ser suma de una progresión aritmética. El problema es de visualización, pues, tal como comentamos anteriormente, pueden obtenerse muchas soluciones, con lo que se perdería la visión de conjunto. En el siguiente recorte (incompleto) podemos observar los resultados para 2024:

La primera columna indica el número de sumandos, y la segunda, en forma de texto, todas las posibilidades, descritas mediante a(1), a(k) y d.

Uso de la diferencia como parámetro

Podemos estar interesados en cuántas sumas, con una diferencia dada, se pueden encontrar para N. Por ejemplo, en el recorte anterior del caso del 2024, se descubren varios ejemplos con d=4.

La siguiente función, muy similar a la anterior, nos devuelve todas las sumas con una diferencia dada. No se añaden comentarios porque la metodología es la misma.

Function sumaprogre2$(n, d)

Dim a, k, b, c, q, l
Dim s$

s$ = ""
l = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)
For k = 2 To l
q = 2 * n / k
If q = Int(q) Then
a = (q - d * (k - 1)) / 2
b = a + d * (k - 1)
If a > 0 And a = Int(a) Then s = s + " ## a(1)=" + Str$(a) + " a(k)=" + Str$(b) + " k=" + Str$(k)
End If
Next k
If s = "" Then s = "NO"
sumaprogre2 = s
End Function

Aplicada al año 2024 y a la diferencia d=4 nos ha devuelto estas soluciones, que coinciden con las del esquema general:

## a(1)= 1010 a(k)= 1014 k= 2 ## a(1)= 500 a(k)= 512 k= 4 ## a(1)= 239 a(k)= 267 k= 8 ## a(1)= 164 a(k)= 204 k= 11 ## a(1)= 50 a(k)= 134 k= 22 ## a(1)= 44 a(k)= 132 k= 23

En ellas se nos ofrecen el primer término a(1), el último a(k) y el número de sumandos k.

Por ejemplo, a(1)= 164 a(k)= 204 k= 11 se refiere a esta suma con 11 sumandos que se diferencian en 4 unidades:

2024=164+168+172+176+180+184+188+192+196+200+204

Podríamos repetir las búsquedas fijando un valor para a₁, pero no parece resultar interesante.

Detección de progresiones aritméticas

Es bastante frecuente que tres elementos de una misma sucesión o del mismo tipo presenten una progresión aritmética, es decir, que tengan la forma (n-k, n, n+k). Un ejemplo de esto son las ternas de números primos en progresión:

 3  5  7

 3  7  11

 5  11  17

 7  13  19

 11  17  23

 7  19  31

 17  23  29

 17  29  41

 19  31  43

 31  37  43

 29  41  53

En mis sucesiones http://oeis.org/A292313, http://oeis.org/A292309, http://oeis.org/A292314 y otras se hace referencia a este tipo de ternas, que son admitidas por casi todos los tipos de números más populares.

La detección de estas ternas no ofrece problemas de diseño de un algoritmo. Si fijamos la atención en el término central n, es claro que n-k pertenecerá al rango (1, n-1). Por tanto, bastará recorrerlo y, para cada número del mismo tipo que n, buscar si n+k también coincide con ellos en la misma característica o propiedad, que en el caso anterior era la de ser primos.

Las ternas anteriores de primos se pueden detectar con la siguiente función de Excel y Calc:

function hayprog$(n) ‘Devuelve un string con la terna, o bien una cadena vacía

dim i,k

dim s$

 

if not esprimo(n) then hayprog="":exit function ‘Si el número no es primo, salimos.

s=""

k=0

for i=1 to n-1 ‘La variable i recorre el rango (1,n)

if esprimo(i) then ‘Si es primo, seguimos

k=n-i ‘Si n+k también es primo, hemos llegado a una terna

if esprimo(n+k) then s=s+” # “+str$(n-k)+" "+str$(n)+" "+str$(n+k)

end if

next i

hayprog=s

end function

Con PARI se puede usar este mismo algoritmo. Al ser un lenguaje más orientado a números, usaremos como respuesta de la función ESPROG el término central.

esprog(n)={my(s=0,k=0,i);if(isprime(n),for(i=1,n-1,if(isprime(i),k=n-i;if(isprime(n+k),s=1))));s}

for(i=1,100,if(esprog(i),print(i)))

 Si lo ejecutas en https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html, te devolverá los términos primos centrales:

 

El uso del bucle FOR-NEXT se justifica porque, en otros casos que veremos más adelante, pueden existir dos soluciones. Si no, usaríamos WHILE, que se puede detener antes.

Ternas de cuadrados

Las ideas anteriores las podemos aplicar a muchos tipos de números. Comenzamos por los cuadrados. Para ello, sustituimos la función ESPRIMO por ESCUAD  en Excel y Calc, y  en PARI, isprime por issquare. Puedes buscar la función ESCUAD en este mismo blog. El resultado sería el siguiente:

   #  1  25  49

 #  4  100  196

 #  49  169  289

 #  9  225  441

 #  49  289  529

 #  16  400  784

 #  25  625  1225 #  289  625  961

 #  196  676  1156

 #  1  841  1681

 #  36  900  1764

 #  196  1156  2116

 #  49  1225  2401

 #  529  1369  2209

 #  441  1521  2601

 #  64  1600  3136

 #  961  1681  2401

 Vemos que el 625 es centro de dos ternas distintas. Comprueba que todas las ternas presentan una progresión aritmética.

Los términos centrales están publicados en OEIS:

A198385         Second of a triple of squares in arithmetic progression.

25, 100, 169, 225, 289, 400, 625, 676, 625, 841, 900, 1156, 1369, 1225, 1681, 1521, 1600, 2500, 2025, 2704, 2601, 2500, 3721, 2809, 3025, 4225, 3364, 3600, 4225, 4225, 4225, 4624, 5625, 5476, 7225, 4900, 6724, 6084, 5329, 5625, 6400, 7225, 7225, 7225, 7921

Las primeras diferencias de estas progresiones son: 24, 96, 120, 216, 240, 384, 336, 480, 840, 864, 960, 1176 y 840, y todas son múltiplos de 24.

Las sumas de los tres componentes de la terna las publiqué en http://oeis.org/A292313. Coinciden, como es evidente con el triple del término central.

A292313         Numbers that are the sum of three squares in arithmetic progression.

            75, 300, 507, 675, 867, 1200, 1875, 2028, 2523, 2700, 3468, 3675, 4107, 4563, 4800, 5043, 6075, 7500, 7803, 8112, 8427, 9075, 10092, 10800, 11163, 12675, 13872, 14700, 15987, 16428, 16875, 18252, 19200, 20172, 21675, 22707, 23763, 24300, 24843, 27075, 28227, 30000, 30603

Relación entre bases

Una búsqueda se debe enriquecer siempre con ideas teóricas o algebraicas. En este caso, no es difícil relacionar las bases.

Podemos representar la terna como (n-r)², n² y (n+s)². Con ello, la igualdad de diferencias será:

n²-(n-r)²=(n+s)²-n²

Simplificando:

s²+2ns+r²-2nr=0

Es una ecuación de segundo grado en la variable s en la que el discriminante es n²-r²+2nr y ha de ser cuadrado. Esto nos da una posibilidad de crear otra función en la que los resultados sean las bases de los cuadrados. Puede ser esta:

function hayprog2$(n)

dim i,k,q

dim s$

s=""

k=0

for i=1 to n-1

q=n^2-i^2+2*n*i ‘Se exige que el discriminante sea cuadrado

if escuad(q) then

k=sqr(q)-n ‘Las diferencias serán i y k

s=s+” # “+str$(n-i)+" "+str$(n)+" "+str$(n+k)

end if

next i

hayprog2=s

end function

Efectivamente, los números que producen resultados válidos en esta función son las raíces cuadradas de los que obtuvimos más arriba,

 #  1  5  7

 #  2  10  14

 #  7  13  17

 #  3  15  21

 #  7  17  23

 #  4  20  28

 #  17  25  31 #  5  25  35

 #  14  26  34

 #  1  29  41

 #  6  30  42

 #  14  34  46

 #  7  35  49

 #  23  37  47

 #  21  39  51

 #  8  40  56

 

Protagonismo para las diferencias

Podemos despejar n en la expresión s²+2ns+r²-2nr=0:

n=(s²+r²)/(2(r-s))

Si n es entero, el par r, s será válido para cumplir la condición de progresión. Este punto de vista ha resultado muy eficaz, porque para cada valor de r (que será par por ser igual a una diferencia de cuadrados y mayor que s) se obtienen varios valores posibles de n. Son los mismos términos centrales en las ternas de bases, pero agrupados por conjuntos. Hemos usado la función:

function hayprog3$(n)

dim i,q

dim s$

s=""

for i=1 to n-1

q=(n^2+i^2)/(2*(n-i)) ‘La variable q representa la base central

if q=int(q) then s=s+" "+str$(q) ‘Se añaden todas las soluciones para una diferencia dada

next i

hayprog3=s

end function

Si se organiza una búsqueda con esta función, obtendremos los valores de la base central para cada diferencia:

 

 Equivalencia entre dos sumas de impares

 Si recordamos que un cuadrado es una suma de los primeros impares, la diferencia entre dos de ellos también será una suma, aunque no comenzará con el 1. Entonces, las ternas que estamos investigando se traducirán en equivalencia entre dos sumas de impares consecutivos. Así, la terna 1, 25, 49 se puede representar como

3+5+7+9=11+13

 

Ternas de triangulares en progresión

Si sustituimos la función ESCUAD por ESTRIANGULAR (está publicada en el blog, y basta exigir que 8n+1 sea cuadrado), obtendremos ternas del mismo tipo, pero para triangulares. Aquí tenemos una pequeña dificultad si consultamos OEIS, y es que se considera el 0 como triangular, siguiendo la política de esa página. Así, en el siguiente listado publicado, no entrarían, por ejemplo, 3 y 105 si no admitiéramos 0 como triangular. En los cuadrados no existe ese problema, porque uno de ellos no puede ser el doble de otro, pero en los triangulares sí (ver http://oeis.org/A075528).

3          #  0  3  6

21        #  6  21  36

28        #  1  28  55

36        #  6  36  66

78        #  3  78  153 #  36  78  120

105      #  0  105  210

153      #  6  153  300

171      #  66  171  276

190      #  55  190  325

210      #  120  210  300

253      #  10  253  496

325      #  55  325  595

351      #  36  351  666

378      #  15  378  741

 

A292310

Triangular numbers that are equidistant from two other triangular numbers.

3, 21, 28, 36, 78, 105, 153, 171, 190, 210, 253, 325, 351, 378, 465, 528, 666, 703, 903, 946, 990, 1035, 1128, 1176, 1275, 1378, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1891, 1953, 2278, 2346, 2556, 2628, 2775, 2926, 3003, 3081, 3160, 3403, 3570, 3741, 3828, 4095, 4186, 4278, 4371, 4656

Relación entre órdenes

Repitiendo los pasos de los cuadrados, tendremos:

(n+s)(n+s+1)+(n-r)(n-r+1)=2n(n+1)

ns+n+ns+s²+s-rn+n-rn+r²-r=2n

2ns+s²+s-2rn+r²-r=0

s²+(2n+1)s-(2n+1)r+r²=0

El discriminante para s en esa ecuación será

(2n+1)²+4(2n+1)r-4r²

Si es un cuadrado se tendrá:

q²=(2n+1+2r)²-8r²

s=(q-2n-1)/2

Por  tanto, en hayprog2 habrá que introducir este nuevo discriminante:

function hayprog2$(n)

dim i,k,q

dim s$

s=""

k=0

for i=0 to n-1

q=(2*n+1+2*i)^2-8*i^2

if escuad(q) then

k=(sqr(q)-2*n-1)/2

if k>0 then s=s+" # "+str$(n-i)+" "+str$(n)+" "+str$(n+k)

end if

next i

hayprog2=s

end function

El resultado de los primeros órdenes de los triángulos es:

6          #  3  6  8

7          #  1  7  10

8          #  3  8  11

12        #  8  12  15 #  2  12  17

17        #  3  17  24

18        #  11  18  23

19        #  10  19  25

20        #  15  20  24

22        #  4  22  31

25        #  10  25  34

26        #  8  26  36

27        #  5  27  38

30        #  24  30  35

32        #  23  32  39 #  17  32  42 #  11  32  44 #  6  32  45

36        #  3  36  51

Aparecen varios casos múltiples para un mismo orden central. Sin tenerlos en cuenta, con ellos se reconstruyen las ternas de más arriba:

 

Equivalencia entre sumas de consecutivos

Al igual que nos ocurrió con los cuadrados, al ser los triangulares suma de números consecutivos, cada progresión aritmética de triangulares se traducirá en una equivalencia de sumas de ese tipo. Por ejemplo, la terna 6, 36, 66 se traduce en 4+5+6+7+8=9+10+11, ya que ambos suman 30, que es la diferencia.

Ternas de oblongos

Cada terna de triangulares se convierte en otra de oblongos, ya que estos son el doble de los primeros. Cada triangular n(n+1)/2 dará lugar al oblongo n(n+1). No tiene mayor interés.

Semiprimos

Todos los semiprimos, salvo 4 y 6, pueden ser términos centrales en ternas de semiprimos en progresión aritmética. Hay estudios sobre esto en Xianmeng Meng, On sums of three integers with a fixed number of prime factors https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X0500106X?via%3Dihub

 Aquí figuran las ternas que admiten los primeros semiprimos:

9          1 :   #  4,  9,  14

10        1 :   #  6,  10,  14

14        1 :   #  6,  14,  22

15        2 :   #  4,  15,  26  #  9,  15,  21

21        2 :   #  4,  21,  38  #  9,  21,  33

22        3 :   #  6,  22,  38  #  9,  22,  35  #  10,  22,  34

25        2 :   #  4,  25,  46  #  15,  25,  35

26        2 :   #  6,  26,  46  #  14,  26,  38

33        3 :   #  4,  33,  62  #  9,  33,  57  #  15,  33,  51

34        4 :   #  6,  34,  62  #  10,  34,  58  #  22,  34,  46  #  33,  34,  35

35        2 :   #  15,  35,  55  #  21,  35,  49

38        3 :   #  14,  38,  62  #  21,  38,  55  #  25,  38,  51

39        3 :   #  4,  39,  74  #  9,  39,  69  #  21,  39,  57

46        5 :   #  6,  46,  86  #  10,  46,  82  #  15,  46,  77  #  34,  46,  58  #  35,  46,  57

49        3 :   #  4,  49,  94  #  21,  49,  77  #  33,  49,  65

 

Vemos que faltan 4 y 6, y que el resto admite una o más ternas de las pedidas. Por ejemplo, 46 admite 5 soluciones.

Podemos modificar las funciones para que solo nos ofrezcan el número de soluciones. Si exigimos dos, además del 4 y 6, hay otros semiprimos que no admiten soluciones dobles. En el listado se identifican 9, 10 y 14, y no hemos encontrado más. Los siguientes admiten al menos dos soluciones.

Si exigimos que al menos presenten tres soluciones, las excepciones se extienden a esta lista:

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 25, 26, 35 y 57

Para cuatro sigue el tope de 57 (sólo hemos investigado hasta el 500), pero se incorporan 22, 33, 38, 39, y 49. Con  exigencia de cinco llegaríamos a 87. Lo dejamos ahí sin formular ninguna conjetura. El autor, a punto de cumplir 80 años, no se ve con ánimo para estudiar documentos como el reseñado de Meng.

Con estas consideraciones, se pueden emprender otras búsquedas, que dejamos a quienes nos siguen.