tag:blogger.com,1999:blog-32191172723406480032024-03-18T18:08:31.431+01:00Números y hoja de cálculoEste blog es un complemento natural de mi página http://www.hojamat.es. Por ello, se dedicará a los temas numéricos tratados con Hoja de Cálculo y a la estructura y prestaciones de esta. Su nivel será elemental o medio, y su orientación lúdica e investigadora.Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.comBlogger514125tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-16962703257154644722024-03-18T18:08:00.001+01:002024-03-18T18:08:00.150+01:00Potencias equidistantes de cuadrados<p><span style="font-family: inherit;">En uno de mis cálculos
habituales me encontré hace unas semanas con esta igualdad doble:</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">16124=307^2-5^7<br /></span><span style="font-family: inherit;">16124=5^7-249^2</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Lo interesante de ella es
que significa que 5^7 equidista de dos cuadrados, 249^2 y 307^2. Por eso, la
función que usaremos más adelante la hemos llamado ENTREDOS, porque
investigaremos qué potencias son promedio de dos cuadrados, o, lo que es
equivalente, equidistantes de ellos.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Búsqueda
ordenada</span></span></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para una potencia dada,
deberemos recorrer todos los cuadrados inferiores a ella, sumar a la potencia
la diferencia entre los dos números, y averiguar si resulta un cuadrado. Por
ejemplo, 3125=5^5. Le extraemos la raíz cuadrada entera, y resulta 55. A partir
de ese número k, vamos descendiendo valores, elevándolos al cuadrado. Para cada
cuadrado k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">, encontramos la diferencia D=3125-k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">. Esa
diferencia la sumamos a 3125, y deberá resultar un cuadrado entero.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><span style="font-family: inherit;">El esquema podría ser el
siguiente:</span><span style="font-family: inherit;"> </span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8gpjVxqCCNtyc0uu_-nJkDZMsR8s2RxQIY0gmOI1XT-GhNOkANHg25QFUcqIXilY2EYcRG_L7R8BfWx__K-856osUP0ssRGH7bNHXDKmcbBJee4fHVEtwXu_w1s-EFcC3ZGweizkJHKJH1Sg1J2jv3mcQCftiKxC929HXLfgFgwFkEECvJZyrilLHhFc/s284/equi1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="256" data-original-width="284" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8gpjVxqCCNtyc0uu_-nJkDZMsR8s2RxQIY0gmOI1XT-GhNOkANHg25QFUcqIXilY2EYcRG_L7R8BfWx__K-856osUP0ssRGH7bNHXDKmcbBJee4fHVEtwXu_w1s-EFcC3ZGweizkJHKJH1Sg1J2jv3mcQCftiKxC929HXLfgFgwFkEECvJZyrilLHhFc/s16000/equi1.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><span style="font-family: inherit;">Vamos descendiendo valores
hasta que la suma sea cuadrada. En la imagen observamos que unas soluciones son
45 y 65. En efecto:</span><p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">3125-45<sup>2</sup>=1100 y
65<sup>2</sup>-3125=1100, luego 5^5 equidista de 45<sup>2</sup> y 65<sup>2</sup>.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Este proceso es fácilmente
automatizable. Lo hemos efectuado en esta función:</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Function entredos$(n)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim i, r, a, b<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim s$</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">s = "" </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘La
solución se expresa como texto<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">If espotencia(n) > 1 Then
</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Es
potencia no trivial<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">r = Int(Sqr(n)) </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Primer
valor a ensayar<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">i = r - 1<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">While i > 0 And s =
"" </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Descendemos valores de cuadrados<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">b = n - i ^ 2 </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Diferencia
entre potencia y cuadrado<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">a = n + b </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘A
la potencia le sumamos la diferencia<br /></span><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>If escuad(a) Then b =
Sqr(a): s = s + " " + Str$(i)
+ " , " + Str$(b)<br /></b></span></span></i><span style="font-family: inherit;">‘Hemos encontrado una
solución<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">i = i - 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">entredos = s </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Si
no hay solución, la respuesta está vacía<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">La función ESPOTENCIA la
hemos publicado en </span><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html</span></a></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Estas son las primeras soluciones
con potencias no triviales:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6mrUwWKXiisH1OxzE0EDSfNwEoH3Fsl3dRkzqeYnhreQ_iiezqZ-OWowp3Ak9IYlD4dHW1pklY_MdavjsW86ijzDCGWR0Ciw8EvegrI9Z8Eq5a0L9bqfVN7x48AHbOM-jrc7ho7c9CkjVimrDHYoZXhj2jspHFRuMPsLX-Qk-71bc9tyycAmOnaq3uzQ/s274/equi2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="274" data-original-width="261" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6mrUwWKXiisH1OxzE0EDSfNwEoH3Fsl3dRkzqeYnhreQ_iiezqZ-OWowp3Ak9IYlD4dHW1pklY_MdavjsW86ijzDCGWR0Ciw8EvegrI9Z8Eq5a0L9bqfVN7x48AHbOM-jrc7ho7c9CkjVimrDHYoZXhj2jspHFRuMPsLX-Qk-71bc9tyycAmOnaq3uzQ/s16000/equi2.png" /></a></div><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil comprobar
cualquiera de ellos, por ejemplo, 125=5^3, potencia no trivial, y se cumple que
125=(9</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+13</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">)/2.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para poder manejar con
comodidad potencias y exponentes grandes, hemos preparado la versión en PARI.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">entredos(n)={my(r=truncate(sqrt(n)),i=r-1,a,b,v=0,w=0);if(ispower(n),while(i>0&&v==0&&w==0,b=n-i^2;a=n+b;if(issquare(a),v=i;w=truncate(sqrt(a)));i=i-1));concat(v,w)}<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">for(i=1,1400,if(entredos(i)<>[0,0],print(i,",
",ispower(i),", ",entredos(i))))</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En ella se busca hasta 1400
para que coincida el resultado con la tabla anterior:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibZuzz1OoxnsRepYyzEp285VwrYls6pvLAG79m1f4ZsYm1Vxz0cFkDnpq2569UPAkK_ojdDODvuTdhHB2bTX6K-diab14GF1_OcyYxvl-TntmEMg6h27krMZjz1vfKsDrmWoqufbsj6wCL7tNmSNi31042QJIDfEpU3KdqGTS5iy4K6QkRkUvRrqez21A/s243/equi3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="243" data-original-width="174" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibZuzz1OoxnsRepYyzEp285VwrYls6pvLAG79m1f4ZsYm1Vxz0cFkDnpq2569UPAkK_ojdDODvuTdhHB2bTX6K-diab14GF1_OcyYxvl-TntmEMg6h27krMZjz1vfKsDrmWoqufbsj6wCL7tNmSNi31042QJIDfEpU3KdqGTS5iy4K6QkRkUvRrqez21A/s16000/equi3.png" /></a></div><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></b></p><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Estudio
teórico</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Las potencias de la tabla no
aparecen por casualidad, sino que han de tener una estructura muy determinada.
Es especialmente interesante su estudio porque en un principio hemos ignorado
las soluciones múltiples para el par de cuadrados, y veremos que se pueden
tener previstas si se conoce la descomposición factorial de esas potencias.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para entender mejor qué
suponen estas búsquedas, basta enfocar al doble de esas potencias, porque así
el problema es muy tratable. En efecto, si p<sup>k</sup> es el promedio entre
dos cuadrados, a<sup>2</sup> y b<sup>2</sup>, significa que 2p<sup>k</sup> ha
de poderse descomponer en suma de dos cuadrados, y ese problema está resuelto
desde Fermat y Gauss. Nos basaremos para nuestro estudio en la fórmula
propuesta por Gauss para contar las descomposiciones posibles de un número en
dos cuadrados.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Conviene leer nuestra
entrada de blog </span><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/10/en-cuantas-sumas-de-cuadrados-2-de-5.html"><span style="line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/10/en-cuantas-sumas-de-cuadrados-2-de-5.html</span></a><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En ella se comenta la
fórmula de Gauss para averiguar en cuántas sumas de cuadrados se puede
descomponer un número. Copiamos un párrafo de esa entrada:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">“Estas
propiedades se resumen en un criterio que no vamos a desarrollar aquí, y es que
sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores
primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par. Gauss fue
más allá en esa sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de
formas diferentes en las que se descompone un número en suma de dos cuadrados
con base no negativa:<br /><br /><o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcBL3AwTr-gzObBtYVoy8qFR21aaub4wldiizyOBxQWd4etEFiuQ_PL0FWGWyIQoe0KnMtSJTJk-dlosT1eENRFmB30LFd73fGFGwBbmuYRuQvLcnj2byq8GFMuaDMISPm-zJhgLlRqtubdanmx1Q4bAg6I33QNMgSgPzJKOv35jMED9ypbD5yUFM4ECo/s288/equi31.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="29" data-original-width="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcBL3AwTr-gzObBtYVoy8qFR21aaub4wldiizyOBxQWd4etEFiuQ_PL0FWGWyIQoe0KnMtSJTJk-dlosT1eENRFmB30LFd73fGFGwBbmuYRuQvLcnj2byq8GFMuaDMISPm-zJhgLlRqtubdanmx1Q4bAg6I33QNMgSgPzJKOv35jMED9ypbD5yUFM4ECo/s16000/equi31.png" /></a></div><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">donde ES
significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que le siguen se
corresponden con los exponentes de los factores del tipo 4n+1 aumentados en una
unidad. La fórmula, como advierte Gauss, sólo es válida si los factores del
tipo 4n+3 forman un cuadrado perfecto.”</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En este
caso, el factor 2 de 2p<sup>k</sup> no influye, por lo que el criterio se puede
aplicar <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">a la potencia</b> que equidista
de dos cuadrados. En efecto, si descomponemos factorialmente esas potencias,
obtenemos:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbiBuqwxvQgTG_tWXEuHvmIQLKva4A-HoPIRnvFhC_QwRGzizKV5mrS-yT-vEIU6XXP32MYLDulY58kjlJRJpTwu6UDFAiEiQGm1nRW7u15puvaZybpznXi9lVFRy6S2hfJgNH0_dhcKSPKy6quKVZLRQ_npRznuu0IorbFuYOAIX9CIoR8TYT6AV-Ek0/s283/equi32.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="283" data-original-width="194" height="283" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbiBuqwxvQgTG_tWXEuHvmIQLKva4A-HoPIRnvFhC_QwRGzizKV5mrS-yT-vEIU6XXP32MYLDulY58kjlJRJpTwu6UDFAiEiQGm1nRW7u15puvaZybpznXi9lVFRy6S2hfJgNH0_dhcKSPKy6quKVZLRQ_npRznuu0IorbFuYOAIX9CIoR8TYT6AV-Ek0/s1600/equi32.png" width="194" /></a></div><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Todas las
soluciones poseen factores primos que son, o bien del tipo 4k+1, o el 2, o el
tipo 4k+3 elevado a una potencia par, como ocurre en el 900, que hemos
destacado en rojo.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Esto nos da
un criterio fiable para saber si una potencia no trivial puede equidistar de
dos cuadrados.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Vemos un
ejemplo:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1368900=170^2,
y sus factores primos son 13^2*5^2*3^4*2^2. De ellos, el 3, que es del tipo
4k+3, está elevado a exponente par, los otros, 13 y 5 son del tipo 4k+1, y,
finalmente, el 2 no influye. Por eso se sabía con antelación que sería
equidistante de dos cuadrados, en este caso son 715716=846^2 y 2022084=1422^2,
con la identidad 1368900=(846^2+1422^2)/2.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Soluciones múltiples</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Hay que
considerar la posibilidad de que una potencia equidiste de más de un par de
cuadrados. De hecho, veremos que se dan soluciones múltiples con total
seguridad. Para estudiarlas, hemos modificado algo la función ENTREDOS para que
nos devuelva, en primer lugar, el número de soluciones. De esa forma, la
búsqueda de potencias equidistantes se puede efectuar fijando el número de
pares de cuadrados esperados. Hemos organizado una búsqueda para tres pares de
soluciones como ejemplo:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDMud1ef_hbEGbgCzc7gKjjJ4dQE5QhxU99cqBxmHd6a9KkCukE_V7Kf8a1q1LPmSvn_4mYKK1OaGaZZl90KNWJKYSz0DJ3wBv-2SwbRGiMgUNGTTt_iZ5PhS4OpNDGLnAL6jPfno3clXm265Hr0FZ4RpHC4dR-8y9x_0H1IveiAwz2mSdEFXVgvr_bUU/s483/equi4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="93" data-original-width="483" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDMud1ef_hbEGbgCzc7gKjjJ4dQE5QhxU99cqBxmHd6a9KkCukE_V7Kf8a1q1LPmSvn_4mYKK1OaGaZZl90KNWJKYSz0DJ3wBv-2SwbRGiMgUNGTTt_iZ5PhS4OpNDGLnAL6jPfno3clXm265Hr0FZ4RpHC4dR-8y9x_0H1IveiAwz2mSdEFXVgvr_bUU/s16000/equi4.png" /></a></div><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil
observar que se cumple la fórmula de Gauss, de emplear la mitad por exceso de
los exponentes de los primos tipo 4k+1. En los cuatro ejemplos figura (ha sido
algo casual) el factor 5 elevado a 5 o a 6, y no existen factores tipo 4k+3.
Tomando la parte entera por exceso de tanto el exponente 5 como del 6 resulta
3, que es el número de pares de cuadrados que hemos conseguido.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con este
criterio seremos capaces de saber el número de pares de cuadrados resultantes
sin tener que comprobarlo. Vemos unos ejemplos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">3084588=2^2*3^3*13^4:
No debe presentar soluciones, por contener el 3 elevado a potencia impar. En
efecto, la función ENTREDOS devuelve un cero:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_3gR0RQE7ZzyLQ_IkJ2tiZBYlzVjzAsa3uf5nXpCrEsL1i5t0DBHJvXCOjv0Wicx2j2gPmTQLPPik6mOuIFQqJK5NowQUoCqdKSIwggeOUwe-5C4fl-0_JUiqxX6Wf6K4KIoyeVa9N33xrW8JluYb_evwgRzc-at577J4tODhhl9vswU7sJKyXQiZY9Y/s73/equi5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="47" data-original-width="73" height="47" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_3gR0RQE7ZzyLQ_IkJ2tiZBYlzVjzAsa3uf5nXpCrEsL1i5t0DBHJvXCOjv0Wicx2j2gPmTQLPPik6mOuIFQqJK5NowQUoCqdKSIwggeOUwe-5C4fl-0_JUiqxX6Wf6K4KIoyeVa9N33xrW8JluYb_evwgRzc-at577J4tODhhl9vswU7sJKyXQiZY9Y/s1600/equi5.png" width="73" /></a></div><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">78125=5^7,
luego debe presentar cuatro soluciones, ya que 4 es la mitad por exceso de 7:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNrqYxmM5Vh3_aGOEHC5adb_y4YPuZc9NArNa-4LadPB1JoVWMXKx1u_kIvxI5yAZW9fVxWIfNKROHbEaOU1W30O5Tpg_jUY9DqxFthDaVDw_qhYwxTnc8mjyRWgq-vnmdeIV6V98HZUB5EREUAZLXGlg1mMFYg8JBnLUt1SOQO74SOZOe2sIHVVwFfyE/s418/equi6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="50" data-original-width="418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNrqYxmM5Vh3_aGOEHC5adb_y4YPuZc9NArNa-4LadPB1JoVWMXKx1u_kIvxI5yAZW9fVxWIfNKROHbEaOU1W30O5Tpg_jUY9DqxFthDaVDw_qhYwxTnc8mjyRWgq-vnmdeIV6V98HZUB5EREUAZLXGlg1mMFYg8JBnLUt1SOQO74SOZOe2sIHVVwFfyE/s16000/equi6.png" /></a></div><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Con hoja de
cálculo se pueden producir errores de redondeo para números mayores, por lo que
es más fiable el razonamiento que la comprobación.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Potencias sucesivas</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Finalizamos
con una curiosidad, y es que, dada una potencia equidistante de dos cuadrados,
todas sus potencias presentarán soluciones, que se podrán ir incrementando al
aumentar los exponentes de los factores tipo 4k+1. En la imagen podemos
estudiar un ejemplo representativo, que recorre las potencias de 13:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9kjagia8FZt-kUZNEGWpDRJwoqKqm1xQ13uBzMMsdJn2xZKoWjGAz8UZfaCVGRu2-sm2tlpIzejZs4mg8CbvtHFzpDhg1pp3qWzaa9zvbUXFLjNA1j53n3ThkBq3lzWSzd_J0xiKt5UVBjAB_3PGCgzFfQXACT3Ml0Loi7XeDkFyn0ZiQzJnamDVsoNY/s518/equi7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="104" data-original-width="518" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9kjagia8FZt-kUZNEGWpDRJwoqKqm1xQ13uBzMMsdJn2xZKoWjGAz8UZfaCVGRu2-sm2tlpIzejZs4mg8CbvtHFzpDhg1pp3qWzaa9zvbUXFLjNA1j53n3ThkBq3lzWSzd_J0xiKt5UVBjAB_3PGCgzFfQXACT3Ml0Loi7XeDkFyn0ZiQzJnamDVsoNY/s16000/equi7.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal" style="line-height: 120%; margin-bottom: 8.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">El número de
soluciones se va repitiendo, por depender de la mitad por exceso, que coincide
en dos exponentes consecutivos.</span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-27873204113903298762024-03-11T17:30:00.001+01:002024-03-11T17:30:00.257+01:00Primos cubanos<p><span style="font-family: inherit;">Se llaman así (Cunningham
(1923)) aquellos números primos que son iguales a una diferencia de cubos
consecutivos. Lo de “cubano” viene de cubo, no de Cuba. No es un nombre
afortunado, pero así quedó. Al ser los cubos consecutivos, se da por supuesto
que X es entero.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">No es que sean muy
interesantes, pero nos permitirán analizar su búsqueda y estudiar variantes de
la definición.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Búsqueda
directa</span></span></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Si creamos una columna de
números consecutivos, los elevamos al cubo y restamos, si poseemos una función
ESPRIMO o ISPRIME, será fácil identificar los primos cubanos. Esta función la
puedes consultar en varias entradas de nuestro blog, como, por ejemplo en </span><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2016/05/palprimos-primos-palindromicos.html" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2016/05/palprimos-primos-palindromicos.html</span></a></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El esquema quedaría así:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiR0Pm9b3MMQ7SAcVf348ZjmyrazwiGX9RRd_q1vg_eps_SGyl8CdS8sD107EFG7OWoSN4Ut3Dkzl934up5uldW0rxzuE2oQ8XGg8tgv4fBOCKtIcMPSi-b2GxdL5Flvuh474st_Bgi-aRQHLDhkjESpfpToaYU6jsijLAR0rynl7Ra1VfW70k8jInzcHk/s360/cuba1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="360" data-original-width="252" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiR0Pm9b3MMQ7SAcVf348ZjmyrazwiGX9RRd_q1vg_eps_SGyl8CdS8sD107EFG7OWoSN4Ut3Dkzl934up5uldW0rxzuE2oQ8XGg8tgv4fBOCKtIcMPSi-b2GxdL5Flvuh474st_Bgi-aRQHLDhkjESpfpToaYU6jsijLAR0rynl7Ra1VfW70k8jInzcHk/s16000/cuba1.png" /></a></div><br /><p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En la última columna hemos
escrito fórmulas del tipo </span><b style="font-family: inherit;"><i>=SI(ESPRIMO(I4);"Cubano";"")</i></b></p><p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si es primo aparecerá la
frase “Cubano” y si no, quedará en blanco.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Observamos que los primeros
primos cubanos son <i style="mso-bidi-font-style: normal;">7, 19, 37, 61, 127,
271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657.</i><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Desarrollo
algebraico</span></span></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Al desarrollar la
definición, nos damos cuenta de que el tema es de tipo elemental:</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">N=(x+1)</span><sup style="font-family: inherit;">3</sup><span style="font-family: inherit;">-x</span><sup style="font-family: inherit;">3</sup><span style="font-family: inherit;">=3x</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+3x+1</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Esto nos lleva a una
ecuación de segundo grado:</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">3x</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+3x-(N-1)=0</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para que tenga solución
entera, el discriminante, que es fácil ver que equivale a 12N-3, ha de ser
cuadrado. De esta forma tendremos el valor de x:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFi6GpjbWUrKhXI3rMcW99O4pe0KYTjznbs96BeMnHgTHhxznOyvMWkqf0_EXvRN0352WypmEgbgkFLmbuVf9oIF3tcbITDdwmkhpQltj00GHwhoxONhNGQCit8vUIn0klLPGCgTThEtCyL21ewqjLRnq4QZOGW_VPQvUR5NWpLBPaREMkdiEDiYh4-Pg/s233/cuba2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="71" data-original-width="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFi6GpjbWUrKhXI3rMcW99O4pe0KYTjznbs96BeMnHgTHhxznOyvMWkqf0_EXvRN0352WypmEgbgkFLmbuVf9oIF3tcbITDdwmkhpQltj00GHwhoxONhNGQCit8vUIn0klLPGCgTThEtCyL21ewqjLRnq4QZOGW_VPQvUR5NWpLBPaREMkdiEDiYh4-Pg/s16000/cuba2.png" /></a></div><p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Con este breve estudio
tenemos ya forma de encontrar y analizar los primos cubanos. Comenzamos con
nuestro Buscador de Naturales (</span><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">)</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioPub07NKO3_H3Ai3em4D5IEBjrcv0qt5FAJCZqis_K7CYhj2c34mqYtWYWCg2IEeKDXbDLvPCSUmUYh7DB8hS_Mk99Zhf_nC3NVUdkegq99JITQ8pESkWboO1qbOVN9wmVkEDJaybcA1t72dZBOT23EDDUFUub6owzew1igDI-rDBfCbHaqkNqqeBmOc/s502/cuba3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="181" data-original-width="502" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioPub07NKO3_H3Ai3em4D5IEBjrcv0qt5FAJCZqis_K7CYhj2c34mqYtWYWCg2IEeKDXbDLvPCSUmUYh7DB8hS_Mk99Zhf_nC3NVUdkegq99JITQ8pESkWboO1qbOVN9wmVkEDJaybcA1t72dZBOT23EDDUFUub6owzew1igDI-rDBfCbHaqkNqqeBmOc/s16000/cuba3.png" /></a></div><p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es interesante explicar las
condiciones: En primer lugar exigimos que el número sea primo, después, que sea
igual a una expresión cuadrática de coeficientes 3, 3 y 1 (3X</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+3X+1),
y, por último, encontramos el valor de X y lo situamos en la segunda columna
con la orden EVALUAR.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En PARI es muy fácil también
encontrar estos números. Nos basaremos en la condición de que 12N-3 sea
cuadrada, y quedará:</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">is(n)=isprime(n)&&issquare(12*n-3)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">For(i=1,1000,if(is(i) ,print1(i,”, “)))</span></span></i></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Lo hemos comprobado en la
web oficial de PARI, </span><a href="https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html</span></a></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMo2AXl9mBvUhd2wvW-1IiwfHrwhxFScRr4SyvneQg8T_X4Qtxe8ygJ2p333BAB_4TuCIqWj1p_XHDkQ9U0-I0arcKRX8Q6c3AFTJykF_pr_ufIfZvnjJSwZa1sX8D10MVqsDXrsSidC-ufkhT-YFq_GSdBHuEIONscO29dgSb6mlLH3ylqh_zpdEai9I/s464/cuba4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="78" data-original-width="464" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMo2AXl9mBvUhd2wvW-1IiwfHrwhxFScRr4SyvneQg8T_X4Qtxe8ygJ2p333BAB_4TuCIqWj1p_XHDkQ9U0-I0arcKRX8Q6c3AFTJykF_pr_ufIfZvnjJSwZa1sX8D10MVqsDXrsSidC-ufkhT-YFq_GSdBHuEIONscO29dgSb6mlLH3ylqh_zpdEai9I/s16000/cuba4.png" /></a></div><p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A002407" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A002407</span></a></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A002407 Cuban primes: primes which are the
difference of two consecutive cubes.</span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">7,
19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437,
2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, …</span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Carácter
poligonal</span></span></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La expresión N=3X</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+3X+1
se puede escribir como 6(X(X+1)/2)+1=6T</span><sub style="font-family: inherit;">x</sub><span style="font-family: inherit;">+1, es decir, como seis
veces un número triangular ´más una unidad, pero esa es la estructura de los
números hexagonales centrados. Basta estudiar esta imagen de la Wikipedia para
entenderlo</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwifigCPsbaslRm-wlVQrk8XZTewPgu5tmFZBrykvdo24ARminNAlfJpsT-ytK3_3LuhiYEsNdm9veg01x04f-C9aJfjHF4xBSICpW1Fa58SUXbkuQ3FnP9dNgn7udJ-LDFUqXBjeE-MyMB9SmfUAAI9PzHyThwZ6mkp1moATiiQKTAOpRuz0YqUnf4As/s130/cuba5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="112" data-original-width="130" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwifigCPsbaslRm-wlVQrk8XZTewPgu5tmFZBrykvdo24ARminNAlfJpsT-ytK3_3LuhiYEsNdm9veg01x04f-C9aJfjHF4xBSICpW1Fa58SUXbkuQ3FnP9dNgn7udJ-LDFUqXBjeE-MyMB9SmfUAAI9PzHyThwZ6mkp1moATiiQKTAOpRuz0YqUnf4As/s16000/cuba5.png" /></a></div><p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">(https://en.wikipedia.org/wiki/Centered_hexagonal_number#:~:text=The%20sequence%20of%20hexagonal%20numbers,%2C%20721%2C%20817%2C%20919.
)</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si consultas el listado de
estos números hexagonales centrados, observarás que nuestros primos cubanos
están incluidos.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A003215 Hex (or centered hexagonal)
numbers: 3*n*(n+1)+1 (crystal ball sequence for hexagonal lattice).</span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1,
7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919,
1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107,…<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La expresión N=3X(X+1)+1
también sugiere que equivalen a la unidad más tres veces un número oblongo, del
tipo N(N+1). Así, 61 se puede representar como tres rectángulos apilados de
dimensiones 4 por 5, más una unidad.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por otra parte, el primer
sumando, <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Búsqueda
directa del valor de X+1</span></span></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos dar protagonismo al
valor de X+1, base del cubo mayor. En este caso bastaría exigir que fuera primo
(X+1)</span><sup style="font-family: inherit;">3</sup><span style="font-family: inherit;">-X</span><sup style="font-family: inherit;">3</sup><span style="font-family: inherit;">. Es simple buscar esos valores. Cambiarían de
columna en Excel respecto a la búsqueda anterior:</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8pHhN05g28v7_QDIjzdoBYmxAa-0H6eXt_BRieHtWmn6wM2XVcPu3ntT6VMdy2HZnTNZOEL7lUg_QmK_MmjDhE2UY3nkE1WNvsjXDVP6oK8arLpjrq2sXpLeEs9VkWvGNXb9K1K2cJw5_c1YM7IqxuMxepmnXhLuIPmE9E6DnxmDolxYelsjnVNMJ4vo/s607/cuba6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="250" data-original-width="607" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8pHhN05g28v7_QDIjzdoBYmxAa-0H6eXt_BRieHtWmn6wM2XVcPu3ntT6VMdy2HZnTNZOEL7lUg_QmK_MmjDhE2UY3nkE1WNvsjXDVP6oK8arLpjrq2sXpLeEs9VkWvGNXb9K1K2cJw5_c1YM7IqxuMxepmnXhLuIPmE9E6DnxmDolxYelsjnVNMJ4vo/s16000/cuba6.png" /></a></div><br /> <span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Hemos llamado N a X+1. Lo
hemos decidido así porque los valores de X+1 están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A002504" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A002504</span></a><span class="MsoHyperlink" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">:</span></span><p></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A002504 Numbers x such that 1 + 3*x*(x-1)
is a ("cuban") prime (cf. A002407).</span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">2,
3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35, 38, 39, 42,
43, 46, 49, 50, 53, 56, 59, 63, 64,…<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Se podría pensar en
generalizar esta cuestión planteando que la diferencia entre las bases sea un
número k mayor que 1, pero en ese caso la diferencia entre cubos sería múltiplo
de k y no podría ser primo. Así que la única diferencia entre cubos que puede
ser prima es la que existe entre consecutivos.</span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-24594139376867860842024-03-04T19:11:00.001+01:002024-03-04T19:11:00.154+01:00Números del tipo N(N+2)<p><span style="font-family: inherit;">Los números del tipo N(N+2), como 3*5, 4*6 o 8*10, no
presentan propiedades trascendentes, ni han aparecido mucho en las cuestiones
de Teoría de Números, pero los vamos a elegir como ejemplo de cómo emprender
una descripción lo más completa posible de un tipo de números mediante las
herramientas que usamos en este blog, en especial de las hojas de cálculo.</span></p>
<p class="MsoNormal"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Descripción</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">El primer sentido de estos números es el de aquellos que
se pueden representar como un rectángulo con la base dos unidades mayor que la
altura. Esto no nos lleva a muchas cuestiones interesantes, por lo que nos
limitaremos a nombrarlos como “oblongos_2”.La imagen nos representa el número
35=5*7:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjc2W_jCB8o88d91y2uWS-d00CeC_0pMGX-YTsoercMlZ4TkV9YKevwuH6WnxsI8_b0NoRVC_ntqwZhesQW5ZQF9wYHOnSyAtJI5VR5UI0PXFtkuUswvEa4xxMz5M8xyxlBIJWm4XVDMi6kZXlYWZcCmsu4hM7-9tvKx_hYEbCn5ru300dbsIh1OvFL7LY/s154/nn1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="90" data-original-width="154" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjc2W_jCB8o88d91y2uWS-d00CeC_0pMGX-YTsoercMlZ4TkV9YKevwuH6WnxsI8_b0NoRVC_ntqwZhesQW5ZQF9wYHOnSyAtJI5VR5UI0PXFtkuUswvEa4xxMz5M8xyxlBIJWm4XVDMi6kZXlYWZcCmsu4hM7-9tvKx_hYEbCn5ru300dbsIh1OvFL7LY/s16000/nn1.png" /></a></div><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">Nos da mucha más información el hecho de que N(N+2)=(N+1)<sup>2</sup>-1,
es decir, números que equivalen a un cuadrado menos una unidad (ya hemos
estudiado en este blog los que son un cuadrado más una unidad, en </span><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">)</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si en el ejemplo anterior, de 5*7=35, lo convertimos en 36-1=(6-1)(6+1)=6<sup>2</sup>-1
obtendremos otra perspectiva de estos números. Lo comprobamos en la imagen, en
la que una fila de unidades se ha movido para representar mejor esta
equivalencia:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoIcwNyJwkekB5NEsQc9HfMMY0ZM9ZUBnr9TckX9PN_O1ZiHNKLsxXSthluWz9ajNPmpFI84gveCyP1C9mYnLXJEMt1rIkk95u4ZMKYQhl3l_KeUdfnK3kJbILxbFPY8cAcimMYHaR-v79uQF51JYXqPLJfV2Nqme39Ck73Wpu0Fd4aPcLQRRBErfwj7A/s271/nn2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="261" data-original-width="271" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoIcwNyJwkekB5NEsQc9HfMMY0ZM9ZUBnr9TckX9PN_O1ZiHNKLsxXSthluWz9ajNPmpFI84gveCyP1C9mYnLXJEMt1rIkk95u4ZMKYQhl3l_KeUdfnK3kJbILxbFPY8cAcimMYHaR-v79uQF51JYXqPLJfV2Nqme39Ck73Wpu0Fd4aPcLQRRBErfwj7A/s16000/nn2.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Suma
de impares consecutivos</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En una entrada reciente hemos estudiado la posibilidad de
representar un número como suma de enteros impares consecutivos si equivale a
una diferencia de cuadrados, como sería nuestro caso, N(N+2)=(N+1)<sup>2</sup>-1<sup>2</sup>.
<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Según las técnicas que estudiamos en ella, 35 debería ser
equivalente a 3+5+7+9+11, y esta propiedad la compartirán todos los de este
tipo, que serán equivalentes a una suma de impares consecutivos entre 3 y 2N+1.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">La siguiente imagen lo explica mejor. Cada impar sería el
gnomon (figura en ángulo) destacado en colores alternos: 3+5+7+9+11.<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtli6ftLV1HQzP8bWrJk0Grg6LZijxKmPUsXprtEFpobThto2aWbdPb7CdiWBV2aTIMnQPRYitXZWIEXdEHsH-G7r-8WRDcsotplY-8EbXGsSA62hrwUnXR5bVJ6mOkjakLIDZWPdcH4r662bBEHmyv8hx7pyipPNuSCJMO120-qR9sSlSIB0Drav8uWQ/s227/nn3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="128" data-original-width="227" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtli6ftLV1HQzP8bWrJk0Grg6LZijxKmPUsXprtEFpobThto2aWbdPb7CdiWBV2aTIMnQPRYitXZWIEXdEHsH-G7r-8WRDcsotplY-8EbXGsSA62hrwUnXR5bVJ6mOkjakLIDZWPdcH4r662bBEHmyv8hx7pyipPNuSCJMO120-qR9sSlSIB0Drav8uWQ/s16000/nn3.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Listado
de estos números</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">El contar con una fórmula y un desarrollo en sumas
facilita la búsqueda de estos números, que se hace trivial. No obstante,
repasaremos algunas herramientas:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Con
el Buscador de Naturales<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">En estos casos es muy intuitivo nuestro Buscador (</span><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador"><span style="line-height: 115%;">http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador</span></a><span style="line-height: 115%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En la siguiente captura de imagen observamos que la única
condición es que N+1 sea un cuadrado:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHfSsEgmN1CmP8w_54-AWm-wAqK367_jWAP4L6su74vP7JGpG0Kmw54Lq480EcXhFj78iDq1Kncb3rbMh7PCm9QnWbdfsZ8wA5S0rEuu-xx3IdWG_XQaLq7csb-MkZHIpvwhdhRDmyI2mDh4pwUqFoFauMm-QVj58H-iudO1s_BqU-2kINCkXstwgXplM/s478/nn4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="175" data-original-width="478" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHfSsEgmN1CmP8w_54-AWm-wAqK367_jWAP4L6su74vP7JGpG0Kmw54Lq480EcXhFj78iDq1Kncb3rbMh7PCm9QnWbdfsZ8wA5S0rEuu-xx3IdWG_XQaLq7csb-MkZHIpvwhdhRDmyI2mDh4pwUqFoFauMm-QVj58H-iudO1s_BqU-2kINCkXstwgXplM/s16000/nn4.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Con esa condición obtenemos un primer listado de los
números tipo N(N+2), lo que no es ninguna proeza. También podemos acumular
impares. La primera condición es NO PAR, y en la segunda solicitamos evaluar
las sumas parciales:</span></p>
<p class="MsoNormal"><br /></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"></span></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhK2MUoPcldKAfLabXHoMI06ZDL0CZFtAzZcD2ZR8SbAcBTKxyW4wNpd9ZonDDr_Kx7mF3Jiz9t5jcUuNwnuqWaIiuj7c2rmRKaIlEFfqM1_MfZX9xZqOw78fo2phWOEhA2i0ua1rYsrHr0MnRwP_eJ-o_v2matyCyFEtSyS3gQEMY0lLzwt9sN4pBhJko/s482/nn5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="170" data-original-width="482" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhK2MUoPcldKAfLabXHoMI06ZDL0CZFtAzZcD2ZR8SbAcBTKxyW4wNpd9ZonDDr_Kx7mF3Jiz9t5jcUuNwnuqWaIiuj7c2rmRKaIlEFfqM1_MfZX9xZqOw78fo2phWOEhA2i0ua1rYsrHr0MnRwP_eJ-o_v2matyCyFEtSyS3gQEMY0lLzwt9sN4pBhJko/s16000/nn5.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br />Volvemos a obtener la misma sucesión. Por último,
exigimos que su fórmula sea N<sup>2</sup>+2N+0, con la condición de que sea una
fórmula cuadrática de coeficientes 1, 2 y 0.<o:p></o:p></span><p></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLVXdrR0mq4pvaZbWQ6fxXo-gWxcjB7Xoz4iX4OsJhcZm75icIyUBA10GKLw3gNWymy7MQFCcEcGYcpIBdeLbrZ3ojCAU44drePZA-74wOMElBJEmBtbjkYI6hwNsV44JFHKA44V7SPjAjtIjJ128yvkvjS06r5mgGOLLDQC8nGaaIChMYTV0lyoIK0WI/s465/nn6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="207" data-original-width="465" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLVXdrR0mq4pvaZbWQ6fxXo-gWxcjB7Xoz4iX4OsJhcZm75icIyUBA10GKLw3gNWymy7MQFCcEcGYcpIBdeLbrZ3ojCAU44drePZA-74wOMElBJEmBtbjkYI6hwNsV44JFHKA44V7SPjAjtIjJ128yvkvjS06r5mgGOLLDQC8nGaaIChMYTV0lyoIK0WI/s16000/nn6.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">Las tres técnicas coinciden pues en el listado 3, 8, 15,
24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195,…que está publicado en </span><a href="https://oeis.org/A005563" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">https://oeis.org/A005563</span></a></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">A005563<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>a(n) = n*(n+2) = (n+1)^2 - 1.<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">0,
3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360,
399, 440, 483, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 1023, 1088, 1155,
1224, 1295, 1368, 1443, 1520, 1599, 1680, 1763, 1848, 1935, 2024, 2115, 2208,
2303, 2400, 2499, <o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Funciones
en VBasic<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Los factores de N(N+2) no han de ser primos, por lo que
para saber si un número es del tipo “oblongo_2” no es de mucha utilidad el
descomponer en factores primos. Es preferible exigir que su consecutivo sea
cuadrado. Podemos usar esta:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Function oblongo2(n) As Boolean<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">If escuad(n + 1) Then oblongo2 = True
Else oblongo2 = False<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Con ella podemos buscar ejemplos para números mayores. En
la imagen hemos descompuesto los primeros oblongos_2 a partir de 100000:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9GQbpK7JGsNfELhsgnCUO9JDGaQKqgAsBlqdDuRGPHyuub3p2hVH9ILONRYWzTlyHNYXWVV_28TxUF6BG4QFc01fm66dguH3ELsLlC-51NaQmb-gg3x1cxe6AynxW1sUT6pepMCr2q3j36uZMnJsddQj0bT7R0udBuBenapAJU92yez_VZRS-3czBTME/s262/nn7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="262" data-original-width="219" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9GQbpK7JGsNfELhsgnCUO9JDGaQKqgAsBlqdDuRGPHyuub3p2hVH9ILONRYWzTlyHNYXWVV_28TxUF6BG4QFc01fm66dguH3ELsLlC-51NaQmb-gg3x1cxe6AynxW1sUT6pepMCr2q3j36uZMnJsddQj0bT7R0udBuBenapAJU92yez_VZRS-3czBTME/s16000/nn7.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Recurrencias</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Los números expresados con polinomios de segundo grado
suelen presentar múltiples recurrencias.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Recurrencia
con el anterior<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">La primera recurrencia que se nos ocurre es la derivada
de que sean sumas de impares consecutivos, luego seguimos a Vincenzo Librandi
en OEIS:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">a(n)
= a(n-1) + 2*n+1 <o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Es tan sencilla de interpretar que la dejamos así.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Recurrencia
con dos términos<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil probar que <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">a(n)=2a(n-1)-a(n-2)+2<o:p></o:p></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Aplicamos definiciones:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">2a(n-1)-a(n-2)+2=2(n-1)(n+1)-(n-2)*n+2=2n<sup>2</sup>-2-n<sup>2</sup>+2n+2=n<sup>2</sup>+2n=n(n+2),
luego equivale a a(n).<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil su comprobación: <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">15=2*8-3+2, 24=2*15-8+2, 35=2*24-15+2,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Recurrencia
con tres términos<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">A(n+2)=3a(n+1)-3a(n)+a(n-1)<o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Tiene la ventaja de que es homogénea, sin término
independiente, y aparece a menudo en cuestiones de números figurados.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">En lugar de demostrarla algebraicamente, hemos acudido a
nuestra herramienta <i style="mso-bidi-font-style: normal;">ecurrecurre </i>(</span><a href="http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm"><span style="line-height: 115%;">http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm</span></a><span style="line-height: 115%;">)<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p></o:p></i></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Tiene fallos en su funcionamiento, por lo que no se
ofrece como herramienta general en Hojamat.es.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Con ella se obtienen los coeficientes 3, -3 y 1 que figuran
en la fórmula de recurrencia:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAQfQHXdcfdmBRPl29Butq6NffGikHAkyKya6Gk9_SzqOtPI0VwCQ1IuxS9Y2wkPoLg07mV_fgiYZ_ecnpCXKgwUAWWYle3KP_3iKLIKdALY_zbsfPOIrzaVGpi9D33aFKNgEmWIQ5-Y9_RpqKVBe0-agRTyMGaQdbCbqTNZ72mq_d7r5Z1_p0BEIRytk/s502/nn8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="103" data-original-width="502" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAQfQHXdcfdmBRPl29Butq6NffGikHAkyKya6Gk9_SzqOtPI0VwCQ1IuxS9Y2wkPoLg07mV_fgiYZ_ecnpCXKgwUAWWYle3KP_3iKLIKdALY_zbsfPOIrzaVGpi9D33aFKNgEmWIQ5-Y9_RpqKVBe0-agRTyMGaQdbCbqTNZ72mq_d7r5Z1_p0BEIRytk/s16000/nn8.png" /></a></div><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Esta recurrencia la podemos comprobar con nuestra
herramienta recurre_lineal:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">(</span><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2"><span style="line-height: 115%;">http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2</span></a><span style="line-height: 115%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Elegimos recurrencias de tercer orden y escribimos
coeficientes y términos iniciales:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeQP6CliMrTjriUGz-HCs02GprszR1t0dqfrOmRnLQ6P_HgsT6nzuuM0Qg_5-CfuivRfAgtMSXY49-4vqTfD6y3nx9o9ILs3-pJ2RtPyORtktWkoZlQuS-8vDtPro9nc8yyl74hVm-V0RfWUYDX3YESAZGEphYDAail3-ItBYhSJKnTSyw0Ukog0tDc_Y/s493/nn9.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="92" data-original-width="493" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeQP6CliMrTjriUGz-HCs02GprszR1t0dqfrOmRnLQ6P_HgsT6nzuuM0Qg_5-CfuivRfAgtMSXY49-4vqTfD6y3nx9o9ILs3-pJ2RtPyORtktWkoZlQuS-8vDtPro9nc8yyl74hVm-V0RfWUYDX3YESAZGEphYDAail3-ItBYhSJKnTSyw0Ukog0tDc_Y/s16000/nn9.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">A la izquierda aparecerán los primeros términos:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZ-YPAfUwOs-RmQSAv6Ba5foESl1iZCIHa6cGbWT9o4TEBppTfeLaneRkMv_Rvt_YGbrM1zED-kKeR3hIzf3zwkdtHy5gu-KCiyBFuCmP3MUa7Eh1EJdLHyM4Xcex-sPdv00USVSmIBVBh7QVWLV32JpLDch0sVa2f8EcM2KTy38p1gflphx7bdB5zi44/s193/nn10.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="193" data-original-width="74" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZ-YPAfUwOs-RmQSAv6Ba5foESl1iZCIHa6cGbWT9o4TEBppTfeLaneRkMv_Rvt_YGbrM1zED-kKeR3hIzf3zwkdtHy5gu-KCiyBFuCmP3MUa7Eh1EJdLHyM4Xcex-sPdv00USVSmIBVBh7QVWLV32JpLDch0sVa2f8EcM2KTy38p1gflphx7bdB5zi44/s16000/nn10.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Suma
de términos del tipo n(n+2)</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil encontrar una fórmula para la suma de los
primeros números de este tipo. Basta expresar los como n<sup>2</sup>+2n y
aplicar las fórmulas de las sumas de cuadrados y las de enteros:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikdsXgG9AsA8rWnWFkysJqOVdKW6x_oFpzYdqBvkECZ9ggMzCZf8T8WNW-xqZ2n2dBCNhyphenhyphenCgV65SMtwsAz1IwA6ZNCPquL-D7QvJS6UswFbWPm8hsO7TZyj3a8Dp6YwS58FXfypqmIWGQpJP2Abn07GSFA-EaLsnijUbNsjBt1ACp5uVwP5Vs7OObqAcY/s406/nn11.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="85" data-original-width="406" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikdsXgG9AsA8rWnWFkysJqOVdKW6x_oFpzYdqBvkECZ9ggMzCZf8T8WNW-xqZ2n2dBCNhyphenhyphenCgV65SMtwsAz1IwA6ZNCPquL-D7QvJS6UswFbWPm8hsO7TZyj3a8Dp6YwS58FXfypqmIWGQpJP2Abn07GSFA-EaLsnijUbNsjBt1ACp5uVwP5Vs7OObqAcY/s16000/nn11.png" /></a></div>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Simplificando:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHmdOq0kL2K02haJ90G0MYE0EJfvGHktpZW8DdGSmEaQJt1HeVa4_xF594YrkvV6SbybzJjFe73Of8QkH6XKv91PVcMShdpoXvUlQclbLi20dMu96_WGrkSNIOk7x0ktb2JFEb5D8joYi3AH8sy21HBn7dek-ezxxPK0HE-XbXpspZlrdQ_PXinWrQVzg/s262/nn12.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="85" data-original-width="262" height="85" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHmdOq0kL2K02haJ90G0MYE0EJfvGHktpZW8DdGSmEaQJt1HeVa4_xF594YrkvV6SbybzJjFe73Of8QkH6XKv91PVcMShdpoXvUlQclbLi20dMu96_WGrkSNIOk7x0ktb2JFEb5D8joYi3AH8sy21HBn7dek-ezxxPK0HE-XbXpspZlrdQ_PXinWrQVzg/s1600/nn12.png" width="262" /></a></div><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Hemos aplicado esta fórmula a los primeros valores de n,
con el resultado:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9bIuNQbur9lYMLvdUoL3IEp40CpGHcDogGovg0Ywu4SCzvmIJNkGhlUi-8XlWzm9VsS4OQkG3Pxyi8S8oHTTPkN3jm7LqpYqh4yPV2jKXTmw35eUmWvdgsF7I3NdjxGZDBu5coQXFEnGag9ulYbyYT8Af4XwtLH5Ty-vTuWawnItbTqhG9rPq-KKvjC8/s258/nn13.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="209" data-original-width="258" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9bIuNQbur9lYMLvdUoL3IEp40CpGHcDogGovg0Ywu4SCzvmIJNkGhlUi-8XlWzm9VsS4OQkG3Pxyi8S8oHTTPkN3jm7LqpYqh4yPV2jKXTmw35eUmWvdgsF7I3NdjxGZDBu5coQXFEnGag9ulYbyYT8Af4XwtLH5Ty-vTuWawnItbTqhG9rPq-KKvjC8/s16000/nn13.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En la primera columna se ha aplicado la fórmula de la
suma que acabamos de obtener, y en la segunda, mediante diferencias, se ha
vuelto a la sucesión primitiva, de n(n+2)</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">Estas sumas. 3, 11, 26, 50, 85, 133, 196, 276, 375, 495,…están
publicadas en </span><a href="https://oeis.org/A051925"><span style="line-height: 115%;">https://oeis.org/A051925</span></a><span style="line-height: 115%;">,
donde se explican otros orígenes interesantes de esta sucesión<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Con el Buscador es fácil obtenerlos:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJrDf7zSuWjOEjY1vrZ0GHUT4G_IPnkVc5k2ugWsQdFwzctODA8oRUH3pf_xIM2I0k6JXC2zfJIKd8rApPy_fGpCY2MFXId4xtVWoZITLeSdpmDDeKT293JViIgbgyRxkpdkzBusRzH-ZdxMJ7vCK19h4QPKurqx2zz7klgYV97bKEkrFZIx_Izt4x7Xw/s454/nn14.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="201" data-original-width="454" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJrDf7zSuWjOEjY1vrZ0GHUT4G_IPnkVc5k2ugWsQdFwzctODA8oRUH3pf_xIM2I0k6JXC2zfJIKd8rApPy_fGpCY2MFXId4xtVWoZITLeSdpmDDeKT293JViIgbgyRxkpdkzBusRzH-ZdxMJ7vCK19h4QPKurqx2zz7klgYV97bKEkrFZIx_Izt4x7Xw/s16000/nn14.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Ya conocemos las dos condiciones usadas. En la primera
columna figuran los números oblongos_2 y en la segunda sus sumas.</span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></b></p><p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Subtipos
de estos números</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Cuando estudiamos algunos tipos de números en este blog,
solemos buscar subtipos, pues a veces se encuentran propiedades o relaciones no
buscadas.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Cuadrados<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Estos números no pueden ser cuadrados, pues no existen
cuadrados consecutivos salvo 0 y 1.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Triangulares<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Sí existen términos triangulares, como el 3. Son aquellos
triangulares cuyo consecutivo es un cuadrado, como también cumple el 15. Estas
condiciones son adecuadas para usar el Buscador:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyeTYpkWzAcqoMfZEli_ccU8KDar91vY-CVbEbtMRi7CtZxKRkR3TqeShu3PSKtZOENVi6Nos03LqOog-6j_F1e_xUlBhfWDoWQmDvGtu9BNAUJZczxBRzem49SwgQ1DqBNPkvx24vmwmljwUqy_DvUWzAwA5ettZe4Dzt2JgdwJiwJhKkd268ypgXHuQ/s392/nn15.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="105" data-original-width="392" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyeTYpkWzAcqoMfZEli_ccU8KDar91vY-CVbEbtMRi7CtZxKRkR3TqeShu3PSKtZOENVi6Nos03LqOog-6j_F1e_xUlBhfWDoWQmDvGtu9BNAUJZczxBRzem49SwgQ1DqBNPkvx24vmwmljwUqy_DvUWzAwA5ettZe4Dzt2JgdwJiwJhKkd268ypgXHuQ/s16000/nn15.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">Las soluciones 3, 15, 120, 528, 4095,…están publicadas en
</span><a href="https://oeis.org/A006454" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">https://oeis.org/A006454</span></a></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Semiprimos<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Para que n(n+2) sea semiprimo, la única solución es que
tanto n como n+2 sean primos, es decir, gemelos. A la inversa, todos los
productos de primos gemelos serán, evidentemente, de este tipo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En esta búsqueda los semiprimos figuran en la segunda
columna. Es fácil entender las condiciones impuestas:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhd0r4VK5zZBmNXfVPVefsg2Mn26j3_yOBUZiIa1ut9n0lZymfKnW8CAVOUJp9vF4PgyMeeSCcTVDlqjZyGJl5XN4wsatBrbGCnnzJfRkoQcyeRjfb3XWCXiFVnhmbf8cM5BZblFhAYAGOsQ2LgeI8wCXhkL9pBBJek7r31Vnvx6004LCTwO7LbTUSXcWo/s454/nn16.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="224" data-original-width="454" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhd0r4VK5zZBmNXfVPVefsg2Mn26j3_yOBUZiIa1ut9n0lZymfKnW8CAVOUJp9vF4PgyMeeSCcTVDlqjZyGJl5XN4wsatBrbGCnnzJfRkoQcyeRjfb3XWCXiFVnhmbf8cM5BZblFhAYAGOsQ2LgeI8wCXhkL9pBBJek7r31Vnvx6004LCTwO7LbTUSXcWo/s16000/nn16.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><br /></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Cubos<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Desde hace tiempo se conoce que el único cubo seguido de
un cuadrado es el 8.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Capicúas<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Es una cuestión menor, pero es interesante que los
lectores demuestren la causa de que 99, 9999, 999999,…figuren en el listado:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">3, 8, 99, 323, 575, 4224, 5775, 9999, 36863, 42024,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Números
de Fibonacci<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Sólo hemos encontrado las soluciones 3 y 8.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Aquí paramos los subtipos. <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Hemos efectuado un recorrido sobre los números del tipo
n(n+2) con las herramientas usuales de este blog. Es un tipo de estudio ameno,
pero sin gran trascendencia.</span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-90711406163690965452024-02-22T19:00:00.000+01:002024-02-22T19:00:00.142+01:00Números generados por sumas alternas<p><span style="font-family: inherit;">El contenido de esta entrada no
tendrá valor teórico destacable. Su objetivo es analizar el procedimiento para
encontrar sumas de números alternados que generen uno dado N. Por alternados
entenderemos consecutivos de cierto tipo en los que se suprime uno de cada dos.
También podríamos afirmar que “se salta” un elemento y se elige el siguiente.</span></p><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, 84=1+9+25+49, y esa
suma es alternada de cuadrados, porque hemos elegido una suma de consecutivos y
le hemos ido suprimiendo un término de cada dos. Los representamos entre
paréntesis:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">84=1+(4)+9+(16)+25+(36)+49<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Otro ejemplo es el publicado en <a href="https://oeis.org/A300395">https://oeis.org/A300395</a>, que contiene
todos los números que se forman con una suma de nueve primos alternados. Por
ejemplo:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">521 = 23+31+41+47+59+67+73+83+97 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En este conjunto se han ido
suprimiendo los primos 29, 37, 43, 53,…<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Queda claro, pues, lo que
entenderemos por alternados.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Un número N puede ser equivalente a
varias sumas de este tipo. Por eso, los algoritmos que busquen dichas sumas
necesitarán dos bucles, pues primero hay que analizar el inicio de la suma y
luego su longitud. Para cada inicio existirán varias posibles sumas, lo que
exige los dos bucles. En este blog hemos usado la función PROXIMO en la entrada
“En el punto medio de dispares” (<a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2023/06/en-el-punto-medio-de-dispares.html">https://hojaynumeros.blogspot.com/2023/06/en-el-punto-medio-de-dispares.html</a>)<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: red;"> </span></b>para ir
encontrando sumandos del tipo dado si conocemos el primero.<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: red;"><o:p></o:p></span></b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">El siguiente listado es el usado
para encontrar el próximo primo, ya que usa la función ESPRIMO, pero se adapta
fácilmente al la búsqueda de otros tipos de números, usando las funciones
ESTRIANGULAR, ESCUBO, ESOBLONGO,…todas usadas en este blog y accesibles con el
comando Buscar.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">Function
proximo(a) As Long</span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Dim
p, prim As Long<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Dim
sale As Boolean</span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><b><i><span style="font-family: inherit;">p = a
+ 1: sale = False: prim = 0<br /></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i>While
Not sale </i></b><span style="font-family: inherit;">‘Reitera hasta que aparezca el próximo<br /></span><b><i><span style="font-family: inherit;">If
escuad(p) Then prim = p: sale = True<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">p = p
+ 1<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">proximo
= prim<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">End
Function</span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">La función PROXIMO puede resultar
lenta, por lo que si buscamos una suma alternada para un número N, es muy
conveniente guardar en un vector todos los números comprendidos entre 1 y N y
que sean del tipo dado. También tiene el peligro de no parar nunca, pero en los
casos habituales esto no sucede.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Estructura
de un algoritmo</span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Según las consideraciones
anteriores, para encontrar las sumas deseadas deberemos recorrer tres etapas:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1) Hay que encontrar todos los
posibles sumandos del tipo dado entre 1 y N. Lo explicamos con un ejemplo, el
de encontrar una suma de triangulares consecutivos alternados cuyo resultado
sea 200.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En primer lugar, usando la función
PROXIMO, creamos un vector que contenga todos los triangulares comprendidos entre
1 y 200. Si llamamos <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">s</b> al vector,
tendríamos que s(1)=1, s(2)=3, s(3)=6, …s(18)=171 y s(19)=190. Tomamos nota de
que existen 19 triangulares que pueden ser sumandos. <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">El uso de un vector nos facilita el
“saltar” un elemento, pues se pasará de s(k) a s(k+2) en cada paso.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">2) Se establece un bucle de búsqueda
del primer sumando, que comenzará en el 1 y se avanzará hasta 190. En el
ejemplo tendríamos que llegar, como veremos, hasta un inicio de 10.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">3) Para cada posible inicio de la
suma se construirá un segundo bucle que vaya añadiendo un sumando alternado en
cada paso. Para ello se irá incrementado el índice en dos unidades cada vez. Si
en uno de ellos se alcanza el resultado de N, se habrá conseguido el objetivo.
Para el número 200 la solución sería</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">10+21+36+55+78=200. Habríamos
saltado los triangulares 15, 28, 45, y 66.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Estas fases se pueden implementar en
una subrutina para VBasic con objeto de usarla en Excel o Calc.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="font-family: inherit;">Rutina
en VBasic</span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">El listado que sigue ha sido
diseñado para Excel, pero con un pequeño cambio se adapta a LibreOffice Calc.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">fila = 14 </i></b>‘O cualquier otro valor<b><i><br /></i></b></span><span style="font-family: inherit;">‘Se lee el valor de N y el tipo de
sumando<br /></span><b><i><span style="font-family: inherit;">n =
ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(9, 4).Value<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">tipo
= ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(29, 8).Value</span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">‘Con el
uso de la función PROXIMO se carga un vector con candidatos a sumandos, para
acelerar el proceso</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">i = 0<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">k = 0<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">While
a <= n<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">a =
proximo(a, tipo)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">If a
<= n Then i = i + 1: s(i) = a: k = i<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Wend</span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">‘Se ha
construido el vector </span><b style="font-family: inherit;">s</b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="font-family: inherit;"><i>For i
= 1 To k </i></b><span style="font-family: inherit;">‘Bucle para elegir el inicio de la suma<br /></span><b><i><span style="font-family: inherit;">j = i<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">a =
s(i)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">suma
= a<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">st$ =
Str$(a)<br /></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i>While
suma <= n And j <= k – 2 </i></b><span style="font-family: inherit;">‘Bucle para construir una suma<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i>j = j
+ 2 </i></b><span style="font-family: inherit;">‘Es importante añadir un 2, para alternar<br /></span><b><i><span style="font-family: inherit;">a =
s(j)</span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">suma
= suma + a </i></b>‘Se construye la suma<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i>st$ =
st$ + ", " + Str$(a) </i></b><span style="font-family: inherit;">‘Modo texto para la suma<br /></span><b><i><span style="font-family: inherit;">If
suma = n Then<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">st =
st + " # " + Str$((j - i) / 2 + 1)</span></i></b></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">‘Se
presenta la solución en modo texto</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila,
10).Value = st$<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila,
12).Value = rotulo(tipo)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">End
If<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Next
i<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">End
Sub</span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">En la
imagen vemos la forma en la que aparecería la solución en Excel:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUOqz3NzCa3ptPJHtTFk3d9bhYCEgHdi7KfGtfSKHRlNOQy0GbqXUX5N_DiHKA4TVmcteZ64NIX0HhVo-d7MhGjaTzwzHBGVQANwnGuE_Qw-lu7sjvY5duR_UC7w5h91ZFfanTLXtsv1UwtvQF5l2J91Vvit53bR_-7J9KAqMwtn2-I5y4QJVk3KH7ASU/s268/al1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="58" data-original-width="268" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUOqz3NzCa3ptPJHtTFk3d9bhYCEgHdi7KfGtfSKHRlNOQy0GbqXUX5N_DiHKA4TVmcteZ64NIX0HhVo-d7MhGjaTzwzHBGVQANwnGuE_Qw-lu7sjvY5duR_UC7w5h91ZFfanTLXtsv1UwtvQF5l2J91Vvit53bR_-7J9KAqMwtn2-I5y4QJVk3KH7ASU/s16000/al1.png" /></a></div><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">Se leerían los sumandos, el número
de ellos, 5 en este caso, y el tipo, “Triangulares”. Lo del este último rótulo
no lo hemos explicado aquí.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Este algoritmo se podría haber
construido como una función, pero esta vez hemos optado por una rutina, pues
usamos una similar en una de nuestras herramientas.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Uno de los últimos usos, por si
deseas reproducirlo, es comprobar que el número 5623 equivale a la suma de
nueve números primos alternados y que, por tanto, pertenece a la sucesión <a href="https://oeis.org/A300395">https://oeis.org/A300395</a><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">5623=577+593+601+613+619+641+647+659+673<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si se dispone de varios tipos de
números (en mis trabajos uso 17), se podría construir una gran rutina que
recorriera varios tipos para buscar sumas. En la siguiente imagen lo hemos
aplicado al número 200 con un resultado sorprendente por el número de
soluciones:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqmZusxSJQmyx4ffVUu2PWf1hqajEcZpQKNnVblqf5Jv25Vkp6_ty1iQcaWyeuoEX08UBH3qJnvzzDfKH_1fYoLVmBcs_mLtxVHFasYxkJkBUAppqQjFsT8t9vDg-w2LCcTdkuGAtPD2lZ9QPJ72qXQJmpmO7VxGGpQqdG05M83gkZAM2sviuGEFkFVpM/s414/al2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="179" data-original-width="414" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqmZusxSJQmyx4ffVUu2PWf1hqajEcZpQKNnVblqf5Jv25Vkp6_ty1iQcaWyeuoEX08UBH3qJnvzzDfKH_1fYoLVmBcs_mLtxVHFasYxkJkBUAppqQjFsT8t9vDg-w2LCcTdkuGAtPD2lZ9QPJ72qXQJmpmO7VxGGpQqdG05M83gkZAM2sviuGEFkFVpM/s16000/al2.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Entre ellos figura el que hemos
usado de ejemplo con triangulares.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con esta idea finalizamos la
entrada, ya que el objetivo era diseñar y explicar un algoritmo.</span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-39466551124868742372024-02-13T17:00:00.001+01:002024-02-13T17:00:00.469+01:00Divisores y sumas palindrómicas<p><span style="font-family: inherit;">El día 4/03/2023 publiqué en Twitter (@connumeros) que los
divisores propios del número 4323 son todos palindrómicos (consideramos de este
tipo también los de una cifra):</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">1441 393 131 33 11 3 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Estudiando este hecho llegué a una sucesión de mi amigo
Claudio Meller en la que figuran aquellos números cuya suma de divisores
propios coincide con la de sus simétricos o reversos <span style="mso-spacerun: yes;"> </span><a href="https://oeis.org/A163122"><span style="mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">https://oeis.org/A163122</span></a><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">)</span>. <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">A primera vista parecía que coincidirían los términos, pero
mi <span style="mso-no-proof: no;">sentido</span> matemático lo negaba, y, en
efecto, la sucesión de Claudio contiene términos, como el 840, cuyos divisores
no son todos capicúas (o palindrómicos).<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En ambos casos es evidente que solo tratamos con números
compuestos. La búsqueda de estos números no es difícil. Basta recorrer sus
divisores propios y abandonar el proceso si aparece un divisor no capicúa. Puede
ser así:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p> </o:p><b><i>Function
esdivcapi(n) As Boolean</i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; text-align: left;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">Dim i<br /></i></b><b><i>Dim
es As Boolean<br /></i></b><b><i>If
esprimo(n) Then esdivcapi = False: Exit Function </i></b>‘No puede ser primo<br /><b><i>es =
True </i></b>‘Suponemos que es cierta la hipótesis<br /><b><i>i = 2
</i></b>‘Primer divisor<br /><b><i>While
i <= n / 2 And es<br /></i></b><b><i>If n
/ i = n \ i And Not escapicua(i) Then es = False </i></b>‘Si un divisor no es
capicúa, cortamos el proceso<br /><b><i>i = i
+ 1 </i></b>‘Siguiente posible divisor<br /><b><i>Wend<br /></i></b><b><i>esdivcapi
= es<br /></i></b><b><i>End
Function</i></b></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Resultado:</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">4, 6, 8, 9,
10, 12, 14, 15, 16, 18, 21, 22, 25, 27, 33, 35, 44, 49, 55, 66, 77, 88, 99,
121, 202, 242, 262, 302, 303, 362, 363, 382, 393, 404, 453, 484, 505, 524, 543,
573, 605, 606, 626, 655, 706, 707, 726, 746, 755, 766, 786, 808, 847, 905, 909,
917, 939, 955, 968,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="font-family: inherit;"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo,
los divisores propios de 524 son 262 131 4 2 1, todos palindrómicos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil, pero
algo oscura, la traducción de esta función a PARI. Hemos usado esta, que da los
mismos resultados de forma casi instantánea:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">is(n)=my(i=1,v=divisors(n),a=#v);if(a>2,for(i=1,a-1,if(!(digits(v[i])==Vecrev(digits(v[i]))),return(0))),return(0));1<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">for(i=4,1000,if(is(i),print1(i,",
")))<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Este es el
resultado en la página oficial de PARI<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghOhONHlTqTNgvv-DsLSYXtJZhLKTWfiapGtOG6BmRbquFttsGhoEdhhFsNSCzolB7im6MOtEu1WdVv7XYJ2EQHMY_h9DzSKuKLWBRsVrWk3EWQcTmRPs1axHSyWoXd0r7G1BzySNEZP_EsF6aB-El0bXgWpsDd3FKz6DI0rBCxC9LDiBt2VP-LxaJgl8/s493/pali1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="137" data-original-width="493" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghOhONHlTqTNgvv-DsLSYXtJZhLKTWfiapGtOG6BmRbquFttsGhoEdhhFsNSCzolB7im6MOtEu1WdVv7XYJ2EQHMY_h9DzSKuKLWBRsVrWk3EWQcTmRPs1axHSyWoXd0r7G1BzySNEZP_EsF6aB-El0bXgWpsDd3FKz6DI0rBCxC9LDiBt2VP-LxaJgl8/s16000/pali1.png" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="font-family: inherit;">Puedes
comprobar este otro código por si te sirve de aprendizaje del lenguaje:</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">is(n)=my(s);if(!isprime(n)&&n>1,s=sumdiv(n,d,digits(d)==Vecrev(digits(d))&&d<n),return(0));s+1==#divisors(n)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">for(i=1,1000,if(is(i),print1(i,",
")))<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Soluciones palindrómicas</span><o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">En la lista de
resultados se observan capicúas, como 303 o 484. El proceso de encontrarlos se
hace más sencillo. Bastará llegar en el primer código hasta <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">a</b> en lugar de <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">a-1</b>. Seguiremos tratando con compuestos, pues el caso de primos nos
llevaría a los “palprimos”, que ya hemos estudiado en otra ocasión<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">(</span><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2016/05/palprimos-primos-palindromicos.html"><span style="mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2016/05/palprimos-primos-palindromicos.html</span></a><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">La previsible
nueva lista es<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">4, 6, 8, 9,
22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 121, 202, 242, 262, 303, 363, 393, 404, 484,
505, 606, 626, 707, 808, 909, 939, 1111, 1331, 1441, 1661, 1991, 2222, 2662,
2882, 3333, 3443, 3883, 3993, 4444, 5555, 6666, 6886, 7777, 7997, 8888, 9999,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="font-family: inherit;"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">La podemos
crear con este código PARI:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>is(n)=my(i,v=divisors(n),a=#v);if(a>2,for(i=1,a,if(!(digits(v[i])==Vecrev(digits(v[i]))),return(0))),return(0));1<br /></i></b><b><i>for(i=4,10000,if(is(i),print1(i,",
")))</i></b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></i></b></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgmWyY1nlBZnFZDp1PwBySeyMsabY9MzUP9BpOd3ab1m0tPKdJp4o1eNtxXnlehMRk8PrpmmhoQakImFttWHtccACpjCSpA2eG0Dj83ObkTE888seE5TQK3BAOlgqqGLXMSvMa7JQhCugm8CunmalSZ15qvSaK5MRFGcCatif2xuHiyVhu6EdWn-VYTDM/s468/pal3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="41" data-original-width="468" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgmWyY1nlBZnFZDp1PwBySeyMsabY9MzUP9BpOd3ab1m0tPKdJp4o1eNtxXnlehMRk8PrpmmhoQakImFttWHtccACpjCSpA2eG0Dj83ObkTE888seE5TQK3BAOlgqqGLXMSvMa7JQhCugm8CunmalSZ15qvSaK5MRFGcCatif2xuHiyVhu6EdWn-VYTDM/s16000/pal3.png" /></a></span></i></b></div><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></b><p></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="font-family: inherit;">En nuestro
caso, la hemos comprobado en hoja de cálculo añadiendo la condición de que N
sea palindrómico.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Sucesión de Claudio Meller</span><o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Al haber
acudido a esta sucesión, bueno será adjuntar el modo de construirla con nuestros
métodos habituales.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Function igualsumconrever(n) As
Boolean<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Dim i, s1, s2<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">If esprimo(n) Or n = 1 Then
igualsumconrever = False: Exit Function<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">s1 = 0: s2 = 0<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">For i = 2 To n / 2<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">If n / i = n \ i Then<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">s1 = s1 + i: s2 = s2 +
cifrainver(i)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">End If<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Next i<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">If s1 = s2 Then igualsumconrever =
True Else igualsumconrever = False<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">End Function<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Resultado<o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">4, 6, 8, 9,
10, 12, 14, 15, 16, 18, 21, 22, 25, 27, 33, 35, 44, 49, 55, 66, 77, 88, 99,
121, 202, 242, 262, 302, 303, 362, 363, 382, 393, 403, 404, 453, 484, 505, 524,
543, 573, 605, 606, 626, 655, 689, 706, 707, 726, 746, 755, 766, 783, 786, 808,
840, 847, 905, 909, 917, 920, 939, 955, 968, 989,…(</span> <a href="https://oeis.org/A163122"><span style="mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">https://oeis.org/A163122</span></a><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Con PARI<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">is(n)=my(i=1,v=divisors(n),a=#v,s1=0,s2=0);if(!isprime(n),for(i=1,a-1,s1=s1+v[i];s2=s2+eval(concat(Vecrev(Str(v[i]))))));s1==s2&&s1>0<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">for(i=2,1000,if(is(i),print1(i,",
")))<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Resultado<o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2CuZSBoeSRI1GeO6ZsxKisGMGn5VlfyUUFMbw9GiLBMH5hSUOMmRlOqgbwxe9bSo4Zl8g3EA3oxcAvbacPwh5cnEz83SRlBaLh49FMS4fXhZFf-rNljiaOq_zjK2_CVK0KSA8L47GP8gjk28ueuAZ_zXgi32N3ryIWYLgXAKqcE4xHwMuFPPk6cLgfX4/s493/pal2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="92" data-original-width="493" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2CuZSBoeSRI1GeO6ZsxKisGMGn5VlfyUUFMbw9GiLBMH5hSUOMmRlOqgbwxe9bSo4Zl8g3EA3oxcAvbacPwh5cnEz83SRlBaLh49FMS4fXhZFf-rNljiaOq_zjK2_CVK0KSA8L47GP8gjk28ueuAZ_zXgi32N3ryIWYLgXAKqcE4xHwMuFPPk6cLgfX4/s16000/pal2.png" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;"><br /></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; tab-stops: 35.4pt;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;"><o:p> </o:p><b>Suma palindrómica</b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: no;"><span style="font-family: inherit;">Por último, a la condición de que todos los divisores propios sean
palindrómicos, podríamos añadir que su suma (las partes alícuotas) también lo
sea. Hemos usado <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>en hoja de cálculo <i style="mso-bidi-font-style: normal;">esdivcapi</i> junto con <i style="mso-bidi-font-style: normal;">escapicua(sigma(i)-i),</i> con este resultado:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjrBNj_vPWBbanpgBb0E9WJV4_BrLJpSH1hT1gnC5b_Y3YMh0ejpfPhNCLmOC6TAdfCYrdwJF64BoaRRy0X4kLzQlZVkSf5F5V1zeqrw6_UA4Q742DK_8iOKhAL4jHNsWQ-GHSk3r55KFYqVrYd66qKv-ty0VWxWGiZtzQ85UvVFON6pgOo5tRgP7xuek/s246/pal4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="246" data-original-width="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjrBNj_vPWBbanpgBb0E9WJV4_BrLJpSH1hT1gnC5b_Y3YMh0ejpfPhNCLmOC6TAdfCYrdwJF64BoaRRy0X4kLzQlZVkSf5F5V1zeqrw6_UA4Q742DK_8iOKhAL4jHNsWQ-GHSk3r55KFYqVrYd66qKv-ty0VWxWGiZtzQ85UvVFON6pgOo5tRgP7xuek/s16000/pal4.png" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Llama la atención la ausencia de números de tres o cuatro cifras.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><br /></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-26722562540453308582024-02-02T17:30:00.001+01:002024-02-02T17:30:00.346+01:00Sumas de términos en progresión<p><span style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En esta entrada nos
preguntaremos, dado un número natural N, qué progresiones aritméticas de
números, también naturales, tienen como suma el número dado N.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Esta cuestión maneja tres
variables distintas, como son el término inicial de la progresión, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">a<sub>1</sub></b>, el número de términos <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">k</b>, y la diferencia de la progresión,
sea <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">d</b>. Para una gestión cómoda del
problema, es conveniente fijar una de ellas y dejar como variables las otras
dos. Su relación algebraica es sencilla, si se recuerdan las fórmulas de las
progresiones aritméticas:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Término general:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyQlI9sPvv9HIbm9o8blArMngCVI3RGJJo6cQLGxYce-rzIJDZ4yw9XdKqb4t28RR1ulcpU-aWo4xz0FeBgoFyNI6q6d_TaMLlokulV8rgmXHQFNnBu68NXMNTl2m40ZOJSG-Vb2gmtk8ujCQz2tsF_eXSSjOl1F_rlSNBcQc4RUYkYoiM_7DMKeYKsIo/s268/pro1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="64" data-original-width="268" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyQlI9sPvv9HIbm9o8blArMngCVI3RGJJo6cQLGxYce-rzIJDZ4yw9XdKqb4t28RR1ulcpU-aWo4xz0FeBgoFyNI6q6d_TaMLlokulV8rgmXHQFNnBu68NXMNTl2m40ZOJSG-Vb2gmtk8ujCQz2tsF_eXSSjOl1F_rlSNBcQc4RUYkYoiM_7DMKeYKsIo/s16000/pro1.png" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;">Suma de la progresión</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPRXXlJy-79mhVifxc7MmP82cuA_mtS2ePV7DFid6cvKUI61SEnSv35TKamc0pKDhcsy8-QtuW1Jm2whYWyMMS6Au_z9O83b7f8U1S4YxxOiLwqV1A0NMvhaKR5wkIRY7dbWm0dHWz54f2jnR06fOWg9rvBBJu1guNYWbMyUVgW7JtK9dAttVVhbSzwyI/s230/pro2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="84" data-original-width="230" height="84" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPRXXlJy-79mhVifxc7MmP82cuA_mtS2ePV7DFid6cvKUI61SEnSv35TKamc0pKDhcsy8-QtuW1Jm2whYWyMMS6Au_z9O83b7f8U1S4YxxOiLwqV1A0NMvhaKR5wkIRY7dbWm0dHWz54f2jnR06fOWg9rvBBJu1guNYWbMyUVgW7JtK9dAttVVhbSzwyI/s1600/pro2.png" width="230" /></span></a></div><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><!--[if gte msEquation 12]><m:oMathPara><m:oMath><m:sSub><m:sSubPr><span
style='font-size:14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:14.0pt;
font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:
italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:sSubPr><m:e><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>S</m:r></span></i></m:e><m:sub><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>k</m:r></span></i></m:sub></m:sSub><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:
115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>=</m:r></span></i><m:f><m:fPr><span
style='font-size:14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:14.0pt;
font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:
italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:fPr><m:num><m:sSub><m:sSubPr><span
style='font-size:14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:
14.0pt;font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;
font-style:italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:sSubPr><m:e><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>a</m:r></span></i></m:e><m:sub><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>1</m:r></span></i></m:sub></m:sSub><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>+</m:r></span></i><m:sSub><m:sSubPr><span style='font-size:
14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:14.0pt;font-family:
"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:
"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:italic;mso-bidi-font-style:
normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:sSubPr><m:e><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>a</m:r></span></i></m:e><m:sub><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>k</m:r></span></i></m:sub></m:sSub></m:num><m:den><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>2</m:r></span></i></m:den></m:f><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>∙</m:r><m:r>k</m:r></span></i></m:oMath></m:oMathPara><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span><span style="line-height: 115%;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 33pt; width: 94.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="line-height: 115%;"><o:p></o:p></span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si combinamos las dos
fórmulas, y<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>llamamos N a la suma (que es
nuestro objetivo), obtendremos, después de simplificar:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc41yZ9ylXQ81UpYbCk5xF9D-MUmAXuzs8Hq5KcNe3R207GU4gUaA6gKuPS7IeTCnkU0xrRaeKsz9uv-Q6sPAR4Aq7A8BNDv6YyTRzLoFDyHzJvP4868_u5zu9S6JhW1lunsEq87N55_Mp25TMGe7DV7vZ9OUwkSqJj6URFZIytR8w5vxQVBBTyZxjHvo/s328/pro3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="80" data-original-width="328" height="78" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc41yZ9ylXQ81UpYbCk5xF9D-MUmAXuzs8Hq5KcNe3R207GU4gUaA6gKuPS7IeTCnkU0xrRaeKsz9uv-Q6sPAR4Aq7A8BNDv6YyTRzLoFDyHzJvP4868_u5zu9S6JhW1lunsEq87N55_Mp25TMGe7DV7vZ9OUwkSqJj6URFZIytR8w5vxQVBBTyZxjHvo/s320/pro3.png" width="320" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;">Multiplicando por 2:</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlPAqEF0vFw0yYtd17F9vHOWa3__3DYtfHauN64x_1ziLfT-uE0bCIJ9gqciphZ0s-q28iF3YsPNIlz085yLqe17lQSkVKgm5vxelK_4_L9gyvQfzDzUr8L_uVuUIE_TVeEcjcEGix0l0e44bmbil9kMWcni1nEE1O5o_dYSkcylOnuJVJhQK7HS4doWA/s329/pro4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="60" data-original-width="329" height="58" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlPAqEF0vFw0yYtd17F9vHOWa3__3DYtfHauN64x_1ziLfT-uE0bCIJ9gqciphZ0s-q28iF3YsPNIlz085yLqe17lQSkVKgm5vxelK_4_L9gyvQfzDzUr8L_uVuUIE_TVeEcjcEGix0l0e44bmbil9kMWcni1nEE1O5o_dYSkcylOnuJVJhQK7HS4doWA/s320/pro4.png" width="320" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;"><span>Esta es nuestra igualdad
básica, que nos informa de algo fundamental, y es que </span><b>el número de términos k ha de ser divisor de 2N</b><span>.</span></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Por otra parte, el máximo
valor de k sería el resultante de sumar una progresión aritmética formada por
los primeros números naturales (d=1). Cualquier otra progresión requiere menos
sumandos. Esa suma de los primeros naturales constituye un número triangular,
luego la cota de k se desprendería de la desigualdad<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiel0hXyHsi1oEqLukmyaCLxXTtUwg2JqoaGClfUlgW3yQsXxLrivIn4yK2DVn8yPL-UkeGyPWxG_sSNxI6ntHmlWwUc6heGcLJZdvpaKBvLtUf0fyieCzu3F77WUpeNkJNlFsxqks4RtWx2yBZZeUk-NiZNhqUq6rl4gBKjOP34aFN_GHC4FzSSGWM6pQ/s188/pro5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="81" data-original-width="188" height="81" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiel0hXyHsi1oEqLukmyaCLxXTtUwg2JqoaGClfUlgW3yQsXxLrivIn4yK2DVn8yPL-UkeGyPWxG_sSNxI6ntHmlWwUc6heGcLJZdvpaKBvLtUf0fyieCzu3F77WUpeNkJNlFsxqks4RtWx2yBZZeUk-NiZNhqUq6rl4gBKjOP34aFN_GHC4FzSSGWM6pQ/s1600/pro5.png" width="188" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;">En otras entradas de este
blog hemos despejado el equivalente a k respecto a N, y nos ha resultado,
después de manipulaciones algebraicas:</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu_okKcE8kf5xn9Q7cMqAR-8BNV_IfYLktUs8OfawTHC0PrjTzUe-wWQZbuG2QC1T2AdHdwNqxSZR_uqo-r1Gc3o6NXvxa1nxYKiv5RO9ZS9pVORjZAhzXIADslSXUHk3d_tD-xuVppB3B5k9Rr956OXVuZ8e4rwvY7nRPAnJ36939go0hnnujUp5pQg8/s329/pro6.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="114" data-original-width="329" height="111" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu_okKcE8kf5xn9Q7cMqAR-8BNV_IfYLktUs8OfawTHC0PrjTzUe-wWQZbuG2QC1T2AdHdwNqxSZR_uqo-r1Gc3o6NXvxa1nxYKiv5RO9ZS9pVORjZAhzXIADslSXUHk3d_tD-xuVppB3B5k9Rr956OXVuZ8e4rwvY7nRPAnJ36939go0hnnujUp5pQg8/s320/pro6.png" width="320" /></span></a></div><span style="font-family: inherit;"><span>En lenguaje de VBASIC y
similares, </span><b>k<=Int((Sqr(8 * n + 1) -
1) / 2)</b></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Además de ser divisor de 2N
y presentar esta acotación, al despejar <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">a<sub>1</sub></b>
o <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">d</b> en la fórmula básica, deberá
resultar un entero positivo. Según planteemos la búsqueda, exigiremos que uno u
otro sean de ese tipo. <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Por otra parte, si llamamos <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">q</b> al cociente (que será entero) <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">2N/k</b>, es fácil ver que la diferencia <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">d</b> tiene como cota <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">q/(k-1) </b>(que sería cuando <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>a<sub>1</sub>=0).<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, la siguiente
función depende de N y k, y en ella exigimos que <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">a<sub>1</sub></b> sea entero positivo:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;">Function sumaprogre$(n, k) </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Es
un texto, para abarcar todas las soluciones<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span>Dim a, d, b, c, q<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>Dim s$</span></span></i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="line-height: 115%;">s$ = "" </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Contenedor
para el texto<br /></span><b><i><span style="line-height: 115%;">q = 2 * n / k </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Cociente
para ver si<b><i> k </i></b>es divisor de<b><i> 2N<br /></i></b></span><b><i><span style="line-height: 115%;">If q = Int(q) Then </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Es
divisor<br /></span><b><i><span style="line-height: 115%;">For d = 2 To q / (k - 1) </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Usa
la cota <b><i>q/(k-1) </i></b>para<b><i> d<br /></i></b></span><b><i><span style="line-height: 115%;">a = (q - d * (k - 1)) / 2 </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Cálculo
de a<sub>1<span><br /></span></sub></span><b><i><span style="line-height: 115%;">If a > 0 And a = Int(a)
Then </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Si a<sub>1</sub> es entero positivo, seguimos<br /></span><b><i><span style="line-height: 115%;">b = a + d * (k - 1) </span></i></b><i><span style="line-height: 115%;">‘Último término<br /></span></i><i><span style="line-height: 115%;"><span><b>s = s + " ##
a(1)=" + Str$(a) + " a(k)=" + Str$(b) + " d=" +
Str$(d)<br /></b></span></span></i><span>‘Se presenta el
resultado como texto, con inicio, fin y diferencia<br /></span><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>End If<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>Next d<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>End If<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;">If s = "" Then s =
"NO" </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘No hay solución<br /></span><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>sumaprogre = s<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>End Function</span></span></i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span>Por ejemplo, el
número 142 es igual a 2*71, con lo que los divisores de 284 (2N) son </span><span> </span><span>284, 142, 71, 4, 2, 1, y constituyen los valores
posibles de k. Si probamos k=71, la función nos devuelve un “NO”, porque no
existen sumas con k=71. Por el contrario, si elegimos k=4, nos resulta un
número excesivo de soluciones:</span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Sumaprogre(142;4)= ##
a(1)= 31 a(k)= 40 d= 3 ## a(1)= 28 a(k)= 43 d= 5 ## a(1)= 25 a(k)= 46 d= 7 ##
a(1)= 22 a(k)= 49 d= 9 ## a(1)= 19 a(k)= 52 d= 11 ## a(1)= 16 a(k)= 55 d= 13 ##
a(1)= 13 a(k)= 58 d= 15 ## a(1)= 10 a(k)= 61 d= 17 ## a(1)= 7 a(k)= 64 d= 19 ##
a(1)= 4 a(k)= 67 d= 21 ## a(1)= 1 a(k)= 70 d= 23</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Observamos que varían
entre d=3: 31+34+37+40=142 hasta d=23, 1+24+47+70=142.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los valores posibles
de las diferencias cumplen la acotación 2N/k/(k-1), que en este caso sería
284/4/3=23,666…</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Llama la atención que
probando varios números, suelen aparecer muchas soluciones, o ninguna. En
algunos casos, la solución es única. Por ejemplo, el número 2024 sólo admite
una solución con 44 sumandos:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Sumaprogre(2024;44)= ##
a(1)= 3 a(k)= 89 d= 2<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span>Es una suma de
impares desde 3 hasta 89. Con otra herramienta, usando diferencias de
cuadrados,</span><span> </span><span>se llega al mismo resultado:</span></span></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj31SwSSks7KSt88JXjW8L_dVpzlzySsDYwAikTApigB2ueFN-ts1zCUNTHtRBPRq1TSHMrhZjsUm-C3b3DVyJnCp5-LtQE3YUmPdNTSkTU9ElkY-86kRNnirFRltgoFhKhMmvq2-AHLTnLLUrz4THU3Jwi9qKJk-q8HdAVaNG_2As0xmsvAx15hJ_zspM/s510/pro7.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="21" data-original-width="510" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj31SwSSks7KSt88JXjW8L_dVpzlzySsDYwAikTApigB2ueFN-ts1zCUNTHtRBPRq1TSHMrhZjsUm-C3b3DVyJnCp5-LtQE3YUmPdNTSkTU9ElkY-86kRNnirFRltgoFhKhMmvq2-AHLTnLLUrz4THU3Jwi9qKJk-q8HdAVaNG_2As0xmsvAx15hJ_zspM/s16000/pro7.png" /></span></a></div><p></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span>Aquí se ha expresado
2024 como 45</span><sup>2</sup><span>-1</span><sup>2</sup><span>, de donde resulta la misma suma de
impares.</span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;"><b>Estudio
para un número dado</b></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">La anterior función
se puede aplicar a todos los divisores de un número, con lo que obtendríamos un
panorama general de todas las posibilidades que tiene de ser suma de una
progresión aritmética. El problema es de visualización, pues, tal como
comentamos anteriormente, pueden obtenerse muchas soluciones, con lo que se
perdería la visión de conjunto. En el siguiente recorte (incompleto) podemos
observar los resultados para 2024:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrzbuTpFpnqSCv0jS3VmZlgEdoAqBVTtpd3SBWZMtTyRAyORQA8KUzZVgvIMW2Mk9s3G5Vl9Qh990v6BipkAV7-q72gUDZWtfoB7ElAehBAlsSv6dSrjobyrrBlSep4i7Vh0YW77v1YI3NteOmYNYKHEmRgXn5ooJHfqCSIytKtf_iEVfR0NyRrv8z7gY/s537/pro8.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="156" data-original-width="537" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrzbuTpFpnqSCv0jS3VmZlgEdoAqBVTtpd3SBWZMtTyRAyORQA8KUzZVgvIMW2Mk9s3G5Vl9Qh990v6BipkAV7-q72gUDZWtfoB7ElAehBAlsSv6dSrjobyrrBlSep4i7Vh0YW77v1YI3NteOmYNYKHEmRgXn5ooJHfqCSIytKtf_iEVfR0NyRrv8z7gY/s16000/pro8.png" /></span></a></div><span><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br />La primera columna indica el
número de sumandos, y la segunda, en forma de texto, todas las posibilidades,
descritas mediante a(1), a(k) y d.</span></p></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #274e13;">Uso
de la diferencia como parámetro</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos estar interesados en
cuántas sumas, con una diferencia dada, se pueden encontrar para N. Por
ejemplo, en el recorte anterior del caso del 2024, se descubren varios ejemplos
con d=4.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">La siguiente función, muy
similar a la anterior, nos devuelve todas las sumas con una diferencia dada. No
se añaden comentarios porque la metodología es la misma.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Function sumaprogre2$(n, d)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span>Dim a, k, b, c, q, l<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>Dim s$</span></span></i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>s$ = ""<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>l = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1)
/ 2)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>For k = 2 To l<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>q = 2 * n / k<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>If q = Int(q) Then<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>a = (q - d * (k - 1)) / 2<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>b = a + d * (k - 1)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>If a > 0 And a = Int(a)
Then s = s + " ## a(1)=" + Str$(a) + " a(k)=" + Str$(b) +
" k=" + Str$(k)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>End If<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>Next k<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>If s = "" Then s =
"NO"<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>sumaprogre2 = s<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span>End Function</span></span></i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Aplicada al año 2024
y a la diferencia d=4 nos ha devuelto estas soluciones, que coinciden con las
del esquema general:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">## a(1)= 1010 a(k)=
1014 k= 2 ## a(1)= 500 a(k)= 512 k= 4 ## a(1)= 239 a(k)= 267 k= 8 ## a(1)= 164
a(k)= 204 k= 11 ## a(1)= 50 a(k)= 134 k= 22 ## a(1)= 44 a(k)= 132 k= 23</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En ellas se nos
ofrecen el primer término a(1), el último a(k) y el número de sumandos k.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, a(1)=
164 a(k)= 204 k= 11 se refiere a esta suma con 11 sumandos que se diferencian
en 4 unidades:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">2024</span><span>=</span><span style="line-height: 115%;">164+168+172+176+180+184+188+192+196+200+204</span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span>Podríamos repetir las
búsquedas fijando un valor para a</span><sub>1</sub><span>, pero no parece resultar
interesante.</span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-31854159480293025502024-01-24T12:24:00.001+01:002024-01-24T12:24:00.147+01:00 Un número y sus cifras (3) - Smith<p><span style="font-family: inherit;"><span style="background: white; color: #222222; line-height: 120%; text-align: justify;">En los números de Smith la suma de sus cifras coincide con las de sus
factores primos tomados con repetición, como el 666, cuyas cifras suman 18 y
las de su desarrollo en factores primos 2*3*3*37 también: 2+3+3+3+7=18. Los
tienes en </span><a href="http://oeis.org/A006753" style="text-align: justify;"><span style="background: white; color: #2288bb; line-height: 120%;">http://oeis.org/A006753</span></a></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span class="MsoHyperlink"><span style="background: white; color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En
la definición más aceptada, se exige que estos números sean compuestos, pues en
el caso de los primos esta condición se cumple trivialmente.<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span class="MsoHyperlink"><span style="background: white; color: windowtext; line-height: 120%;">Los
primeros son: </span></span><span style="color: #222222; line-height: 120%;">4, 22, 27, 58, 85, 94, 121,
166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535,
562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666,…(</span><span style="line-height: 120%;"> </span><a href="https://oeis.org/A006753"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A006753</span></a><span style="color: #222222; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El primer
número de este tipo lo publicó Albert Wilansky, que fue quien dio este nombre,
porque se basó el en teléfono de su cuñado Harold Smith. El 49377775=
3*5*5*65837 cumple la definición:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">4+9+3+7+7+7+5
= 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Búsqueda de estos números</span><span style="color: #222222;"><o:p></o:p></span></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Aunque estén
publicados y muy estudiados, es gratificante usar una hoja de cálculo para
reproducirlos. Usaremos una función adaptada de otra similar que publicamos en <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html"><span style="line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html</span></a><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Esta función
sumará las cifras de los factores de un número, para comparar el resultado con
la suma de cifras del mismo:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Public
Function smith(n) As Boolean<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim f, a, e<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">If esprimo(n)
Then smith = False: Exit Function </span></i></b><span style="color: #222222; font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Solo
compuestos<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">a = n </span></i></b><span style="color: #222222; font-family: inherit; line-height: 120%;">'Copia el valor de n<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">f = 2 </span></i></b><span style="color: #222222; font-family: inherit; line-height: 120%;">'Recogerá los factores primos<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">e = 0 </span></i></b><span style="color: #222222; font-family: inherit; line-height: 120%;">'Recogerá la suma de las cifras<br /></span><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">While f <=
a<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">While a / f =
a \ f </span></i></b><span style="color: #222222; font-family: inherit; line-height: 120%;">' Ve si es divisor<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">a = a / f: e =
e + sumacifras(f) </span></i></b><span style="color: #222222; font-family: inherit; line-height: 120%;">' Si lo es, suma las cifra<b><i>s<br /></i></b></span><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">If f = 2 Then
f = 3 Else f = f + 2 </span></i></b><span style="color: #222222; font-family: inherit; line-height: 120%;">' Siguiente factor, que
será primo por la división a=a/f<br /></span><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If e =
sumacifras(n) Then smith = True Else smith = False<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Hemos
comprobado la función y coinciden los resultados con los publicados.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con esta
función se pueden detectar números de este tipo que estén próximos. Por
ejemplo, los números de Smith consecutivos, o números de Smith “hermanos”, como
728 y 729. Basta exigir SMITH(N) AND SMITH(N+1) en cualquier buscador. Lo hemos
efectuado con Excel con este resultado:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggKyy1o6RjKEqxaoVG2spkyeU3n7JjoZQctCcXwEBOFgD9vOzALAXtPXN9-N5LZjxXDzbTFG512Rb0Op9swqZyzsOvXB3LzTrEdWxkQB5jL4oAasKKQUsW1cQZKDm14yfsBnXew2pPL4u5dlGFPD2CUTv3McX5DYUcO-shJUMN_nTKyHNTkkuYuLTAIF0/s406/3niven1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="157" data-original-width="406" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggKyy1o6RjKEqxaoVG2spkyeU3n7JjoZQctCcXwEBOFgD9vOzALAXtPXN9-N5LZjxXDzbTFG512Rb0Op9swqZyzsOvXB3LzTrEdWxkQB5jL4oAasKKQUsW1cQZKDm14yfsBnXew2pPL4u5dlGFPD2CUTv3McX5DYUcO-shJUMN_nTKyHNTkkuYuLTAIF0/s16000/3niven1.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter">
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0">
<v:f eqn="sum @0 1 0">
<v:f eqn="sum 0 0 @1">
<v:f eqn="prod @2 1 2">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @0 0 1">
<v:f eqn="prod @6 1 2">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="sum @8 21600 0">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @10 21600 0">
</v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas>
<v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f">
<o:lock aspectratio="t" v:ext="edit">
</o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1029" style="height: 117.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 304.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;">Los menores de
cada par están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A050219"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A050219</span></a><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Hay muchos
pares que se diferencian en dos unidades. Los podríamos llamar “primos o cousins”.
Los primeros son:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_vqtS-5bNLoUiOgUcnpX5LJyuc-DhVvjPwg0eU-ZN4RqfLu-Bf_oYATHto8TU_jQhlaktanrqbUvi2cGd70x8xbNXEkbidTk7r9T4hXvYs1ByGRozhHu1uCbX7m2f0LgETeX2ejOJRtSAScZb_F-t8alLGkVeaHI4-p13tXIUaKftSab87ZeKNMckHYw/s363/3niven2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="206" data-original-width="363" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_vqtS-5bNLoUiOgUcnpX5LJyuc-DhVvjPwg0eU-ZN4RqfLu-Bf_oYATHto8TU_jQhlaktanrqbUvi2cGd70x8xbNXEkbidTk7r9T4hXvYs1ByGRozhHu1uCbX7m2f0LgETeX2ejOJRtSAScZb_F-t8alLGkVeaHI4-p13tXIUaKftSab87ZeKNMckHYw/s16000/3niven2.png" /></a></div><span style="color: #4f6228; font-family: inherit;">También se pueden buscar ternas de números de Smith
consecutivos. Hemos localizado la primera terna con Excel:</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvvtpn9mO-H5cE0HZ4frh1uLHLCVrw7ml9AyujzZa_AwKuFMTo6ryr3ZDjH2s863D_klQY4nkljpKma46a4pLTk9U2lpc1gxddzRTz4c0ydRaAP_JFk90zA3CDaF5yZLWdB16l4XRSG2W1mBGh3Drygkv1j1a2MkTweFyAav9dd1w1_Voh0jNzy8uLFFU/s539/3niven3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="47" data-original-width="539" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvvtpn9mO-H5cE0HZ4frh1uLHLCVrw7ml9AyujzZa_AwKuFMTo6ryr3ZDjH2s863D_klQY4nkljpKma46a4pLTk9U2lpc1gxddzRTz4c0ydRaAP_JFk90zA3CDaF5yZLWdB16l4XRSG2W1mBGh3Drygkv1j1a2MkTweFyAav9dd1w1_Voh0jNzy8uLFFU/s16000/3niven3.png" /></a></div><span style="color: #4f6228; font-family: inherit; line-height: 120%;">Las siguientes las tienes en </span><a href="https://oeis.org/A105648" style="font-family: inherit;"><span style="color: #00007f; line-height: 120%;"><span style="color: windowtext;">https://oeis.org/A105648</span></span></a><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">No seguimos por este camino. Sería cuestión de
ampliar y tener paciencia.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Números de Smith
generalizados <o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos sustituir la igualdad de las dos sumas que
estamos comparando por la condición de que las cifras de los factores primos de
N sumen un múltiplo de la suma de las propias cifras de N. En nuestras
exploraciones hemos comprobado que suelen publicarse clasificando los números
de este tipo según el cociente entre las dos sumas.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para encontrarlos deberemos sustituir la igualdad <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If e =
sumacifras(n) Then smith = True Else smith = False<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En su lugar llamaremos <b>q</b> al cociente entre <b>e</b> y <b>sumacifras(n)</b>, y verificar que es
entero e igual al cociente que propongamos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">q = e / sumacifras(n, 1)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If q = Int(q) And q = k Then smith = True Else
smith = False</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El valor de <b>k</b>
está prefijado por los usuarios, ya que en la cabecera de la función
correspondiente lo añadiremos como parámetro:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Public Function smith(n, k) As Boolean<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, para k=2 obtenemos la lista de
aquellos números en los que la suma de las cifras de sus factores primos sea el
doble de la de las propias del número:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXcDdhvp6qJtF9WcB93pJpHccozuKt_ecdCOpKh3nmgQQL4_ZLqhnncbscaX2bVqe-2OrZwILgq8GePHRh3X8UyXCd9xqDmeMiUBH7aa8NGvGyYyJQYc4xHvCa7HgBflYMP4i7oNsULaTeY2h5CALongIRVB9GVCOcovmy7jNzzddhqu3wGVsDog1Y348/s282/3niven4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="282" data-original-width="191" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXcDdhvp6qJtF9WcB93pJpHccozuKt_ecdCOpKh3nmgQQL4_ZLqhnncbscaX2bVqe-2OrZwILgq8GePHRh3X8UyXCd9xqDmeMiUBH7aa8NGvGyYyJQYc4xHvCa7HgBflYMP4i7oNsULaTeY2h5CALongIRVB9GVCOcovmy7jNzzddhqu3wGVsDog1Y348/s16000/3niven4.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1026" style="height: 226.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 150.6pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">De igual forma procederíamos con otros valores de
k. Los primeros ejemplos están todos publicados.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Números “hoax” o
engañosos</span></span></i></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos suprimir de la suma de cifras las
repeticiones de los factores primos. Nos puede seguir siendo útil nuestra
función Smith, pero sin sumar los factores repetidos nada más que una vez. Para
ello introducimos una variable cuenta=0, que se transforma en 1 en cuanto
detecta una primera sumas. Algo así:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">cuenta = 0<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">While a / f = a \ f <br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">a = a / f<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If cuenta = 0 Then e = e + sumacifras(f, 1): cuenta
= 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"> </span></span><span style="color: #4f6228; font-family: inherit;">Con esta modificación obtenemos los números </span><i style="color: #4f6228; font-family: inherit;">hoax</i><span style="color: #4f6228; font-family: inherit;"> en lugar de los de Smith:</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEKdrXV9E8hmcPBB5IcuWshQk81fNy-q7nnisdUzqW8P3dSd8OssyZEGyKvCXmLatjznKYn_0a2c9MFXXfQ_C7mUjS40ddJfG2G8bMn_KnGfpXdzpe7XTgjqGktAjhwus4y7UCm1KlZpc5MhQuXW0ktUAQtafPUFjHoMTaU5QWE_G3k0Uzd4FL_FsjagY/s252/3niven5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="252" data-original-width="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEKdrXV9E8hmcPBB5IcuWshQk81fNy-q7nnisdUzqW8P3dSd8OssyZEGyKvCXmLatjznKYn_0a2c9MFXXfQ_C7mUjS40ddJfG2G8bMn_KnGfpXdzpe7XTgjqGktAjhwus4y7UCm1KlZpc5MhQuXW0ktUAQtafPUFjHoMTaU5QWE_G3k0Uzd4FL_FsjagY/s16000/3niven5.png" /></a></div><span style="color: #4f6228; font-family: inherit;">Por ejemplo, 160=2</span><sup style="color: #4f6228; font-family: inherit;">5</sup><span style="color: #4f6228; font-family: inherit;">*5, y como contamos
el 2 una sola vez, obtenemos la igualdad 1+6+0=2+5=7</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;">(Ver </span><a href="https://oeis.org/A019506"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A019506</span></a><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Aquellos de estos números que sean libres de
cuadrados, serán también números de Smith.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Números de Smith
cuadráticos</span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Estos números son mucho menos populares, pero hemos
publicado una entrada sobre ellos en este blog<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;">(</span><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html"><span style="line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html</span></a><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Son aquellos números en los que la suma de los
cuadrados de sus cifras coincide con las sumas, también de cuadrados, de sus
factores primos con repetición.<o:p></o:p></span></span></p>
<span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Nos remitimos a esta </span></span><span style="color: #4f6228; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">entrada nuestra.</span></span><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-36242715979270060672024-01-17T12:13:00.001+01:002024-01-17T12:13:00.144+01:00Un número y sus cifras (2) - Zuckerman<p><span style="font-family: inherit;"><span style="background-color: white; color: #202122; text-align: justify;">En la anterior entrada estudiamos los números de Niven, que son
múltiplos de la suma de sus cifras. Ahora buscaremos propiedades en las que
participe el producto de las mismas. En esa entrada usamos las funciones </span><i style="background-color: white; color: #202122; text-align: justify;">sumacifras</i><span style="background-color: white; color: #202122; text-align: justify;"> y </span><i style="background-color: white; color: #202122; text-align: justify;">producifras</i><span style="background-color: white; color: #202122; text-align: justify;">, que nos serán ahora igualmente útiles.</span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><b><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Números de Zuckerman</span></span></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Estos números son divisibles entre el producto de sus cifras. Al
buscarlos, hay que introducir la condición de que <i style="mso-bidi-font-style: normal;">producifras</i> no sea nulo, lo que provocaría el error de “división
por cero”. Con esta condición es sencillo encontrar los primeros de al menos
dos cifras, pues los de una cumplen todos la condición:<o:p></o:p></span></span></p><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></p><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijj375KrLHQroajmkQ_CMibn_oq0ME8AaaIddND_0wUJnMfXhueRQ1UeToyytszKbbuzgsxNMlF2BOHxuk1g6cpFfURUpkBPRdF2Ngx5oF3jdpuVFkzJzYSpgJvUORnMixhg2i8FB21R_BwMHii3s429kMuUiU59zVuFXkqaNhUXAn5yL5MzSoRW8xapA/s279/2niven1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="245" data-original-width="279" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijj375KrLHQroajmkQ_CMibn_oq0ME8AaaIddND_0wUJnMfXhueRQ1UeToyytszKbbuzgsxNMlF2BOHxuk1g6cpFfURUpkBPRdF2Ngx5oF3jdpuVFkzJzYSpgJvUORnMixhg2i8FB21R_BwMHii3s429kMuUiU59zVuFXkqaNhUXAn5yL5MzSoRW8xapA/s16000/2niven1.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter">
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0">
<v:f eqn="sum @0 1 0">
<v:f eqn="sum 0 0 @1">
<v:f eqn="prod @2 1 2">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @0 0 1">
<v:f eqn="prod @6 1 2">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="sum @8 21600 0">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @10 21600 0">
</v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas>
<v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f">
<o:lock aspectratio="t" v:ext="edit">
</o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1034" style="height: 183.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 209.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A007602"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A007602</span></a><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es evidente que los <i style="mso-bidi-font-style: normal;">repitunos</i>
1, 11, 111, 1111,…y sus consecutivos 2, 12, 112, 1112,…, así como los 5, 15,
115, 1115,…pertenecen todos a esta sucesión.<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Los números de </span><span style="line-height: 120%;">Zuckerman forman una subsucesión de los
“desnudos”, que se llaman así porque dejan al descubierto sus factores primos.
Son aquellos que son divisibles entre cada una de sus cifras. Por ello, los de
Zuckerman, al serlo entre el producto, también son múltiplos de las cifras una
a una. Un número desnudo es el 672, que es divisible entre sus tres cifras:
672/6=112; 672/7=96 y 672/2=336.<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; font-family: inherit;">Las frecuencias de estos números disminuyen claramente al
incrementar el valor de N. De Koninck and Luca demostraron que siempre están
comprendidas entre x^0.122 y x^0.863. En la tabla desde 0 a 10000 se muestra
claramente que este intervalo es muy amplio:</span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1033" style="height: 151.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 374.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-mSrYE4zL9BJcNeClWM5nMXInf0bFDkKXB07Nq6-pNMFQIMlyjZeltbCjDwkHg026QzLKXw926kSSFy7e118A1HxwsQm2Xd5SeFjIK2hRiMtv_dgNtwJZDqWBIv51sEbXF3AxDg_HvgD0ZQn7IbB2JUwmqsjxZPU-DkVR3GGbKOafw4Vgqg224i6Dk50/s499/2niven2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="202" data-original-width="499" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-mSrYE4zL9BJcNeClWM5nMXInf0bFDkKXB07Nq6-pNMFQIMlyjZeltbCjDwkHg026QzLKXw926kSSFy7e118A1HxwsQm2Xd5SeFjIK2hRiMtv_dgNtwJZDqWBIv51sEbXF3AxDg_HvgD0ZQn7IbB2JUwmqsjxZPU-DkVR3GGbKOafw4Vgqg224i6Dk50/s16000/2niven2.png" /></a></div><br /><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Números divisibles entre suma y también producto</span></span></b></p><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;"><br /></span></span></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; font-family: inherit;">Podemos unir las dos condiciones de que un número sea múltiplo
de la suma de sus cifras y también de su producto, si este no es nulo.</span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Una sencilla ampliación de las búsquedas nos lleva al resultado
(para números de más de una cifra):<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1032" style="height: 210pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 318pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOYZwiB0QZtmXtbAqEaYYIdppiX-nRg-Fnp642OI4E-hydqGL8jls4JOAJDrFHqd65xYO2qX7ZEWsnJF611IWIAEdiMcKnhKK1xVvn7meDsk7mXTVbc8KPLg0Rajb75PDABzWIIj7IwoIr9Q63iIFPfchhvpqg4U4YKzWAHyrrISbsEqN1FrHGTxk-cFg/s424/2niven3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="280" data-original-width="424" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOYZwiB0QZtmXtbAqEaYYIdppiX-nRg-Fnp642OI4E-hydqGL8jls4JOAJDrFHqd65xYO2qX7ZEWsnJF611IWIAEdiMcKnhKK1xVvn7meDsk7mXTVbc8KPLg0Rajb75PDABzWIIj7IwoIr9Q63iIFPfchhvpqg4U4YKzWAHyrrISbsEqN1FrHGTxk-cFg/s16000/2niven3.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A038186"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A038186</span></a><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;">Números
de Moran</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Son también un subconjunto
de los números de Niven<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Se llaman así a aquellos
números de Niven en los que el cociente N/SUMACIFRAS(N) es primo. Con un
buscador unimos la condición de que ese cociente sea entero con la de que sea
primo, y así los encontraremos. En la siguiente imagen figura el resultado con
nuestro Buscador de Naturales:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfDrxNdFO4HhBDFCpYsbJJhpNTv4tX79_4o9pcx7RJ2fhXmq0rgCSDLJVWJCQP3zyZALD7t-4zDA2QqG4Bip3eZQXkT2meqPWk8cwDRqzn423-fTZC8j4G0IfEydgOQJGGLiSL4abKNUqhHWnyG4qZivSky4KoNGAV6fNWChrciZaymjyoh1R4c41GVPA/s434/2niven4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="224" data-original-width="434" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfDrxNdFO4HhBDFCpYsbJJhpNTv4tX79_4o9pcx7RJ2fhXmq0rgCSDLJVWJCQP3zyZALD7t-4zDA2QqG4Bip3eZQXkT2meqPWk8cwDRqzn423-fTZC8j4G0IfEydgOQJGGLiSL4abKNUqhHWnyG4qZivSky4KoNGAV6fNWChrciZaymjyoh1R4c41GVPA/s16000/2niven4.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;"><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></p>Podemos añadirle el cociente
en la columna de detalles:</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgftgure1jkK1AQkascXsURsRyVxhXzIHRj2UJc6SS_l8akFaGiROrTE6wZg5eILl8bQ0_oS1zkV8_TthXTzp-vkWqmSGVULNKM5THr85_5MM3AQi0r5vmozTx4ZiIqr28f8d4o6XZtaXcblQbjzNlIIGDcFo4_P2jKUXFAU6SwZ9MBCdoJYqrM6_6dDbQ/s441/2niven5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="236" data-original-width="441" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgftgure1jkK1AQkascXsURsRyVxhXzIHRj2UJc6SS_l8akFaGiROrTE6wZg5eILl8bQ0_oS1zkV8_TthXTzp-vkWqmSGVULNKM5THr85_5MM3AQi0r5vmozTx4ZiIqr28f8d4o6XZtaXcblQbjzNlIIGDcFo4_P2jKUXFAU6SwZ9MBCdoJYqrM6_6dDbQ/s16000/2niven5.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1030" style="height: 177pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 331.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Así comprobamos que todos
los cocientes son primos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Estos números de Moran están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A001101"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A001101</span></a><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En esa página se usa un
procedimiento en PARI muy ilustrativo de la potencia de este lenguaje:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;">is(n)=(k->denominator(k)==1&&isprime(k))(n/sumdigits(n))</span></i></b><span style="line-height: 120%;"> \\
Charles R Greathouse IV, Jan 10 2014<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En el listado se observan
dos números de Moran consecutivos, 152 y 153, en los que 152/(1+5+2)=19, primo,
y 153/(1+5+3)=17, también primo, y ambos cocientes, 17 y 19 son primos
consecutivos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">¿Existirán más pares de este
tipo? Se pueden buscar con la misma herramienta:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzy_2HnWZESWWw59kRx8qr44rRKUvHsB0rRMQ0qFhLzbqEMeRT_DHqI_Ilz81VEpjxHzw_Qu6Z1vqqqbltV-uqvut9rBv-VxOhvP3RDJd9KxKSMmLUVPGSIpVh93_ev1t7bA5ESCa0j5f6yYTCONXbJ2S0Om_ZBlRigujtPCZKu3N1Joe5gWTjlXyHNk0/s463/2niven6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="143" data-original-width="463" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzy_2HnWZESWWw59kRx8qr44rRKUvHsB0rRMQ0qFhLzbqEMeRT_DHqI_Ilz81VEpjxHzw_Qu6Z1vqqqbltV-uqvut9rBv-VxOhvP3RDJd9KxKSMmLUVPGSIpVh93_ev1t7bA5ESCa0j5f6yYTCONXbJ2S0Om_ZBlRigujtPCZKu3N1Joe5gWTjlXyHNk0/s16000/2niven6.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1029" style="height: 89.4pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 289.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Vemos que sí existen más
pares de números de Moran consecutivos. En la página </span><a href="https://oeis.org/A085775"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A085775</span></a><span style="line-height: 120%;">
puedes consultar un listado más completo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">¿Existirán más pares en los
que los cocientes sean primos consecutivos?<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Aquí el Buscador ya se nos
queda elemental, y deberemos acudir a otro implementado en Excel. Con él hemos
encontrado tres:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1028" style="height: 58.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 250.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="background: white; color: black; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRfSTA9AH0abSQRF0hQv8spPMOKSLLwjapO7iqJ_wYadecsFmZjGTqQTWqpU6f9LJs7aaIrMXtqCp5gotRPouLBBr2dOnmdqCh_1784b30SGsKpvE2CC2I76dyrxgucexXo_tF9pODDdQmxAjYpmo5rGOe68jXfrkNn1TQOclUI4WloIMREL_pz8FTPSI/s334/2niven7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="78" data-original-width="334" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRfSTA9AH0abSQRF0hQv8spPMOKSLLwjapO7iqJ_wYadecsFmZjGTqQTWqpU6f9LJs7aaIrMXtqCp5gotRPouLBBr2dOnmdqCh_1784b30SGsKpvE2CC2I76dyrxgucexXo_tF9pODDdQmxAjYpmo5rGOe68jXfrkNn1TQOclUI4WloIMREL_pz8FTPSI/s16000/2niven7.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #0c343d;">Números
de Rhonda</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Como en anteriores entradas
de esta serie, trabajaremos en base 10 para tener en cuenta las cifras de un
número.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los números de Rhonda son
aquellos naturales que cumplen que el producto de sus cifras es igual a la base
de numeración (en este caso 10) multiplicada por la suma de cifras de sus
factores primos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Un ejemplo es el número
5265, que se descompone como 5265=3^4*5*13, y se cumple que <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">5*2*6*5=300=10*(3+3+3+3+5+13)=10*30</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Como el producto ha de ser
múltiplo de 10, entre las cifras del número ha de figurar un 5, y además una
cifra par al menos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con nuestros buscadores en
hoja de cálculo bastará pedirles que <b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">producifras(n)=10*sopfr(n).<o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con esta sencilla condición
nos aparecen los primeros:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhx-dSPYUdIAN2CVpkp4rlg2Ox3S73QZ02OnfHLQdgbt5RleMj4_SFUidhMR8YbPbsCXx82tIWm9TYDP_r_FegZX9Zm64mSz5OJO362qPNbClKiSD7pJTHiE8yNWZK2tcCiiXWOD5jw9CfwheJAcPbJ31nW8PO1-8qpwG-8R8Et1ztPiDbdGG-VAgcX9iA/s380/2niven8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="260" data-original-width="380" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhx-dSPYUdIAN2CVpkp4rlg2Ox3S73QZ02OnfHLQdgbt5RleMj4_SFUidhMR8YbPbsCXx82tIWm9TYDP_r_FegZX9Zm64mSz5OJO362qPNbClKiSD7pJTHiE8yNWZK2tcCiiXWOD5jw9CfwheJAcPbJ31nW8PO1-8qpwG-8R8Et1ztPiDbdGG-VAgcX9iA/s16000/2niven8.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Hemos descompuesto cada uno
en factores primos y después los hemos sumado con repetición (función SOPFR).
Es fácil ver que los productos de la segunda columna son diez veces mayores que
los de la última.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A099542"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A099542</span></a><span style="line-height: 120%;">.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Recorriendo la tabla
observamos que todos los productos de cifras son múltiplos de 20, pero esto no
es necesario. Si extendemos la búsqueda encontraremos un contraejemplo:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhe-FIOJxiU0M1yNJtQk9Ltn1GO_KQKQeTaRSBTGX4IWT_p3CobUAkt3IdPR7ngYGfPDx7E6R_r7Ei-ZhM7XGdpEQ8O-3KJ2bwzkpfE6tf0jSvb9vAEm5QP16o2qNkzIxA0YGrd7ZkshLVK6RlTJXwQEHs_e0Fhp058p3pnM6C1A4hRsfRVe5kaEcV2w1I/s402/2niven9.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="45" data-original-width="402" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhe-FIOJxiU0M1yNJtQk9Ltn1GO_KQKQeTaRSBTGX4IWT_p3CobUAkt3IdPR7ngYGfPDx7E6R_r7Ei-ZhM7XGdpEQ8O-3KJ2bwzkpfE6tf0jSvb9vAEm5QP16o2qNkzIxA0YGrd7ZkshLVK6RlTJXwQEHs_e0Fhp058p3pnM6C1A4hRsfRVe5kaEcV2w1I/s16000/2niven9.png" /></a></div><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></b></span></p><span style="color: #0c343d;">Algunos
tipos de números de Rhonda</span></span></span></b><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Potencias<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Entre los 100000 primeros
números encontramos un cubo y una sexta potencia:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Cubo: 5832=18^3 y
5*8*3*2=10*(2+2+2+3+3+3+3+3+3)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Sexta potencia: 15625=5^6 y
1*5*6*2*5=10*(5+5+5+5+5+5)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con
cifras crecientes y otros<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">No hemos encontrado capicúas
(palindrómicos) entre los primeros números de Rhonda, pero sí con cifras
crecientes:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1568=2^5*7^2 y
1*5*6*8=240=10*(2+2+2+2+2+7+7)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con cifras decrecientes no
aparecen entre los primeros. Sí hay muchos con todas sus cifras distintas:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1568, 2835, 4752, 5439,
5824, 5832, 8526, 12985, 15698, 19435, 47265, 52374, 53176, 53742, 56718,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Generalización<o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si suprimimos la condición
de multiplicar SOFPR por la base, y dejamos libre ese factor, nos resultará un
listado distinto de números. Los siguientes aparecen si excluimos aquellos
números que presentan una cifra igual a cero, pues en ese caso tendríamos
muchas soluciones triviales:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">2, 3, 4, 5, 7, 18, 25, 64,
154, 168, 187, 196, 255, 288, 329, 336, 364, 418, 437, 442, 455, 476, 532, 592,
624, 625, 629, 729, 748, 952, 978, 986, 988, 1298, 1449, 1458, 1484, 1519,
1568, 1573, 1595, 1674, 1764, 1824, 1826, 1955, 1989,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, en 455 el
producto de las cifras es 100 y la suma de las de los factores primos es
5+7+13=25, y 100 es múltiplo de 25.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Algunos de ellos, de forma
similar a lo que ocurría con los números de Smith (</span><a href="https://mathworld.wolfram.com/SmithNumber.html"><span style="line-height: 120%;">https://mathworld.wolfram.com/SmithNumber.html</span></a><span style="line-height: 120%;">)
presentan cociente 1, es decir, que el producto de sus cifras coincide con la
suma de las de sus factores primos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En esta tabla se observa
bien la igualdad entre PRODUCIFRAS y SOPFR:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPF0dOP8fGwkFH2i8CF1PeHZXftmtnWVu4NNyV18-oyzxefFiFar7R_BCZATZjfHoY6itPOePNDOo8G7lgtOC7jopDLF5jSAJB7WPE_m3t_se8Wm3b9rJrY7qbrX-Ia9TopO5DgPbkPKc-qSQo4MnhyPrvvWkwL1sCIPNYBaymcOsztUFsDMC_ZFoHIHw/s390/2niven10.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="236" data-original-width="390" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPF0dOP8fGwkFH2i8CF1PeHZXftmtnWVu4NNyV18-oyzxefFiFar7R_BCZATZjfHoY6itPOePNDOo8G7lgtOC7jopDLF5jSAJB7WPE_m3t_se8Wm3b9rJrY7qbrX-Ia9TopO5DgPbkPKc-qSQo4MnhyPrvvWkwL1sCIPNYBaymcOsztUFsDMC_ZFoHIHw/s16000/2niven10.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 151.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 249.6pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A065774"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A065774</span></a><span class="MsoHyperlink"><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span class="MsoHyperlink"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="text-decoration: none;"><span style="font-family: inherit;"> </span></span></o:p></span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-26049855208719195482024-01-10T18:58:00.001+01:002024-01-10T18:58:00.136+01:00Un número y sus cifras (1) -Niven<p><span style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Comenzamos hoy una serie
sobre números populares que se distinguen por alguna curiosidad al
relacionarlos con sus cifras. Nos limitaremos a la base de numeración 10,
porque toda teoría de este tipo se podrá extender a otras bases, salvo ejemplos
específicos.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Niven
o <span class="mw-page-title-main">Harshad</span></span></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Un <b>número de Harshad</b> o <b>número de Niven</b> es
un </span><span style="line-height: 120%;">número
entero<span style="color: #202122;"> divisible entre la suma de sus dígitos
en una base dada. Aquí nos limitaremos a base 10.<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es claro que los números de una cifra son todos de Niven. Así
que<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>es más interesante estudiar los de
varias cifras. También se comprende que los números de Niven de más de una
cifra no pueden ser primos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Como curiosidad, destacamos que el número de Hardy-Ramanujan,
1729, es de este tipo, porque es múltiplo de 1+7+2+9=19, ya que 1729=7*13*19<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con nuestro Buscador de Naturales es fácil encontrar los
primeros de varios dígitos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin: 6pt 0cm; text-align: left;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(ver </span><span style="line-height: 120%;"><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador">http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador</a><span style="color: #202122;">) <o:p></o:p></span></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjS60UrK3qNOeV9PPb3RjJ_LnvOUSVcgesHyhyJR3J-2R8cXkyaKCnRwg3OgKnaH6hSDyp30y80m1yknq_QlARzuGjeJLbggflCBay0boqcLuTHqaFniEi0hNohguADRaWeVcE7_sIaDUej4xUfPwipjTBhwDiP34-4UARQPkuA3M8UWkg3KJgzkvs2yxA/s431/1niven1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="220" data-original-width="431" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjS60UrK3qNOeV9PPb3RjJ_LnvOUSVcgesHyhyJR3J-2R8cXkyaKCnRwg3OgKnaH6hSDyp30y80m1yknq_QlARzuGjeJLbggflCBay0boqcLuTHqaFniEi0hNohguADRaWeVcE7_sIaDUej4xUfPwipjTBhwDiP34-4UARQPkuA3M8UWkg3KJgzkvs2yxA/s16000/1niven1.png" /></a></div><br /><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; font-family: inherit; line-height: 120%;">La condición es fácil de traducir, pues pide que sea entero el
cociente entre el número y la suma de las cifras. Estos números están
publicados en </span><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"><a href="https://oeis.org/A005349">https://oeis.org/A005349</a><span style="color: #202122;">.</span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para resolver esta búsqueda en hoja de cálculo contamos con la
función <b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">sumacifras</i></b> (ver, por ejemplo, <o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html">https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html</a><span style="color: #202122;">)<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Aquí usaremos una versión con un parámetro adicional, que es el
exponente al que se elevará cada cifra antes de sumarla. Si en esta entrada no
es algo necesario, puede sernos útil en las siguientes.<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Public
Function sumacifras(n,k)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim h, i, s, m<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; mso-add-space: auto; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">h = n </span></i></b><span style="color: #202122; line-height: 120%;">‘De la variable h se irán
extrayendo las cifras<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">s = 0 </i></b>‘Esta variable recogerá la
suma de cifras<br /></span></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;">While h > 9 </span></i></b><span style="color: #202122; font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Bucle para
extraer las cifras una a una<br /></span><b><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">i = Int(h / 10)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">m = h - i * 10<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">h = i<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;">s = s + m^k </span></i></b><span style="color: #202122; font-family: inherit; line-height: 120%;">‘La nueva
cifra o su potencia se suma a la variable<br /></span><b><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;">s = s + h^k </span></i></b><span style="color: #202122; font-family: inherit; line-height: 120%;">‘La cifra
residual se suma a la variable<br /></span><b><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">sumacifras = s<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; font-family: inherit;">Con ella es fácil conseguir una tabla de números de Niven y los
cocientes de dividirlos entre la suma de sus cifras:</span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1028" style="height: 204.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 2in;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTT7wndTBAw7sBlt29-wxEXDdVB_ZLEwQ3Zlofmi3zF2wDd1K3fHR3HhY5wj_f5XTbXpA1gnhr19TqaxlbGMQlBEioalkALtezM1O1uod5-Fo16V9xxxD58LJA4pM-_JHHDAsP32GVI8PkZXMDwwTsf-zbDCCGKRLQd8oehPb9zwy4pU6bA92Q_SjyO9o/s273/1niven2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="273" data-original-width="192" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTT7wndTBAw7sBlt29-wxEXDdVB_ZLEwQ3Zlofmi3zF2wDd1K3fHR3HhY5wj_f5XTbXpA1gnhr19TqaxlbGMQlBEioalkALtezM1O1uod5-Fo16V9xxxD58LJA4pM-_JHHDAsP32GVI8PkZXMDwwTsf-zbDCCGKRLQd8oehPb9zwy4pU6bA92Q_SjyO9o/s16000/1niven2.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En Pari es difícil superar la sencillez de esta función de Charles
R Greathouse:<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">(PARI)
is(n)=n%sumdigits(n)==0 \\ </span></i></b><span style="line-height: 120%;"><a href="https://oeis.org/wiki/User:Charles_R_Greathouse_IV"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; text-decoration: none; text-underline: none;">Charles R Greathouse IV</span></i></b></a><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122;">, Oct 16 2012<o:p></o:p></span></i></b></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En ella el símbolo % significa residuo respecto a un módulo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Números de Niven consecutivos<o:p></o:p></span></span></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con nuestra función <i style="mso-bidi-font-style: normal;">sumacifras</i>
es sencillo encontrar los primeros pares de números de Niven consecutivos:<o:p></o:p></span></span></p><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib5U-t9rYyiOAJrtvLvd_2mRCNWAiW8zR3vDGpc8Da2xJnU30pILN7g9VJKEtjtze_ZC9nznuIf89BWu3I5t_iAnXTIsyjwPM5Tipnzhhr0GXCNQuqLPaIoYPjsYfZVizWZ315fIg2vLb52j-tnBxklIGzYoSrQbLKbBP5U9R-W3zugROKKdulTSTelco/s362/1niven3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="221" data-original-width="362" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib5U-t9rYyiOAJrtvLvd_2mRCNWAiW8zR3vDGpc8Da2xJnU30pILN7g9VJKEtjtze_ZC9nznuIf89BWu3I5t_iAnXTIsyjwPM5Tipnzhhr0GXCNQuqLPaIoYPjsYfZVizWZ315fIg2vLb52j-tnBxklIGzYoSrQbLKbBP5U9R-W3zugROKKdulTSTelco/s16000/1niven3.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1027" style="height: 165.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 271.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Son fáciles de comprobar. Por ejemplo:<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">480/(4+8+0)=480/12=40<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">481/(4+8+1)=481/13=37<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los primeros de cada par están publicados en <o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://oeis.org/A330927">https://oeis.org/A330927</a><span style="color: #202122;"><o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; font-family: inherit;">Los números N de Niven tales que N+1 y N+2 también lo son, están
presentados en esta tabla:</span></p><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipgJOsPOybIHNoPsTB-XuImad85IVKUoRnenwOtomOtKS98kXA8msXbfeKlDz41g9WW4lor9x-KaYJh2i6XkH4MjNl-P2tS8TwC5I4i55nXONSo0A9y6E2_J8IcXmSCTqb_TgeweM5XlIdFnuODdCOqS07Rnd5ecxbBksDbLRLmAZ7XaEfyeYdRBt6GvM/s283/1niven4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="199" data-original-width="283" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipgJOsPOybIHNoPsTB-XuImad85IVKUoRnenwOtomOtKS98kXA8msXbfeKlDz41g9WW4lor9x-KaYJh2i6XkH4MjNl-P2tS8TwC5I4i55nXONSo0A9y6E2_J8IcXmSCTqb_TgeweM5XlIdFnuODdCOqS07Rnd5ecxbBksDbLRLmAZ7XaEfyeYdRBt6GvM/s16000/1niven4.png" /></a></div><br /><span style="color: #202122; font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1026" style="height: 149.4pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 212.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Los valores de N están publicados en</span><span style="line-height: 120%;"> <a href="https://oeis.org/A154701">https://oeis.org/A154701</a><span style="color: #202122;"><o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Puedes leer en esa página que Cooper y Kennedy probaron que
existen infinitos conjuntos de hasta 20 consecutivos de este tipo en base 10.
Sin embargo </span><span style="line-height: 120%;"><a href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=H.G._Grundman&action=edit&redlink=1" title="H.G. Grundman (aún no redactado)"><span style="color: #202122; text-decoration: none; text-underline: none;">H.G. Grundman</span></a><span style="color: #202122;"> demostró
en </span><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/1994" title="1994"><span style="color: #202122; text-decoration: none; text-underline: none;">1994</span></a><span style="color: #202122;"> que no hay 21 números enteros consecutivos.<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Tipos especiales de números de Niven<o:p></o:p></span></span></b></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Números con cociente el producto de sus cifras<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La función explicada más arriba, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">sumacifras</i>, se puede convertir, con un simple cambio de operación,
en <i style="mso-bidi-font-style: normal;">producifras</i>. Así que estos números
cumplen que N=PRODUCIFRAS(N)*SUMACIFRAS(N). <o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con la hoja de cálculo es sencillo buscarlos de esta forma.
Estos son los únicos, además del 1, que se pueden encontrar menores que 10^7:<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">135=1*3*5*(1+3+5)=15*9<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">144=1*4*4*(1+4+4)=16*9<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Parece ser que son los únicos de este tipo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Capicúas de Niven<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Ya que estamos tratando con cifras, podemos buscar capicúas
entre los números de Niven. Como en este blog disponemos de la función <i style="mso-bidi-font-style: normal;">escapicua</i>, bastará añadirla a las
condiciones que se impongan. Estos son los primeros de más de una cifra que
resultan:<o:p></o:p></span></span></p><p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5ZTH5yA6wnYKYov7m-v4i8N5-bj_gvUbPtODcyTm8iAut3r6H1UNND2kqd6zSenE170L-7rqO-stVfaeA1tGNBa2juQ2gVTnROZQv633GQ6D617c-DDDD9Yw3z2xxsF5yye5KZxTz8C4S0a3vIV5dVc0PDq6RXHdU1huaLAQE_NMf9Xf22FRKaP-NYxQ/s246/1niven5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="246" data-original-width="220" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5ZTH5yA6wnYKYov7m-v4i8N5-bj_gvUbPtODcyTm8iAut3r6H1UNND2kqd6zSenE170L-7rqO-stVfaeA1tGNBa2juQ2gVTnROZQv633GQ6D617c-DDDD9Yw3z2xxsF5yye5KZxTz8C4S0a3vIV5dVc0PDq6RXHdU1huaLAQE_NMf9Xf22FRKaP-NYxQ/s16000/1niven5.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 184.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 165pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">(Ver<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="line-height: 120%;"><a href="https://oeis.org/A082232">https://oeis.org/A082232</a><span style="color: #202122;">)<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Observamos muchos elementos “repidígitos” (con todas las cifras
iguales), cuyo cociente coincide con el presentado en 111 (número “repituno”),
que es 37. No todos los repitunos son de Niven. Los primeros son 1, 111,
111111111 y 11111111111<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Otros ejemplos<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los primeros números de Niven cuadrados de varias cifras son:<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, 900, 1296, 1521, 1764,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Se ha usado nuestra función <i style="mso-bidi-font-style: normal;">escuad</i>.
(Ver </span><span style="line-height: 120%;"><a href="https://oeis.org/A118547">https://oeis.org/A118547</a><span style="color: #202122;">)<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los triangulares de Niven de varias cifras también son
abundantes:<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, 351, 378, 465,
630, 666, 780, 820, 990, 1035, 1128, 1275, 1431, 1540, 1596, 1770,…Están
comprobados en </span><span style="line-height: 120%;"><a href="https://oeis.org/A076713">https://oeis.org/A076713</a><span style="color: #202122;"><o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Y oblongos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">12, 20, 30, 42, 72, 90, 110, 132, 156, 210, 240, 306, 342, 420,
506, 552, 600, 702, 756, 870, 1056, 1122, 1260, 1332, 1560, 1980,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;">Los de la sucesión de Fibonacci son más escasos. Estos son los
primeros: 21, 144, 2584. En </span><span style="line-height: 120%;"><a href="https://oeis.org/A117774">https://oeis.org/A117774</a><span style="color: #202122;"> se pueden observar términos de muchas cifras.<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p style="background: white; line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="color: #202122; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">No hay que seguir, porque este tema es de cifras, y muchos tipos
de números no dependen de ellas.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 14pt;"><o:p></o:p></span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-13026580603380793872023-12-12T18:29:00.001+01:002023-12-12T18:29:00.134+01:00 Un número como suma de enteros consecutivos<p><span style="font-family: inherit;">En esta entrada descubriremos que si un número equivale a
una suma de enteros positivos, o pares, o bién impares, siendo consecutivos, el
número de sumandos en los tres casos deberá ser un divisor de ese número N o de
su doble 2N.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;"><b>Suma
de enteros positivos consecutivos</b></span><b><o:p></o:p></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">El desarrollo de cualquier número natural N como suma de
enteros positivos consecutivos está relacionado con la posibilidad de ser
expresado como diferencia de dos números triangulares. En efecto, un número
triangular es suma de los primeros números naturales:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">1+2+3+4+…+n-1+n=n(n+1)/2=T(n)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Según lo anterior, una suma de consecutivos que no
comience en 1, podrá expresarse como diferencia de dos triangulares:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYKMIfTJd5o1oiFjUle1qCzQKq8E_rI_ZkWLb7QXTw6bITD2ylxichNqLAhSG8AtKCiMdDaLzZfdpTUKdcN0beO_NRJpmrAQKdqPLzBtHSgwYd0pmoMKtHTBjMdGujiNcgCDBbyEsX78RDGot3j5dNo7s14mFKOuobVF1BYJSWKBSiTFRK10enJ-j4J7I/s510/dt1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="80" data-original-width="510" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYKMIfTJd5o1oiFjUle1qCzQKq8E_rI_ZkWLb7QXTw6bITD2ylxichNqLAhSG8AtKCiMdDaLzZfdpTUKdcN0beO_NRJpmrAQKdqPLzBtHSgwYd0pmoMKtHTBjMdGujiNcgCDBbyEsX78RDGot3j5dNo7s14mFKOuobVF1BYJSWKBSiTFRK10enJ-j4J7I/s16000/dt1.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo: 6+7+8+9+10+11+12=63=12*13/2-5*6/2=78-15=63,
para N=63</span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos estudiar esta posibilidad algebraicamente.
Expresamos N como diferencia T(m+h)-T(m-1), con lo que contaremos con h+1
sumandos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Será N=(m+h)(m+h+1)/2-m(m-1)/2<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">2N = m<sup>2</sup>+mh+m+mh+h<sup>2</sup>+h-m<sup>2</sup>+m
= 2mh+2m+h<sup>2</sup>+h = 2m(h+1)+h(h+1) = (2m+h)(h+1)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En el ejemplo: (2*6+6)(6+1)=18*7=126=2*63=2N<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Así que 2N ha de ser múltiplo del número de sumandos h+1
(6+1=7) o bien de la diferencia entre los órdenes de los dos triangulares que
se restan: T(m+h)-T(m-1)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>2N=(2m+h)(h+1)</i></b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Esto nos permite buscar <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">h+1</b> recorriendo los divisores de 2N y encontrar <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">m</b> como <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">(2N/(h+1)-h)/2</b>. Si este cociente no es entero, el desarrollo es
imposible.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Lo desarrollamos con un ejemplo:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">192 es múltiplo de 4, luego puede ser diferencia entre
dos triangulares con órdenes diferenciados en 4 unidades, o bien suma de cuatro
naturales consecutivos. Hacemos h+1=4 y queda: <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">2*192=384; 384/4=96; m=(96-3)/2, que no es entero, luego
con h+1=4 no hay solución.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">192 también es múltiplo de 3. Probamos: h+1=3; h=2; 384/3=128<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Queda m=(128-2)/2=63. Como es entero, existirá una
solución con tres sumandos: 63+64+65=192 y dos triangulares con esa diferencia
de h+1=3:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">65*66/2-62*63/2=192<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Rutina
de búsqueda<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Con una hoja de cálculo podemos plantear en cuántas sumas
de enteros consecutivos o diferencia de triangulares se puede expresar un
número. Omitimos el caso trivial en el que el número de sumandos es 1 y la
diferencia de triangulares N=N(N+1)/2-N(N-1)/2<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Está adaptada a Excel, pero las últimas versiones de
LibreOffice Calc también la pueden ejecutar:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Sub difetriangular()<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Dim a, fila, i, p, m<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 115%;">a = ActiveWorkbook.Sheets(8).Cells(2,
3).Value ’</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">Lee el número<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 115%;">fila = 3 </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">‘Inicia
una fila de la hoja<br /></span><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><b style="font-style: italic;">i = 1 </b>‘Va probando valores<br /></span></span><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">While i < Sqr(a)<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 115%;">p = 2 * a / (i + 1) </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">‘Ve
si el número de sumandos divide a 2N<br /></span><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">If p = Int(p) Then<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 115%;">m = (p - i) / 2 </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">‘Calcula
m<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 115%;">If m = Int(m) Then </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">‘Si
m es entero, es un valor aceptado<br /></span><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">fila = fila + 1</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">‘En las siguientes líneas escribe el número
de sumandos, los órdenes de los triangulares y reconstruye N<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">ActiveWorkbook.Sheets(8).Cells(fila,
10).Value = i + 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">ActiveWorkbook.Sheets(8).Cells(fila,
11).Value = m<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">ActiveWorkbook.Sheets(8).Cells(fila,
12).Value = m + i<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">ActiveWorkbook.Sheets(8).Cells(fila,
13).Value = (m + i) * (m + i + 1) / 2 - m * (m - 1) / 2</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">i = i + 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">End Sub</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En nuestro ejemplo de 192 quedaría:</span></p><p class="MsoNormal"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh-ePQxxS2Vxyo6XjN5bywUfLTbpbM0AI_c_fTRKfWo__zVsxhzKi0AlDo7ouKXgyn1zF3QKrWr3iZb_YZG-hbqloiZj4hMDXu-x_q9Et-2Xy7f25anz11E9YbRvbtTmMkiVWNXw0I9mNF5agYHR-4pOlZ53r9cuWaP0pM5aXhO0uCzDN30rrH9GAhhzc/s333/dt2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="42" data-original-width="333" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh-ePQxxS2Vxyo6XjN5bywUfLTbpbM0AI_c_fTRKfWo__zVsxhzKi0AlDo7ouKXgyn1zF3QKrWr3iZb_YZG-hbqloiZj4hMDXu-x_q9Et-2Xy7f25anz11E9YbRvbtTmMkiVWNXw0I9mNF5agYHR-4pOlZ53r9cuWaP0pM5aXhO0uCzDN30rrH9GAhhzc/s16000/dt2.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;"><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Para el año 2024 nos daría:</span></p></span><p></p><p class="MsoNormal"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkJpT_FnTxiGuzM96ojP_uA5xP20ilzwMEoEmg-XcVZXVoz5R5fxVyinVCLDbvUQzDJwpPUBP74p7sdcAN5qAzJox6BjIrroRTlqtglbcCO_Ps9pnzDAz_iCTARRu7R35rjNXLVY2KGOfxvPpo2C37jqM6UTW-xa_pOmy0rWaOZyyOcb1DF7KtL5NxgEg/s341/dt3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="83" data-original-width="341" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkJpT_FnTxiGuzM96ojP_uA5xP20ilzwMEoEmg-XcVZXVoz5R5fxVyinVCLDbvUQzDJwpPUBP74p7sdcAN5qAzJox6BjIrroRTlqtglbcCO_Ps9pnzDAz_iCTARRu7R35rjNXLVY2KGOfxvPpo2C37jqM6UTW-xa_pOmy0rWaOZyyOcb1DF7KtL5NxgEg/s16000/dt3.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">En efecto:</span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">2024=189*190/2-178*179/2, 11 sumandos: 179+180+…+188+189<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">2024=134*135/2-118*119/2,<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>16
sumandos, desde 119 hasta 134<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">2024=99*100/2-76*77/2, 23 sumandos, desde 77 hasta 99<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Hay que observar algo ya sabido por nuestro estudio
previo, y es que 11, 16 y 23 son divisores de 2024*2=4048.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Suma
de pares o de impares<o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Impares<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">El caso de la suma de impares consecutivos se resolverá
mediante diferencias de cuadrados, pues es sabido que <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">1+3+5+7+9+…2k-1=k<sup>2</sup><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Por tanto, averiguar si un número N es suma de impares
consecutivos se resolverá buscando diferencias de cuadrados. No construiremos
una rutina especial para esto, pues N lo cumple si se puede expresar como
producto de dos factores que presenten <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">la
misma paridad</b>, pues se puede desarrollar:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><b><i>N=ab=(p+q)(p-q)=p<sup>2</sup>-q<sup>2</sup></i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><!--[if gte msEquation 12]><m:oMathPara><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:
115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>N</m:r><m:r>=</m:r><m:r>ab</m:r><m:r>=</m:r></span></i><m:d><m:dPr><span
style='font-size:14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:14.0pt;
font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:
italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:dPr><m:e><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>p</m:r><m:r>+</m:r><m:r>q</m:r></span></i></m:e></m:d><m:d><m:dPr><span
style='font-size:14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:14.0pt;
font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:
italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:dPr><m:e><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>p</m:r><m:r>-</m:r><m:r>q</m:r></span></i></m:e></m:d><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:
115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>=</m:r></span></i><m:sSup><m:sSupPr><span
style='font-size:14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:14.0pt;
font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:
italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:sSupPr><m:e><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>p</m:r></span></i></m:e><m:sup><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>2</m:r></span></i></m:sup></m:sSup><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:
115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>-</m:r></span></i><m:sSup><m:sSupPr><span
style='font-size:14.0pt;mso-ansi-font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:14.0pt;
font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";mso-bidi-font-family:Arial;font-style:
italic;mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:sSupPr><m:e><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:14.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:
Arial'><m:r>q</m:r></span></i></m:e><m:sup><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:14.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>2</m:r></span></i></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 19.2pt; width: 214.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png">
</v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="line-height: 115%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Al ser a y b ambos pares o ambos impares, p y q se pueden
elegir como <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p=(a+b)/2</b> y <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">q=(a-b)/2</b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Ejemplo<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">240=12*20=(16-4)(16+4)=16<sup>2</sup>-4<sup>2</sup><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Según lo tratado anteriormente, 16<sup>2</sup> es la suma
1+3+5+7+…(2*16-1) y 4<sup>2</sup> la suma 1+3+5+…(2*4-1). Restamos y queda que<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">240=9+11+13+…27+29+31, como se comprueba fácilmente.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Para estudiar el número de sumandos procedemos como en
los casos anteriores:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkvuy1h9Yazp7y80S9-d-Zsgqkk0yIAJdDP1A7KNCmNyGQ_lglEAiP_B0QO17LSbdBsRkLgpwNqHbVYNXCxW85pOtwptN_5CJtvC6_Oh8D1YmniaN47brWgwvOJkOdHz7zeSNV1rpiHR8TWRpMevhPiC94r9J6Yv3ytDt2N-S3FnfVK-CKBApejTBTZmw/s440/dt4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="88" data-original-width="440" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkvuy1h9Yazp7y80S9-d-Zsgqkk0yIAJdDP1A7KNCmNyGQ_lglEAiP_B0QO17LSbdBsRkLgpwNqHbVYNXCxW85pOtwptN_5CJtvC6_Oh8D1YmniaN47brWgwvOJkOdHz7zeSNV1rpiHR8TWRpMevhPiC94r9J6Yv3ytDt2N-S3FnfVK-CKBApejTBTZmw/s16000/dt4.png" /></a></div><p></p><p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">N = (m+h)<sup>2</sup>-(m-1)<sup>2
</sup>= m<sup>2</sup>+2mh+h<sup>2</sup>-m<sup>2</sup>+2m-1 = 2m(h+1)+(h-1)(h+1)
= N=(2m+h-1)(h+1)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">M=(N/(h+1)-h+1)/2<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Con este desarrollo
comprobamos que en este caso el número de sumandos h+1 es divisor de N.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En el caso de 240 podríamos
probar con todos sus divisores, para encontrar los que sean válidos:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoPADQpbN-OOOZ2nbPI92_EggacX9Nl2Pi3oFADTe5f-ADdON02iU_sHvGs5EF_t-2WDtiLXtpUaqFgrxAngSrtuGC2_UJwKWbtamV4F__6PsuuqSPe8SSaK0b81-xrjGR9YST8G6h8hA8owVthzGh6NU-AGiLIvAjcEayBnIPBRwoZagoboF9ZVNoGq8/s472/dt7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="159" data-original-width="472" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoPADQpbN-OOOZ2nbPI92_EggacX9Nl2Pi3oFADTe5f-ADdON02iU_sHvGs5EF_t-2WDtiLXtpUaqFgrxAngSrtuGC2_UJwKWbtamV4F__6PsuuqSPe8SSaK0b81-xrjGR9YST8G6h8hA8owVthzGh6NU-AGiLIvAjcEayBnIPBRwoZagoboF9ZVNoGq8/s16000/dt7.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Resultan seis divisores
válidos. El último es el que hemos desarrollado con las diferencias de
cuadrados. Lo intentamos ahora con 8 sumandos siguiendo las fórmulas
algebraicas:</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">8=h+1, divisor de 240.
Calculamos m:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Sería m=(N/(h+1)-h+1)/2=(240/8-7+1)/2=24/2=12<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">El primer sumando será
12*2-1=23<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">El último lo calculamos como
m+h=12+7=19, y el sumando, 19*2-1=37, tal como comprobamos en la tabla
anterior.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos probar con un
divisor no válido, como sería 24. En efecto:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="tab-stops: 236.4pt;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Sería h+1=24; 240/24=10,
m=(10-23+1)/2, que daría un número negativo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Pares<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si la suma de naturales nos lleva a los números
triangulares y la de los impares a los cuadrados, en el caso de los pares
acudiremos a los números oblongos, del tipo n(n+1). En efecto, si sumamos
2+4+6+…+2n-2+2n nos encontramos con una progresión aritmética de diferencia 2,
con lo que con la conocida fórmula de la suma, obtendremos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">S(n)= 2+4+6+…+2n-2+2n=(2+2n)*n/2=n(n+1)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, el oblongo 4*5=20 es la suma 2+4+6+8, con
los cuatro primeros sumandos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si pasamos a las sumas que no comienzan en 2, usaremos el
mismo procedimiento que en los casos anteriores, y es restar dos oblongos.<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghHWE0I-GLuNSDfpOsM5m2e0c20_g_yDxzZsbZ4ZzqJiSDhBpdBCumnPqJBdd1ALrcEEncuvQ5BKAyiRHYEqHQWWttuEwfcPX9htTv6KFWrJoZsJtJX72zp0Rw7YH5mBHgZznesMObI02A8NaYsPQuPvr36Xqg3goC2Lc7hNFJODGuWQ4hmsnfDT04L14/s512/dt5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="78" data-original-width="512" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghHWE0I-GLuNSDfpOsM5m2e0c20_g_yDxzZsbZ4ZzqJiSDhBpdBCumnPqJBdd1ALrcEEncuvQ5BKAyiRHYEqHQWWttuEwfcPX9htTv6KFWrJoZsJtJX72zp0Rw7YH5mBHgZznesMObI02A8NaYsPQuPvr36Xqg3goC2Lc7hNFJODGuWQ4hmsnfDT04L14/s16000/dt5.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, 126=12+14+16+18+20+22+24=12*13-5*6</span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si desarrollamos la diferencia, queda<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">N=(m+h)(m+h+1)-(m-1)m=(2m+h)(h+1), como vimos en el primer
caso. Ahora la expresión es igual a N y no a 2N, con lo que volvemos a obtener
que el número de sumandos, h+1, ha de ser divisor de N y ahora 2m=N/(h+1)-h, lo
que también obliga a que N/(h+1)-h sea par. El resultado será el primer sumando
de la suma de pares.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Bastará modificar la función usada para los triangulares
sustituyendo <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">2N</b> por <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">N</b> y exigiendo que este sea par, para
que pueda ser suma de pares. Lo dejamos como ejercicio. Vemos un ejemplo de
este uso. En esta tabla figuran todos los divisores propios de 2924. En la
segunda columna se calcula N/(h+1)-h , y al final se seleccionan los valores
válidos para <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">m</b>, el término inicial
de esta suma.<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi57z1exN7hWPtkJOigcd55qqRNeTQgL3lnDMuhHxlFy93oy6uYvOGNZ7YElXmraRRHOFmm90EbkHTTrzTmeoWrZxDlFPrQrNPMj8nBv0yG5H5JiJxVb6y5VE26P2wDUPvQT7opSBusQ7m4NHxmNPwBVRmqandVvx8pcHiQE-K380Rr50SW-_YqfEhyphenhyphenblU/s404/dt6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="215" data-original-width="404" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi57z1exN7hWPtkJOigcd55qqRNeTQgL3lnDMuhHxlFy93oy6uYvOGNZ7YElXmraRRHOFmm90EbkHTTrzTmeoWrZxDlFPrQrNPMj8nBv0yG5H5JiJxVb6y5VE26P2wDUPvQT7opSBusQ7m4NHxmNPwBVRmqandVvx8pcHiQE-K380Rr50SW-_YqfEhyphenhyphenblU/s16000/dt6.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 160.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 303pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 115%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Así que existen tres sumas de pares válidas: 43 sumandos
a partir del número 26, 17 a partir de 156, y 4 sumandos que comienzan en 728.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Estos ejemplos han sido comprobados con otros algoritmos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Lo más interesante de este estudio es comprobar que el
número de sumandos no es libre, pues ha de ser divisor de N o de 2N, que
constituyen también una cota para ese número de sumandos.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 14pt;"><o:p></o:p></span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-81161547229079991932023-11-30T18:54:00.001+01:002023-11-30T18:54:00.134+01:00Números aritméticos (6) - Aritméticos unitarios<p><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; text-align: justify;">Un número natural </span><b style="color: windowtext; text-align: justify;">d</b><span style="color: windowtext; text-align: justify;"> es un
divisor unitario de otro número natural </span><b style="color: windowtext; text-align: justify;">N</b><span style="color: windowtext; text-align: justify;">
cuando </span><b style="color: windowtext; text-align: justify;">d</b><span style="color: windowtext; text-align: justify;"> y </span><b style="color: windowtext; text-align: justify;">N/d</b><span style="color: windowtext; text-align: justify;"> son coprimos. Por ejemplo, 33 es divisor unitario de 66, ya que
33 es coprimo con 66/33=2. Es evidente que N/d también es unitario. </span><b style="color: windowtext; text-align: justify;">Los divisores unitarios aparecen por
parejas.</b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El número de divisores unitarios de N es 2<sup>K</sup>, siendo K=omega(N),
es decir,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>el número de factores primos
diferentes que posee N. La razón es que cada divisor unitario ha de presentar
la misma multiplicidad en sus factores primos que N, para garantizar que es
coprimo con N/d. Así, coincidirán con todos los subconjuntos formados con los
factores primos <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">distintos</b> que posea
N.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Damos un ejemplo:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los divisores unitarios de 84 son 1, 3, 4, 7, 12, 21, 28 y 84, en total 8=2<sup>3</sup>.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La suma de todos los divisores unitarios de un número N es una clase
especial de la familia de las <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">funciones
sigma</b>. Se la suele distinguir con un asterisco: σ* y también recibe el
nombre de <i style="mso-bidi-font-style: normal;">usigma</i>.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La fórmula para calcular usigma es: <o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyACEKj3uBcMJ_hNzZccp6XZbq7zOxdwiXfQk2RBVwFEcmChTeRc2k4p9A6jMBJhS4GlyQD5OiXUlV2Ff40xqjksY7MJQctWOm1hoGBJMjnTZtXsRS2Fd1leqRWyRs8HMQxOk-ODGtCpv8qsMx2oiw68hMDWHvGt6NmzBvdY26rmff-Hc7RWptQpk2Ws0/s176/ar6_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" data-original-height="61" data-original-width="176" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyACEKj3uBcMJ_hNzZccp6XZbq7zOxdwiXfQk2RBVwFEcmChTeRc2k4p9A6jMBJhS4GlyQD5OiXUlV2Ff40xqjksY7MJQctWOm1hoGBJMjnTZtXsRS2Fd1leqRWyRs8HMQxOk-ODGtCpv8qsMx2oiw68hMDWHvGt6NmzBvdY26rmff-Hc7RWptQpk2Ws0/s16000/ar6_1.png" /></span></a></div><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter">
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0">
<v:f eqn="sum @0 1 0">
<v:f eqn="sum 0 0 @1">
<v:f eqn="prod @2 1 2">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @0 0 1">
<v:f eqn="prod @6 1 2">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="sum @8 21600 0">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @10 21600 0">
</v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas>
<v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f">
<o:lock aspectratio="t" v:ext="edit">
</o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape alt="usigma1.png" id="_x0034_3_x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1037" style="height: 34.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 99pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata gain="1.25" o:title="usigma1" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En ella p<sub>i</sub> son los factores primos y k<sub>i</sub> sus
multiplicidades. La razón ya la vimos, y es que hay que tomar todos los
factores primos con su multiplicidad.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Así, σ*(84)=(1+3)(1+2<sup>2</sup>)(1+7)=4*5*8=160=1+3+4+7+12+21+28+84<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Aritméticos unitarios</span><span style="color: rgba(0, 0, 0, 0);"><o:p></o:p></span></span></span></b></p>
<p class="StandardCxSpFirst" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Buscaremos
ahora los aritméticos unitarios, que son aquellos en los que USIGMA(N)/UTAU(N)
es un número entero. Por no repetir lo escrito en las entradas enlazadas, lo
haremos con una técnica sencilla, sin basarnos en teorías previas. <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Function
u_aritmetico(n) As Boolean</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Dim
t, s, i, c<br /></b></span></span></i><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">t =
0</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"> 'variable para UTAU<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">s =
0</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"> 'variable para USIGMA<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">For
i = 1 To n<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">If n
/ i = n \ i Then</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"> 'se trata de un divisor<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">If
mcd(i, n / i) = 1 Then</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"> ‘ han de ser coprimos i y n/i<br /></span><b style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">s = s + i</span></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">
'incrementa USIGMA<br /></span><b style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">t = t + 1</span></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">
'incrementa UTAU<br /></span><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></b><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></b><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Next i<br /></span></span></b><b style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">c = s / t</span></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"> '
cociente entre USIGMA y UTAU<br /></span><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If c = Int(c) Then u_aritmetico = True
Else u_aritmetico = False<br /></span></span></b><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></b></p>
<p class="StandardCxSpLast" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">Por ejemplo, si N = 660 sus divisores unitarios serán 1, 3, 4, 5, 11, 12,
15, 20, 33, 44, 55, 60, 132, 165, 220 y 660. Su suma es 1440, que al dividirla
entre 16, que es el número de divisores, nos da un promedio entero de 90.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">Los aritméticos unitarios están publicados en OEIS (</span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A103826"><span lang="ES" style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A103826</span></a></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A103826<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>Unitary arithmetic numbers (those for which the
arithmetic mean of the unitary divisors is an integer).<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14,
15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42,
43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66,
67, 69, 70, 71, 73, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92,
93,… <o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para nuestro estudio de estos números distinguiremos dos casos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>(1) N es impar</i></b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El promedio de sus divisores unitarios será un entero, luego <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">serán todos aritméticos</b>.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El promedio provendrá de dividir la función usigma(N) entre 2^omega(N). La
primera contendrá k paréntesis pares, según la fórmula explicada anteriormente,
y cada uno estará dividido entre 2, dando cocientes enteros.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El listado de los primeros impares nos descubre varios casos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1036" style="height: 165.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 142.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHVLodbqIdkM5fk10yugSmUjVV7gMcr4Hx6E2jN_KUdDTHtarjLrUGGC9PQRQOab3QWpeqrjvrcEopYHde2ukWibk8ztPXsgOTH9FPGKuZRShcKF_0vTeBfOcGVeRhJIDbSZ9hSL8cL2kl1WQEncpX2mMIFy6TlZ_knsH_BLMCrFSECQmILWW6703Bkps/s265/ar6_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="265" data-original-width="228" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHVLodbqIdkM5fk10yugSmUjVV7gMcr4Hx6E2jN_KUdDTHtarjLrUGGC9PQRQOab3QWpeqrjvrcEopYHde2ukWibk8ztPXsgOTH9FPGKuZRShcKF_0vTeBfOcGVeRhJIDbSZ9hSL8cL2kl1WQEncpX2mMIFy6TlZ_knsH_BLMCrFSECQmILWW6703Bkps/s16000/ar6_2.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los primos <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p</b> y potencias de
primos <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p<sup>k</sup></b> sólo tendrán
dos factores unitarios, 1 y p<sup>k</sup>, ambos impares con suma par luego la
media de ambos será entera y ellos aritméticos unitarios.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los demás impares también presentarán media entera por el razonamiento de
párrafos anteriores. Por ejemplo, el 15. Sus factores unitarios son 1, 3, 5,
15, usigma(15)=24 2^omega(15)=2<sup>2</sup>=4, luego el cociente valdrá 6,
entero.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Tomemos un impar más complejo, el 315=3<sup>2</sup>*7*5. Sus factores
unitarios serán 1, 5, 7, 9, 35, 45, 63, 315, y usigma(315)=480. En lugar de
suma directa podemos usar la fórmula:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Usigma(315)=(1+5)*(1+7)*(1+3<sup>2</sup>)=6*8*10=480.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Tal como se explicó, todos los paréntesis son pares, luego al dividirlos entre
2<sup>3</sup>, resulta un cociente de 60<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>(2) N es par</i></b></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">En este caso el promedio de los divisores unitarios puede ser entero o no. Estos
son los primeros que son aritméticos unitarios:</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiixjlRmYsId1iBDa0_ovkAC9twVVQq1DhMM5zzL4LuH39DKYmRTZ8vkEjmKczHc_dfJbCS4tLJemv78gQXtyNZnvgsbeSgeAR__Fa7IM2ePOmIvWmw0HloBqxii3SGVbMViSu55pnLFEDZgjIzNXvgmp-ln-Jzyi5IOUQ1d4mOVXpJTqW3lKtjzXNC6is/s310/ar6_3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="310" data-original-width="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiixjlRmYsId1iBDa0_ovkAC9twVVQq1DhMM5zzL4LuH39DKYmRTZ8vkEjmKczHc_dfJbCS4tLJemv78gQXtyNZnvgsbeSgeAR__Fa7IM2ePOmIvWmw0HloBqxii3SGVbMViSu55pnLFEDZgjIzNXvgmp-ln-Jzyi5IOUQ1d4mOVXpJTqW3lKtjzXNC6is/s16000/ar6_3.png" /></a></div><br /><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1035" style="height: 209.4pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 173.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En uno de los comentarios de OEIS se afirma que estos números son doble de
números que no pueden ser suma de dos cuadrados. Esto quiere decir que poseerán
factores primos del tipo 4k+3 elevados a exponente impar. Lo comprobamos con
los primeros:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKP39bLj1Emx6_uG98pN9ClnotXmg-M_5zLpQymrf4vXfv702HlyhA9g58XOOgmQrj5XWEToVQV_xlHfbTn_A9ERdBSq5UzxVgjCQH-AcUcF32taefbbCXq5seJX5A7vfZpa5g5aFsCqy_yewK9nmdsN3hCb1Fo_yJ_2t_PVZv4FGRtT0jJHXnT_NKoTI/s322/ar6_4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="322" data-original-width="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKP39bLj1Emx6_uG98pN9ClnotXmg-M_5zLpQymrf4vXfv702HlyhA9g58XOOgmQrj5XWEToVQV_xlHfbTn_A9ERdBSq5UzxVgjCQH-AcUcF32taefbbCXq5seJX5A7vfZpa5g5aFsCqy_yewK9nmdsN3hCb1Fo_yJ_2t_PVZv4FGRtT0jJHXnT_NKoTI/s16000/ar6_4.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Todos los factores primos son 2 o del tipo 4k+3, estos con exponente impar.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso de la media prima</b></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En algunos casos la media de divisores unitarios <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">es un número primo </b>Estos son los números con promedio primo de sus
divisores unitarios: <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">3, 5, 6, 9, 12, 13, 25, 37, 48, 61, 73, 81, 121, 157, 193, 277, 313, 361,
397, 421, 457, 541, 613, 625, 661, 673, 733, 757, 768, 841, 877, 997, 1093,
1153, 1201, 1213, 1237, 1321, 1381, 1453, 1621, 1657, 1753, 1873, 1933, 1993,
2017, 2137, 2341, 2401, 2473…(La hemos publicado en </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A192577"><span lang="ES" style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A192577</span></a></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Todos son impares salvo 6, 12, 48,…Los estudiamos por separado:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>(1) N es impar</i></b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En este caso, N ha de ser primo o potencia par de un primo. <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La razón es la siguiente: sabemos que la expresión de usigma es</span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4ax06I5JX4oafc5rYb0_iOtksZ387nG_iazSNlX9l1arrs_XUDak_49xXtfbaRTLOZiWe6srI_-UWMy9nA04Eeybewo3-oXZrOvP60HhTBNmXJAZf2rgw96u6ravwF0lDrPmKZ0aXxb8WZF485ynDqayd_N-g3ubXl4Ay25DZgG2G4AVIpH0x7jGEDck/s443/ar6_5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="34" data-original-width="443" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4ax06I5JX4oafc5rYb0_iOtksZ387nG_iazSNlX9l1arrs_XUDak_49xXtfbaRTLOZiWe6srI_-UWMy9nA04Eeybewo3-oXZrOvP60HhTBNmXJAZf2rgw96u6ravwF0lDrPmKZ0aXxb8WZF485ynDqayd_N-g3ubXl4Ay25DZgG2G4AVIpH0x7jGEDck/s16000/ar6_5.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Si ahora dividimos entre 2</span><sup style="color: windowtext; font-family: inherit;">h</sup><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">, podemos asignar un 2 a cada factor,
quedando:</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8kgLNgsFuDKo9q241gmHq1P1zbo7q2SpNfOA9d_yTJJLPg57uFkNUD1KIp_QjvB7Skk7umTtdOh2urAO9DljfdL9jsULlL5g0jJAuAbb5ZsSsu41pKTlCfoohxvTVgMX4Jj3klq_XkSAUtndsUdmyI1RMSCYx38LFhevqYOkin-1CpRvVMofQXcwmkl8/s453/ar6_6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="57" data-original-width="453" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8kgLNgsFuDKo9q241gmHq1P1zbo7q2SpNfOA9d_yTJJLPg57uFkNUD1KIp_QjvB7Skk7umTtdOh2urAO9DljfdL9jsULlL5g0jJAuAbb5ZsSsu41pKTlCfoohxvTVgMX4Jj3klq_XkSAUtndsUdmyI1RMSCYx38LFhevqYOkin-1CpRvVMofQXcwmkl8/s16000/ar6_6.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Todos los cocientes serán mayores que 1, porque los numeradores serán
números pares iguales o mayores que 4, pues los primos serán distintos de 2, al
ser N impar.</span><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"> </span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Pero así no puede resultarnos un número primo, ya que lo que obtenemos es
una descomposición en varios factores, luego h ha de ser 1, es decir, que N ha
de ser primo o potencia par de un primo distinto de 2, porque si fuera impar,
la media no sería entera (lo razonaremos más adelante)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">Los términos primos 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193 (</span><span lang="ES-TRAD"><a href="http://oeis.org/A005383"><span lang="ES" style="color: windowtext; line-height: 120%;">http://oeis.org/A005383</span></a></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">) son aquellos en los que (p+1)/2 también es primo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Las potencias de primos han de ser pares, para que el cociente entre 2 sea
entero. La expresión de la media de los divisores será:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3tvGUOK0bGX5dm9kH1LhWJKHcH8nqUAzxW99_dstkyTpx_-xvTyvdYzqbr1RFjt8bbJOmHHUsYE61xnw8eCItcStkLtNdS3OJXlD0ovrWoOT-oUo7ICTz_Op6-J2SdzTjTJiVxmcz5aMW-X9XmM78CGkdG94VP3HwYbKCxlAIL98YpW8ofBbkqsDsx3U/s216/ar6_7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="83" data-original-width="216" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3tvGUOK0bGX5dm9kH1LhWJKHcH8nqUAzxW99_dstkyTpx_-xvTyvdYzqbr1RFjt8bbJOmHHUsYE61xnw8eCItcStkLtNdS3OJXlD0ovrWoOT-oUo7ICTz_Op6-J2SdzTjTJiVxmcz5aMW-X9XmM78CGkdG94VP3HwYbKCxlAIL98YpW8ofBbkqsDsx3U/s16000/ar6_7.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">La razón de que el exponente deba ser par es:</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si p es impar y k también, podemos plantear:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El cociente<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(1+p<sup>k</sup>)/(1+p)
será entero si k es impar, según el álgebra elemental, luego (1+p<sup>k</sup>)
será múltiplo de 1+p. Por otra parte, 1+p es par, luego (1+p<sup>k</sup>)/2
será múltiplo de (1+p)/2, y por tanto compuesto. Así que k no podrá ser impar.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">(Demostración adaptada de </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A192618"><span lang="ES" style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A192618</span></a></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>(2) N es par</b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los primeros números pares que hemos encontrado en este caso son:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">6, 12, 48, 768, 196608,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">¿Porqué hay tan pocos pares que produzcan un promedio de divisores
unitarios que sea primo?<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Lo razonamos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Todo número par de <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">h</b> factores primos
diferentes es de la forma<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbjk1lrw-oqvCXZPiEqt0aTm0JlwdgMLWY1eGBd0OihXQRNIjCtUjaC0yviKbd8Jg_AE0B5sFieb9S4tw4zMyTwiVFq3WuGvwFz1WsRN_jfiE-RA0aqv01f6TlVV8eeOpjkzsZ5qXWjN6oTPFqEO-Xl3iZ8pa3wUuvHzHJNBcxLv0n6nkeF9_aYXZ7YoA/s342/ar6_8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="51" data-original-width="342" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbjk1lrw-oqvCXZPiEqt0aTm0JlwdgMLWY1eGBd0OihXQRNIjCtUjaC0yviKbd8Jg_AE0B5sFieb9S4tw4zMyTwiVFq3WuGvwFz1WsRN_jfiE-RA0aqv01f6TlVV8eeOpjkzsZ5qXWjN6oTPFqEO-Xl3iZ8pa3wUuvHzHJNBcxLv0n6nkeF9_aYXZ7YoA/s16000/ar6_8.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">En ella p</span><sub style="color: windowtext; font-family: inherit;">i</sub><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"> son números primos impares y k</span><sub style="color: windowtext; font-family: inherit;">i</sub><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"> sus
multiplicidades.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por tanto <o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg07rFMW611ewTpSZJJEkthNz-mb89QFPYq2G80Z94yMOfZ0Cznj63HQ7QYF3VDLWWXCsoRUFfdTZTc1VJ3tK25NDmEa17ZP08c4RR1vYOXwjgIs4X5jPnOb52ACXG2k8zQbhuXXyUPxWkHFW02JlBGZq9SPnPM1WQ3FMaCNzD0jFM12w5xyhPMg4qAiA0/s501/ar6_9.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="37" data-original-width="501" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg07rFMW611ewTpSZJJEkthNz-mb89QFPYq2G80Z94yMOfZ0Cznj63HQ7QYF3VDLWWXCsoRUFfdTZTc1VJ3tK25NDmEa17ZP08c4RR1vYOXwjgIs4X5jPnOb52ACXG2k8zQbhuXXyUPxWkHFW02JlBGZq9SPnPM1WQ3FMaCNzD0jFM12w5xyhPMg4qAiA0/s16000/ar6_9.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />El número de divisores unitarios sería 2</span><sup style="color: windowtext; font-family: inherit;">h</sup><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">, y para que la media
sea un número entero, la expresión (1) ha de ser divisible entre 2</span><sup style="color: windowtext; font-family: inherit;">h</sup><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">.
Pero si además deseamos que sea primo, la media ha de ser exactamente el primer
factor (1+2</span><sup style="color: windowtext; font-family: inherit;">a</sup><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">), que es el único que es impar y no va a desaparecer en
el cociente entre 2</span><sup style="color: windowtext; font-family: inherit;">h</sup><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">. Por tanto, el resto de factores ha de
desaparecer.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Un factor del tipo (1+p<sup>k</sup>) con p primo para simplificarse en el
cociente ha de ser una potencia de 2, y el valor mínimo que consigue esto es
(1+3<sup>1</sup>) = 4. Por tanto, cada paréntesis de (1) ha de ser una potencia
de 2 de al menos exponente 2. Resumiendo, <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Usigma(N) ≥ (1+2<sup>a</sup>)*4*4*4…*4 = (1+2<sup>a</sup>)*2<sup>2(h-1)</sup><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(2)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para hallar el promedio de divisores unitarios dividimos entre 2<sup>h</sup>
y nos resulta:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">M = Usigma(N)/ 2<sup>h</sup> ≥ (1+2<sup>a</sup>)*2<sup>h-2</sup><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Y llegamos a un resultado interesante: Para que M sea primo, h debe valer 2
y por tanto M=(1+2<sup>a</sup>). Y más todavía: para que en (2) sea válida la
igualdad p<sub>1</sub> ha de valer 3 y k<sub>1</sub> la unidad.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Sólo los números pares de la forma 2<sup>a</sup>*3 podrán tener una media M
prima. Además, dicha media será un número primo de Fermat.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Lo hemos comprobado con hoja de cálculo:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEoj-Evrg4PBF1OuALyiya-3aAJwwYI99f1vJlFKl2ezkw1Azz5n1qAWU5IF9DWuVZI0PHwr50ggRR78oBOV3fr1k-90Vycib0m7mqtOPDSL_UoJq1peuBw94-V3YqigN2Av5UMK68nCkIKLy6LU96Z8x0ZNSs4KDwN_gR6zqMuVR_TO-RXxY_82vJsJM/s373/ar6_10.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="122" data-original-width="373" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEoj-Evrg4PBF1OuALyiya-3aAJwwYI99f1vJlFKl2ezkw1Azz5n1qAWU5IF9DWuVZI0PHwr50ggRR78oBOV3fr1k-90Vycib0m7mqtOPDSL_UoJq1peuBw94-V3YqigN2Av5UMK68nCkIKLy6LU96Z8x0ZNSs4KDwN_gR6zqMuVR_TO-RXxY_82vJsJM/s16000/ar6_10.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Si recordamos que los números de Fermat son del tipo</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjk9xtprRBYPaFJyWIl5C3iSOcdTF_e0IEtRcOH2Jzaf70iH19II6kGPzy5hvFqQE6FvoVbnNmdW-id70QaQNpjviws66xxAUDFQb7gZDA1cLUq4KujO_2mCQS-oRV-sYnjz5ClH2Rzln2CGjKVYHbf0nv3__HmbNUMnWOaTWZoc3y_l_bfIepJQiLOhgI/s84/ar6_0.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="40" data-original-width="84" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjk9xtprRBYPaFJyWIl5C3iSOcdTF_e0IEtRcOH2Jzaf70iH19II6kGPzy5hvFqQE6FvoVbnNmdW-id70QaQNpjviws66xxAUDFQb7gZDA1cLUq4KujO_2mCQS-oRV-sYnjz5ClH2Rzln2CGjKVYHbf0nv3__HmbNUMnWOaTWZoc3y_l_bfIepJQiLOhgI/s16000/ar6_0.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">Y que no todos son primos, obtendremos la solución anticipada:</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">6=2*3, 12=2<sup>2</sup>*3, 48=2<sup>4</sup>*3, 768=2<sup>8</sup>*3,
196608=2<sup>16</sup>*3,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Se conjetura que sólo existen estos primos de Fermat, por lo que podemos
pensar también que los únicos números pares que son aritméticos unitarios son <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">6, 12, 48, 768, 196608<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">En </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A085866"><span lang="ES" style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A085866</span></a></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"> se hace referencia a una propiedad de estos números, y
es que cada uno es igual al anterior multiplicado por el valor de la función
PHI de Euler en él. Vemos esta generación en la tabla siguiente:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNSx6-AyBNlZ3rvlnBiTincW_Oc5tBr7ixQWo6e_G3Xpzs5SHtoqE8pQrI4dzfRDC9tXWziLmimM-EUZidH-OC6PSZAmH6y1IxXiKqCibvinAIiRT-qySflZuRgU2CYt3AmnSilBsndt2-JDfL0U0P51cpQ-n_Av7xqsEMdaodMAQDneR2hf_56OxZpMw/s374/ar6_11.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="97" data-original-width="374" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNSx6-AyBNlZ3rvlnBiTincW_Oc5tBr7ixQWo6e_G3Xpzs5SHtoqE8pQrI4dzfRDC9tXWziLmimM-EUZidH-OC6PSZAmH6y1IxXiKqCibvinAIiRT-qySflZuRgU2CYt3AmnSilBsndt2-JDfL0U0P51cpQ-n_Av7xqsEMdaodMAQDneR2hf_56OxZpMw/s16000/ar6_11.png" /></a></span></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit; text-align: left;"><br />Esta recurrencia no nos sirve para encontrar otros aritméticos
con media prima de divisores unitarios, ya que en el siguiente, 12884901888
tiene media 4294967297, que no es primo.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso en el que la
media es divisor</b></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">La media de N que estamos estudiando con divisores
unitarios puede ser también divisor de N (no necesariamente unitario). Los
primeros ejemplos son los siguientes:</span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBwmjHu8_OGE8PzYoImcVIIYclu-sUyVGk2xfaidk64FW_Hc9Rmbru2eW5cEVP7rOFWNub1yZB21x94EJsHA5jY3ZsFVfk0dSxmdaiItecjC6o6RMGIqrWE8hy6HU1d7r86yABPlSunxrkhomURBY77ywC930nrqv8eFmm7jM8KoLWOaaPXNJiVcIB2uU/s326/ar6_12.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="229" data-original-width="326" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBwmjHu8_OGE8PzYoImcVIIYclu-sUyVGk2xfaidk64FW_Hc9Rmbru2eW5cEVP7rOFWNub1yZB21x94EJsHA5jY3ZsFVfk0dSxmdaiItecjC6o6RMGIqrWE8hy6HU1d7r86yABPlSunxrkhomURBY77ywC930nrqv8eFmm7jM8KoLWOaaPXNJiVcIB2uU/s320/ar6_12.png" width="320" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">Por ejemplo en el número 45 los divisores unitarios son
1, 5, 9, 45, con lo que usigma(45)=60 (también, (1+3</span><sup style="color: windowtext; font-family: inherit;">2</sup><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">)(1+5)=60)</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La media de estos divisores será 60/4=15, que es
divisor de 45<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">¿Podrá ser la media un divisor unitario? La respuesta
es afirmativa. Estos son los primeros ejemplos:</span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieyzVVcKZqHq_O7GvVrBUaVjfgykuvCqABcCvaSodB3yutjjQ1RPclLCJ4q5ZghyE6vfMH39bfNMoMDWYL4HhXU6tGt1L1euYC7GrGjObo79DYmT_GqIj08JERfez0hUkEmFsZoqMo8NwrOOWxsG3kh9T46Fo8HhqsBbWFqQoqpDNEPXAfiIw4JDOF-P0/s438/ar6_13.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="134" data-original-width="438" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieyzVVcKZqHq_O7GvVrBUaVjfgykuvCqABcCvaSodB3yutjjQ1RPclLCJ4q5ZghyE6vfMH39bfNMoMDWYL4HhXU6tGt1L1euYC7GrGjObo79DYmT_GqIj08JERfez0hUkEmFsZoqMo8NwrOOWxsG3kh9T46Fo8HhqsBbWFqQoqpDNEPXAfiIw4JDOF-P0/s16000/ar6_13.png" /></a></div><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;"><br />En ellos comprobamos que la media M es divisor
unitario, pues el máximo común divisor con el cociente N/M es 1. Están
publicados en </span><span lang="ES-TRAD" style="font-family: inherit;"><a href="https://oeis.org/A353039"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A353039</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-9577727943823045182023-11-20T12:01:00.001+01:002023-11-20T12:01:00.165+01:00Números aritméticos (5) - Medias armónicas<p><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;">Hemos estudiado ya en entradas anteriores la media aritmética de los divisores y la
cuadrática. La geométrica tiene menos interés y no la hemos tratado. Tocaría
ahora el turno a la media armónica y, después, a la contraarmónica.</span></span></p>
<p class="MsoNormal"><a name="_Toc140835639" style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD"><b><span style="color: #660000;">Media armónica</span></b></span></a></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">El estudio de la media armónica</span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit;"> </span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">nos
lleva, en primer lugar, a los números de
Ore, ya tratados por el autor en </span><span lang="ES-TRAD" style="font-family: inherit;"><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/11/numeros-de-ore.html"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/11/numeros-de-ore.html</span></a></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Un
número entero positivo N se llama <i>de Ore</i>
o <i>armónico</i> cuando la media armónica
de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, es armónico 140,
porque sus 12 divisores son 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140 y por
tanto su media armónica es<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5pJEdEnUBMePizqv5dyuhyz2iTYLTMq7vWQjTLuv_aR5Wy6LwwC9bThDEvrkPSLWEKyQDrWA8rWCE_D39Yc87a6qZCf_C_xJHL2vt-KabSv1n4HTxNRofICCOE6KS7ZmiAxpdnmDEu9B-00wUtxcDko5xsFyeUCOsc8MTPpB94L6MTU97eas4dmS5Sxk/s339/ar5_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="70" data-original-width="339" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5pJEdEnUBMePizqv5dyuhyz2iTYLTMq7vWQjTLuv_aR5Wy6LwwC9bThDEvrkPSLWEKyQDrWA8rWCE_D39Yc87a6qZCf_C_xJHL2vt-KabSv1n4HTxNRofICCOE6KS7ZmiAxpdnmDEu9B-00wUtxcDko5xsFyeUCOsc8MTPpB94L6MTU97eas4dmS5Sxk/s16000/ar5_1.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Parece
muy pesado este cálculo para números grandes, pero existe una simplificación.
Para ello basta observar que cada divisor </span><b style="color: windowtext; font-family: inherit;"><i>d</i></b><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"> posee un complementario </span><b style="color: windowtext; font-family: inherit;"><i>d’</i></b><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">
tales que </span><b style="color: windowtext; font-family: inherit;"><i>d.d’=N</i></b><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">. Este hecho permite ir sustituyendo cada cociente del
tipo 1/d por d’/N, con lo que todos los denominadores resultará iguales a N y
se podrán sumar los cocientes con facilidad:</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIg_gFrlhY8r78k4B-ADIZc9kPdUg3pcyWoEH3pON3Luvoad3diKMID48PMg_ivcuMqvOuKHMmNDgbYI78UCJDfkVQSdziX1K3Sx2IwK5sqQqO3MaJiTOQc8GdHx2JIHUwTzyBzXjJUyMB4Gi9TW8Q4BYO9FVZ-iETMh7IqR36gZ3u0xGZ2KA9ilLByNQ/s406/ar5_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="57" data-original-width="406" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIg_gFrlhY8r78k4B-ADIZc9kPdUg3pcyWoEH3pON3Luvoad3diKMID48PMg_ivcuMqvOuKHMmNDgbYI78UCJDfkVQSdziX1K3Sx2IwK5sqQqO3MaJiTOQc8GdHx2JIHUwTzyBzXjJUyMB4Gi9TW8Q4BYO9FVZ-iETMh7IqR36gZ3u0xGZ2KA9ilLByNQ/s16000/ar5_2.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Este
procedimiento es fácilmente generalizable: basta multiplicar N por su número de
divisores y dividir después entre la suma de los mismos:</span><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz7u1yQxAhAiUua8zNsn9W4tvoBaVU6Yevr5bijyHKvFN-JS7KAjfBDAT7Nxho_UbsGxxikEhbSk_iTOnGWom9mpGV943NOHezpopvYBkDgIRRnznTfWB453zSoQwIWU6-mIT1UZfnmWKb56AlsD0QN4USmXg2_rOpG3flGYrXTL_5bHy-XWNMTlBCP7s/s112/ar5_3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="55" data-original-width="112" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz7u1yQxAhAiUua8zNsn9W4tvoBaVU6Yevr5bijyHKvFN-JS7KAjfBDAT7Nxho_UbsGxxikEhbSk_iTOnGWom9mpGV943NOHezpopvYBkDgIRRnznTfWB453zSoQwIWU6-mIT1UZfnmWKb56AlsD0QN4USmXg2_rOpG3flGYrXTL_5bHy-XWNMTlBCP7s/s16000/ar5_3.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Representamos
el número de divisores mediante d(N) y su suma por σ(N), o bien como TAU y
SIGMA respectivamente. Basta observar la fórmula para poder interpretarla de
otra manera: La media armónica de los divisores equivale al cociente entre el
número y la media aritmética de dichos divisores. Podríamos afirmar entonces
que la media aritmética de los divisores es otro divisor. Por eso aparecieron
números de Ore cuando estudiamos ese caso en los aritméticos.</span><p></p></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Este
cambio nos permite calcular la media armónica mediante un sencillo algoritmo:
Se encuentran los divisores y se van contando y sumando hasta completar el
valor de d(N) y σ(N). Si esta media es
entera, el número N será armónico.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Incluimos
un listado en Basic que lo logra:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Sub
armonico<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Input
n<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">a=0
‘</span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">Inicia el contador de divisores<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">b=0
‘</span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">Inicia el sumador de divisores<br /></span><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"> </span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">for
j=2 to n/2+1<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">if
esmultiplo(n,j) then<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">a=a+1
‘</span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">Se ha encontrado un divisor: se
aumenta el contador en 1<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">b=b+j
‘</span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">Se aumenta el sumador con el valor
del divisor<br /></span><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">end
if<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">next
j<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">a=a+2
‘</span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">Se añade 2 para contar también 1 y
N<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">b=b+n+1
‘</span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">Se añaden al sumador 1 y N<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">m=i*a/b ‘</span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">Media
armónica<br /></span><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">if
m=int(m) then msgbox(“Es armónico”) else msgbox(“No es armónico”)<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">end
sub</span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La
siguiente tabla se ha obtenido con la repetición de este algoritmo:<o:p></o:p></span></span></p>
<div align="center">
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable">
<tbody><tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">N<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">D<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">S<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">M<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">6<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">4<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">12<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">2<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">28<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">6<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">56<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">3<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">140<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">12<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">336<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">5<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">270<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">16<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">720<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">6<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">496<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">10<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">992<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">5<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">672<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">24<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">2016<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">8<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1638<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 39.9pt;" width="67">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">24<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 49.9pt;" width="83">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">4368<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
<td style="padding: .75pt .75pt .75pt .75pt; width: 37.35pt;" width="62">
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">9<o:p></o:p></span></span></p>
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"> <br /></span></span><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">También
se logra la sucesión de números de Ore con el Buscador de naturales:</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj93bbbWV6NiIDvvf9pHcptOGi_n7p8oRCsnp55ungtONFIfTxFtVW0zlLo0ltWE0OgEeNIE70odCIzepBagwl6xkE5nAONBovCa7M92b-ydLjtAaxWU7t76FuTLKW9c865KoQhGBFK_9o2i1_NqwFBTKEF_B5MOju9EKOYFU_APzy8oTc5Jx6Gu5Q0v8k/s393/ar5_4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="137" data-original-width="393" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj93bbbWV6NiIDvvf9pHcptOGi_n7p8oRCsnp55ungtONFIfTxFtVW0zlLo0ltWE0OgEeNIE70odCIzepBagwl6xkE5nAONBovCa7M92b-ydLjtAaxWU7t76FuTLKW9c865KoQhGBFK_9o2i1_NqwFBTKEF_B5MOju9EKOYFU_APzy8oTc5Jx6Gu5Q0v8k/s16000/ar5_4.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />En
la primera condición reproducimos la fórmula obtenida más arriba, y en la
segunda publicamos el resultado entero en la segunda columna.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">Los
primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200,
8128, 8190,…(</span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext;"> </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A001599"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A001599</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El
listado incluye los números perfectos 6,
28, 496, 8128,…y otros más que no lo son. <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos
entender su presencia con los números perfectos conocidos, que siguen la
fórmula 2<sup>n–1</sup>(2<sup>n</sup>–1) con el paréntesis primo. Entonces, ese
factor tendrá dos divisores, y por la propiedad multiplicativa, la función TAU
del número perfecto será par. Aplicamos la fórmula que vimos anteriormente<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmmik7GspXXKZqVBf_YQwNT6A-DFDRzD4mulE8aLeSkGvv3L_Q5C2-ciJdo6pCNODzujToxfDywvw7YQ_0V6tiqeFynqgPXj7zVONrASQcpjD7mP1k0YbNxaemHyjC5RAJiA8y7TG5LU11MB9eCLxfJ_x_8rNGUz2vT0a4vrd2GZPJVrxlaT6gP3ulLTE/s86/ar5_5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="42" data-original-width="86" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmmik7GspXXKZqVBf_YQwNT6A-DFDRzD4mulE8aLeSkGvv3L_Q5C2-ciJdo6pCNODzujToxfDywvw7YQ_0V6tiqeFynqgPXj7zVONrASQcpjD7mP1k0YbNxaemHyjC5RAJiA8y7TG5LU11MB9eCLxfJ_x_8rNGUz2vT0a4vrd2GZPJVrxlaT6gP3ulLTE/s16000/ar5_5.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Resulta
que SIGMA(N)/N=2 en los números perfectos, con lo que la fórmula queda como </span><i style="color: windowtext; font-family: inherit;">d(N)/2</i><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">, y al ser par el numerador, será
entera, y el número será de Ore.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Estos
números no han de ser aritméticos, porque la media aritmética de los divisores no
ha de ser entera. Si lo es, tendremos unos números que pertenecerán a las dos
clases, los aritméticos y los de Ore. Los primeros son<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">1,
6, 140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760,
55860, 105664, 117800, 167400,…(</span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext;">
</span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A007340"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A007340</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><a name="_Toc140835640" style="font-family: inherit; text-align: left;"><span lang="ES-TRAD"><br /><b><span style="color: #660000;">Media contraarmónica</span></b></span></a></p>
<p class="MsoNormal"><span style="color: windowtext; font-family: inherit; text-align: justify;">Podemos considerar la media contrarmónica de los divisores de un
número. Ya se estudió aquí el caso particular de cuando sólo intervienen dos
números en la media</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">(ver </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/01/media-contraarmonica-entera.html"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/01/media-contraarmonica-entera.html</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En su aplicación a los divisores de un número, esta media se puede
calcular dividiendo la función SIGMA_2(N) entre SIGMA_1(N), es decir, la suma
de los cuadrados de los divisores entre la suma de los mismos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Este cociente no tiene por qué ser entero. Si lo es, el número N se
llama <i>antiarmónico</i>, porque esta media
también recibe el nombre de “antiarmónica”.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si se cuenta con la familia de sigmas según el exponente al que
elevamos los divisores, no es difícil encontrar el cociente y comprobar si es
entero. Si no se desea usar estas funciones, y también para traducir la
búsqueda a otro lenguaje de programación, proponemos esta función:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Function esantiaritmetico(n) As Boolean<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim i, s1, s2, a</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"> </span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">s1 = n </span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Suma de
divisores<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">s2 = n ^ 2 </span></i></b><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Suma de
cuadrados de divisores<br /></span><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">For i = 1 To n / 2<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If n / i = n \ i Then s1 = s1 + i: s2 = s2 + i ^ 2<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Next i<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">a = s2 / s1<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If a = Int(a) Then esantiaritmetico = True Else esantiaritmetico =
False<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">Por cualquiera de estos procedimientos, se encuenran rápidamente los
primeros números antiarmónicos:</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfKHVCQ6kpyCnUShXf5B87wakIOq0N6O4D29xo4gJSnlW5FBNv5LDO7BUpxCp0v68JGMdeGCcyk5Cx4wyul9IVwtGa_snq2cK9v-4sq2vtLWzUANpxuOALyDR3VcW7XWzxkLKScjc83NLGnwr3BAG0ZIbf7W0SM52sN88HN-2UhXax1misbUm_QXZ5zDQ/s302/ar5_6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="302" data-original-width="216" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfKHVCQ6kpyCnUShXf5B87wakIOq0N6O4D29xo4gJSnlW5FBNv5LDO7BUpxCp0v68JGMdeGCcyk5Cx4wyul9IVwtGa_snq2cK9v-4sq2vtLWzUANpxuOALyDR3VcW7XWzxkLKScjc83NLGnwr3BAG0ZIbf7W0SM52sN88HN-2UhXax1misbUm_QXZ5zDQ/s16000/ar5_6.png" /></a></div><br /><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1026" style="height: 226.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 162pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En PARI el planteo es mucho más simple:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">is(n)=sigma(n,2)%sigma(n,1)==0<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">for(i=1,10^3,if(is(i),print1(i,", ")))</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="text-align: justify;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1, 4, 9, 16, 20, 25, 36, 49, 50, 64, 81, 100,
117, 121, 144, 169, 180, 196, 200, 225, 242, 256, 289, 324, 325, 361, 400, 441,
450, 468, 484, 500, 529, 576, 578, 605, 625, 650, 676, 729, 784, 800, 841, 900,
961, 968, 980,</span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Llama la atención el hecho de que están presentes todos los cuadrados.
Profundizamos algo más con la ayuda de las fórmulas de las sigmas.<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxFC72kF1w3Uy3qsvYpCe6HFbvP3sHq72PA5gR0OnwgIQ1uBHhIlP0_b6yIP6s31lj9aqXzrCTctyoPTHzRK7hufTAP5TeX_BK2nRljfhv1TnSfgo45EJTcuwiKbt4pq64H2SVmM5rBm8AkNldywnELEaLpIFZr5zBmyHRgOjpE0_QdJpT2zmW-Tlh4js/s175/ar5_7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="54" data-original-width="175" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxFC72kF1w3Uy3qsvYpCe6HFbvP3sHq72PA5gR0OnwgIQ1uBHhIlP0_b6yIP6s31lj9aqXzrCTctyoPTHzRK7hufTAP5TeX_BK2nRljfhv1TnSfgo45EJTcuwiKbt4pq64H2SVmM5rBm8AkNldywnELEaLpIFZr5zBmyHRgOjpE0_QdJpT2zmW-Tlh4js/s16000/ar5_7.png" /></a></div><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En este caso deberemos dividir la sigma de segundo orden entre la de
primero. Nos quedaría:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8UiF2r9TIF45wilINX-n9mywhzr8KXedqSpgXqLXQXYO-3Gqj4PMnG3wlfuwkjZZJJbbwTnzLjw4VInFA3iGaNpG4B7UoY6ks8Vd-gX0NzVnBIRhMpLcAm9o7DEk9UxpQDwadDfY9ujz1CL1G-nhMFTPLWWagCnMnvBcfMaXVVtWerzX8yWws2U07iqc/s357/ar5_8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="87" data-original-width="357" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8UiF2r9TIF45wilINX-n9mywhzr8KXedqSpgXqLXQXYO-3Gqj4PMnG3wlfuwkjZZJJbbwTnzLjw4VInFA3iGaNpG4B7UoY6ks8Vd-gX0NzVnBIRhMpLcAm9o7DEk9UxpQDwadDfY9ujz1CL1G-nhMFTPLWWagCnMnvBcfMaXVVtWerzX8yWws2U07iqc/s16000/ar5_8.png" /></a></div><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Simplificando:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjY9NaB9_ooJsFd1zkzclYEaOePtfZUqJg3cUcF03u-SABrP7GaAKmDEUCNicHAFPPzefxeEEP1pN4MuzICfZJJ4-J8z-EBEnA8RRVXxzw7PAD68cJeNfSjWlwlA6ugdN3QHN17gL5ACxKQ-hW3Yynd2fjDRBjmFAGe-wNpuBZN4jvJn6MwkV4NY1EBIlQ/s266/ar5_9.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="88" data-original-width="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjY9NaB9_ooJsFd1zkzclYEaOePtfZUqJg3cUcF03u-SABrP7GaAKmDEUCNicHAFPPzefxeEEP1pN4MuzICfZJJ4-J8z-EBEnA8RRVXxzw7PAD68cJeNfSjWlwlA6ugdN3QHN17gL5ACxKQ-hW3Yynd2fjDRBjmFAGe-wNpuBZN4jvJn6MwkV4NY1EBIlQ/s16000/ar5_9.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br />Por ejemplo, la media contraarmónica de 200 aparece en la tabla como
119. Lo podemos comprobar con esta fórmula:</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">M(200)=M(2<sup>3</sup>*5<sup>2</sup>)=(2<sup>4</sup>+1)/(2+1)(5<sup>3</sup>+1)/(5+1)=17/3*126/6<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">M(200)=17*126/18=119<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es elemental el hecho de que la suma de potencias impares es divisible
entre la suma de las bases, luego la media será entera si los exponentes <b>e<sub>i</sub> </b>son pares, lo que
demuestra que todos los cuadrados han de figurar en el listado.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Una consecuencia de esto es la de que si un número pertenece a ella y
los multiplicamos por un cuadrado primo con él, por la propiedad
multiplicativa, el resultado pertenecerá a la sucesión (Charles R Greathouse
IV, Aug 02 2013)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, 20 pertenece a la sucesión y lo podemos multiplicar por 7<sup>2</sup>.
Quedaría:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">M(20*7<sup>2</sup>)=M(2<sup>2</sup>*5*7<sup>2</sup>)=(2<sup>3</sup>+1)/(2+1)*(5<sup>2</sup>+1)/(5+1)*(7<sup>3</sup>+1)/(7+1)=9/3*26/6*344/8=559,
luego el producto es antiarmónico.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Esta propiedad garantiza la infinitud de los números antiarmónicos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">Si en estos productos eliminamos los cuadrados, nos quedarán los
llamados antiarmónicos primitivos, que están publicados en </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A228023"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A228023</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1, 20, 50, 117, 200, 242, 325, 500, 578, 605,
650, 800, 968, 1025, 1058, 1280, 1445, 1476, 1682, 1700, 2312, 2340, 2600,
2645, 3200, 3362, 3757, 3872, 4205, 4232,…<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Todos los ejemplos encontrados poseen una parte cuadrada mayor que 1,
salvo el caso del mismo 1. Hemos buscado hasta 10^7 términos libres de
cuadrados, sin encontrar ninguno, salvo el 1. Queda como conjetura el hecho de
que no se encontrará ninguno.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm;"><br /></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-42020823729370597682023-11-08T17:50:00.001+01:002023-11-08T17:50:00.158+01:00Números aritméticos (4) - Otros aspectos<p><a name="_Toc140835636" style="font-family: inherit; text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD"><b><span style="color: #660000;">Carácter
aritmético compartido</span></b></span></a></p>
<p class="StandardCxSpFirst" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Finalizamos
el estudio de los números aritméticos usuales buscando aquellos en los que su doble,
cuadrado, o cubo o SIGMA también son aritméticos. Someteremos en un Buscador a
cada número a dos condiciones, la de ser aritmético y la de que también lo sea
otro número derivado de él. Resumimos algunos resultados:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;"><b>Número y su doble</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Existen
muchos números aritméticos cuyo doble lo es también. La mayoría son impares
libres de cuadrados, que ya sabemos que son todos aritméticos, pero existen
ejemplos de aritméticos pares. Los primeros ejemplos de ambos casos son:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter">
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0">
<v:f eqn="sum @0 1 0">
<v:f eqn="sum 0 0 @1">
<v:f eqn="prod @2 1 2">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @0 0 1">
<v:f eqn="prod @6 1 2">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="sum @8 21600 0">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @10 21600 0">
</v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas>
<v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f">
<o:lock aspectratio="t" v:ext="edit">
</o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1030" style="height: 214.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 274.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgX_DmYnFWm6HJII78Hxku5Hm-iwAMhCHXho9zmNBqUkOPHOQSXWa05wJuRXwxu8pR7GfZdyw__HlPVDltfr1cCy3xjRBOu-Rn6N_yUJLfpOztEvfAM1cF5tz-cBwAojCk_lb7fUO3225jo8vpslHKGzd5yUj_5I5h-uVltnD08hNymDl8IieBr8nQgBbE/s366/ar4_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="286" data-original-width="366" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgX_DmYnFWm6HJII78Hxku5Hm-iwAMhCHXho9zmNBqUkOPHOQSXWa05wJuRXwxu8pR7GfZdyw__HlPVDltfr1cCy3xjRBOu-Rn6N_yUJLfpOztEvfAM1cF5tz-cBwAojCk_lb7fUO3225jo8vpslHKGzd5yUj_5I5h-uVltnD08hNymDl8IieBr8nQgBbE/s16000/ar4_1.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Son
todos impares libres de cuadrados salvo el 30 y el 46. El primer caso está
claro:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso
1: N es impar</b></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
ese caso, 2N será el producto de dos coprimos, 2 y N, con lo que se dará:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(2N)=SIGMA(2)*SIGMA(N)=3*SIGMA(N)</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">TAU(2N)=TAU(2)*TAU(N)=2*TAU(N)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(2N)/TAU(2N)=3*K/2,
luego K, cociente entre SIGMA(n) Y TAU(N), <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>ha de ser par.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En
efecto, en los primeros ejemplos impares se cumple:<o:p></o:p></span></span></p><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhor5xr_31HKiGVMIJrEzsrQTJW1L8wiqYwUvkIydBJbFfMAO6tmSXC8Lwj-mhh_io52vi66M9jU-kSr_7Wrn5mntNA5vAKIJZQCWoT5K9-HC6W_F3OR7Crc3qGq4rJ0KbTWJTYClFC9NT35DPzIANehFx7gfKQa2tfsHXFNmPVANYAEGFP9xJ8vzq9iEs/s326/ar4_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="262" data-original-width="326" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhor5xr_31HKiGVMIJrEzsrQTJW1L8wiqYwUvkIydBJbFfMAO6tmSXC8Lwj-mhh_io52vi66M9jU-kSr_7Wrn5mntNA5vAKIJZQCWoT5K9-HC6W_F3OR7Crc3qGq4rJ0KbTWJTYClFC9NT35DPzIANehFx7gfKQa2tfsHXFNmPVANYAEGFP9xJ8vzq9iEs/s16000/ar4_2.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Todos
los cocientes son pares.</span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso
2: N es par</b></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Este
caso es más complicado, y han de encajar algunos cocientes enteros.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
ese caso, N=2</span><sup style="font-family: inherit;">p</sup><span style="font-family: inherit;">*M, 2N=2</span><sup style="font-family: inherit;">p+1</sup><span style="font-family: inherit;">*M</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(N)=SIGMA(2<sup>p</sup>)*SIGMA(M)=(2<sup>p+1</sup>-1)*S<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">TAU(N)=TAU(2<sup>p</sup>)*TAU(M)=(1+p)*T<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(2N)=SIGMA(2<sup>p+1</sup>)*SIGMA(M)=(2<sup>p+2</sup>-1)*S<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">TAU(2N)=TAU(2<sup>p+1</sup>)*TAU(M)=(2+p)*T<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><span style="font-family: inherit;">Por
ejemplo, en el 46:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">46=2*23,
SIGMA(46)=3*24=72, TAU(46)=2*2=4, y es aritmético porque 72/4 es entero.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Vemos
su doble:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">92=2<sup>2</sup>*23,
SIGMA(92)=7*24=168, TAU(92)=3*2=6, Y 168/6 es entero porque 6 divide a
SIGMA(23), lo que es algo casual.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;"><b>Número y su cuadrado</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Si
un número es aritmético, su cuadrado no tiene por qué serlo, porque la
propiedad multiplicativa solo se aplica entre números primos entre sí. No
obstante, son bastantes los casos que aparecen. Son estos:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">7,
13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 91, 97, 103, 109, 127, 133, 139, 151, 157,
163, 181, 193, 199, 211, 217, 223, 229, 241, 247, 259, 271, 277, 283, 301, 307,
313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397, 403, 409, 421</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Todos
están incluidos en la sucesión </span><a href="https://oeis.org/A107925" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A107925</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">,
pero en ella figuran números que no son aritméticos, aunque sí impares, como
121. Llama la atención que todos los que hemos descubierto son impares libres
de cuadrados.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></i></p><p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;"><b>Número y su cubo</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">También
existen casos en los que tanto N como su cubo son aritméticos. Con estas
condiciones sí aparecen números pares. Los primeros términos son:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">3,
5, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 42, 43, 46,
47, 51, 53, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 77, 79, 83, 85,
87, 89, 91, 93, 94, 95</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Anteriormente
hemos publicado los cubos que son aritméticos, y en esta nueva sucesión faltan
algunos como 13824, que es aritmético, y el cubo de 24, pero su base 24 no lo
es, y por eso no figura en esta.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Elegimos
un número par como ejemplo, el 42.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
divisores del 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42, con lo que su promedio es</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">(1+2+3+6+7+14+21+42)/8=96/8=12, entero.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Su
cubo también es aritmético, pues</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(42^3)/TAU(42^3)=240000/64=3750,
luego es aritmético.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><span style="color: #0c343d;">Un número y su sigma</span></b><o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Terminamos
estos ejemplos con aquellos números aritméticos cuya suma de divisores es
también aritmética:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">5,
13, 19, 20, 29, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 49, 53, 59, 60, 61, 62, 67, 68, 69,
77, 78, 86, 92, 101, 109, 113, 116, 123, 131, 134, 137, 139, 143, 149, 157,
163, 164, 167, 168, 169, 173, 181, 183, 197, 204, 211, 212, 215,…</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Aquí
se dan todos los casos de paridad entre N y SIGMA(N).</span></p>
<p class="StandardCxSpLast" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"> </span></p>
<h3 style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; font-size: small;"><a name="_Toc140835637"><span lang="ES-TRAD"><span style="color: #660000;">Aritméticos
de orden superior</span></span></a><span lang="ES-TRAD"><o:p></o:p></span></span></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="color: windowtext; font-family: inherit; text-align: justify;">Podíamos preguntarnos si existirán aritméticos con la media
cuadrática, es decir si la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los
divisores es entera. Bastará un ligero retoque en la función </span><i style="color: windowtext; font-family: inherit; text-align: justify;">esaritmetico</i><span style="color: windowtext; font-family: inherit; text-align: justify;">, sustituyendo SIGMA por
SIGMA_2, (o los divisores por sus cuadrados) que suma los cuadrados de los
divisores, dividiendo entre TAU, y verificando si la raíz cuadrada del cociente
es entera.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Con estas condiciones resultan estos primeros ejemplos:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpame3T8W-qPApTwWR-1txA9Wc_SMg0Mxv3vLtK1UHnUt5zL5Z2jpXaphgoq7K8r3Mn2LHeWV7LiS-XVCbgOF9B38ihnJlpcqaO6pkKXJyaqVOYzRcj_NdYwB6wzA_pv2gkPU0eaftbj4gHo2isjzL5929KChORPb4EdVBOv4wyZO0faoUbGfXfNamUAQ/s234/ar4_3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="200" data-original-width="234" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpame3T8W-qPApTwWR-1txA9Wc_SMg0Mxv3vLtK1UHnUt5zL5Z2jpXaphgoq7K8r3Mn2LHeWV7LiS-XVCbgOF9B38ihnJlpcqaO6pkKXJyaqVOYzRcj_NdYwB6wzA_pv2gkPU0eaftbj4gHo2isjzL5929KChORPb4EdVBOv4wyZO0faoUbGfXfNamUAQ/s16000/ar4_3.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1028" style="height: 150pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 175.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">Los valores de N están publicados en </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://oeis.org/A140480"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://oeis.org/A140480</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"> y se les llama RMS numbers.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A140480<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>RMS
numbers: numbers n such that root mean square of divisors of n is an integer.<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1, 7, 41, 239, 287, 1673, 3055, 6665, 9545, 9799,
9855, 21385, 26095, 34697, 46655, 66815, 68593, 68985, 125255, 155287, 182665,
242879, 273265, 380511, 391345, 404055, 421655, 627215, 730145, 814463, 823537,
876785, 1069895, 1087009, 1166399, 1204281, 1256489<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;">El carácter multiplicativo de las funciones que intervienen en la
definición hace que si A y B pertenecen al listado anterior y son coprimos, A*B
también pertenezca (comentario de </span><span lang="ES-TRAD" style="font-family: inherit;"><a href="https://oeis.org/wiki/User:Andrew_Weimholt"><span style="color: windowtext; line-height: 120%; text-decoration-line: none;">Andrew Weimholt</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-family: inherit; line-height: 120%;"> en OEIs). Por ejemplo 7 y 239 son coprimos, por lo que su producto
1673 también figura en el listado.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Un caso especial es el de los primos que figuran en la sucesión.
Porque en ellos SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p<sup>2</sup>)/2 será un cuadrado, y su raíz
un número de Pell. Estos números han sido tratados por el autor en<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD"><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2014/02/numeros-de-pell.html"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2014/02/numeros-de-pell.html</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD"><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/12/los-numeros-de-pell.html"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/12/los-numeros-de-pell.html</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<h2><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit; font-size: small;"><span style="color: windowtext;">Podemos plantear 1+p</span><sup style="color: windowtext;">2</sup><span style="color: windowtext;">=2r</span><sup style="color: windowtext;">2</sup><span style="color: windowtext;">,
con lo obtendríamos una ecuación de Pell p</span><sup style="color: windowtext;">2</sup><span style="color: windowtext;">-2r</span><sup style="color: windowtext;">2</sup><span style="color: windowtext;">=-1</span></span></span></h2>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">Acudimos a nuestra herramienta
para esta ecuación (</span><span lang="ES-TRAD"><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell</span></a></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">) y quedan las primeras soluciones:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn0PH2_D-dWeyLD0nDJoxqwg6U2SlF23Wm-HoDyF0VnqokTy1tUt8E-6YK9wnqWRjNb_pkMydA36MKINHIr1RsRz4z1fVUwoZ3iK6ZJOiJg6wKctymGcmWCjuGI_X_re_w_K4U7ViwtZxLtqP5wBVGg81tZQK18IGGoKqb8mxO98UmB5n21hjhtCVgT1M/s274/ar4_4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="262" data-original-width="274" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn0PH2_D-dWeyLD0nDJoxqwg6U2SlF23Wm-HoDyF0VnqokTy1tUt8E-6YK9wnqWRjNb_pkMydA36MKINHIr1RsRz4z1fVUwoZ3iK6ZJOiJg6wKctymGcmWCjuGI_X_re_w_K4U7ViwtZxLtqP5wBVGg81tZQK18IGGoKqb8mxO98UmB5n21hjhtCVgT1M/s16000/ar4_4.png" /></a></span></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><p class="MsoNormal"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br /></span></p>De ellas nos quedamos con las
que se corresponden con -1 y con un valor de P primo:</span><p></p><p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj30j7tw4veXAO26HeE0B0eZTMZEJbW0g_x6nAUu650NxzA0HqPb3iu5rWliZReOdZC1wJMgNYu53MXCH4MqLKSi61pjCOlKsaPt0O-w1tdK92DPCpfGrem8ety_wdsJ-Ko2M0L34ntBx7rshZAgd6jpzAB7xG3LlMYSsQ5WmAtmf0JxtqxAyHPIMJkcig/s306/ar4_5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="84" data-original-width="306" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj30j7tw4veXAO26HeE0B0eZTMZEJbW0g_x6nAUu650NxzA0HqPb3iu5rWliZReOdZC1wJMgNYu53MXCH4MqLKSi61pjCOlKsaPt0O-w1tdK92DPCpfGrem8ety_wdsJ-Ko2M0L34ntBx7rshZAgd6jpzAB7xG3LlMYSsQ5WmAtmf0JxtqxAyHPIMJkcig/s16000/ar4_5.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br /></span></span></p>Resultan los tres números primos
que figuraban en el listado general.</span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los valores de R, tal como se
esperaba, son números de Pell, pues pertenecen a la sucesión 1, 2, 5, 12, 29,
70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832,…(ver
enlaces anteriores)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext;"><span style="font-family: inherit;">Por último, planteamos un uso
del Buscador de Naturales para rebajar un poco la dificultad del planteo
anterior:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkdxbmB4yudZyMFgZY9hLxIuiH_j4VDmnR7sFxuVru-yygimPcuJjTIupsbIKP2TTFG2c4HuQGmvk2ucpSZcv-5p5x0Y1k0xSU0-Q6PqUuz_uW_3WBAQ3XL1QyqEnqgj-_ZYAjSfP7Ebaz9STAwxwSsMOhuK2cYKob1RDxF0jbn6KrV-CSzx4gLT1-uYA/s390/ar4_6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="106" data-original-width="390" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkdxbmB4yudZyMFgZY9hLxIuiH_j4VDmnR7sFxuVru-yygimPcuJjTIupsbIKP2TTFG2c4HuQGmvk2ucpSZcv-5p5x0Y1k0xSU0-Q6PqUuz_uW_3WBAQ3XL1QyqEnqgj-_ZYAjSfP7Ebaz9STAwxwSsMOhuK2cYKob1RDxF0jbn6KrV-CSzx4gLT1-uYA/s16000/ar4_6.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: windowtext; font-variant: small-caps; letter-spacing: 0.25pt;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 79.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 292.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; font-variant: small-caps; letter-spacing: 0.25pt;"><o:p></o:p></span></b></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">Fijamos las condiciones de que el número sea primo y que la
raíz cuadrada de (1+p</span><sup style="color: windowtext; font-family: inherit;">2</sup><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">)/2 sea entera, para después pedir evaluar esa
raíz.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">De esa forma hemos reproducido los resultados derivados de la
ecuación de Pell.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Podríamos seguir con aritméticos de orden 3 o 4, pero no
parecen presentar detalles interesantes.</span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-79972128882918927122023-10-31T18:12:00.001+01:002023-10-31T18:12:00.149+01:00Números aritméticos (3) - Tipos de promedio<p><span style="font-family: inherit;">En esta tercera entrada de la serie sobre números aritméticos trataremos de los distintos tipos que puede presentar el promedio entero de los divisores de un números. Es un tema sin mucha trascendencia, pero abundante en curiosidades y pequeñas demostraciones.</span></p><p><span style="color: #660000; font-family: inherit;"><b>Aritméticos con promedio primo</b></span></p><p class="StandardCxSpFirst" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Estos
son los más parecidos a nuestros números AROLMAR, ya que en estos últimos ha de
ser primo el promedio de los factores primos, mientras que ahora tomaremos
todos los divisores.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Deberemos
unir a la función </span><i style="font-family: inherit;">esaritmetico</i><span style="font-family: inherit;"> la
condición de que SIGMA(n)/TAU(n) sea un número primo. Los primeros encontrados
son:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhV6wKhSO_t0gjtMbTujAVnF5tgWyYYX_f46n2lB3lPeYOKUEz32ls_Di45Q6h8jK6goHvKgPgHkE9Y9ehgHad0YeXO-SEnyxE63p4AGuKx_jk2DiEMkkk1M3AK_6fWyhDwbXFSzNcZ8XCuQwX-PYSNdazS9Ssdzs3tAfvcRwtowVTwNowZu82RAyCLnAQ/s322/ar3_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="322" data-original-width="302" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhV6wKhSO_t0gjtMbTujAVnF5tgWyYYX_f46n2lB3lPeYOKUEz32ls_Di45Q6h8jK6goHvKgPgHkE9Y9ehgHad0YeXO-SEnyxE63p4AGuKx_jk2DiEMkkk1M3AK_6fWyhDwbXFSzNcZ8XCuQwX-PYSNdazS9Ssdzs3tAfvcRwtowVTwNowZu82RAyCLnAQ/s16000/ar3_1.png" /></a></div><br /><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">También se obtienen con el Buscador y
la condición</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">ES
PRIMO(SUMDIV(N)/NUMDIV(N))<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Están
publicados en </span><a href="https://oeis.org/A048968" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A048968</span></a></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Para
encontrarlos con PARI puedes usar lo siguiente:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">is(n)={if(sigma(n)%numdiv(n)==0,m=sigma(n)/numdiv(n),m=1);return(isprime(m))}<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">for(i=2,10^3,if(is(i),print1(i,",
")))</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Comprobación:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlyjcwLDsLfst3jflvkd9gmHXXmGGnU8gGuM3sbEFS2ccXWN5q4Zihv-Ftm706c53C1aFJMI5JF1oVsAm3SBLNn1wwq2dXY8rMNRCphOUZZRXqvyvgxaBAP1uf5bXzZH6n3W0r-uRRgiIwmwfBhrVGt61FS1mboMCzxUf210NfNR78_An_FY7RdXZs4Sg/s453/ar3_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="70" data-original-width="453" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlyjcwLDsLfst3jflvkd9gmHXXmGGnU8gGuM3sbEFS2ccXWN5q4Zihv-Ftm706c53C1aFJMI5JF1oVsAm3SBLNn1wwq2dXY8rMNRCphOUZZRXqvyvgxaBAP1uf5bXzZH6n3W0r-uRRgiIwmwfBhrVGt61FS1mboMCzxUf210NfNR78_An_FY7RdXZs4Sg/s16000/ar3_2.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1030" style="height: 52.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 339.6pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso de p primo</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Si
el número es un primo </span><b style="font-family: inherit;">p</b><span style="font-family: inherit;">, deberá ser también
primo </span><b style="font-family: inherit;">(p+1)/2</b><span style="font-family: inherit;">, que es el cociente
entre SIGMA(P) Y TAU(p). Esta situación recuerda a los primos de Sophie
Germain, pero en ellos es primo (q-1)/2, siendo q el asociado de p.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Están
publicados en </span><a href="https://oeis.org/A005383" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A005383</span></a></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Según
esta página, vendrán seguidos del doble de un primo, como se deduce fácilmente.
Por ejemplo, el número 157 que está en la tabla viene seguido del 158=2*79.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Según
<i>Zak Seidov, Feb 16 2017</i>, todos ellos, a partir del 13, han de ser del tipo
12k+1. La razón es sencilla, y, como siempre, distinguimos entre primos del
tipo 6k+1 y 6k-1</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Si
p=6k+1, (p+1)/2=(6k+1+1)/2=3k+1, lo que obliga a que k sea par, quedando el
tipo 12k+1</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Si
p=6k-1 (p+1)/2=(6k-1+1)/2=3k, múltiplo de 3 y no primo.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso de p compuesto</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Es
fácil ver que son los siguientes:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRVjKQ4mvse61sW_wCGSmdWdcX9RnOIABbzK0UayDTVZ1GRNUbySQiXHukCLmNwVsNbyooj-w-NESggR01ULrk0mS_1PDdUhEhL8aaRcKMDuvIYvu3BoosJpYroUPE4l7GGOWBjtYL6Z4nukk0ZGBzZqedIsGGp1dR-8U1VVvxyQIbSBzKF71Hso2Xkrg/s289/ar3_3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="268" data-original-width="289" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRVjKQ4mvse61sW_wCGSmdWdcX9RnOIABbzK0UayDTVZ1GRNUbySQiXHukCLmNwVsNbyooj-w-NESggR01ULrk0mS_1PDdUhEhL8aaRcKMDuvIYvu3BoosJpYroUPE4l7GGOWBjtYL6Z4nukk0ZGBzZqedIsGGp1dR-8U1VVvxyQIbSBzKF71Hso2Xkrg/s16000/ar3_3.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p align="center" class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1029" style="height: 200.4pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 216.6pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; text-align: left;">También están
publicados</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">(ver </span><a href="https://oeis.org/A048969"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A048969</span></a><span style="line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><br /></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Subcaso de cuadrados de primos</span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Observamos
que en el listado figuran cuadrados de primos, y todas las bases son primos del
tipo 6k+1, como ya se comprobó en el caso general.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
estos, SIGMA(n)=1+p+p</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">, con lo que ha de ser primo (1+p+p</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">)/3.
Además, al igual que p, deberá ser del tipo 6k+1:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">(1+6k+1+(6k+1)</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">)/3=(2+6k+36k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+12k+1)/3=12k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+6k+1.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es del
tipo deseado.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Podemos
construir una tabla que compare los valores de p con los de la media de sus
divisores, ambos primos del tipo 6k+1:</span></p>
<p align="center" class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1028" style="height: 181.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 118.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNu4sDKOHewkwQIHc5H0gQzzTImjkaMvQa1HRooVKQfJgKohg7CttsDE2kUXIvaWtIdnAl926bfwrodMGsZeIQe4saTPlepiD1bAmmeIxibvBIy3nE2kOgnOi2mpLkATs6qsteu8gzQZ-vWaneskLui6GELpnjUjdBAXSUUhaVqJU31vxQVQAeRrJbHcg/s242/ar3_4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="242" data-original-width="158" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNu4sDKOHewkwQIHc5H0gQzzTImjkaMvQa1HRooVKQfJgKohg7CttsDE2kUXIvaWtIdnAl926bfwrodMGsZeIQe4saTPlepiD1bAmmeIxibvBIy3nE2kOgnOi2mpLkATs6qsteu8gzQZ-vWaneskLui6GELpnjUjdBAXSUUhaVqJU31vxQVQAeRrJbHcg/s16000/ar3_4.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Los
promedios primos de la segunda columna están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A338299"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A338299</span></a><span style="line-height: 120%;">, y
los de la primera columna, en </span><a href="https://oeis.org/A240971"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A240971</span></a><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
esta página se comenta que, según la hipótesis de Schinzel, ambas sucesiones
tienen carácter infinito.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Subcaso de libres de cuadrados</span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Por
analogía con los AROLMAR, nos quedamos con los compuestos libres de cuadrados,
pero en este caso sólo hemos encontrado el número 6, aunque se ha buscado hasta
10^6.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso en el que el promedio es divisor del
número</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Otra
propiedad que pueden tener los números aritméticos es la de que el promedio de
sus divisores sea también un divisor. Los algoritmos que hemos usado hasta
ahora se pueden adaptar fácilmente a esta nueva propuesta. La función </span><i style="font-family: inherit;">esaritmetico</i><span style="font-family: inherit;"> puede quedar así:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Function
esaritmetico(n) As Boolean<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim
t, s, i, c</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">t =
0<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">s =
0<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">For
i = 1 To n<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If n
/ i = n \ i Then<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">t =
t + 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">s =
s + i<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End
If<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Next
i<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">c =
s / t<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If c
= Int(c) <u>And n / c = n \ c</u> Then esaritmetico = True Else esaritmetico =
False<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Ha
bastado añadir el trozo de código que está subrayado en el listado, y que
equivale a afirmar que el promedio de divisores es también un divisor. Con esta
función obtenemos los primeros ejemplos:</span></p>
<p align="center" class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1027" style="height: 127.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 302.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxSopvp2IJfDcw1ubKF3grit4V1SRIURTMndiS2fICeC8I1Sj0drjrazRFCcH7QPL1axTKWr0zUcXn9f-u54Kctj5Lx2bTRTrnWh1g_S3I3Brd1FIwDF9Wb-KOKydTGWjWDSgeqycOiYxmwvTv0j0Kj0rF26pEXRMpw7P9oS_zVifyQiETdClJLuYatNg/s403/ar3_5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="170" data-original-width="403" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxSopvp2IJfDcw1ubKF3grit4V1SRIURTMndiS2fICeC8I1Sj0drjrazRFCcH7QPL1axTKWr0zUcXn9f-u54Kctj5Lx2bTRTrnWh1g_S3I3Brd1FIwDF9Wb-KOKydTGWjWDSgeqycOiYxmwvTv0j0Kj0rF26pEXRMpw7P9oS_zVifyQiETdClJLuYatNg/s16000/ar3_5.png" /></a></div><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
la tabla figuran los valores de N, sus factores primos, el promedio de
divisores y el cociente de N entre el mismo, que ha de ser entero.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Este
procedimiento se puede adaptar al lenguaje PARI:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">is(n)={if(sigma(n)%numdiv(n)==0,m=sigma(n)/numdiv(n),return(0));return(n%m==0)}</span></span></i></b></p><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">for(i=2,10^6,if(is(i),print1(i,",
")))</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Nos
devolverá un listado ya publicado:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">6,
140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760,
55860, 105664, 117800, 167400, 173600, 237510, 242060, 332640, 360360, 539400,
695520, 726180, 753480,… (ver </span><a href="https://oeis.org/A007340"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A007340</span></a></span><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">)</span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Estos
promedios resultan ser números de Ore, en los que la media armónica de los
divisores también es entera. Los estudiaremos más adelante.</span></p>
<p class="StandardCxSpLast" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><a name="_Toc140835635" style="font-family: inherit; text-align: left;"><span lang="ES-TRAD"><b><span style="color: #660000;">Otros casos para el promedio</span></b></span></a></p>
<p class="StandardCxSpFirst" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Hemos
estudiado el caso en el que el promedio de divisores es primo, pero puede presentar
otra naturaleza, como cuadrado o triangular. Buscaremos algunos:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Promedio cuadrado</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
primeros números en los que el promedio de sus divisores es un cuadrado son;</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3LV7wAshdSVWRlmL6HXwtwm_nyuI2WG0ZCJPv8ODNAovU-AbsK9JfyghjLuzc8g-LYDnpM9ATiPj9q1ZvbKRSY8J0zl1UHfyDHh-dykHj90sAtgWiWkBFnzZoLpnnYoFt96XnStPu0u6i8STgJuIjVhNCUltF00T32QpcAwR0LIBwh4JLooagYa9CoVw/s348/ar3_6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="348" data-original-width="331" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3LV7wAshdSVWRlmL6HXwtwm_nyuI2WG0ZCJPv8ODNAovU-AbsK9JfyghjLuzc8g-LYDnpM9ATiPj9q1ZvbKRSY8J0zl1UHfyDHh-dykHj90sAtgWiWkBFnzZoLpnnYoFt96XnStPu0u6i8STgJuIjVhNCUltF00T32QpcAwR0LIBwh4JLooagYa9CoVw/s16000/ar3_6.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p align="center" class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1026" style="height: 261pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 248.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata cropbottom="3291f" o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Respecto
a su descomposición, observamos que figuran primos, semiprimos, no libres de
cuadrados y otros.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">El
caso de los primos está publicado y existe una expresión para ellos. Los
primeros son estos:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">7,
17, 31, 71, 97, 127, 199, 241, 337, 449, 577, 647, 881, 967, 1151, 1249, 1567,…</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">(</span><a href="https://oeis.org/A066436"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A066436</span></a><span style="line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Son
los primos de la forma 2n</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-1, como fácilmente se comprueba:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p)/2=n</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">,
luego p=2n</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-1.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
efecto, todos los términos, al sumarles una unidad y dividir entre 2 resultará
un cuadrado.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Promedio triangular</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Como
es un caso muy similar al anterior, omitiremos algunos pasos. Los primeros
términos de la sucesión son:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1,
5, 6, 11, 14, 15, 19, 27, 29, 38, 41, 54, 56, 65, 68, 71, 78, 89, 91, 92, 94,
96, 109, 115, 118, 119, 128, 131, 132, 138, 140, 145, 154, 165, …<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Y
los primos contenidos en la sucesión:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">5,
11, 19, 29, 41, 71, 89, 109, 131, 181, 239, 271, 379, 419, 461, 599, 701, 811,
929, 991, 1259, 1481, 1559, 1721, 1979,…(</span> <a href="https://oeis.org/A002327"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A002327</span></a><span style="line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Dejamos
com ejercicio comprobar que todos tienen la forma </span><b style="font-family: inherit;">n<sup>2</sup>-n-1</b><span style="font-family: inherit;">. Por ejemplo: 11=4</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-4-1, 599=25</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-25-1.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Promedio oblongo</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
este caso nos dedicaremos tan solo a los números primos cuyo promedio de
divisores tenga la forma n(n-1), que es un número oblongo.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
primeros en cumplir esta condición son:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">3,
11, 23, 59, 83, 179, 263, 311, 419, 479, 683, 839, 1103, 1511, 2111, 2243,
2663, 2963, 3119</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">También
están publicados, pero con otras definiciones, en </span><a href="https://oeis.org/A098828"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A098828</span></a><span style="line-height: 120%;">.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
realidad, existen diversas expresiones que los identifican, además de ser
primos aritméticos con promedio de divisores oblongo. Estudiamos alguna:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p)/2=n(n-1),
luego <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p=2n<sup>2</sup>-2n-1</b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Esta
condición los identifica de forma algebraica. Por ejemplo, 839=</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">=2*21<sup>2</sup>-2*21-1.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Si
la escribimos como p=2n(n-1)-3, observaremos que el primer sumando es múltiplo
de 4, con lo que todos los términos de la sucesión será primos del tipo 4k+3.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">La
condición que figura en A098828, como la diferencia </span><b style="font-family: inherit;">p=3x<sup>2</sup>-y<sup>2</sup></b><span style="font-family: inherit;">, siendo x e y consecutivos, resulta
de inmediato:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">2n<sup>2</sup>-2n-1=3n<sup>2</sup>-(k+1)<sup>2<o:p></o:p></sup></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Por
ejemplo, 419=3*15</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-16</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><br /></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Otros tipos</b><o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><i>Números
de Fibonacci</i></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Estos
son los primeros números cuyo promedio de divisores pertenece a la sucesión de
Fibonacci:</span></p><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">1,
3, 5, 6, 21, 41, 45, 65, 67, 68, 78, 96, 109, 382, 497, 517, 527, 658, 682,
705, 759, 805, 930, 966, 1155, 1557, 1973, 3211, 3653 (</span><a href="https://oeis.org/A272440" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A272440</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">)</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Entre
ellos se encuentran términos de esa sucesión: 1, 3, 5, 21.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><i>Cubos</i></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Existen
muchos ejemplos de promedios cúbicos:</span></p>
<p align="center" class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 267.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 204pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjycxHFPFGz3X6S7pqStnVBZb3pAjoRS0ernyRA9UEuscD5i_t2H5UofJnO662kmhYDklQCQWpNh5XKc0DBy1jTR3XliaNPdsvxl0RxR8WfZCeb4H5NCw_IUREvHsddMRbmvKycbd_bjsZo8qpJuI3Vk8pzDz4NTWD9mNjWgUUsGsz6GBOQnqvRwlzdtQs/s357/ar3_7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="357" data-original-width="272" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjycxHFPFGz3X6S7pqStnVBZb3pAjoRS0ernyRA9UEuscD5i_t2H5UofJnO662kmhYDklQCQWpNh5XKc0DBy1jTR3XliaNPdsvxl0RxR8WfZCeb4H5NCw_IUREvHsddMRbmvKycbd_bjsZo8qpJuI3Vk8pzDz4NTWD9mNjWgUUsGsz6GBOQnqvRwlzdtQs/s16000/ar3_7.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Curiosamente,
en los primeros ejemplos no figura el cubo de 5, 125. Ignoramos la razón.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Destaca
el número 9261, cubo de 21, cuyo promedio, 1000, es también un cubo..</span></p>
<p class="StandardCxSpLast" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="color: #c00000; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-57061896563401950962023-10-19T18:52:00.001+02:002023-10-19T18:52:00.140+02:00Tríos de consecutivos con la misma suma<p> </p><p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">El
día 5/09/2023 publiqué esta igualdad en Twitter (o X):</span></p>
<p class="Standard"><i><span style="font-family: inherit;">5923 es el inicio de una suma de primos consecutivos que equivalen
a otra suma de cuadrados consecutivos:</span></i></p>
<p class="Standard"><i><span style="font-family: inherit;">5923+5927+5939=76^2+77^2+78^2</span></i></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Aunque era una propiedad particular relacionada con la fecha, me
interesó su generalización como forma de practicar algoritmos y por la
posibilidad de crear igualdades similares con otros tipos de números.</span></p>
<p class="Standard"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Ideas previas</span></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Para encontrar este tipo de igualdades se podría comenzar
recorriendo las sumas de consecutivos del primer tipo y después buscar otro
trío del segundo tipo que coincida en la suma con ellos. Después de una
reflexión pausada quedó claro que era preferible recorrer los posibles tríos de
las dos clases de forma paralela y alternada, como una persecución mutua:</span></p>
<p class="Standard"><i><span style="font-family: inherit;">Sucesiones de persecución</span></i></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Podemos comenzar con los tríos más pequeños de cada clase. En el
ejemplo serían s=2+3+5=10 y t=1+4+9=14, donde la variable </span><b style="font-family: inherit;">s</b><span style="font-family: inherit;"> representa
las sumas de primos y </span><b style="font-family: inherit;">t</b><span style="font-family: inherit;"> la de cuadrados. Es claro que s<t, por lo que
convendría avanzar hasta el siguiente trío de primos, 3+5+7=15. Ahora t<s,
por lo que toca avanzar los cuadrados, t=4+9+16=29.</span></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Ya se entiende el procedimiento elegido. Los siguientes pasos
serían: s=5+7+11=23, s=7+11+13=31, t=9+16+25=50, s=11+13+17=41, s=13+17+19=49,
s=17+19+23=59,...Le llamaremos persecución mutua, porque la suma pequeña
siempre perseguirá a la mayor.</span></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Tardaríamos en encontrar una coincidencia. La primera se produce
en la siguiente igualdad:</span></p>
<p class="Standard"><b style="font-family: Arial, "sans-serif"; font-size: 14pt;">1511+1523+1531=38<sup>2</sup>+39<sup>2</sup>+40<sup>2</sup></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">La distancia entre soluciones nos indica la conveniencia de un
algoritmo para hoja de cálculo, que automatice el proceso, y es nuestro
objetivo principal.</span></p>
<p class="Standard"><i><span style="font-family: inherit;">Coincidencia entre sumas</span></i></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Si se consigue una coincidencia como la anterior, deberemos
publicar la solución, con al menos el sumando inicial de cada trío y el valor
de la suma. Avanzaremos un paso uno de los tríos coincidentes, y reanudaremos
la persecución mutua.</span></p>
<p class="Standard"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Estructura del algoritmo</span></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;"><b><span style="color: #0c343d;">Definiciones previas</span></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">(A) Necesitaremos dos funciones que hagan avanzar, tanto los
primos como los cuadrados, al próximo número del mismo tipo. Usaremos </span><b style="font-family: inherit;"><i>prox2</i></b><span style="font-family: inherit;">
para los primos y </span><b style="font-family: inherit;"><i>prox1</i></b><span style="font-family: inherit;"> para los cuadrados:</span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="font-family: inherit;">function prox1(n)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">dim m</span></i></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">m=n+1<br />
while not escuad(m):m=m+1:wend<br /></span></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">prox1=m<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">end function</span></i></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="font-family: inherit;">function prox2(n)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">dim m</span></i></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="font-family: inherit;">m=n+1<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">while not esprimo(m):m=m+1:wend<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">prox2=m<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">end function</span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Tienen la misma estructura, pero la primera usa la función e</span><i style="font-family: inherit;">scuad
</i><span style="font-family: inherit;">y la segunda </span><i style="font-family: inherit;">esprimo</i><span style="font-family: inherit;">. Ambas avanzan los números de uno en uno hasta
llegar al siguiente cuadrado o primo.</span></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">(B) Los tríos los representaremos como un vector de tres
dimensiones, sean a(3) y b(3). De esta forma, los tríos avanzaran así:
a(1)=a(2), a(2)=a(3), a(3)=prox(a(3)), e igual con el vector b. Estos avances
se producirán en uno u otro vector según sean las sumas, que almacenaremos en
las variables s y t.</span><span style="font-family: inherit;"> </span></p>
<p class="Standard"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">También definiremos el tope de la búsqueda, que si es muy grande
ralentizará el proceso. Usaremos la suma de los tríos para controlar el final
del algoritmo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">(C) Fases del algoritmo:</span></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">•<span style="font-stretch: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">Se inician las variables<br /></span><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">•<span style="font-stretch: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">Los tríos comienzan a avanzar con el criterio de que el que tenga
menor suma avanza.<br /></span><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">•<span style="font-stretch: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">Si coinciden las sumas, se publican los resultados y se sigue el
avance alternativo.<br /></span><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">•<span style="font-stretch: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="font-family: inherit; text-indent: 0cm;">Se continúa hasta que la suma llega a un tope.</span></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">Esto se puede traducir a cualquier lenguaje de programación, pero
aquí usamos las hojas de cálculo. Los procedimientos </span><b style="font-family: inherit;"><i>leecelda </i></b><span style="font-family: inherit;">y </span><b style="font-family: inherit;">escribecelda</b><span style="font-family: inherit;">
son propios del autor, pero se pueden sustituir fácilmente en la hoja de
cálculo que se use.</span></p>
<p class="Standard"><b><span style="font-family: inherit;"><br /></span></b></p><p class="Standard"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Código en Vbasic</span></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="font-family: inherit;">sub trios()</span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">‘Se dimensionan sumas, tope y vectores de los tríos<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">dim a(3), b(3)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">dim tope, s, t, fila</span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">‘Se inician las variables y vectores</span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="font-family: inherit;">tope=leecelda(3,5,2)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">s=0:t=0:fila=4<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">a(1)=prox1(0):a(2)=prox1(a(1)):a(3)=prox1(a(2)):s=a(1)+a(2)+a(3)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">b(1)=prox2(0):b(2)=prox2(b(1)):b(3)=prox2(b(2)):t=b(1)+b(2)+b(3)</span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">'Puede darse
igualdad inicial</span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">If s = t Then<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard"><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">'Se publican resultados<b><o:p></o:p></b></span></span></i></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">fila = fila + 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Call escribecelda(3, 3, fila, s)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Call escribecelda(3, 4, fila, a(1))<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">Call escribecelda(3, 5, fila, b(1))<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">a(1) = a(2): a(2) = a(3): a(3) = prox1(a(3)): s = a(1) + a(2) +
a(3)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">End If</span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">‘El proceso continuará hasta que la suma alcance un tope<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="font-family: inherit;">while s<=tope and t<=tope</span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">‘Si s<t, avanza el primer trío</span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">while s<t<br /></span></i></b><i><span style="font-family: inherit;"><b>a(1)=a(2):a(2)=a(3):a(3)=prox1(a(3)):s=a(1)+a(2)+a(3)<br /></b></span></i><span style="font-family: inherit;">‘Se ha producido coincidencia</span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">if s=t then<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">‘Se publican resultados<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">fila=fila+1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">escribecelda(3,3,fila,s)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">escribecelda(3,4,fila,a(1)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">escribecelda(3,5,fila,b(1))<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">a(1)=a(2):a(2)=a(3):a(3)=prox1(a(3)):s=a(1)+a(2)+a(3)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">end if</span></i></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">wend<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">‘Avanza el segundo trío</span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">while t<s<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard"><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;"><b>b(1)=b(2):b(2)=b(3):b(3)=prox2(b(3)):t=b(1)+b(2)+b(3)<br /></b></span></span></i><span style="font-family: inherit;">‘Se ha producido coincidencia</span></p>
<p class="Standard"><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;"><b>if s=t then<br /></b></span></span></i><span style="font-family: inherit;">‘Se publican resultados</span></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">fila=fila+1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">escribecelda(3,3,fila,s)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">escribecelda(3,4,fila,a(1))<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">escribecelda(3,5,fila,b(1))<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">b(1)=b(2):b(2)=b(3):b(3)=prox2(b(3)):t=b(1)+b(2)+b(3)<br /></span></i></b><b><i><span style="font-family: inherit;">end if</span></i></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">wend<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="font-family: inherit;">wend</span></i></b></p>
<p class="Standard"><b><i><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">end sub<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">A pesar de su complejidad, este
algoritmo es razonablemente rápido. En pocos segundos, en un equipo antiguo,
nos da los primeros resultados:</span></p>
<p class="Standard"><b><span style="color: black;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjf4oSxVQNhmgneSPzqYGHRBlwLgvLS_qVancNMS8symOWaVWM4mbPuRnbEowEZMjE4nKG97DPnd5rSkx1rFypx4JDaeaiiUV59FaNgxGcpYbVB4Yzuk7kfpnnkx56ELEd2Hl4ZECAm8WdEAnsyV3MyFljl0vKkeKhzFjGKDCMjh-CZgoonpT_8xV9ZXrg/s435/perse1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="239" data-original-width="435" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjf4oSxVQNhmgneSPzqYGHRBlwLgvLS_qVancNMS8symOWaVWM4mbPuRnbEowEZMjE4nKG97DPnd5rSkx1rFypx4JDaeaiiUV59FaNgxGcpYbVB4Yzuk7kfpnnkx56ELEd2Hl4ZECAm8WdEAnsyV3MyFljl0vKkeKhzFjGKDCMjh-CZgoonpT_8xV9ZXrg/s16000/perse1.png" /></a></p><p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">La tercera columna, la de los primos
iniciales, está publicada en </span><a href="https://oeis.org/A298223" style="font-family: inherit;">https://oeis.org/A298223</a><span style="font-family: inherit;">. Es
interesante estudiar su algoritmo en PARI, porque aprovecha las propiedades
algebraicas de los cuadrados. Aquí nuestro interés es usar un algoritmo
general, y por eso no lo hemos aprovechado.</span></p>
<p class="Standard"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Otros ejemplos de comprobación</span></b></p>
<p class="Standard"><i><span style="font-family: inherit;">Cuadrados
y libres de cuadrados</span></i></p>
<p class="Standard"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></i></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtBEb1JajXFUvb-xoqecAKiWGEF5x8SDkN25Udt3FrEOGP1JnLqzCHNWxsW36yeo9h-PJnK6SmoOSf0mirHkiMtTBvjsZl6MCu4GK-X4ntQ6BuZkzKHfnwJgKJp2vLzCX66QyJcz_bT8JkYgdWqrAU4vXuFbSAooQMn4pOir-7hdYmxbR66QV1BlokSHE/s282/perse2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="249" data-original-width="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtBEb1JajXFUvb-xoqecAKiWGEF5x8SDkN25Udt3FrEOGP1JnLqzCHNWxsW36yeo9h-PJnK6SmoOSf0mirHkiMtTBvjsZl6MCu4GK-X4ntQ6BuZkzKHfnwJgKJp2vLzCX66QyJcz_bT8JkYgdWqrAU4vXuFbSAooQMn4pOir-7hdYmxbR66QV1BlokSHE/s16000/perse2.png" /></a></span></i></div><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i><p></p>
<p class="Standard"><span style="font-family: inherit;">La suma 14, por ejemplo, proviene de
14=1</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+2</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+3</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">=3+5+6</span></p>
<p class="Standard"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">Primos
y triangulares<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="Standard"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></i></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuqWO8q3EHScEi7LU2fV5bv8tZqDYWYmHQ1c1A3UcwhApPOgLEN1ra3c7igMcUCK2oTZLsAWa-4hH00ejR4dEoYENXimUd4KDP791YTUUdY6jRrcjxfPmJfyxT9sUhYjPETRobcwpd_GdbfU1GNjtFvHCqzShJLE95YI_bembP0dkKmmZoAmrXvtwA2vY/s279/perse3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="228" data-original-width="279" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuqWO8q3EHScEi7LU2fV5bv8tZqDYWYmHQ1c1A3UcwhApPOgLEN1ra3c7igMcUCK2oTZLsAWa-4hH00ejR4dEoYENXimUd4KDP791YTUUdY6jRrcjxfPmJfyxT9sUhYjPETRobcwpd_GdbfU1GNjtFvHCqzShJLE95YI_bembP0dkKmmZoAmrXvtwA2vY/s16000/perse3.png" /></a></span></i></div><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i><p></p>
<p class="Standard"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, 31 proviene de
31=7+11+13=6+10+15</span></span></p><p class="Standard"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></p>
<p class="Standard"><span style="color: black;"><span style="font-family: inherit;">Como deseábamos un algoritmo general,
con estos ejemplos queda claro que funciona.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard"><span style="color: black;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-6660304928341901762023-10-09T17:00:00.001+02:002023-10-09T17:00:00.136+02:00Números aritméticos (2) - Distribución y tipos<p><span style="font-family: inherit;">Esta es la segunda entrada dedicada a los números aritméticos. Puedes consultar al anterior, porque son consecutivas.</span></p><p><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Distribución</span></b></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Basta observar los listados de aritméticos para
comprobar que es relativamente frecuente encontrar aritméticos consecutivos, o
bien diferenciados en dos unidades o en tres, por lo que este estudio de
pequeñas diferencias carecería de interés. De hecho, Paul Erdös y tres
colaboradores hicieron notar que el conjunto de los aritméticos tiene densidad
1<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(ver </span><span lang="ES-TRAD"><a href="https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/31.pdf"><span lang="ES" style="color: windowtext; line-height: 120%;">https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/31.pdf</span></a></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext;"><span style="font-family: inherit;">Nos dedicaremos, pues, al extremo opuesto, a aritméticos
consecutivos que se diferencien en varias unidades.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si exigimos que la diferencia sea mayor que 2, ya
observamos la poca frecuencia de este tipo de diferencias, como podemos
comprobar en esta tabla:<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTfFeAX9Fjog54btElY7m24I66MZt8NbltyM6Xp5v0mbLoE9FAGHWTXL-f8MsNZq72goHufKAmpLMfqksxQZ1cqWqr_Bn3YiTtrxScDl6Ud4GSq1efYPU6E_I5LkviFURnccEL2BaKxXwfgi0_dHW4QasUprL0gpDoP3osOI6UzpOHNinshcMfCIihylM/s192/ar2_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="138" data-original-width="192" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTfFeAX9Fjog54btElY7m24I66MZt8NbltyM6Xp5v0mbLoE9FAGHWTXL-f8MsNZq72goHufKAmpLMfqksxQZ1cqWqr_Bn3YiTtrxScDl6Ud4GSq1efYPU6E_I5LkviFURnccEL2BaKxXwfgi0_dHW4QasUprL0gpDoP3osOI6UzpOHNinshcMfCIihylM/s16000/ar2_1.png" /></a></span></div><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Sólo existen ocho pares con diferencias mayores que
3 entre los 200 primeros números. Podemos contar los que se presentan, por
ejemplo, entre los 10000 primeros, y nos resultarían pares de este tipo sólo
190. Como curiosidad, elaboraremos una tabla de intervalos:<o:p></o:p></span></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc0zXPg9HTiD1-DfuHv4fc25mD2tjTQdyBt21IEo8L9mcnq1Sltsrqo3RpeTVtZxkQkuNLsRCfp_C4OBuQ8vwC97S5Ksr5oajT3BwwA54tPmVeofNLzCRRU2vn76kv911hKUZXyVzpQqD9OkyO14GBW_rrZoHRvQ8OIr5zGtlIDfxHLdreB3W2L5pnkAw/s291/ar2_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="128" data-original-width="291" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc0zXPg9HTiD1-DfuHv4fc25mD2tjTQdyBt21IEo8L9mcnq1Sltsrqo3RpeTVtZxkQkuNLsRCfp_C4OBuQ8vwC97S5Ksr5oajT3BwwA54tPmVeofNLzCRRU2vn76kv911hKUZXyVzpQqD9OkyO14GBW_rrZoHRvQ8OIr5zGtlIDfxHLdreB3W2L5pnkAw/s16000/ar2_2.png" /></a></span></div><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1030" style="height: 96pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 218.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span><span style="color: windowtext;">Vemos que las frecuencias son estables con
tendencia a disminuir.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si nos vamos a diferencias mayores, las frecuencias
disminuyen bastante. Con las mayores que 3 baja a menos de la mitad, sobre 55
por cada 10000 y con mayores que 4 no llega a 10. Después, las diferencias
mayores son muy escasas. Por tanto, los aritméticos presentan diferencias muy
pequeñas, casi todas con valores 1, 2, 3 o 4.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dentro de las diferencias pequeñas, deberán ser más
escasas las ternas, los conjuntos de tres aritméticos ordenados que presenten
las mismas diferencias. Hemos encontrado estos casos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #0c343d;">Conjuntos de aritméticos consecutivos</span><span style="color: rgba(0, 0, 0, 0);"><o:p></o:p></span></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En un primer intento, con conjuntos de tres, resultan
muchas ternas<o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"></span></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj77-5P1b4-7pQM5Q2IFDyCm4uhw7RvxhsjT-EiWrrLkJswMeTNuwrsOSQ6_AuDmoHMc-79FFEaN9-j-Df_KsSaXQxNBA02_75a82OMG77wuba7-gRtKNtH2ckFGke1NsswmkMjH2PuDH2gP5fQt2pEH5Kwogf00xV0-eTRdU1oEaZ4cfQEMgog75VOQ_8/s297/ar2_3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="118" data-original-width="297" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj77-5P1b4-7pQM5Q2IFDyCm4uhw7RvxhsjT-EiWrrLkJswMeTNuwrsOSQ6_AuDmoHMc-79FFEaN9-j-Df_KsSaXQxNBA02_75a82OMG77wuba7-gRtKNtH2ckFGke1NsswmkMjH2PuDH2gP5fQt2pEH5Kwogf00xV0-eTRdU1oEaZ4cfQEMgog75VOQ_8/s16000/ar2_3.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;"><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext;"><br />Hemos advertido que en la terna (20, 21, 22) los
promedios de los divisores son también consecutivos, pues son 7, 8 y 9 respectivamente.</span></p></span></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">7=(1+2+4+5+10+20)/6, <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">8=(1+3+7+21)/4, <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">9=(1+2+11+22)/4<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Buscamos más ejemplos y no se han encontrado
ninguno más entre los números menores que 500000.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por curiosidad, hemos buscado conjuntos de cuatro
consecutivos y también son muy frecuentes, por lo que no estiramos el tema.
Queda abierta una línea de búsqueda.<o:p></o:p></span></span></p>
<h3 style="text-align: justify;"><a name="_Toc140835633"><span lang="ES-TRAD"><span style="color: #660000; font-family: inherit; font-size: small;">Tipos
de aritméticos</span></span></a></h3>
<p class="StandardCxSpFirst" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d;">Números cuadrados</span></span></b></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Si
combinamos la función <i>esaritmetico</i> con la de <i>escuad</i> (muy usada en nuestras publicaciones y en el blog)
encontraremos los números aritméticos cuadrados:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-7PFWxHIIjLsr4Kzz8i8aUMu7N6HOmCP988or9EWb45D_PQQvrEKHqaDrPmak8dmh57MiUyTM97Y6PvZ3bBxe0UHCjnpv5xJQGepx4suqbH0a9hmWjks0odMuq7svj1vC3jh1Y_jJOHGhuqmAEXo4ruTnZFHOIGIOWtYS2D40ENh6yQdyAzcfI-Bac4w/s277/ar2_4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="119" data-original-width="277" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-7PFWxHIIjLsr4Kzz8i8aUMu7N6HOmCP988or9EWb45D_PQQvrEKHqaDrPmak8dmh57MiUyTM97Y6PvZ3bBxe0UHCjnpv5xJQGepx4suqbH0a9hmWjks0odMuq7svj1vC3jh1Y_jJOHGhuqmAEXo4ruTnZFHOIGIOWtYS2D40ENh6yQdyAzcfI-Bac4w/s16000/ar2_4.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><v:shape id="Imagen4" o:spid="_x0000_s1027" style="height: 89.4pt; left: 0; margin-left: 0; margin-top: 0; mso-height-percent: 0; mso-height-percent: 0; mso-height-relative: margin; mso-position-horizontal-relative: text; mso-position-horizontal: center; mso-position-vertical-relative: text; mso-position-vertical: top; mso-width-percent: 0; mso-width-percent: 0; mso-width-relative: margin; mso-wrap-distance-bottom: 0; mso-wrap-distance-left: 9pt; mso-wrap-distance-right: 9pt; mso-wrap-distance-top: 0; mso-wrap-style: square; position: absolute; text-align: left; visibility: visible; width: 208.2pt; z-index: 251664384;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata cropbottom="30348f" cropleft="16455f" cropright="32689f" croptop="23727f" o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png"><span style="font-family: inherit;">
<w:wrap type="square">
</w:wrap></span></v:imagedata></v:shape><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span>Con
PARI llegamos más lejos en pocos segundos:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span><b><i><span style="line-height: 120%;">aritm(n)={sigma(n)%numdiv(n)==0}<br /></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;">is(n)={aritm(n)&&issquare(n)}<br /></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;">for(i=1,100000,if(is(i),print1(i,",
")))</span></i></b></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">1,
49, 169, 361, 961, 1369, 1849, 3721, 4489, 5329, 6241, 8281, 9409, 10609,
11881, 14641, 16129, 17689, 19321, 22801, 24649, 26569, 32761, 37249, 39601,
44521, 47089, 49729, 52441, 58081, 61009, 67081, 73441, 76729, 80089, 87616,
90601, 94249, 97969,…</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">Están
publicados en </span><a href="https://oeis.org/A277793"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A277793</span></a><span style="line-height: 120%;">,
con el añadido de que la media geométrica de los divisores es también entera.
Esta última propiedad es típica de los cuadrados, porque en ellos la media
geométrica es la raíz cuadrada del número.</span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">El
caso más sencillo es el de un primo al cuadrado. Podemos demostrar fácilmente
que si el primo es de tipo 6n+1, su cuadrado es aritmético, y no lo será en el
caso 6n+5. En efecto, en ambos casos TAU vale 3, ya que los divisores son 1, p
y p<sup>2</sup>, y SIGMA se comporta de forma diferente en cada tipo:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: left;"><span style="font-family: inherit;">1) SIGMA(p)=p<sup>2</sup>+p+1=(6n+1)<sup>2</sup>+6n+1+1=36n<sup>2</sup>+12n+1+6n+1+1=36n<sup>2</sup>+18n+3,
claramente múltiplo de 3, que es el valor de TAU.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: left;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">2) SIGMA(p)=p<sup>2</sup>+p+1=(6n+5)<sup>2</sup>+6n+5+1=36n<sup>2</sup>+60n+25+6n+5+1=36n<sup>2</sup>+66n+31,
no divisible<span style="mso-tab-count: 1;"> </span> entre 3.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
la siguiente tabla (salvo el caso de 14641, que es una cuarta potencia)
observamos que todos los números primos involucrados son del tipo 6n+1 (el 2
que figura en los corchetes es su exponente):</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNDmdVTaAhsA1LjqVKdA6wZJ87c-zhBFfla5jDmK1ze-cWOl2MW8aO6o6pOf2rKMnoLJjpD5EBmgl4Du19l0PafVHYOtWY5x1pdZ3mT7e43nrkkJxevf9ZwQJRv-ifHNbPxFsAnPTtYtWLlscozyfjBTLGu9eQg8LgCOG6tU9-9OY3RxDjyNDF7dU0e-Q/s315/ar2_5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="315" data-original-width="235" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNDmdVTaAhsA1LjqVKdA6wZJ87c-zhBFfla5jDmK1ze-cWOl2MW8aO6o6pOf2rKMnoLJjpD5EBmgl4Du19l0PafVHYOtWY5x1pdZ3mT7e43nrkkJxevf9ZwQJRv-ifHNbPxFsAnPTtYtWLlscozyfjBTLGu9eQg8LgCOG6tU9-9OY3RxDjyNDF7dU0e-Q/s16000/ar2_5.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
la tabla figuran también los productos de cuadrados de primos cuando son del
tipo 6n+1, como 8281 y 17689.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Podemos
construir más aritméticos cuadrados si multiplicamos factores primos del tipo
6n+1, como sería, por ejemplo, 2989441=7<sup>2</sup>*13<sup>2</sup>*19<sup>2</sup>,
que hemos comprobado su carácter con la función <i>esaritmetico</i>.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;">Aritméticos triangulares</span></span></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Si
usamos las funciones <i>esaritmetico</i> y <i>estriangular</i> simultáneamente, obtenemos
los primeros números de este tipo:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1027" style="height: 250.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 231.6pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwBg2kONhY1Gd1s942yZEBYHuU3V6gPRl5MRkyzhPoQoWrXX0npYoUKe_IZv3Z_U3V-ve1124831ru7bL8lv7mMfblmxe7RN0oIpCdFbHtlj6OprYuuyu3K9Cb2uKgP7unZaS98WnYD9-aiO7jTolU4et8gsoFkDx6gXVptnGwwOZTvzT3Yx_sil-Eeqk/s334/ar2_6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="334" data-original-width="309" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwBg2kONhY1Gd1s942yZEBYHuU3V6gPRl5MRkyzhPoQoWrXX0npYoUKe_IZv3Z_U3V-ve1124831ru7bL8lv7mMfblmxe7RN0oIpCdFbHtlj6OprYuuyu3K9Cb2uKgP7unZaS98WnYD9-aiO7jTolU4et8gsoFkDx6gXVptnGwwOZTvzT3Yx_sil-Eeqk/s16000/ar2_6.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">No
es de extrañar su relativa abundancia, ya que todo triangular se puede
descomponer en dos factores primos entre sí (no es difícil razonarlo), lo que,
por la propiedad multiplicativa, facilita su carácter aritmético. Ocurre algo
similar con los números oblongos, que son los dobles de los triangulares.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpLast" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;">Aritméticos libres de cuadrados</span></span></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Este
tipo nos interesa en esta serie, pues veremos que contienen a nuestros números
<i>arolmar</i>. Bastará usar la función <i>esaritmetico</i>
y combinarla con la igualdad PARTECUAD(N)=1. Con ellas obtenemos la sucesión</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">1,
3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">21</b>,
22, 23, 29, 30, 31, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">33</b>, 35, 37, 38,
39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">57</b>,
59, 61, 62, 65, 66, 67, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">69</b>, 70, 71,
73, 77, 78, 79, 83, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">85</b>, 86, 87, 89,
91, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">93</b>, 94, 95, 97, 101, 102, 103, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">105</b>, 107,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Hemos
destacado en negrita los arolmar.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Es
fácil obtenerlos con el Buscador de Naturales:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_s1026" style="height: 138.6pt; left: 0; margin-left: 20.45pt; margin-top: 10.6pt; mso-height-percent: 0; mso-height-percent: 0; mso-height-relative: page; mso-position-horizontal-relative: text; mso-position-horizontal: absolute; mso-position-vertical-relative: text; mso-position-vertical: absolute; mso-width-percent: 0; mso-width-percent: 0; mso-width-relative: page; mso-wrap-distance-bottom: 0; mso-wrap-distance-left: 9pt; mso-wrap-distance-right: 9pt; mso-wrap-distance-top: 0; mso-wrap-style: square; position: absolute; text-align: left; visibility: visible; width: 286.8pt; z-index: 251666432;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.png"><span style="font-family: inherit;">
<w:wrap type="square">
</w:wrap></span></v:imagedata></v:shape><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></b></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZmzuFZvVoadqaZpJjA4335eLetgSiaF8WzvfXmp6XtM5hWBXZGm9f1O07UsDVJ07zzS21WYG9roTRumF9aQb0pguG6xSY7kNOPsBLWVYY91zUb1dWi8DvZ86FaBfmcRX5OQnJzswe2GnGvmcqef5bsvByuMMt1LYFifo9n1RCVoh1LniY8CjVi49BJqY/s382/ar2_7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="185" data-original-width="382" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZmzuFZvVoadqaZpJjA4335eLetgSiaF8WzvfXmp6XtM5hWBXZGm9f1O07UsDVJ07zzS21WYG9roTRumF9aQb0pguG6xSY7kNOPsBLWVYY91zUb1dWi8DvZ86FaBfmcRX5OQnJzswe2GnGvmcqef5bsvByuMMt1LYFifo9n1RCVoh1LniY8CjVi49BJqY/s16000/ar2_7.png" /></a></span></b></div><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></b><p></p>
<p class="StandardCxSpLast" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span></b><b><span style="line-height: 120%;">Otros tipos de aritméticos</span></b></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span></b>Repasamos
brevemente algunos otros tipos de aritméticos </span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><b><span style="font-family: inherit;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: windowtext;"><o:p> </o:p></span></i><i><span style="line-height: 120%;">Aritméticos oblongos</span></i></span></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span></b>La
segunda columna representa la descomposición factorial y la tercera su orden
como oblongo.</span></p>
<p class="StandardCxSpLast" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1026" style="height: 247.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 208.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtVRNeFK_5UQYwXB-wAAHg_ZvYFovpFNAhNsDSLfIvJSNHqNy4d9BuTcWU_NlbbUGT6Rz7_8XeA4euk6yj6FNDa0pQ4r891PjWiqd3SJ9cECULm2knTtYX85H9buZlnfZbMT2I4kuwAK3PpmKnYuCwtZ4MVKk2dAmr6mC7WEW8gd4b0XZMciWfD9-dUjs/s330/ar2_8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="330" data-original-width="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtVRNeFK_5UQYwXB-wAAHg_ZvYFovpFNAhNsDSLfIvJSNHqNy4d9BuTcWU_NlbbUGT6Rz7_8XeA4euk6yj6FNDa0pQ4r891PjWiqd3SJ9cECULm2knTtYX85H9buZlnfZbMT2I4kuwAK3PpmKnYuCwtZ4MVKk2dAmr6mC7WEW8gd4b0XZMciWfD9-dUjs/s16000/ar2_8.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext;">También este caso y el siguiente
se pueden encontrar con el Buscador.</span><span style="color: windowtext;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span><i><span style="line-height: 120%;">Aritméticos cubos</span></i></span></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span>Son
más escasos que los anteriores:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjybeECJvS7GroOU1mY3o2YW1zHxcw4HtxwhFvKRxUiiH1k26KenCCeLdZELF7q-CLjczNikpqhiu_mZxc9dfmfYm0t0jlmMDEodvYr6EyiolWt-g26oDVGC16FIVqXvFDM1cq9RNH2c45s37X16svzUCurmeI_TtYuz2AydxcYoWMiU4U-OChMCSe-r1E/s286/ar2_9.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="286" data-original-width="187" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjybeECJvS7GroOU1mY3o2YW1zHxcw4HtxwhFvKRxUiiH1k26KenCCeLdZELF7q-CLjczNikpqhiu_mZxc9dfmfYm0t0jlmMDEodvYr6EyiolWt-g26oDVGC16FIVqXvFDM1cq9RNH2c45s37X16svzUCurmeI_TtYuz2AydxcYoWMiU4U-OChMCSe-r1E/s16000/ar2_9.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 214.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 140.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image009.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Abundan
entre ellos los cubos de primos p<sup>3</sup>, en los que SIGMA(p<sup>3</sup>)=1+p+p<sup>2</sup>+p<sup>3</sup>,
y TAU(p<sup>3</sup>)=4</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Todos
los cubos de primos impares son aritméticos. Lo comprobamos con los dos tipos
de primos, 4k+1 y 4k-1:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: left;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA((4K+1)<sup>3</sup>)=(4k+1)<sup>3</sup>+(4k+1)<sup>2</sup>+4k+1+1=64k<sup>3</sup>+48k<sup>2</sup>+12k+1+16k<sup>2</sup>+8k+1+4k+1+1=64k<sup>3</sup>+64k<sup>2</sup>+24k+4,<br />que es múltiplo de 4, que es el valor de TAU.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA((4K-1)<sup>3</sup>)=(4k-1)<sup>3</sup>+(4k-1)<sup>2</sup>+4k-1+1=64k<sup>3</sup>-48k<sup>2</sup>+12k-1+16k<sup>2</sup>-8k+1+4k-1+1=64k<sup>3</sup>-32k<sup>2</sup>+8k+4,
también múltiplo de 4.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><o:p> </o:p></span>Puedes
comprobar que el número 2<sup>3</sup> no es aritmético.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Todos
los que tengan esos factores y que sean libres de cuadrados, por la propiedad
multiplicativa, también serán aritméticos.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Además
de ellos aparecerán otros con el factor 2, como 2744=2<sup>3</sup>*7<sup>3</sup>,
pero no de forma sistemática. </span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-23251537006952902992023-09-27T18:03:00.001+02:002023-09-27T18:03:00.162+02:00Números aritméticos (1) - Concepto y ejemplos<p><a name="_Toc140835631" style="font-family: inherit; text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD"><b><span style="color: #660000;">Concepto
y ejemplos</span></b></span></a></p><p><a name="_Toc140835631" style="font-family: inherit; text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD"><i>Con esta entrada comenzamos una serie dedicada a los números aritméticos. Su publicación podrá organizarse de forma consecutiva, o bien, por necesidades de actualidad, ser intercalada con entradas dedicadas a otros temas.</i></span></a></p>
<p class="StandardCxSpFirst" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
números aritméticos son aquellos en los que el promedio de sus divisores
positivos es un número entero. Expresado de otra forma, aquellos en los que su
función TAU (número de divisores) divide a su función SIGMA (suma de
divisores). Su similitud con nuestros números AROLMAR nos ha motivado a
estudiarlos.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">(ver
</span><a href="http://www.hojamat.es/publicaciones/arolmar.pdf" style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%; text-decoration-line: none;">http://www.hojamat.es/publicaciones/arolmar.pdf</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">)</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">El
interés de estos números no está en descubrirlos, ya que son abundantes, están
publicados (</span><a href="https://oeis.org/A003601" style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%; text-decoration-line: none;">https://oeis.org/A003601</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">) y
son fáciles de encontrar. Basta exigir que TAU(N) divida a SIGMA(N). Ambas
funciones las puedes encontrar implementadas para hoja de cálculo en este blog
y en nuestras publicaciones. Aquí nos interesaran más sus distintos tipos y
propiedades.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
la siguiente tabla hemos organizado una búsqueda:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgojbFQjYGC4C9vqXeZMu9Bf2c420Hmc95Y-WEEeAdM0jyQpfZRTI5i3FTovxZDpIz7F39peu5fEDM8JfBHGFS8qU5zOidwiWfB4hRZbeF0ifG2QxU3td0Bl9oFjixSGO4xMeu5A96ZYYFwBfpYXpVm6hVIuGDzbI81HnDmw9aHqHbEn0K_5rHAAv8LjZg/s230/ar1_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="226" data-original-width="230" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgojbFQjYGC4C9vqXeZMu9Bf2c420Hmc95Y-WEEeAdM0jyQpfZRTI5i3FTovxZDpIz7F39peu5fEDM8JfBHGFS8qU5zOidwiWfB4hRZbeF0ifG2QxU3td0Bl9oFjixSGO4xMeu5A96ZYYFwBfpYXpVm6hVIuGDzbI81HnDmw9aHqHbEn0K_5rHAAv8LjZg/s16000/ar1_1.png" /></a></span></div><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Observamos
que son aritméticos 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14 y 15.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
primeros, ya publicados, son:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">1,
3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37,
38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62,
65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94,
95, 96, 97, 99, 101, 102, 103, 105,...</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Para
quienes no tengan interés en las dos funciones SIGMA y TAU, adjuntamos una
sencilla función en Vbasic para Excel y Calc:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b style="text-align: left;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">function
esaritmetico(n) as boolean</span></span></i></b></p><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">
dim t,s,i,c</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="line-height: 120%;">t=0 </span></i></b><span style="line-height: 120%;">'variable
para TAU<br />
<b><i>s=0 </i></b>'variable para SIGMA<br />
<b><i>for i=1 to n<br />
if n/i=n\i then </i></b>'se trata de un divisor<br />
<b><i>t=t+1 </i></b>'incrementa TAU<br />
<b><i>s=s+i </i></b>'incrementa SIGMA<br />
<b><i>end if<br />
next i<br />
c=s/t</i></b>' cociente entre SIGMA y TAU<br />
<b><i>if c=int(c) then esaritmetico=true else<br />
esaritmetico=false<br />
End function<o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Aplicando
esta función a cualquier buscador obtenemos la lista de números aritméticos.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Por
ejemplo, esta es la lista de ellos entre 1000 y 1020:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQlYUPSw9b1X6sBOi0TrtC32EQDRq_4R6ZUVjIWt8DmyJTT1biO7BOxvnJQ38PpIgGdBngrCFg6ALzSIi1HceujUdXROxXxtlAW2REER1rJyfrTxIT2HLI3Sw51mCG3_N4w3kc5DT0lwehN67Ft4JcMQj_O4v7L4Ve8hB0M_V4XZ5WGREUTqRkRyoR3AY/s282/ar1_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="259" data-original-width="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQlYUPSw9b1X6sBOi0TrtC32EQDRq_4R6ZUVjIWt8DmyJTT1biO7BOxvnJQ38PpIgGdBngrCFg6ALzSIi1HceujUdXROxXxtlAW2REER1rJyfrTxIT2HLI3Sw51mCG3_N4w3kc5DT0lwehN67Ft4JcMQj_O4v7L4Ve8hB0M_V4XZ5WGREUTqRkRyoR3AY/s16000/ar1_2.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Observamos
que casi todos los números de ese rango son aritméticos. Más adelante
combinaremos esta función </span><i style="font-family: inherit;">esaritmetico</i><span style="font-family: inherit;"> con otras, para buscar
propiedades interesantes.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Para
búsquedas con PARI, la mejor función es la publicada en OEIS:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b style="font-family: inherit; text-align: left;"><i><span style="line-height: 120%;">is(n)=sigma(n)%numdiv(n)==0</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%; text-align: left;"> \\
Charles R Greathouse IV, Jul 10 2012</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En la
siguiente imagen se ha usado esta función en la página oficial de PARI, para
comprobar el listado</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">anterior:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhthYT2PyKDUGF1I5ebcX8fXuwsRhHO6XDHG9V-wfekw4zEqD--Vt7gi8-6QQC3ukqEZebCCLgiU43LkTGRjdmT2zRVeDxbKPztVnPc1DIhcX5jNxCLRs2AUhyS7JDI1ZS3sV-arFswmiA-cT7a3ZE9tQtZ7GNhafIinmHikx30XvMypgT4qGG2pA2LVd8/s486/ar1_3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="127" data-original-width="486" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhthYT2PyKDUGF1I5ebcX8fXuwsRhHO6XDHG9V-wfekw4zEqD--Vt7gi8-6QQC3ukqEZebCCLgiU43LkTGRjdmT2zRVeDxbKPztVnPc1DIhcX5jNxCLRs2AUhyS7JDI1ZS3sV-arFswmiA-cT7a3ZE9tQtZ7GNhafIinmHikx30XvMypgT4qGG2pA2LVd8/s16000/ar1_3.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0000_i1029" style="height: 95.4pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 364.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">A
nivel elemental es adecuado el uso de nuestro Buscador de Naturales</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">(</span><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">)</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLRJGnb0msOni9WIFkRCX_GXGDkfCcaus5G62dnizSEsPANkzh6Xxjvd3ML5-3h4Vn3Ik_jQRZJTouY5fKGcTcRQxen4H_Vg1QarMpVn4G4lqOYOgzbY_ZcacWpnl4VdiBjJTq9pVNoYrvRgsYuyA3wqo2fLKTcNF-UiGrcw4C2J3-QI-U2E5bd_HgaZU/s426/ar1_4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="187" data-original-width="426" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLRJGnb0msOni9WIFkRCX_GXGDkfCcaus5G62dnizSEsPANkzh6Xxjvd3ML5-3h4Vn3Ik_jQRZJTouY5fKGcTcRQxen4H_Vg1QarMpVn4G4lqOYOgzbY_ZcacWpnl4VdiBjJTq9pVNoYrvRgsYuyA3wqo2fLKTcNF-UiGrcw4C2J3-QI-U2E5bd_HgaZU/s16000/ar1_4.png" /></a></span></div><p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><br /></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Se
entiende fácilmente la condición impuesta.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><br /></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Carácter multiplicativo</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Para
entender algunas cuestiones que seguirán, hay que recordar que las funciones
SIGMA y TAU son multiplicativas, es decir, que en ellas se cumple la igualdad
fundamental de este tipo de funciones, que es</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">F(a*b)=F(a)*F(b)</span></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"> si
a y b son primos entre sí.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Puedes
consultar la teoría de estas funciones en nuestra publicación “Funciones
multiplicativas” (</span><a href="http://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">http://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">)</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Se
puede construir un pequeño esquema con Excel o Calc para comprobar esta
propiedad:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzmN5fK2bGN4ihHm17Wsz5KoLbjefiqD3yC1jzay8tEFR7MGjFYkXq2bk_r1_ut4ubHxHKSmUjC61FHxaxocKxMGxbo6mUOmwN8hXOWnXocgp5QoKJ5UtW285mAzg6d7hlyTPaM_izjrXhPBEqKe-QIuJjBwKhW6SONudlUNLxkpp2NPe4KLvdpPbhV6g/s248/ar1_5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="90" data-original-width="248" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzmN5fK2bGN4ihHm17Wsz5KoLbjefiqD3yC1jzay8tEFR7MGjFYkXq2bk_r1_ut4ubHxHKSmUjC61FHxaxocKxMGxbo6mUOmwN8hXOWnXocgp5QoKJ5UtW285mAzg6d7hlyTPaM_izjrXhPBEqKe-QIuJjBwKhW6SONudlUNLxkpp2NPe4KLvdpPbhV6g/s16000/ar1_5.png" /></a></span></div>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Escribimos
dos aritméticos primos entre sí y comprobamos que su producto también es
aritmético.<br /><br /><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Números primos y sus productos</span></span></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Todos
los números primos </span><b style="font-family: inherit;">p</b><span style="font-family: inherit;"> mayores que 2 son aritméticos, ya que son impares,
su función Sigma(p) equivale a 1+p, par, y su función Tau(p) es 2, luego su
cociente es entero. Como consecuencia, según demostró Ore (</span><i style="font-family: inherit;">O. Ore, On the averages of the divisors of a number, Amer. Math.
Monthly 55</i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;">(1948), 615-619</span></i><span style="line-height: 120%;">), <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">todo número libre de cuadrados impar ha de
ser aritmético</b>, porque se puede aplicar la propiedad multiplicativa a todos
sus factores primos. Como ejemplo, hemos repetido el esquema de más arriba
usando productos de distintos primos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyCFqaiREfQQlO0FurKUUp8nOsLBQL_N1nzz0tCv2q-aDCeyFehPTpN_t0PmX9zemgVAD-Nvw_KjUy5ThEbLlLTWmphWK00lDXYoplyAU8Dm2v_iYPxlG1d_Ka6bFtGCywFoycvmY5Sje64g9CMqAxCi4GchG26V9VHPWGBq7phh2NWTnwmXMeQ52clV8/s258/ar1_6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="93" data-original-width="258" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyCFqaiREfQQlO0FurKUUp8nOsLBQL_N1nzz0tCv2q-aDCeyFehPTpN_t0PmX9zemgVAD-Nvw_KjUy5ThEbLlLTWmphWK00lDXYoplyAU8Dm2v_iYPxlG1d_Ka6bFtGCywFoycvmY5Sje64g9CMqAxCi4GchG26V9VHPWGBq7phh2NWTnwmXMeQ52clV8/s16000/ar1_6.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><span style="font-family: inherit;">Según
lo anterior, los números semiprimos impares no cuadrados deberán ser
aritméticos. Por ejemplo, 851=23*37</span><p></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">SIGMA(851)=SIGMA(23)*SIGMA(37)=24*38=912</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">y
como TAU(851)=4, se cumple la definición al ser 912 divisible entre 4.<br /><br /><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Aritméticos no libres de cuadrados</span></span></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Existen
muchos números aritméticos que no son libres de cuadrados. Uniendo las dos
propiedades de ser aritmético y de poseer una parte cuadrada mayor que 1,
resultan estos otros números:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">20,
27, 44, 45, 49, 54, 56, 60, 68, 92, 96, 99, 116, 125, 126, 132, 135, 140, 147,
150, 153, 164, 168, 169, 184, 188, 189, 198, 204, 207, 212, 220, 224, 236, 245,
248, 260, 261, 264, 270, 275, 276, 280, 284, 294,…</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Entre
ellos hay cuadrados, cubos o productos de cuadrados por otros factores. Según
se explica en la página </span><a href="https://oeis.org/A023883" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A023883</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">, algunos
tipos de ellos se pueden identificar:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;"><b>Cuadrados de primos del tipo 6k+1</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Lo
podemos comprobar fácilmente, pues el valor de TAU será 3, y SIGMA será:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">(6k+1)</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+6k+1+1=36k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+18k+3</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Esta
expresión es claramente un múltiplo de 3, luego el número es aritmético.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
primeros ejemplos son:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">49,
169, 361, 961, 1369, 1849, 3721, 4489, 5329, 6241, 9409, 10609, 11881, 16129,…<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;"><b>Cubos de primos impares</b></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
cubos de primos tienen cuatro divisores, y en el caso de impares resulta:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">TAU(N)=(2k+1)</span><sup style="font-family: inherit;">3</sup><span style="font-family: inherit;">+(2k+1)</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+2k+1+1=8k</span><sup style="font-family: inherit;">3</sup><span style="font-family: inherit;">+12k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+6k+1+4k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+4k+1+2k+1+1=8k</span><sup style="font-family: inherit;">3</sup><span style="font-family: inherit;">+16k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+12k+4,
que es múltiplo de 4 y convierte en aritmético al cubo.<br /><br /></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><span style="color: #0c343d;">Primos del tipo 6k-1 multiplicados
por<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>cuadrado de otro primo</span></b><o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">La
función TAU de p</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">q, siendo ambos primos será:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">TAU(N)=TAU(p</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">)*TAU(q)=3*2=6</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">La
función SIGMA vendrá dada por</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">(1+p+p</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">)(1+q)</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">y bastará
con que sea q del tipo 6k-1 para que sea múltiplo de TAU.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">En
la tabla de los primeros casos de N=p</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">q observamos la abundancia de
este tipo, de un primo al cuadrado multiplicado por otro q=6k-1.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBUAUrXOB7vS4X8QXisoWwTJy48KiaxuQrEKcQvvLG3uhlcYG3EvwhMdcRiQElSuXm1aevM-b7-gqj5JYW7A3CqeD5FmwgVjyZ8dFlb3rw61i_UvQfBOyFNSR5uyQ382vAYD4QxJpq6zIskHN6NFoQOxE4D9HaP60YwUkjgjZ68GWONb_VMBO6umeVgic/s324/ar1_7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="324" data-original-width="178" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBUAUrXOB7vS4X8QXisoWwTJy48KiaxuQrEKcQvvLG3uhlcYG3EvwhMdcRiQElSuXm1aevM-b7-gqj5JYW7A3CqeD5FmwgVjyZ8dFlb3rw61i_UvQfBOyFNSR5uyQ382vAYD4QxJpq6zIskHN6NFoQOxE4D9HaP60YwUkjgjZ68GWONb_VMBO6umeVgic/s16000/ar1_7.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p align="center" class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 243pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 133.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.png">
</v:imagedata></v:shape></span><span style="line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="color: #660000;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Números aritméticos primitivos</span></span></b></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Vimos
anteriormente que el carácter de aritmético tiene la propiedad multiplicativa,
es decir, que el producto de dos números aritméticos coprimos es otro número
aritmético.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Llamaremos
</span><i style="font-family: inherit;">números aritméticos primitivos</i><span style="font-family: inherit;"> a
aquellos que no hayan tenido ese origen, que no sean producto de dos
aritméticos coprimos mayores que 1.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Podemos
identificarlos con una función para VBasic:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><b style="text-align: left;"><i><span style="font-family: inherit;">Function esprimaritmetico(n)</span></i></b></p><p class="StandardCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">
Dim i, a, r<br />
Dim sigue As Boolean<br style="mso-special-character: line-break;" />
<!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br style="mso-special-character: line-break;" />
<!--[endif]--><o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">If Not esaritmetico(n) Then esprimaritmetico = False:
Exit Function<br />
<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></i></b>‘Si no es aritmético, no seguimos<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">sigue
= True </i></b>‘Control de detención de la búsqueda<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">i
= 2 </i></b>‘Posible divisor<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">r
= Sqr(n) </i></b>‘Buscamos hasta la raíz cuadrada<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">While
i < r And sigue </i></b>‘Bucle de búsqueda<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">If
n Mod i = 0 Then </i></b>‘Es divisor<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">a
= n / i ‘</i></b>Posible factor aritmético<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">If
esaritmetico(i) And esaritmetico(n / i) And mcd(i, n / i) = 1 Then sigue =
False<br />
<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></i></b>‘Ambos aritméticos y coprimos<br />
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">End
If<br />
i = i + 1<br />
Wend<br />
esprimaritmetico = sigue<br />
End Function<o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Con
esta función y un buscador cualquiera, identificamos los aritméticos primitivos.
Los primeros son estos:</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">1,
3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 20, 22, 23, 27, 29, 31, 37, 38, 41, 43, 44, 45,
46, 47, 49, 53, 54, 56, 59, 61, 62, 67, 68, 71, 73, 79, 83, 86, 89, 92, 94, 96,
97, 99, 101, 103, 107, 109, 113, 116, 118, 125, 126, 127, 131, 134, 137, 139,
142, 149, 150, 151, 153, 157</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Están
publicados en </span><a href="https://oeis.org/A342438" style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;">https://oeis.org/A342438</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">.
Los hay primos y compuestos, pares e impares.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Los
números primos han de ser necesariamente aritméticos primitivos, porque no son
producto de dos factores mayores que 1.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Entre
los números compuestos, según A342438, estarán los cuadrados de primos del tipo
6m+1. La razón es que son aritméticos, pues la suma de sus divisores es</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">36m<sup>2</sup>+12m+1+6m+1+1=36m<sup>2</sup>+18m+3,
que es múltiplo del valor de TAU, que es 3.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Como,
además, no son producto de dos factores coprimos, deberán ser aritméticos
primitivos.</span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">También
serán de este tipo los cubos de primos impares.</span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-25590637544332251862023-09-18T17:30:00.001+02:002023-09-18T17:30:00.160+02:00Persistencia multiplicativa<p><span style="font-family: inherit;">Neil
Sloane introdujo este término en su artículo [The persistence of a number, J.
Recreational Math., 6 (1973), 97-98] En él define esta persistencia
multiplicativa (existe otra muy popular, aditiva) de la forma siguiente:</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Se
multiplican las cifras del número (aquí sólo veremos las de base 10) y se
reitera esta operación con los números obtenidos. Estos productos, como
veremos, formarán una sucesión decreciente, y se cuentan las iteraciones
necesarias hasta llegar a un producto de una sola cifra. Al número de esos
pasos se le denomina <i>índice de persistencia multiplicativa</i>, y al número
final resultante, <i>raíz digital multiplicativa</i> del número (existe otra
raíz digital aditiva).<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Lo
vemos con un ejemplo: Iniciamos con el número 762. El producto de sus cifras es
84. Multiplicamos cifras de nuevo, resultando 32, y reiteramos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">762
– 84 – 32 – 6<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El
que los productos sean decrecientes es fácil de entender. Si el número es de
una cifra, no hay producto y el índice lo definimos como 0. Si tiene dos
cifras, sean <b>a</b> y <b>b</b> se tiene:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">N=10*a+b>10*a>a*b,
luego decrece.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es
fácil usar el mismo razonamiento cada vez que se añada una cifra:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">100a+10b+c>10*10*a>a*b*c<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Y
así ocurrirá al ir añadiendo cifras.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si
uno de los productos posee una cifra 0, se terminará el proceso y su raíz
digital valdrá 0. Paul Erdős sugirió ignorar los ceros en el producto, lo que
daría lugar a procesos totalmente distintos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si
dos números coinciden en sus cifras salvo en la cifra 1, tendrán la misma
persistencia, como ocurre con 65, 165, 56111,... porque el producto de sus
cifras es 30 en todos los casos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si
dos números son anagramáticos (mismas cifras con la misma frecuencia)
coincidirán también en sus resultados. Por tanto:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">El
proceso de persistencia es invariante al orden de las cifras y a la presencia
de la cifra 1, con cualquier frecuencia.<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Es
fácil entender que el coincidir en la persistencia creará clases de
equivalencia en los números naturales, e igual ocurrirá con los que coincidan
en la misma raíz digital. Serán clases distintas, e incluso podemos considerar
las clases en las que se coincida en los dos números, índice y raíz.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A
continuación traduciremos todo esto a los procedimientos de las hojas de
cálculo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Uso de una hoja de cálculo</span></span></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para
estudiar este tema necesitamos varios procesos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 36.0pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt; mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18pt;"><!--[if !supportLists]--><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><span style="mso-list: Ignore;">•<span style="font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span></span><!--[endif]--><span style="line-height: 120%;">Extraer
las cifras de un número dado<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 36.0pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt; mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18pt;"><!--[if !supportLists]--><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><span style="mso-list: Ignore;">•<span style="font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span></span><!--[endif]--><span style="line-height: 120%;">Proceder
al producto de las cifras<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 36.0pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt; mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18pt;"><!--[if !supportLists]--><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><span style="mso-list: Ignore;">•<span style="font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span></span><!--[endif]--><span style="line-height: 120%;">Construir
el algoritmo de iteraciones hasta llegar a la raíz digital<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 36.0pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt; mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18pt;"><!--[if !supportLists]--><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 120%;"><span style="mso-list: Ignore;">•<span style="font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span></span><!--[endif]--><span style="line-height: 120%;">Expresión
de los resultados, que pueden ser el índice de persistencia, la raíz digital o
una cadena de texto que unifique ambos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Procederemos
por pasos.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Extracción de cifras<o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Este
`proceso es habitual en nuestros trabajos. Existen varias técnicas, y hemos
elegido esta:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Public
Function cifra(m, n)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">'Extrae
la cifra n del número m si es natural. En caso contrario devuelve -1. También
devuelve -1 si excede del número de cifras<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim a, b</span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">If esnatural(m) Then </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Actúa
sobre naturales<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">If n > numcifras(m) Then </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘La
función numcifras se añadirá a continuación<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">cifra
= -1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Else<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">a =
10 ^ (n - 1)<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">b =
Int(m / a) - 10 * Int(m / a / 10) </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Procedimiento de troceado
de la cifra<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;">cifra = b<br /></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Else<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">cifra = -1<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Conteo de las cifras</span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Public Function numcifras(n)</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Dim nn, a<br /></b></span></span></i><span style="font-family: inherit;">'Calcula el número de cifras enteras de un número
natural. Si no lo es, devuelve un cero<br /></span><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If esnatural(n)
Then<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">a = 1: nn = 0<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">While a <= n<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">a = a * 10: nn = nn + 1</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;"> ‘Va
multiplicando por 10 hasta llegar a n<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">numcifras = nn<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Else<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">numcifras = 0<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End If<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Producto de cifras</span></span></i></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si
poseemos una forma de extraer las cifras y otra de contarlas, construir su
producto es fácil:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Public Function
producifras(n)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim a, b, p, i<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">p = 1 </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">’Recogerá el producto<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">a = numcifras(n) </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">’Se
cuentan las cifras<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">For i = 1 To a<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">p = p * cifra(n, i) </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">’Construcción
del producto<br /></span><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Next i<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">producifras = p<br /></span></span></i></b><b><i><span lang="EN-US" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="font-family: inherit;">Todas
las funciones presentadas, aunque están escritas para VBasic, tienen traducción
inmediata a otros lenguajes de programación.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Una
vez que contamos con la función producto, es fácil organizar el proceso de
persistencia. En un primer paso fijaremos que el resultado del proceso se nos
devuelva en modo texto con todos los pasos y resultados. Para estadísticas
cambiaremos el resultado o bien sólo al índice o a la raíz digital. La función
correspondiente puede ser esta:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Cálculo de la persistencia</span></span></i></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="line-height: 120%;">Function persistencia$(n) </span></i></b><span style="line-height: 120%;">‘Resultado
en modo texto<b><i><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim s$<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim a, q<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">s = Str$(n) + ", " </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Inicio
del resultado<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">a = n </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Variable que recoge
el valor de<b><i> n<br /></i></b></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">q = 0 </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Inicio del índice
para números de una cifra<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">While numcifras(a) > 1<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">a = producifras(a) </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Proceso
de persistencia<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">s = s + Str$(a) + ", " </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Incorporación
al resultado<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">q = q + 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">s = s + "Índice: " + Str$(q) +
" Raíz digital: " + Str$(a) </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Creación del
resultado<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">persistencia = s<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End Function</span></span></i></b></p>
<p class="StandardCxSpMiddle" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">Con
esta función obtenemos el historial completo del proceso. En la siguiente tabla
hemos elegido un intervalo de números al azar:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXOgti2U3RJPxRnVxwgp7Me5uSNwQPsOeUUusnpC5i2dc7rZmgbonbcHJvKGCUNRX8mB9h9q5dKof1KwW4HFRg7Xja_dWh5cRCNRrkcB-j6lqYLPVM4ROBkA0mjM4gMcfIdbTuqAy1cwvLNSkTfJLxIHzGpikKZPwOIDVW6uX85INJVEJpBT2BUHDHHpA/s337/persi1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="230" data-original-width="337" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXOgti2U3RJPxRnVxwgp7Me5uSNwQPsOeUUusnpC5i2dc7rZmgbonbcHJvKGCUNRX8mB9h9q5dKof1KwW4HFRg7Xja_dWh5cRCNRrkcB-j6lqYLPVM4ROBkA0mjM4gMcfIdbTuqAy1cwvLNSkTfJLxIHzGpikKZPwOIDVW6uX85INJVEJpBT2BUHDHHpA/s16000/persi1.png" /></a></div><br /><p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="font-family: inherit;">Se
percibe un desequilibrio en los resultados. Es evidente la gran mayoría de
resultados con raíz digital cero, pues la presencia de esa cifra detiene el
proceso. Respecto a los índices, ninguno es mayor que 3. Escasean los índices
mayores. Por ejemplo, el índice 11 no aparece hasta el número 10233.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Hemos
construido una tabla de frecuencias para las raíces digitales del 0 al 9999,
para hacer patente el desequilibrio entre ellas:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbyvmCDzBU2n2KzOF1ErAQRXMyT8IRQN-X-Hypvlf_mczxajr4cVcTc4cIPg2QcSPfxdjTXoGOSFaUzk1PWtUnH4HjlJ9wb8PRng_FaAa9ubQLDnWEBU8cdvU_1UYxjp_NCE9PRQmeIZw1zVOaB0XVXsgCMPq40cv6agdhgk61nD8tQymRgYEuW83dtAE/s225/persi2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="225" data-original-width="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbyvmCDzBU2n2KzOF1ErAQRXMyT8IRQN-X-Hypvlf_mczxajr4cVcTc4cIPg2QcSPfxdjTXoGOSFaUzk1PWtUnH4HjlJ9wb8PRng_FaAa9ubQLDnWEBU8cdvU_1UYxjp_NCE9PRQmeIZw1zVOaB0XVXsgCMPq40cv6agdhgk61nD8tQymRgYEuW83dtAE/s16000/persi2.png" /></a></div><p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="font-family: inherit;">Aparte
del caso del 0, es lógico que las frecuencias de 3 y el 7 sean tan pequeñas,
pues muy pocos productos desembocarán en ellas. En el caso del</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">7,
basta observar qué números desembocan en él:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">17,
71, 117, 171, 711, 1117, 1171, 1711, 7111<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">También
esta lista justifica el resultado del 9, porque todas las posibilidades de
combinar la cifra 1 con la 7 son 2+3+4=9. Es fácil generalizar este resultado a
más cifras.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Persistencia con potencias de cifras</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="font-family: inherit;">El
producto de cifras se puede construir con potencias de las mismas. Hablaríamos
entonces de k-persistencia multiplicativa. Todos los números, salvo los
“repunits”,1, 11, 111, …que tienen k-raíz digital 1, todos los demás poseen
raíz 0. Lo hemos comprobado modificando nuestra función. Este hecho resta
interés a este concepto.</span></p>
<p class="Standard" style="line-height: 120%; margin-bottom: 6pt;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-38158445863783763752023-09-06T18:48:00.001+02:002023-09-06T18:48:00.162+02:00 Regresos 8 – Diferencia entre Catetos<p><span style="font-family: inherit;">En el año 2010 se publicó en este blog una entrada dedicada
a los números</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 (<a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/10/1-7-17-23-31-41-47-49-71-73-79-primera.html"><span style="color: windowtext;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/10/1-7-17-23-31-41-47-49-71-73-79-primera.html</span></a>),
relacionados con las diferencias entre catetos en una terna pitagórica.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">También se estudió el caso de los catetos consecutivos en
tres entradas sobre “Oblongos y pitagóricos”</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p> </o:p>(<a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/03/oblongos-y-pitagoricos-1.html"><span style="color: windowtext;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/03/oblongos-y-pitagoricos-1.html</span></a>
y siguientes)</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En estas entradas se llegó a que las diferencias entre
catetos en ternas primitivas sólo pueden ser 1, 7, 17, 23, 31,
41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...(<a href="http://oeis.org/A058529"><span style="color: windowtext; mso-bidi-language: EN-US; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US;">http://oeis.org/A058529</span></a>), que se caracterizan porque sus factores primos son del tipo p=8k+1
o p=8k-1.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Como en otras ocasiones, la disponibilidad de nuevas
técnicas y herramientas nos lleva a regresar a ellos, ampliando el tema de las
diferencias entre catetos. Damos algunas vueltas más a estas cuestiones.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Función para
encontrar catetos con una diferencia dada</span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">El primer paso para comprender el problema es tener en
cuenta que lo que pretendemos es resolver esta ecuación para valores enteros
positivos:</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">x²+(x+k)²=y²</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Creamos una función de texto que devuelve las primeras
soluciones respecto a k</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><b><i>function catetos_ligados$(k)<br /></i></b><b><i>dim x,y<br /></i></b><b><i>dim s$</i></b></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><b><i>x=3<br /></i></b><b><i>s$=""<br /></i></b><b><i>while x<500<br /></i></b><b><i>y=x^2+(x+k)^2<br /></i></b><b><i>if escuad(y) then </i></b>‘Es una solución<br /><b><i>y=sqr(y)<br /></i></b><b><i>s=s+"## "+str$(x)+", "+str$(x+k)+",
"+str$(y)+" " </i></b>‘Se publica<br /><b><i>end if<br /></i></b><b><i>x=x+1<br /></i></b><b><i>wend<br /></i></b><b><i>if s="" then s="NO"<br /></i></b><b><i>catetos_ligados=s<br /></i></b><b><i>end function</i></b></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Con esta función obtenemos los resultados para k=7</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">5, 12, 13<br />8, 15, 17<br />21, 28, 35<br />48, 55, 73<br />65, 72, 97<br />140, 147, 203<br />297, 304, 425<br />396, 403, 565</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Si le pedimos tan solo el valor de x, resultará la sucesión</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"> 5, 8,
21, 48, 65, 140, 297,
396, 833, 1748,
2325, 4872, 10205, 13568,
28413, 59496, 79097…</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Esta sucesión coincide con la publicada en <a href="https://oeis.org/A076296"><span style="color: windowtext;">https://oeis.org/A076296</span></a></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><i><span style="font-family: inherit;">A076296 Consider all Pythagorean triples
(X,X+7,Z); sequence gives X values. </span></i></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">-3, 0, 5, 8, 21, 48,
65, 140, 297, 396, 833, 1748, 2325, 4872, 10205, 13568, 28413, 59496, 79097,
165620, 346785, 461028, 965321, 2021228, 2687085, 5626320, 11780597, 15661496,
32792613, 68662368, 91281905, 191129372, 400193625, 532029948, 1113983633 <o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Esta sucesión posee infinitos términos, pues, según vimos en
las entradas a las que regresamos, se cumple lo siguiente:</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><i><span style="font-family: inherit;">Si u y v engendran una terna pitagórica mediante las fórmulas 2uv, u<sup>2</sup>-v<sup>2</sup>
y u<sup>2</sup>+v<sup>2</sup>, los valores 2u+v y u engendran otra terna con la
misma diferencia de catetos.</span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Así, el primer
ejemplo conseguido con diferencia 7, (5, 12,13) se ha generado con 3<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>=13,
2*3*2=12 y 3<sup>2</sup>-2<sup>2</sup>=5, con lo que producirá también
diferencia 7 el par de valores u=2*3+2=8 y v=3</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Quedaría 8<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>=73, 8<sup>2</sup>-3<sup>2</sup>=55
y 2*8*3=48, es decir, la terna (48, 55, 73),
con diferencia entre catetos de 7, que figura en el listado.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Reiterando el procedimiento resultarían tantas ternas como
deseáramos.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="font-family: inherit;">Estudio algebraico</span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Desarrollamos la ecuación correspondiente a la diferencia 7:</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">x<sup>2</sup>+(x+7)<sup>2</sup>=y<sup>2</sup></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">2x<sup>2</sup>+14x+49=y<sup>2</sup><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">4x<sup>2</sup>+28x+98=2y<sup>2</sup><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">(2x+7)<sup>2</sup>+49=2y<sup>2<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Si cambiamos de variable: u=2x+7, nos queda 2y<sup>2</sup>-u<sup>2</sup>=49</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">De esta forma se justifica la relación con los contenidos de
las entradas referidas más arriba, porque tratamos con las soluciones de una
ecuación del mismo tipo 2x<sup>2</sup>-y<sup>2</sup>=k, con lo que podemos
aplicar lo que conocemos de ella.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Primera recurrencia</span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">La ecuación 2x<sup>2</sup>-y<sup>2</sup>=k<sup>2</sup> la
escribiremos mejor como x<sup>2</sup>-2y<sup>2</sup>=-k<sup>2</sup>, para
destacar que es del llamado <i>tipo-Pell</i>,
pues puede basarse en esa famosa ecuación x<sup>2</sup>-Dy<sup>2</sup>=1, que
tiene solución si D no es cuadrado perfecto (ver en este blog <a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/ecuacion-de-pell.html">https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/ecuacion-de-pell.html</a>)
y que es parecida a ella.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">La ecuación que nos ocupa no es de ese tipo, por lo que su
resolución es más complicada, pero existe una estrategia, si se dispone de una
solución particular, para generar más soluciones (quizás no todas). Consiste en
aplicar la recurrencia propia de la ecuación de Pell (aunque la que tratamos
sea solo tipo-Pell), que copiamos de la entrada referida:</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span class="Fuentedeprrafopredeter1"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">X<sub>n</sub>+Y<sub>n</sub></span></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">√D = </span><span class="Fuentedeprrafopredeter1"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;">(X<sub>n-1</sub>+Y<sub>n-1</sub></span></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">√D)</span><span class="Fuentedeprrafopredeter1"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"> (X<sub>0</sub>+Y<sub>0</sub></span></span><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;">√D)</span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En este caso disponemos de la primera terna (5,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>12,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>13),
y sabemos ya que si hacemos u=2x+7, se cumple que 2y<sup>2</sup>-u<sup>2</sup>=49,
con lo que, cambiando la variable, <span class="Fuentedeprrafopredeter1">X<sub>n</sub>=2*5+7=17
e Y<sub>n</sub> es la hipotenusa 13 de esa terna, y ambas cumplen 17<sup>2</sup>-2*13<sup>2</sup>=-49,
luego <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">(17, 13) es una solución
particular</b> (X<sub>n,</sub>Y<sub>n</sub>). <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Ahora hay que tomar como
(X<sub>0</sub>,Y<sub>0</sub>) una solución de la ecuación de Pell x<sup>2</sup>-2y<sup>2</sup>=1,
que claramente puede ser (3, 2). Todo esto parece complicado, pero repasando se
entiende. Resumimos:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">(X<sub>n,</sub>Y<sub>n</sub>)
es una solución de x<sup>2</sup>-2y<sup>2</sup>=-49, y podemos elegir el par
(17,13)</span></p>
<p class="MsoNormal"><span class="Fuentedeprrafopredeter1"><span style="font-family: inherit;">(X<sub>0</sub>,Y<sub>0</sub>)
es una solución de x<sup>2</sup>-2y<sup>2</sup>=1, y elegimos (3,2)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Según nuestra entrada referida, separando términos queda:</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;">X</span><sub style="color: windowtext;">n</sub><span style="color: windowtext;"> = X</span><sub style="color: windowtext;">n-1</sub><span style="color: windowtext;">X</span><sub style="color: windowtext;">0</sub><span style="color: windowtext;">+Y</span><sub style="color: windowtext;">n-1</sub><span style="color: windowtext;">Y</span><sub style="color: windowtext;">0</sub><span style="color: windowtext;">D</span></span></p>
<p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Y<sub>n</sub> = X<sub>n-1</sub>Y<sub>0</sub>+Y<sub>n-1</sub>X<sub>0</sub><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En nuestro caso<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;">X</span><sub style="color: windowtext;">n</sub><span style="color: windowtext;"> = 3X</span><sub style="color: windowtext;">n-1</sub><span style="color: windowtext;">+2*2Y</span><sub style="color: windowtext;">n-1</sub></span></p>
<p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><span lang="ES-TRAD" style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Y<sub>n</sub> = 2X<sub>n-1</sub>2+3Y<sub>n-1<o:p></o:p></sub></span></span></p>
<p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Así
podemos buscar otras soluciones a partir de 17 13.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Lo
hemos intentado y resulta que nos devuelve todas las soluciones que deseemos,
pero partiendo de X<sub>n</sub> nos lleva a X<sub>n+3</sub>. En la siguiente
tabla lo destacamos:<o:p></o:p></span></span></p><p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGYolJKhl-DiRYpg6p4RPjvUPHFfTnqi7R9vxIzOsg0HYedfdcBhxePm8AUAHrl3vEtLevS_P_45Ywd3kZJ6AY2XCo5lR8nBXgu86BgngXokoQ9TwnfZ55abufb9YU9Z8laA8Q4S8PM3sjEaX8kSotUz1r156PiOVCiGXBW1G2_TjqTBHhoXiYSWBV/s362/cat1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="284" data-original-width="362" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGYolJKhl-DiRYpg6p4RPjvUPHFfTnqi7R9vxIzOsg0HYedfdcBhxePm8AUAHrl3vEtLevS_P_45Ywd3kZJ6AY2XCo5lR8nBXgu86BgngXokoQ9TwnfZ55abufb9YU9Z8laA8Q4S8PM3sjEaX8kSotUz1r156PiOVCiGXBW1G2_TjqTBHhoXiYSWBV/s16000/cat1.png" /></a></div><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;"><br /></span></span></p>La
zona amarilla destaca las soluciones que no se obtienen por recurrencia. Las
dos columnas centrales se han obtenido con la recurrencia explicada, a partir
de (17, 13). El valor de X se obtiene de u=2x+7 o x=(u-7)/2, y el del otro
cateto, restando 7 unidades a X.</span><p></p>
<p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><span style="color: windowtext; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Hemos
comprobado que esta recurrencia nos devuelve más ternas, y se puede aplicar a
cualquier otro valor de K.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="Normal1" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Otros aspectos del problema</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">También se cumple que u</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+7</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">=2y</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">
por lo que </span><b style="font-family: inherit;">u</b><span style="font-family: inherit;"> pertenece a </span><a href="https://oeis.org/A076293" style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;">https://oeis.org/A076293</span></a><span class="MsoHyperlink" style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;">, ya que la media cuadrática
de los dos cuadrados, u<sup>2</sup> y 7<sup>2</sup> es entera. </span></span><span style="font-family: inherit;">Esto
ocurrirá en general, para un valor k adecuado de la diferencia: u</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">+k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">=2y</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">,
con lo que u=2x+k siempre pertenecerá a esa sucesión.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Si nos limitamos a ternas pitagóricas primitivas, un cateto
podría representarse com u</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-v</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;"> y el otro como 2uv, según
un procedimiento muy conocido. En este caso, salvo quizás el signo, se cumplirá
que u</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-v</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-2uv=k, o bien:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">(u-v)</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-2v</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">=k</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Según las propiedades de estas ternas, las bases de los dos
cuadrados han de ser de distinta paridad y números primos entre sí. Por eso </span><b style="font-family: inherit;">k</b><span style="font-family: inherit;"> ha de ser impar. Esto justifica el
que los valores de k posibles han de pertenecer a la sucesión 1, 7, 17, 23, 31,
41, 47, 49, 71, 73, 79,…pues estos son las soluciones de la ecuación x</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-2y</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">=k,
similar a la obtenida con cambios de variables adecuados. En </span><a href="https://oeis.org/A058529" style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;">https://oeis.org/A058529</span></a><span style="font-family: inherit;">
se explica su propiedad de tener sólo factores primos del tipo 8k+1 o del 8k-1.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Una propiedad interesante derivada de todo lo anterior es
que si un valor de k es válido para ser diferencia de catetos, también los es k</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">,
porque ambos son soluciones de una ecuación del tipo x</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">-2y</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">=k.
Lo hemos comprobado con la función </span><i style="font-family: inherit;">catetos_ligados</i><span style="font-family: inherit;">.
En la imagen se refleja esta propiedad en el caso de k=71:</span></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-bOPwO2ZpDIs5-BlQ9qJs2bhMIMTzKqpRc5kaSP8bs2jYkwvyreYMwjkpUZa0smExKHxLhalYaiqFRoAtd9CPYiCXgEoSRBWTcYFSEoapCzN74s3dLp_Nr6h1_bnY1GN0SQ-d8nSA7kXoBPHKvpmQBYPeKqH9k0qN9azze2p-t5te6-ncLJWzefF9/s452/cat2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="134" data-original-width="452" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-bOPwO2ZpDIs5-BlQ9qJs2bhMIMTzKqpRc5kaSP8bs2jYkwvyreYMwjkpUZa0smExKHxLhalYaiqFRoAtd9CPYiCXgEoSRBWTcYFSEoapCzN74s3dLp_Nr6h1_bnY1GN0SQ-d8nSA7kXoBPHKvpmQBYPeKqH9k0qN9azze2p-t5te6-ncLJWzefF9/s16000/cat2.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: yes;"><v:shape id="_x0000_i1027" style="height: 100.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 339pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Segunda recurrencia</span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En OEIS A076296 se propone una ecuación de recurrencia para
los valores X del cateto menor en el caso ya estudiado de k=7. Es esta:</span></p>
<p class="MsoNormal"><b><i><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">a(n)=6*a(n-3)-a(n-6)+14.</span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">La hemos comprobado con nuestra herramienta </span><i style="font-family: inherit;">ecurrecurre</i><span style="font-family: inherit;"> (ver</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">listado de herramientas para el blog en </span><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/otros.htm" style="font-family: inherit;">http://www.hojamat.es/sindecimales/otros.htm</a><span style="font-family: inherit;">)
en el apartado de recurrencias no homogéneas.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En esta captura de pantalla se pueden comprobar los
coeficientes 6, -1, 14</span></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCOH1vfiOcPNGrxCXEju8VNqSAo4cwqtajc4WBnaetnJcuFCGgEyX4h19FAzFgJ5ujL_pysOIL_FpVBmJO2_3MtPAlqFe8VbgdB6mLFEBt9nw5IYsSQPN57pf-dcfuANjNtZAldSx9v0Y6xIcyksyo3KY6CyvLhbELoGV7nkZta275nsr_OwUWP3Kg/s472/cat3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="109" data-original-width="472" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCOH1vfiOcPNGrxCXEju8VNqSAo4cwqtajc4WBnaetnJcuFCGgEyX4h19FAzFgJ5ujL_pysOIL_FpVBmJO2_3MtPAlqFe8VbgdB6mLFEBt9nw5IYsSQPN57pf-dcfuANjNtZAldSx9v0Y6xIcyksyo3KY6CyvLhbELoGV7nkZta275nsr_OwUWP3Kg/s16000/cat3.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: yes;"><v:shape id="_x0000_i1026" style="height: 81.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 354pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata croptop="5314f" o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Hemos copiado los términos de tres en tres.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Este resultado nos anima a probar cono otros valores
posibles de k. El siguiente es 17. En primer lugar, hemos creado la sucesión de
lados de las ternas usando nuestra función para VBasic:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><b style="font-family: inherit;">7</b><span style="font-family: inherit;">,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">31,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">25 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">28,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">73,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">53 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">51,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">119,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">85 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><b style="font-family: inherit;">88</b><span style="font-family: inherit;">,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">193,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">137 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">207,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">431,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">305 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">340,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">697,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">493 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><b style="font-family: inherit;">555</b><span style="font-family: inherit;">,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">1127,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">797 ##</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">1248,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">2513,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">1777 ##</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">2023,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">4063,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">2873 ##</span><span style="font-family: inherit;">
</span><b style="font-family: inherit;">3276</b><span style="font-family: inherit;">,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">6569,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">4645 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">7315,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">14647,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">10357 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">11832,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">23681,</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">16745 ##</span><span style="font-family: inherit;"> </span><b style="font-family: inherit;">19135</b><span style="font-family: inherit;">,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">38287,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">27073 ##</span><span style="font-family: inherit;">
</span><span style="font-family: inherit;">42676,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">85369,</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">60365</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">A continuación hemos seleccionado los catetos menores de
tres en tres (los que aparecen en negrita). Los hemos volcado como datos en </span><i style="font-family: inherit;">ecurrecurre</i><span style="font-family: inherit;">, eligiendo el caso de “No
homogénea”. El resultado confirma nuestra intuición. Se mantienen los
coeficientes y el término independiente resulta ser 2k, como en el caso de k=7:</span></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRd_IP7H-D8oJg_7zJ5yRiAu-MqNkr3v2vl3xDy0jeMBuTzvG__hajhTitwY5bK-aSeCviZsVYOE0SkJlI8lP-tOXTQyK8v1qCBlS3PSNWQEKNEHullIZCM1aUlPFY7Of_hEJF8R4M9Zpw4rG_oIvMGX2hVyflGkx57XIlwDzdeg82ZcGB5DpgzeWO/s498/cat4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="101" data-original-width="498" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRd_IP7H-D8oJg_7zJ5yRiAu-MqNkr3v2vl3xDy0jeMBuTzvG__hajhTitwY5bK-aSeCviZsVYOE0SkJlI8lP-tOXTQyK8v1qCBlS3PSNWQEKNEHullIZCM1aUlPFY7Of_hEJF8R4M9Zpw4rG_oIvMGX2hVyflGkx57XIlwDzdeg82ZcGB5DpgzeWO/s16000/cat4.png" /></a></span></div><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">No es de extrañar el valor de 34, ya que, en realidad, todas
estas sucesiones están ligadas con <a href="https://oeis.org/A076293"><span style="color: windowtext;">https://oeis.org/A076293</span></a><span class="MsoHyperlink"><span style="color: windowtext; text-decoration: none; text-underline: none;">, que contiene los valores de 2x+k, según vimos más arriba.
En esta sucesión la recurrencia es homogénea: a(n)=6a(n-3)-a(n-6), según hemos
comprobado también. Por eso se produce un desfase entre ambas sucesiones, que
se traduce en el término independiente 2k. <o:p></o:p></span></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">Sea x(n)=(a(n)-k)/2. Podemos
manipular la ecuación de recurrencia:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">a(n)-k=6(a(n-3)-k)-(a(n-6)-k)+4k</span></p>
<p class="MsoNormal"><span class="MsoHyperlink"><span style="color: windowtext; text-decoration: none; text-underline: none;"><span style="font-family: inherit;">(a(n)-k)/2=6((a(n-3)-k)/2)-(a(n-6)-k)/2+2k<o:p></o:p></span></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="color: windowtext; font-family: inherit;">Y queda x(n)=6x(n-3)-x(n-6)+2k</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Hemos demostrado que los valores de X para cualquier valor
de k se pueden encontrar mediante la recurrencia </span><b style="font-family: inherit;">a(n)=6a(n-3)-a(n-6)-2k, </b><span style="font-family: inherit;">basándonos en que los términos de </span><a href="https://oeis.org/A076293" style="font-family: inherit;">https://oeis.org/A076293</a><span style="font-family: inherit;"> se generan con
esta otra: </span><span class="MsoHyperlink" style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext;">a(n)=6a(n-3)-a(n-6).</span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-11124319532185915012023-06-28T19:24:00.001+02:002023-06-28T19:24:00.141+02:00En el punto medio de dispares<p> <span style="font-family: inherit;">¿Qué números son
promedio entre su cuadrado más cercano y el triangular también más cercano? Es
una pregunta a la que no es difícil responder con las herramientas que tenemos
a nuestra disposición, pero que requiere un cierto cuidado a la hora de
plantear un algoritmo. Veremos más adelante las dificultades que se pueden
presentar. Toda la entrada se referirá a la posible estructura de ese algoritmo
y sus problemas. No abordaremos apenas estudios teóricos.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En primer lugar
estudiaremos técnicas que nos sirvan para todos los casos, sean cuadrado con
triangular, cubo con cuadrado o primo con oblongo, para después descender a
detalles en cada tipo de número. Para estas búsquedas llevamos tiempo usando
las funciones ESCUAD, ESTRIANGULAR, ESOBLONGO, ESCUBO y otras similares. Puedes
encontrarlas todas usando <i>Buscar</i> en el blog.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Estas son algunas de
ellas:</span></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="color: #222222;"><span style="font-family: inherit;">Public Function escuad(n) As Boolean<br />
If n < 0 Then<br />
escuad = False<br />
Else<br />
If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuad = True Else escuad = False<br />
End If<br />
End function</span></span></i></b></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="color: #222222;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Public
function estriangular(n) as boolean<br /></span></span></i></b><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">dim a</span></span></i></b></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">
a = Int(sqr(8*n+1))<br />
if a*a=8*n+1 then estriangular = true else estriangular = false<br />
end function<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpLast" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;">Function escubo(n)<br /></span></i></b></span><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim a</span></span></i></b></p><p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; mso-add-space: auto;"><b><i><span style="color: #222222; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">
a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6)) <br />
If a * a * a = n Then escubo = True Else escubo = False<br />
End Function</span></span></i></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 120%;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoBodyTextCxSpFirst" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">Con cualquiera de
ellas se pueden construir las funciones PROXIMO y ANTERIOR, en las que un
parámetro </span><i style="font-family: inherit;">tipo </i><span style="font-family: inherit;">decidirá si se busca un cubo o un oblongo, o
preferentemente, cambiando una línea de código para sustituir la búsqueda de un
tipo por la de otro. Lo explicamos con un ejemplo:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">La siguiente versión
de PROXIMO busca el cuadrado más cercano entre los mayores que un número</span></p><p class="MsoNormalCxSpFirst" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Function
proximo(a) As Long<br />
Dim p, prim As Long<br />
Dim sale As Boolean<br />
<!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br />
<!--[endif]--><o:p></o:p></span></span></i></b></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;">
</p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">p =
a + 1: sale = False: prim = 0<br />
While Not sale<br />
If escuad(p) Then prim = p: sale = True <br />
p = p + 1<br />
Wend<br />
proximo = prim<br />
End Function</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 14pt;"><o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, te dará
que PROXIMO(78)=81</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Si sustituimos ESCUAD
por otra función, nos servirá el mismo código para buscar triangulares, cubos o
pentagonales. En general, se dará por supuesto que cambiaremos esa línea de
código para pasar de un tipo a otro.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">De igual forma se
puede construir la función ANTERIOR:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Function
anterior(a) As Long<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim
p, prim As Long<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Dim
sale As Boolean</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">p =
a -1: sale = False: prim = 0<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">While
Not sale and p>0<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If
escuad(p) Then prim = p: sale = True<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">p =
p - 1<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">anterior
= prim<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">End
Function</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, en este
caso para cuadrados te dará ANTERIOR(15)=9</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Caso
de cuadrados y triangulares</span></span></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Candidatos
a ser los más próximos</span></span></i></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></b><span style="font-family: inherit;">La primera idea que
se nos ocurre es la de buscar el cuadrado más próximo por la izquierda y
también por la derecha, y quedarnos con el más próximo. No hay posibilidad de
“empate”, porque serían dos cuadrados consecutivos, n</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;"> y (n+1)</span><sup style="font-family: inherit;">2</sup><span style="font-family: inherit;">,
y entre ellos siempre existe una diferencia impar, 2n+1, por lo que no existirá
un número en el punto medio. El cuadrado más cercano siempre será único.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Por contra, entre dos
triangulares consecutivos si existe esa posibilidad de empate. Por ejemplo, 32
está comprendido entre los triangulares 28 y 36, y a 4 unidades de cada uno de
ellos, por lo que el título de “más cercano” sirve para cualquiera de ellos.
Vemos cuándo ocurre esto:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Sean dos triangulares
consecutivos </span><b style="font-family: inherit;">n(n-1)/2 </b><span style="font-family: inherit;">y </span><b style="font-family: inherit;">n(n+1)/2</b><span style="font-family: inherit;">. Su diferencia será </span><b style="font-family: inherit;">n</b><span style="font-family: inherit;">,
luego si este valor es par, tendremos dos triangulares cercanos a un número a
la misma distancia. Entre 1 y 3, el punto medio es 2, su promedio. Entre 6 y
10, el 8, entre 15 y 21, el 18, y así con todos los ejemplos similares. La
consecuencia es que para triangular más cercano a un número dado tendremos dos
candidatos. Por cierto, ese número central es fácil ver que será el doble de un
cuadrado, 2, 8, 18, 32,...</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Ese empate entre
triangulares cercanos habrá que tenerlo en cuenta en el algoritmo. Su núcleo
podrá ser el siguiente:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">for
i=2 to 1000<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">c=0</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">
‘Esta variable controlará el posible empate entre triangulares<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">a=anteriorcuad(i)
</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">'Cuadrado
menor<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">b=proximotriang(i)
</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">'Triangular
mayor<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">m=anteriortriang(i)
'</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Triangular menor<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">n=proximocuad(i)
</span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">'Cuadrado
mayor<br /></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">if
i-a>n-i then a=n </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">'Se queda "a" como cuadrado
más cercano tomando el valor de <b>n<br /></b></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">if
b-i>i-m then b=m </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">'El triangular "b" es el más
cercano, quizás con el valor de <b>m<br /></b></span><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">if
b-i=i-m then </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Hay empate<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">If
escuad(2 * i - m) Then a = 2 * i - m: b = m: c = 1<br /></span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">If
escuad(2 * i - b) Then a = 2 * i - b: c = 1 </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">' El valor c=1 indica que
se ha resuelto el empate<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">end
if</span></span></i></b><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 120%;">if
i=(a+b)/2 or c=1 then </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">‘Se han encontrado los más próximos o
empate resuelto<br /></span><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">escribe(i,
a, b)<br /></span></span></i></b><b><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">next
i</span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5IC10gGX2vmu5B0LuZwQ18gPXS0YC8YflC1nkFeN1EcA6SLjq-QnIV3axQOJs3oDQb__4KIJYH5gv1PZ0xGwGjn2Caf-94Yje8K3S9QID1CDRucaGtSRAuoszFVsSlNgGBwTyuoRGrOMhNrZiIXSt7M7-WjFPHUbH67wUxjL55duOeBnnuBxLfWu0/s348/dispa1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="348" data-original-width="205" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5IC10gGX2vmu5B0LuZwQ18gPXS0YC8YflC1nkFeN1EcA6SLjq-QnIV3axQOJs3oDQb__4KIJYH5gv1PZ0xGwGjn2Caf-94Yje8K3S9QID1CDRucaGtSRAuoszFVsSlNgGBwTyuoRGrOMhNrZiIXSt7M7-WjFPHUbH67wUxjL55duOeBnnuBxLfWu0/s16000/dispa1.png" /></a></div><br />Alguna parte de este
planteamiento se ha escrito en pseudocódigo para mayor claridad (<i>anteriorcuad,
proximocuad,.</i>..). Hemos incorporado estas líneas a un buscador con el siguiente
resultado:<p></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">2, 5, 23,
32, 47, 52, 65, 86, 140, 161, 170, 193, 203, 228, 266, 312, 356, 389, 403, 438,
453, 490, 545, 610, 671, 716, 735, 782, 802, 851,...</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Estos son
los primeros números naturales que se encuentran en el punto medio entre el
cuadrado y el triangular más cercano. En forma de tabla, podemos añadir en una
segunda columna el cuadrado y el triangular más cercanos, de los que es
promedio el número. No tienen que aparecer en este orden:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit; line-height: 120%;">Están
publicados en </span><a href="https://oeis.org/A233074" style="font-family: inherit;"><span style="color: black; line-height: 120%;">https://oeis.org/A233074</span></a></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;">Alternativa para este caso</span></span></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En este
caso de cuadrados y triangulares no son necesarias las funciones POSTERIOR y ANTERIOR.
Para los cuadrados bastará con elegir, para un número N los siguientes,
expresados con lenguaje de Excel o Calc:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A=(ENTERO(RAIZ(N)))^2</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">como anterior y</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">B=(1+ENTERO(RAIZ(N)))^2 como posterior</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Para los
triangulares es un poco más complicado. Las siguientes expresiones son el
resultado de resolver la ecuación x(x+1)/2=N.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">X=ENTERO((-1+RAIZ(8*N+1))/2),
que es el “falso orden” triangular de N</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A=X(X+1)/2
como anterior y B=(X+1)(X+2) como posterior.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><span style="font-family: inherit;">Con estas
fórmulas se puede construir un esquema de hoja de cálculo que nos indique, con
un solo golpe de vista, qué cuadrados o triangulares son los más cercanos, así
como si existe empate o no. En la imagen siguiente se ha analizado el número
456 con las fórmulas explicadas, resultando 441 y 465 como los candidatos. Como
sus diferencias, 15 y 9, no son iguales, 456 no cumpliría lo exigido.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7b4aTWUSZFBV3oSBQPSJsSqnH4aW_GD-XdyIbmheTnAX6mKgS5FhYfiYGgUPt-JoAsM7aiHZ7PxBoWC4zGHzgrDbd-nVkunNDwPteEEYgtf3xs0qOJTIsbMR1RYwiOVLav2-XGDEYlRYjMDrcJ87vsAKYTpaVKbUibyadCQu0Cx6buE9BW7tbh9BQ/s300/dispa2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="186" data-original-width="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7b4aTWUSZFBV3oSBQPSJsSqnH4aW_GD-XdyIbmheTnAX6mKgS5FhYfiYGgUPt-JoAsM7aiHZ7PxBoWC4zGHzgrDbd-nVkunNDwPteEEYgtf3xs0qOJTIsbMR1RYwiOVLav2-XGDEYlRYjMDrcJ87vsAKYTpaVKbUibyadCQu0Cx6buE9BW7tbh9BQ/s16000/dispa2.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><span style="font-family: inherit;"> </span><p></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: #660000;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><b><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Caso
de cuadrados y cubos</span></span></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><span style="font-family: inherit;">En este caso podemos
usar el procedimiento general, basado en PROXIMO y ANTERIOR, pero usando ESCUBO
en lugar de ESTRIANGULAR.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Vimos que en los
cuadrados no existía posibilidad de empate en las distancias por la izquierda o
derecha del número. Igual ocurrirá con los cubos, porque uno será par y otro
impar.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Aplicamos, pues, el
procedimiento general sin tener en cuenta los empates:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEief8Yl2MGvrRPGJ9lJoUoFjeVjLgX36T2DI4y2xY3s8025tOgAgxwkDFIDhdQJObem1ha4aX569OLRcWugHp_wJOsUdR6iFGXnYAKZAviQifcIfyljMON0Ie-VF7xjZJ8etc8bkbSQ5QzAipS_G-Iu6rYbcEhbeAo8xl2KjSaS0_6NqvxItxA3V0IA/s302/dispa3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="302" data-original-width="204" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEief8Yl2MGvrRPGJ9lJoUoFjeVjLgX36T2DI4y2xY3s8025tOgAgxwkDFIDhdQJObem1ha4aX569OLRcWugHp_wJOsUdR6iFGXnYAKZAviQifcIfyljMON0Ie-VF7xjZJ8etc8bkbSQ5QzAipS_G-Iu6rYbcEhbeAo8xl2KjSaS0_6NqvxItxA3V0IA/s16000/dispa3.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">También estos están
ya publicados:</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><i><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A233075 Numbers that are midway between
the nearest square and the nearest cube. </span></span></i></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">6,
26, 123, 206, 352, 498, 1012, 1350, 1746, 2203, 2724, 3428, 4977, 5804, 6874,
8050, 9335, 10732, 12244, 13874, 17500, 19782, 21928, 24519, 26948, 29860,
32946, 35829, 39254, 42862, 50639, 54814, 59184, 63752, 69045, 74036, 79234,
85224, 90863, 97340, <o:p></o:p></span></span></i></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b><span style="line-height: 120%;"><span style="color: #0c343d; font-family: inherit;">Alternativa
para este caso</span></span></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></b><span style="font-family: inherit;">Vimos que PROXIMO y
ANTERIOR se podían sustituir, en el caso de los cuadrados, por </span><span style="font-family: inherit;">A=(ENTERO(RAIZ(N)))^2
como anterior y
B=(1+ENTERO(RAIZ(N)))^2 como posterior.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Los cubos
admiten un planteamiento similar<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">A=(ENTERO(N^(1/3)))^3</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><br />B=(1+ENTERO(N^(1/3)))^3<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">En la
imagen observamos con el número 280 que no hay posibilidad de empate.</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGqqXDwfJAxRSF0kQp57qHsJaNWNbV5XQCfwKk96ktQ-hdH4Nnv-7R0JTE60MChYjlU2tMFdWO1c2cGPOHGp_xhnZZRPUwsIoK92JDhglzF4JVlro7-Vx8Agl4GzPpsVCw_lOX5SVgpq9q7y5WsyCokMcCCRkLX8eS2BmqShJM3qFrkJEuRbJ4zraY/s251/dispa4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="67" data-original-width="251" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGqqXDwfJAxRSF0kQp57qHsJaNWNbV5XQCfwKk96ktQ-hdH4Nnv-7R0JTE60MChYjlU2tMFdWO1c2cGPOHGp_xhnZZRPUwsIoK92JDhglzF4JVlro7-Vx8Agl4GzPpsVCw_lOX5SVgpq9q7y5WsyCokMcCCRkLX8eS2BmqShJM3qFrkJEuRbJ4zraY/s16000/dispa4.png" /></a></div>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;"><br /></span></span></span></b></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Promedios entre primos y cuadrados</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><span style="font-family: inherit;">Aquí sí
existe la posibilidad de empate entre primos, por lo que habrá que aplicar el
algoritmo general presentado más arriba. Los cuadrados han de ser impares, para
que las diferencias cuadrado-primo sean pares y admitan un punto medio.</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Como
vemos en la tabla resultante, la abundancia de soluciones les resta interés:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgujaLJLtYmmla3T7UDPr770SKqla4eehBUrV8TbmoDhfp7bFQnksfLG-_m7ujSb8k074kwXWOHpXDuhoSUXy-SAr2NY57gDdmZpbgPoAYyAkVMwOQBfwsisuC-RNVIVHOxchLcPI61vj9WE9tf6QJiKNjMgvDMK8BnmG4W0fgKTS3GN6ENybdgZ1sz/s306/dispa5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="306" data-original-width="206" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgujaLJLtYmmla3T7UDPr770SKqla4eehBUrV8TbmoDhfp7bFQnksfLG-_m7ujSb8k074kwXWOHpXDuhoSUXy-SAr2NY57gDdmZpbgPoAYyAkVMwOQBfwsisuC-RNVIVHOxchLcPI61vj9WE9tf6QJiKNjMgvDMK8BnmG4W0fgKTS3GN6ENybdgZ1sz/s16000/dispa5.png" /></a></div><span style="color: black; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><p></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">observan
diferencias de valor 2, 4, 6, 8,…siendo bastante frecuentes las primeras, en
las que el número primo es del tipo n<sup>2</sup>+2 o n<sup>2</sup>-2. Se
podría hacer un estudio para estos primeros valores, pero queda para otra
ocasión.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><br /></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;"><b><span style="color: #cc0000;">Esta
entrada da fin al curso 2022-23. En septiembre, si el ánimo acompaña,
iniciaremos uno nuevo.</span></b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="line-height: 120%;"><span style="color: black; line-height: 120%;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-64189532657484675032023-06-19T18:11:00.001+02:002023-06-19T18:11:00.131+02:00Sumas con anagramáticos<p><span style="font-family: inherit;">En esta entrada jugaremos un poco con números que comparten
cifras y están relacionados mediante algunas operaciones entre ellos.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Sumandos
anagramáticos</span><o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Comenzamos con aquellos números que son el total de una suma
de dos números anagramáticos con ellos, es decir, los tres datos han de
compartir cifras y con la misma frecuencia. Aunque están publicados casos
similares, aquí exigiremos que los dos sumandos anagramáticos tengan el mismo
número de cifras, como en<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">954=459+495<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">5238=2385+2853<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">No tendremos en cuenta ningún sumando que comience por cero.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Para encontrarlos diseñaremos una función de VBasic para
Excel y Calc. En ella se usará la función <i style="mso-bidi-font-style: normal;">cifras_identicas</i>,
cuyo código puedes encontrar en<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/consecutivos-con-las-mismas-cifras.html"><span style="color: windowtext;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/consecutivos-con-las-mismas-cifras.html</span></a><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">También usamos nuestra función </span><i style="font-family: inherit;">numcifras</i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">(ver <a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/04/cancelaciones-anomalas-12.html"><span style="color: windowtext;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/04/cancelaciones-anomalas-12.html</span></a>)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Function
dobleanagram$(n)<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Dim
a, m<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Dim
s$<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="font-family: inherit;"><i>s$ =
"" </i></b><span style="font-family: inherit;">‘Contenedor de sumandos</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">m =
numcifras(n) </i></b>‘Cuenta las cifras<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">For a
= 10 ^ (m - 1) To n / 2 </i></b>‘Busca con el mismo número de cifras<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">If
cifras_identicas(a, n) And cifras_identicas(n - a, n) Then s = s + " # "
+ Str$(a) + "+" + Str$(n - a) </i></b>‘Solución<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Next
a<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">dobleanagram
= s<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">End
Function<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p><span style="font-family: inherit;">Con esta función obtenemos los primeros resultados:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghmaVrSj0VnHpDJecgiZPWwinrY4hH5KjkyvKYVOe50k__QgDO2CKRved2mebkPcBkzWMtymJrTfNH5e6tUmc4_Ja4M5tvua1z0zMJ484Da5IuHSFozqoSETGJimFghiFFIL_Diy2CIY5ukpp3E12LWidE0T80eEoanKOQcIge1ucXzK7UI3bsW2cK/s471/ana1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="471" data-original-width="222" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghmaVrSj0VnHpDJecgiZPWwinrY4hH5KjkyvKYVOe50k__QgDO2CKRved2mebkPcBkzWMtymJrTfNH5e6tUmc4_Ja4M5tvua1z0zMJ484Da5IuHSFozqoSETGJimFghiFFIL_Diy2CIY5ukpp3E12LWidE0T80eEoanKOQcIge1ucXzK7UI3bsW2cK/s16000/ana1.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Llama la atención, y era algo esperable, que las soluciones
se pueden agrupar en familias, como 954, 9045, 9504, 9540, 9954…Es fácil ver que
con un simple cambio se reproducen resultados conocidos. El arrastre de cifras
en las sumas influirá en que aparezcan más o menos familias.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Todos los resultados de este problema han de ser múltiplos
de 9. En efecto, si los dos sumandos poseen las mismas cifras, serán también
iguales sus restos módulo 9, con lo que el total tendría como resto su suma, y
al tener las mismas cifras, la única posibilidad es que esos restos sean los
tres nulos.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Un resultado similar está publicado en <a href="https://oeis.org/A121969"><span style="color: windowtext;">https://oeis.org/A121969</span></a>,
pero ahí se admiten números que comiencen por cero. Basta cambiar una línea en
la función para obtener estos resultados, pero no merece la pena.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Anagramático más sus
cifras</span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Otro caso relevante es el de un número igual a un
anagramático con él sumado con sus cifras. Tiene un cierto parecido con el caso
anterior, porque, en realidad, se usan las mismas cifras, pero aquí están como
sumandos separados. Es la situación opuesta a la de los </span><i style="font-family: inherit;">autonúmeros</i><span style="font-family: inherit;">, que no admiten ninguna descomposición de este tipo</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">(ver <a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html">https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html</a>)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Existe una forma muy sencilla de resolver este caso, y es
restarle al número sus propias cifras, y ver si la diferencia es anagramática
con el total. Para las búsquedas necesitaremos otra función nuestra, <i style="mso-bidi-font-style: normal;">sumacifras(n,k)</i>, que suma las cifras de
n elevadas previamente al exponente k. Esta función la puedes encontrar en el
enlace del párrafo anterior.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Para este caso y los siguientes usaremos esta otra función:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Function
autoanagram$(n, k)<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Dim
a, m<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Dim
s$<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b><i><span style="font-family: inherit;">s =
""</span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">m =
numcifras(n)<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">a = n
- sumacifras(n, k) </i></b>‘Al número le restamos potencias de sus cifras<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">If
cifras_identicas(n, a) Then s = s + " # " + Str$(a) </i></b>‘Otra
nueva solución<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">autoanagram
= s<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">End
Function</span></i></b></p><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;">Si la
usamos con el parámetro k igual a 1, obtendremos las primeras soluciones:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiC7_btyhxUxU5F4-mFXa5O5OgfDYAuUyR2-_aQSKOqH8rV81bAl5iP17cmiu-hFIkkHQ90Juc9QMq4L9QHsOlCghdnEiqNNgRg3D3DqNgCOwOuuqVKQV5Mv0OhsHN1pOplfh1oZQM8IlRTl4Gnvha6Ut8_lFFDeRn7wPN4oSlL7-UjS-hQ5N1NgfLi/s415/ana2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="415" data-original-width="245" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiC7_btyhxUxU5F4-mFXa5O5OgfDYAuUyR2-_aQSKOqH8rV81bAl5iP17cmiu-hFIkkHQ90Juc9QMq4L9QHsOlCghdnEiqNNgRg3D3DqNgCOwOuuqVKQV5Mv0OhsHN1pOplfh1oZQM8IlRTl4Gnvha6Ut8_lFFDeRn7wPN4oSlL7-UjS-hQ5N1NgfLi/s16000/ana2.png" /></a></div><p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-left: 22.1pt; mso-add-space: auto;"><br /></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p><span style="font-family: inherit;">Puedes comprobar cualquiera de la lista:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">810=801+8+0+1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">1953=1935+1+9+3+5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Aquí también, y por la misma razón, los dos números
implicados han de ser múltiplos de 9.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Estos números sí están publicados, con el mismo
planteamiento nuestro, en <a href="https://oeis.org/A248209"><span style="color: windowtext;">https://oeis.org/A248209</span></a><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">En la página enlazada puedes estudiar los códigos PARI que
contiene. El segundo es similar al usado aquí. No hemos acudido a este lenguaje
porque la hoja de cálculo suele ser rápida en estos casos. Tampoco hemos
exigido que las soluciones sean múltiplos de 9 por la misma razón. No suelen
ser búsquedas muy lentas.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Otros casos con
potencias</span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Como <i style="mso-bidi-font-style: normal;">sumacifras(n;k)</i>
admite potencias, es sencillo ampliar la búsqueda a los casos en los que las
cifras estén elevadas al cuadrado, cubo o cualquier otra potencia.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i><span style="font-family: inherit;">Cifras al cuadrado</span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Si tomamos k=2 en <i style="mso-bidi-font-style: normal;">sumacifras</i>
dentro de la función <i style="mso-bidi-font-style: normal;">autoanagram</i>,
resultarán parejas de anagramáticos que se diferencien en la suma de los
cuadrados de sus cifras.<o:p></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkReSTDPq9fg-gwz7z3QSRWcym_gh8m77NmxiQcdqineTyqRiHQowHSRtY00DxEIr8HQ82EivhCYNfPv_qQKFiEmuYBUTntdyr8wgQq2nE5amxVeFncBXqeSXVPOq3p9kWCBF6XkEdJsJA6aCgZ0HZiLORw6i0NIYxC0qWKdCvmuPKJR24C0Mfya3b/s396/ana3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="396" data-original-width="265" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkReSTDPq9fg-gwz7z3QSRWcym_gh8m77NmxiQcdqineTyqRiHQowHSRtY00DxEIr8HQ82EivhCYNfPv_qQKFiEmuYBUTntdyr8wgQq2nE5amxVeFncBXqeSXVPOq3p9kWCBF6XkEdJsJA6aCgZ0HZiLORw6i0NIYxC0qWKdCvmuPKJR24C0Mfya3b/s16000/ana3.png" /></a></div><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Aquí los sumandos no tienen las mismas cifras, por lo que
las soluciones no han de ser múltiplos de 9, pero sí lo tiene que ser la suma
de los cuadrados de las cifras, para conseguir un par de anagramáticos.
Ejemplos:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">271=217+2<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>+7<sup>2</sup>, donde la
suma de cuadrados es 54, múltiplo de 9.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">2450=2405+2<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>+0<sup>2</sup>+5<sup>2</sup>,
con suma de cuadrados igual a 45.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><p class="MsoNormal"><i><span style="font-family: inherit;">Cifras al cubo</span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Para k=3 resultan:<o:p></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFdxDx5QCMYIi8Ydj6iaybtQf0XizxVF_lDAiZ6l5C-dEARlLKCpj38rgcrGWsZ1xM_awY5G5RK-sEc5UaMKMKEbrjjRNdOMK7Lk41DPztw12G38QG6CFBYwt3lDFDw20FNgkJhyLmUGne6zQDYzsS22wRVlT3qf0kJgMPwtG21eVfl-JzwWn_8Yps/s335/ana4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="335" data-original-width="253" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFdxDx5QCMYIi8Ydj6iaybtQf0XizxVF_lDAiZ6l5C-dEARlLKCpj38rgcrGWsZ1xM_awY5G5RK-sEc5UaMKMKEbrjjRNdOMK7Lk41DPztw12G38QG6CFBYwt3lDFDw20FNgkJhyLmUGne6zQDYzsS22wRVlT3qf0kJgMPwtG21eVfl-JzwWn_8Yps/s16000/ana4.png" /></a></div><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">1533=1353+1<sup>3</sup>+3<sup>3</sup>+5<sup>3</sup>+3<sup>3</sup>=1353+1+27+125+27=1353+180<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Otras potencias<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">K=4<o:p></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjouru2Vx9d9JZwQnacw-Xb3otqhkkwJzzeEElGbeb3PzgrPt8Y7O3HQ96-jzii-u3tyl9FaMVDUiI22eeUCxCnmWGOOin8QVNeYvTj1R7dJcB7--M9htuYLi2p6X02vcrrwxaPwMTWRlxlS8wa2EamzxlzLcGaxxt5vKz3guN5_Yla4yXtYPCKMWq2/s249/ana5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="149" data-original-width="249" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjouru2Vx9d9JZwQnacw-Xb3otqhkkwJzzeEElGbeb3PzgrPt8Y7O3HQ96-jzii-u3tyl9FaMVDUiI22eeUCxCnmWGOOin8QVNeYvTj1R7dJcB7--M9htuYLi2p6X02vcrrwxaPwMTWRlxlS8wa2EamzxlzLcGaxxt5vKz3guN5_Yla4yXtYPCKMWq2/s16000/ana5.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">3211=3112+3</span><sup style="font-family: inherit;">4</sup><span style="font-family: inherit;">+1</span><sup style="font-family: inherit;">4</sup><span style="font-family: inherit;">+1</span><sup style="font-family: inherit;">4</sup><span style="font-family: inherit;">+2</span><sup style="font-family: inherit;">4</sup><span style="font-family: inherit;">=3112+99</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">K=5<o:p></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWrVPwfsoQJWQNIYovbTPfujkEFD7HPeUI1LJy5yFemXXgRnt432w9WcWBaROtu1JcRYlDwvYu3roTptQ_lL-goXoqD7KshqewInQY08Ih4rcv4IdW8VwyntSpfuCwI7HmHEpzxhIyt6n7lUWolfdaAVkDA-UFXu84tP41uqsMwbKeCyqITDOGoPFM/s249/ana6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="114" data-original-width="249" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWrVPwfsoQJWQNIYovbTPfujkEFD7HPeUI1LJy5yFemXXgRnt432w9WcWBaROtu1JcRYlDwvYu3roTptQ_lL-goXoqD7KshqewInQY08Ih4rcv4IdW8VwyntSpfuCwI7HmHEpzxhIyt6n7lUWolfdaAVkDA-UFXu84tP41uqsMwbKeCyqITDOGoPFM/s16000/ana6.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">14310=13041+1</span><sup style="font-family: inherit;">5</sup><span style="font-family: inherit;">+3</span><sup style="font-family: inherit;">5</sup><span style="font-family: inherit;">+0</span><sup style="font-family: inherit;">5</sup><span style="font-family: inherit;">+4</span><sup style="font-family: inherit;">5</sup><span style="font-family: inherit;">+1</span><sup style="font-family: inherit;">5</sup><span style="font-family: inherit;">=13041+1+243+0+1024+1=13041+1269</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Dejamos aquí las potencias de cifras.</span></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><p class="MsoNormal"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Anagramáticos con
producto de cifras</span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Podemos plantearnos pares de anagramáticos que se
diferencien en el producto de sus cifras. Usaremos nuestra función <i style="mso-bidi-font-style: normal;">producifras</i>, que es similar a <i style="mso-bidi-font-style: normal;">sumacifras</i> (ver <a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html"><span style="color: windowtext;">https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html</span></a>).
En este enlace puedes leer unos resultados más exigentes que los propuestos
aquí, pues no basta con que los pares sean anagramáticos, sino que han de ser también
simétricos. En las búsquedas hay que eliminar los números en los que el
producto de las cifras sea cero, pues aparecerían muchos casos triviales. En
nuestro caso obtenemos estos pares:<o:p></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuuU87EOvTHuF71bOC6cG3MNpyJwWnClq-wMT4yn-82chXIg8K2N76WqO0l15Ibzs7-WZVL8aJliZESJZrnkIFvUjH3Cgl8g0F1CiOVC7Wl2HC1Y2oOtCwsuMgsc7euz8zmwPa3gcNbDX9pjXGjG-oOdXV5nhzB3DobTe8PPQvXvEXGPuo_AQmH9Bm/s439/ana7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="439" data-original-width="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuuU87EOvTHuF71bOC6cG3MNpyJwWnClq-wMT4yn-82chXIg8K2N76WqO0l15Ibzs7-WZVL8aJliZESJZrnkIFvUjH3Cgl8g0F1CiOVC7Wl2HC1Y2oOtCwsuMgsc7euz8zmwPa3gcNbDX9pjXGjG-oOdXV5nhzB3DobTe8PPQvXvEXGPuo_AQmH9Bm/s16000/ana7.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, 1631=1613+1*6*1*3=1613+18</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Aquí también el producto de cifras ha de ser múltiplo de 9,
porque el par de anagramáticos comparte el mismo resto módulo 9. Significa que
una cifra ha de ser 9, o bien, que figuren 3 o el 6 repetidos o estar presentes
ambos. Recorriendo la tabla se comprueba.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-6269474180038574952023-06-08T18:32:00.001+02:002023-06-08T18:32:00.151+02:00 Generación de primos sumando cuadrados y otros (2)<p><span style="font-family: inherit;">En la anterior entrada generamos sucesiones de primos en la que cada
término era el menor primo con diferencia cuadrada respecto al anterior. De
forma más breve realizaremos un recorrido con otros casos que tengan otro
carácter.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="font-family: inherit;">Triangulares<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En el caso de cuadrados usábamos la función PRIMSALTO (ver entrada
anterior del blog).<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Ahora sustituimos en la función PRIMSALTO la función ESCUAD por la
función ESTRIANGULAR, y elegimos el 2 como primo de inicio. Con ello
encontraremos los primeros primos que posean una diferencia triangular con el
anterior, siendo cada uno el mínimo con esa propiedad.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Obtenemos:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwNi7mphNixSNk_ue3YACagvD0cQlbragCyybxXDr7d5UDYJq3wfwxAflmU3LhRrCvWuHfHz1Lw-JntLTZk_VZK0guM_DOFJeeTKv37t4eLXDYCqYCwqSGTDYudVRaYFMQr8cpgQidcwa9DKdGxLikg2KBG3uv2APL0zE3mQFqWq8978SzlkSsJTjF/s244/difc5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="244" data-original-width="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwNi7mphNixSNk_ue3YACagvD0cQlbragCyybxXDr7d5UDYJq3wfwxAflmU3LhRrCvWuHfHz1Lw-JntLTZk_VZK0guM_DOFJeeTKv37t4eLXDYCqYCwqSGTDYudVRaYFMQr8cpgQidcwa9DKdGxLikg2KBG3uv2APL0zE3mQFqWq8978SzlkSsJTjF/s16000/difc5.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Aquí lo interesante es que todas las diferencias, salvo la primera, han
de ser pares, por lo que los órdenes de las mismas han de pertenecer a uno de
los tipos 4k o 4k-1. Es fácil razonarlo a partir de la expresión n(n+1)/2.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con este inicio del primo 2, están publicados en <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://oeis.org/A275030">https://oeis.org/A275030</a><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Ocurre con estos primos algo similar a lo que se observaba en el caso de
cuadrados, y es que si se alcanza un primo del tipo 6n+5, todos sus
consecutivos comparten ese mismo tipo. Lo puedes comprobar en el caso de 97,
que hemos elegido al azar:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrAY4USmgI9NuVF_CJ6Q2fvT86CEBhECB3qrmpWj5WtzBbUtUCsRGJkqbU1pOcd6eGBS3cmdCMEnTb-AXfb7idmS4v1UXg3bTlKJ0HixYf7o30KjZV1NVaCyVjmkMvy5V-hFj6y6blzVGAJfSv-UoTgbvF3aCURF5KSh4dWhpURBUBqEeDTFL3BPIJ/s294/difc6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="294" data-original-width="259" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrAY4USmgI9NuVF_CJ6Q2fvT86CEBhECB3qrmpWj5WtzBbUtUCsRGJkqbU1pOcd6eGBS3cmdCMEnTb-AXfb7idmS4v1UXg3bTlKJ0HixYf7o30KjZV1NVaCyVjmkMvy5V-hFj6y6blzVGAJfSv-UoTgbvF3aCURF5KSh4dWhpURBUBqEeDTFL3BPIJ/s16000/difc6.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;"><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></p>A partir del 137 todos son del tipo 6n+5. Se puede razonar estudiando
seis casos. En primer lugar distinguiremos entre triangulares de orden 4k o de
orden 4k-1 (ver párrafos anteriores) y dentro de ellos, que k sea del tipo 3m,
3m+1 o 3m-1. Lo desarrollamos suponiendo que partimos de un primo del tipo 6n+5
y llamamos T al triangular que se suma:</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="font-family: inherit;">Primer caso T=2k(4k+1)=8k<sup>2</sup>+2k<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">6n+5+T=6n+5+8k<sup>2</sup>+2k<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m</b> T es múltiplo de 6, luego sigue la forma 6n+5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m+1</b>. T=8(3m+1)<sup>2</sup>+2(3m+1)=72m<sup>2</sup>+48m+8+6m+2
que da resto 4 módulo 6, luego pasa al
tipo 6n+3, que no es primo. No nos vale.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m-1</b> T=8(3m-1)<sup>2</sup>+2(3m-1)=72m<sup>2</sup>-48m+8+6m-2
múltiplo de 6, luego respeta el 6n+5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="font-family: inherit;">Segundo caso T=2k(4k-1)=8k<sup>2</sup>-2k<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m</b> es T múltiplo de 6 y respeta el 6n+5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m+1</b> 8(3m+1)<sup>2</sup>-2(3m+1)=72m<sup>2</sup>+48m+8-6m-2,
múltiplo de 6 y respeta el tipo 6n+5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m-1</b> 8(3m-1)<sup>2</sup>-2(3m-1)=72m<sup>2</sup>-48m+8-6m+2
resto 4 y no resulta primo<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">O no son válidos los triangulares, porque den resto 4 y convertirían
6n+5 en 6n’+9, no primo o bien se suma un múltiplo de 6 y sigue 6n+5.<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Queda, pues, comprobado que al llegar a un primo de ese tipo, se conserva
ese carácter.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i><span style="font-family: inherit;">Primos iniciales, sin antecedentes</span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Procediendo de forma similar al caso de los cuadrados, descubrimos que
estos primos no tienen antecedentes:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 97,
101, 103, 109, 113, 127, 131, 139, 151, 157, 163, 167, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 229, 241, 251, 263, 269, 271<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">No debemos confundirnos. En el listado parece que 11 es antecedente de
17, pues su diferencia es el triangular 6, pero la existencia del intermedio 13
invalida la idea.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i><span style="font-family: inherit;">Primos consecutivos</span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">También en el caso de saltos triangulares se observan primos
consecutivos. Estos son los primeros:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">23, 29<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">31, 37<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">47, 53<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">53, 59<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">61, 67<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">73, 79<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">83, 89<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">131, 137<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">139, 149<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">151, 157<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">157, 163<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">167, 173<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">173, 179<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">181, 191<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Con cubos</span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Procediendo de igual forma que en los tipos anteriores
obtenemos:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwtenTv4HflV5YJAIa20DvoyAKYM_yms8oDOdVK3gQ5Y7Q1yLSp77Q35qrBiJZsFmAB5HJR3rfH5IYH7gzD7rFT7ZHKX_XNOR049htOC5bzx_RqoghZUAsvtwLltR2zoWmuiYZm4fM82p43uXWCCtJgfP54ASgUkSrAJmhZRmbvBuztHwMX10ER3yF/s251/difc7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="251" data-original-width="179" height="251" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwtenTv4HflV5YJAIa20DvoyAKYM_yms8oDOdVK3gQ5Y7Q1yLSp77Q35qrBiJZsFmAB5HJR3rfH5IYH7gzD7rFT7ZHKX_XNOR049htOC5bzx_RqoghZUAsvtwLltR2zoWmuiYZm4fM82p43uXWCCtJgfP54ASgUkSrAJmhZRmbvBuztHwMX10ER3yF/s1600/difc7.png" width="179" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A076201" style="font-family: inherit;">https://oeis.org/A076201</a><span style="font-family: inherit;">, y no presentan, aparentemente,
propiedades de interés.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Con oblongos</span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Al ser los oblongos números pares que son doble de un
triangular (son del tipo n(n+1)), se merecen un repaso. Con ellos no se puede
iniciar con el primo 2. Estos son los primeros conseguidos con inicio 3:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 224.4pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 183pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png">
</v:imagedata></v:shape><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5Z2aNl2tWl31-Q-nMAbicuFWXfPqB4mlqSPVirr4q_QETvo7DX4qqjb8Fa4DZHFxdofTxQsZ2xUzFTGuwhvrsXVs7f51bpAJ8i8sx7qzN_93eX3sIN7zJSIMTQ8BGO1XSiekBTi8PRT9QI0ZOknE1B9oa6HfBVXxB7RU1w7rigcFE72vFsh0R31k5/s300/difc8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="244" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5Z2aNl2tWl31-Q-nMAbicuFWXfPqB4mlqSPVirr4q_QETvo7DX4qqjb8Fa4DZHFxdofTxQsZ2xUzFTGuwhvrsXVs7f51bpAJ8i8sx7qzN_93eX3sIN7zJSIMTQ8BGO1XSiekBTi8PRT9QI0ZOknE1B9oa6HfBVXxB7RU1w7rigcFE72vFsh0R31k5/s1600/difc8.png" width="244" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con oblongos, el tipo de primo que perdura es el <b>6n+1</b>. En la tabla comprobamos que este
hecho comienza en el 7.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si llamo O al oblongo (da igual su orden, porque siempre es
par) tendremos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">6n+1+O = 6n+1+k(k+1)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m</b>,
6n+1+(3m)(3m+1) sigue el tipo 6n+1 pues el producto es múltiplo de 6<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m+1</b>.
6n+1+k(k+1)=6n+1+(3m+1)(3m+2) sería no válido, por ser la suma múltiplo de 3<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si <b>k=3m-1</b>,
6n+1+k(k+1)=6n+1+(3m-1)(3m) sería idéntico al primer caso.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Así que los saltos válidos respetan el tipo <b>6n+1</b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">Siguiendo un proceder de este
blog, cuando se tratan varios tipos de números, al avanzar se prescinde de algunos
detalles, para no cansar y también para dar oportunidad a los lectores que
deseen explorar por su cuenta. <span style="font-family: inherit;">Así </span></span></span><span style="line-height: 120%;"><span style="font-family: inherit;">que aquí dejamos el tema.</span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-33546329469364843202023-05-29T18:23:00.001+02:002023-05-29T18:23:00.168+02:00Generación de primos sumando cuadrados y otros (1)<p><span style="font-family: inherit;">En mis exploraciones por la página
OEIS me he encontrado con una sucesión de primos en la que a cada término le
sigue el menor primo cuya diferencia con el anterior es un cuadrado (https://oeis.org/A073609).
He pensado en ampliar el tema a diferencias de otro tipo, no cuadrados, para
descubrir algunas posibles propiedades.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">La sucesión es claramente
dependiente de su inicio, que en este caso es el 2, pero para cualquier primo
con que iniciemos, producirá un siguiente primo único, diferente a estos o
coincidente. Los términos publicados son los siguientes, con inicio en 2:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-tab-count: 1 dotted;"> </span>2,
3, 7, 11, 47, 83, 227, 263, 587, 911, 947, 983, 1019, 1163, 1307, 1451, 1487,
1523, 1559, 2459, 3359, 4259, 4583, 5483, 5519, 5843, 5879, 6203, 6779, 7103,
7247, 7283, 7607, 7643, 8219, 8363, 10667, 11243, 11279, 11423, 12323, 12647,
12791, 13367,...<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">No es difícil, dado un número primo,
encontrar otro primo, el menor posible, que se diferencie del primero en un cuadrado.
La función en VBA de Excel puede ser la siguiente:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">Function primsalto(a) As Long<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">Dim p, prim,d As Long<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">Dim sale As Boolean<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b style="font-family: inherit;"><i>if not esprimo(a) then
primsalto=0:exit function </i></b><span style="font-family: inherit;">‘No es primo y se asigna un cero</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>p = primprox(a): sale = False:
prim = 0 ‘</i></b>Se van buscando los siguientes primos<b><i><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">While Not sale<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>d=p-a ‘</i></b>Se calcula la
diferencia<b><i><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>if escuad(d) then
prim=p:sale=true </i></b>‘Si la diferencia es cuadrada, tenemos la solución<b><i><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>p=primprox(p) </i></b>‘Se
sigue con el siguiente primo<b><i><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">wend<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>primsalto=prim ‘</i></b>Se
encontró <b><i><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">End Function<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Hay que usar las funciones ESCUAD y
PRIMPROX, que se pueden buscar en nuestro blog.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con ella, comenzando, por ejemplo en
el 7, se construye fácilmente un conjunto dentro de la sucesión:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZeUDfsgPQ3OF_KK9NsE-nLryeFCUMbEP4--wM5u6CHU2DmcP8Y6fwXOByYBy7l90WBmq6O0cP5If7hHUG7EsK0MNpHQf2yBMifAov6PH-9qqdcw1bhlKkgW2k9AHjJykRFxqo3NE1SrEYyGJAks6VGEYbxGjAPkdZOTJPdayD5FAVEJcne4Ai7s90/s240/difc1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="240" data-original-width="191" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZeUDfsgPQ3OF_KK9NsE-nLryeFCUMbEP4--wM5u6CHU2DmcP8Y6fwXOByYBy7l90WBmq6O0cP5If7hHUG7EsK0MNpHQf2yBMifAov6PH-9qqdcw1bhlKkgW2k9AHjJykRFxqo3NE1SrEYyGJAks6VGEYbxGjAPkdZOTJPdayD5FAVEJcne4Ai7s90/s16000/difc1.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Si elegimos un primo que no figure
en la sucesión, como el 13, construiremos otra similar, que, en este caso
sería:</span><div><span style="font-family: inherit;"> </span><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzH9omotOiyg8o-xD1_w9RFCxohsngZ7S9nAlCG4lq6eq39tv_WyKDBSdK3IQz_YqGVpfnLP4mRBmeI0Ykzj3iipdgTseLtCeiuBWuWSasnBLXbPCbAxzyjveylcNKDwB3E6pPvYUaBkT0u_WzsgiU8wevpjYM-MGF1lQAzu4ZTHX1Fv2NyOxh74Bz/s235/difc2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="235" data-original-width="193" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzH9omotOiyg8o-xD1_w9RFCxohsngZ7S9nAlCG4lq6eq39tv_WyKDBSdK3IQz_YqGVpfnLP4mRBmeI0Ykzj3iipdgTseLtCeiuBWuWSasnBLXbPCbAxzyjveylcNKDwB3E6pPvYUaBkT0u_WzsgiU8wevpjYM-MGF1lQAzu4ZTHX1Fv2NyOxh74Bz/s16000/difc2.png" /></a></span></div><p></p><p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En este caso nos devuelve otra
sucesión cuyos primeros términos no coinciden con los anteriores. Podía haber
un elemento común, con lo que ambas sucesiones coincidirían totalmente a partir
de él. Volveremos a ese tema.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En la sucesión de OEIS citada se
organiza la búsqueda con un orden distinto, pues para cada primo se le van
sumando cuadrados hasta llegar a otro primo. El código PARI es muy sintético y
lo copiamos aquí.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">print1(a=2, ", ");
for(n=1, 43, k=1; while(!isprime(b=a+k^2), k++); print1(a=b, ", "))<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Usa la instrucción <i>print</i> para
asignar también valores a las variables. No lo habíamos visto hasta ahora, y es
ingenioso.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Cuestiones diversas</span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i><span style="font-family: inherit;">Naturaleza de los cuadrados</span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Para primos mayores que 6, en cada
inicio de sucesión, si se llega a un tipo </span><b style="font-family: inherit;">36k+p</b><span style="font-family: inherit;">,
siendo p primo del tipo </span><b style="font-family: inherit;">6q+5</b><span style="font-family: inherit;">, todos
los cuadrados que se añadan en este proceso serán múltiplos de 36, con lo que
el tipo inicial </span><b style="font-family: inherit;">36k+p</b><span style="font-family: inherit;"> se mantendrá.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Efectivamente, si le sumo otro
cuadrado, deberá ser par, para que la suma siga siendo impar, y también ha de
ser <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>múltiplo de 3, pues, en caso
contrario, sería uno de los tipos 6m+2 o 6m+4, y resultaría:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">36k+p+(6m+2)² =36(k+m²)+24m+4+p<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">36k+p+(6m+4)² =36(k+m²)+48m+16+p<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si p=6k+5 no valen estos casos, pues
4+p y 16+p serían múltiplos de 3, con lo que el resultado final no sería primo.
Por tanto, el cuadrado ha de ser múltiplo de 36.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si p=6k+1, puede no ser el salto de
36k, sino otro cualquiera par, como 4, 16, 64 o 100.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Observamos algunos inicios:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Inicio
37<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Este primo es del tipo 6k+1, por lo
que el cuadrado que se suma no ha de ser múltiplo de 36, pero el siguiente, 41,
es del tipo 6k+5, y a partir de él, todos son del mismo tipo. A esta situación
se llegará siempre. Es fácil razonarlo. <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">36k+6q+1+(6m+2)²
=36(k+m²)+24m+4+6q+1=6h+5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">36k+6q+1+(6m+4)²
=36(k+m²)+48m+16+6q+1=6h+5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Lo vemos en la imagen:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: yes;"><v:shape id="_x0000_i1026" style="height: 178.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 142.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglRm7NaijQItzZVKaRIxRWVfCQMiyg3RqXlzM1a-qxr44DdBP9GWvPtHqd5DSXCUxjc6IXyTAYZvUKJS9BR4WrogaKdG4AHG_i736NMciRnL0PpZ3PKeHzxWcoITYP4zmfzIX8eoCHWyI5AW58QLzQX_RQepbvoJSObbQ_Y30Ew3nc_0_0NgXTVCuW/s238/difc3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="238" data-original-width="190" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglRm7NaijQItzZVKaRIxRWVfCQMiyg3RqXlzM1a-qxr44DdBP9GWvPtHqd5DSXCUxjc6IXyTAYZvUKJS9BR4WrogaKdG4AHG_i736NMciRnL0PpZ3PKeHzxWcoITYP4zmfzIX8eoCHWyI5AW58QLzQX_RQepbvoJSObbQ_Y30Ew3nc_0_0NgXTVCuW/s16000/difc3.png" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Todos los restos módulo 6 valen 5, y
todas las diferencias múltiplos de 36 a partir del 41.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Inicio
47<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Este primo es del tipo 6k+5, luego
todos los cuadrados serán múltiplos de 36<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_H7jCw5MAjHRcnOnpMOZeVK97X6Aw7D7w4rk36q6E4lwzjAa2fYM9vkjtol-K24YwhhfO-BYHCyCIG1meABtPlNATZVZG3ICc4_b0_ykXUuI1S37I49PNQ5wOfrC-kKC_e3K1C0Vy3pye-qL-peVJ7ZhXUPB00HH7PfhsJOJJ4dVAINJFSfTtMqAO/s234/difc4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="234" data-original-width="190" height="234" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_H7jCw5MAjHRcnOnpMOZeVK97X6Aw7D7w4rk36q6E4lwzjAa2fYM9vkjtol-K24YwhhfO-BYHCyCIG1meABtPlNATZVZG3ICc4_b0_ykXUuI1S37I49PNQ5wOfrC-kKC_e3K1C0Vy3pye-qL-peVJ7ZhXUPB00HH7PfhsJOJJ4dVAINJFSfTtMqAO/s1600/difc4.png" width="190" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES; mso-no-proof: yes;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 175.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 142.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i><span style="font-family: inherit;">Primos consecutivos</span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Hemos visto que el primo 37, con un
cuadrado se ha convertido en su consecutivo. En este caso, con cuadrado igual a
4. Esto será frecuente, pero habrá otros ejemplos. En un primer intento, todos
los casos hasta el valor de 1000 presentan una diferencia de 4. El siguiente
cuadrado par, 16, se alcanza por primera vez en el par 1831, 1847. La siguiente
diferencia de 64 no se alcanza para valores inferiores a 25000. Con el
siguiente código, adaptado de OEIS, hemos encontrado dos pares de primos
consecutivos con diferencia 64.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">primosalto(n)={my(k=1,b);while(!isprime(b=n+k^2),
k++);b} <o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="font-family: inherit;">forprime(i=2,2000,p=nextprime(i+1)
;q=primosalto(i);if(p==q&&p-i==16,print(i," ",p)))<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Son estos: (89689, 89753) y (107377,
107441)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los primeros casos para cada
cuadrado están publicados en <a href="https://oeis.org/A138198">https://oeis.org/A138198</a>:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">2, 7, 1831, 9551, 89689, 396733,
11981443, 70396393, 1872851947, 10958687879, 47203303159, 767644374817,
8817792098461, 78610833115261, 497687231721157, 2069461000669981,
22790428875364879, 78944802602538877....<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i><span style="font-family: inherit;">Primos comunes a dos sucesiones</span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">Se podría preguntar si estas sucesiones son disjuntas o
existen elementos comunes, y la respuesta es que sí los hay. Hemos usado la
siguiente función para detectar si un número primo pertenece a la sucesión
iniciada con otro primo menor, al que llamaremos <i style="mso-bidi-font-style: normal;">antecedente</i>.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">function numsaltos$(n)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">dim s$<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">dim i,k<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">k=0 </span></i></b><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">‘Contador de soluciones<b><i><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">i=2 </span></i></b><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">‘Primer inicio primo<b><i><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">while i<=n and k<2<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">if n=primsalto(i) then k=k+1:s=s+str$(i)+", "</span></i></b><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">’Nueva solución<b><i><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">i=primprox(i)</span></i></b><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">’Siguiente primo posible<b><i><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">wend<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">if k>=2 then numsaltos=str$(ajusta(k))+". "+s
else numsaltos="NO"<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b><i><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">end function </span></i></b><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">‘Devuelve un par de soluciones o un “NO”<b><i><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los primeros elementos comunes, seguidos por dos
antecedentes son:</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">41<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>5,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>37 <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">47<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>11,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>31<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">83<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>47,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>79 <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">89<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>53,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>73<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">107 71,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>103<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">167 131,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>151<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">173<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>29,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>137<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">197 181,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>193<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></span><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, 167 pertenece a las sucesiones</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">131, 167, 311, 347, 383<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">151, 167, 311, 347, 383<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">Es evidente que, a partir de un elemento común, todos lo son.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><i><span style="font-family: inherit;">Primos sin antecedentes</span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si modificamos la función </span><b style="font-family: inherit;"><i>numsaltos</i></b><span style="font-family: inherit;"> para que devuelva sólo
el número de antecedentes, obtendremos otras soluciones interesantes:</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">Estos serían inicio de sucesión pero no pertenecerían a ninguna otra.
Basta buscar aquellos primos p en los que numsaltos(p)=0. Los primeros son
estos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><span style="font-family: inherit;">2, 5, 13, 19, 29, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 103, 109, 127,
139, 151, 157, 163, 179, 181, 191, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283,
313, 331, 337, 349, 359, 367, 373, 379, 397, 409, 421, 431, 433,...<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">Están publicados en </span><a href="https://oeis.org/A073770"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;">https://oeis.org/A073770</span></a></span><span class="MsoHyperlink"><span style="color: black; mso-bidi-font-family: Arial;"><o:p></o:p></span></span></p></div><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-33435972528775515582023-05-16T18:06:00.001+02:002023-05-16T18:06:00.142+02:00Diversos órdenes de la función TAU<p><span style="font-family: inherit;">Una extensión de la definición de la función TAU, que es la
que cuenta los divisores de un número, puede ser la que resuma las
descomposiciones en dos factores, N=x*y, o, ya puestos, las de tres factores
N=x*y*z, o cuatro. Así podríamos definir TAU_1, TAU_2, TAU_3,…según el número
de esos factores.</span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En este blog hemos aludido alguna vez a la descomposición de
un número en tres factores, pero sin tener en cuenta el orden de los mismos,
que elegíamos ordenados en orden creciente.<o:p></o:p></span></p>
<p align="left" class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; text-align: left;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, se tratan en <a href="https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/04/productos-de-tres-divisores-13.html">https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/04/productos-de-tres-divisores-13.html</a>
y siguientes<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En esta entrada dedicaremos una pequeña referencia a TAU_2, que
en realidad es la función TAU tradicional, para después dedicarnos a TAU_3 y
TAU_4. A partir de ellas no es difícil estudiar las siguientes.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;">Función TAU_2(n)<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si buscamos todos los pares ordenados de divisores de N cuyo
producto es N, en realidad estamos contando los divisores simples, porque cada
divisor posee un complementario (N/d) respecto a N que también es divisor de N,
lo que duplica su presencia en los productos.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En síntesis: <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">TAU_2(N) =
TAU(N)</b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Es lo único que estudiaremos de esta función, muy conocida y
también muy usada en este blog.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Según el razonamiento anterior, contar divisores de un número
N equivale a contar soluciones ordenadas de la ecuación <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">N=x*y</b> con <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">x</b> e <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">y</b> positivos.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Lo podemos comprender mejor con un ejemplo concreto. Hemos
elegido el número 84:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">El número de divisores de 84, o TAU(84), se calcula a partir
de la descomposición factorial: 84=2<sup>2</sup>*3*7, aplicando la conocida
fórmula del producto de exponentes incrementados en una unidad:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">TAU(84)=(1+2)(1+1)(1+1)=12.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los doce divisores son: 84, 42, 28, 21, 14, 12, 7, 6, 4, 3, 2
y 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Viene bien recordar que el valor de TAU sólo depende de la
signatura prima, que es el conjunto de exponentes, y no de los factores primos.<o:p></o:p></span></p>
<p align="left" class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; text-align: left;"><span style="font-family: inherit;">Por otra parte, las
soluciones de 84=x*y se pueden encontrar con nuestra herramienta Cartesius (<a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius">http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius</a>)<o:p></o:p></span></p>
<p align="left" class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; text-align: left;"><span style="font-family: inherit;">Con ella podemos usar el
siguiente planteo:<o:p></o:p></span></p><p align="left" class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; text-align: left;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAUgCPM6e8o7r_tgpVDWYFJ222BSm-aXNf9_zk7sJybQD-6suCUyy-xC9mUjTiiYs8X4I8l4_x7O0iExNI2sj67wlgqPX6dX6xlIeoxI2hauOy828HzoCKyvdp6iedsmt20LMzeIC5pBzhO9nBbET9sfWwYBLYGxM8pmj89xDu_PkJD5F2UYyldXXH/s197/tau1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="100" data-original-width="197" height="100" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAUgCPM6e8o7r_tgpVDWYFJ222BSm-aXNf9_zk7sJybQD-6suCUyy-xC9mUjTiiYs8X4I8l4_x7O0iExNI2sj67wlgqPX6dX6xlIeoxI2hauOy828HzoCKyvdp6iedsmt20LMzeIC5pBzhO9nBbET9sfWwYBLYGxM8pmj89xDu_PkJD5F2UYyldXXH/s1600/tau1.png" width="197" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Se sigue fácilmente: Combinar dos números, entre 1 y 84, que
sean ambos divisores de 84, y que su producto sea también 84. Resultan las
soluciones:</span><p></p><p align="left" class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; text-align: left;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaE7-qWFoxbPJ785GQMMo0HVauIel722dSOySNZLg6pjbyKK-BNdfseXxtJTLBqt-h56_4sp6wSTkCzpTjLvqSJGNfl0wAhX17a-1YFSIRN9aOaOW8P1oZVdWkGobOceUNhVRAvVbg-xr2tDRr74dvR6IfsnJ83ezSn47oqf-sKLpT2yJdvJUjnCXV/s222/tau2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="222" data-original-width="82" height="222" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaE7-qWFoxbPJ785GQMMo0HVauIel722dSOySNZLg6pjbyKK-BNdfseXxtJTLBqt-h56_4sp6wSTkCzpTjLvqSJGNfl0wAhX17a-1YFSIRN9aOaOW8P1oZVdWkGobOceUNhVRAvVbg-xr2tDRr74dvR6IfsnJ83ezSn47oqf-sKLpT2yJdvJUjnCXV/s1600/tau2.png" width="82" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Como cada divisor </span><b style="font-family: inherit;">d</b><span style="font-family: inherit;">
posee un único complementario </span><b style="font-family: inherit;">N/d</b><span style="font-family: inherit;"> para
conseguir el 84, es evidente que resultarán también 12 soluciones, con lo que </span><span style="font-family: inherit;">comprobamos</span><span style="font-family: inherit;"> que esta forma de definir TAU es
válida.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;">Función TAU_3(n)<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Ya se indicó más arriba que la descomposición en tres factores
ya se ha abordado en este blog, pero ahora consideraremos todas las ordenaciones
posibles de las tres soluciones de la ecuación <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">N=x*y*z</b>. No es difícil razonar cómo encontrar el número de
soluciones. Basta considerar que <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">z</b>
ha de tomar todos los valores posibles de divisores de <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">N</b>, y que <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">x*y</b> serían
entonces todos los productos posibles del complementario de z, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">N/z</b>. Por tanto, cada valor de z se
combinará con las soluciones de <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">N/z=x*y</b>,
que vimos más arriba que coinciden con el número de divisores de N/z. Por tanto
TAU_3(N) se encuentra sumando <b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">los números<span style="mso-spacerun: yes;">
</span>de divisores de cada divisor de N</i></b>.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Lekraj Beedassy lo expresa muy bien en OEIS: <i style="mso-bidi-font-style: normal;">“Number of divisors of n's divisors”</i>.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Lo comprobaremos de varias formas con el mismo ejemplo del 84.
Comenzaremos con Cartesius:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYNVADI2auuNZDWyUrkJT9w9UA2U3-MNH80JjhQA-Xxjhj_cpBx7wdtosApAUnlZDk_MsoATJdumSPhWuoIY5yV37a9SioqVyj4jNY5l5PO4MgF63fhkteryrRFxcKV5T7R2JeJP2wD8-q-J3_o8ajkI_zbosKkCc4LZAzogrQo4a05ZnhTwFfVEoW/s198/tau3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="93" data-original-width="198" height="93" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYNVADI2auuNZDWyUrkJT9w9UA2U3-MNH80JjhQA-Xxjhj_cpBx7wdtosApAUnlZDk_MsoATJdumSPhWuoIY5yV37a9SioqVyj4jNY5l5PO4MgF63fhkteryrRFxcKV5T7R2JeJP2wD8-q-J3_o8ajkI_zbosKkCc4LZAzogrQo4a05ZnhTwFfVEoW/s1600/tau3.png" width="198" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES;"><v:shape id="_x0000_i1034" style="height: 55.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 118.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">El mismo plantamiento que con dos factores, adaptándolo a
tres. Resultan entonces 54 soluciones.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGcvHBKL1A2MlwweVXuvCG6IgKvthxejsBEjk7b_VyqHnmU70dMfOwprBfaTI9DOFYbz29euOxZrUlZUeIxdkCd0az0dqCQxrUbyQaPWun25TGxN8WRNA7HiqI1IuxwdoXkxpu2teLH1iOTbPLSnszt06RlSnnLfEHte41KGC_MGdtEiqbAGrQdaUR/s83/tau4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="38" data-original-width="83" height="38" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGcvHBKL1A2MlwweVXuvCG6IgKvthxejsBEjk7b_VyqHnmU70dMfOwprBfaTI9DOFYbz29euOxZrUlZUeIxdkCd0az0dqCQxrUbyQaPWun25TGxN8WRNA7HiqI1IuxwdoXkxpu2teLH1iOTbPLSnszt06RlSnnLfEHte41KGC_MGdtEiqbAGrQdaUR/s1600/tau4.png" width="83" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES;"><v:shape id="_x0000_i1033" style="height: 28.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 62.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Ahora lo resolveremos con una función para Excel o Calc:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Public Function tau_3(n)<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Dim i, j, s<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">s = 0 </i></b>‘Inicio del contador<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">For i = 1 To n<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">If n / i = n \ i Then </i></b>‘Recorre los
divisores de N<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">For j = 1 To i<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">If i / j = i \ j Then s = s + 1 </i></b>’Aumenta
el contador con “divisores de divisores”<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Next j<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">End If<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Next i<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">tau_3 = s<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-add-space: auto;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">End Function<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si lo aplicamos al número 84, se confirma que TAU_3(84)=54<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En <a href="https://oeis.org/A007425">https://oeis.org/A007425</a>
están publicados los valores para los primeros números:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">A007425 <span style="mso-tab-count: 1 dotted;"> </span>d_3(n), or tau_3(n), the number of
ordered factorizations of n as n = r s t.<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-tab-count: 1 dotted;"> </span>1, 3, 3, 6, 3, 9, 3, 10, 6, 9, 3, 18, 3, 9, 9, 15, 3, 18, 3,
18, 9, 9, 3, 30, 6, 9, 10, 18, 3, 27, 3, 21, 9, 9, 9, 36, 3, 9, 9, 30, 3, 27,
3, 18, 18, 9, 3, 45, 6, 18, 9, 18, 3, 30, 9, 30, 9, 9, 3, 54, 3, 9, 18, 28, 9,
27, 3, 18, 9, 27, 3, 60, 3, 9, 18, 18, 9, 27, 3, 45, 15, 9, 3, 54, 9, 9, 9, 30,…<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Puedes comprobar valores con Cartesius o nuestra función.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los códigos PARI publicados en esta página son tan ingeniosos,
que es prferible copiar alguno. Por ejemplo:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">a(n)=sumdiv(n, x, sumdiv(x, y, 1 )) \\ Joerg Arndt, Oct 07 2012<o:p></o:p></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Pide sumar, para cada divisor de N, un 1 por cada uno de sus
divisores, lo que equivale a contarlos. Lo probamos en la página web de PARI:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>for(i=1, 200, print1(sumdiv(i,
x, sumdiv(x, y, 1 )),", "))<o:p></o:p></span></i></b></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"></i></b></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4WWxfbbLHGLJuyjt1hd_qbr6ifIZfzrEW9rLWac-gZjiHnr6FlHyYPoXjHZNcndFeMMIAZ1t_24Axtj_KI7VH0nv5XSqA1sYrv1R0zlE0JO3gqe9b653CYJToq7j70PElnUI5K072gtUl1kqTXd4KrxdSws3HQQKmgMLBCIPCjjUBjoUPALI9vK4/s530/tau5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="145" data-original-width="530" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO4WWxfbbLHGLJuyjt1hd_qbr6ifIZfzrEW9rLWac-gZjiHnr6FlHyYPoXjHZNcndFeMMIAZ1t_24Axtj_KI7VH0nv5XSqA1sYrv1R0zlE0JO3gqe9b653CYJToq7j70PElnUI5K072gtUl1kqTXd4KrxdSws3HQQKmgMLBCIPCjjUBjoUPALI9vK4/s16000/tau5.png" /></a></i></b></div><span style="font-family: inherit;"><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></p>Coincide, como era de esperar, con los publicados.</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #660000;">Intervienen los números
triangulares</span><o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Todos los resultados son productos de números triangulares y
dependen de la signatura prima de N, y no de los valores de los factores
primos.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Introducimos el tema con algunos ejemplos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">N es primo<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En ese caso Tau_3(N)=3, porque los productos <i style="mso-bidi-font-style: normal;">xyz</i> posibles serían 11p,1p1, y p11, es
decir T(1+1)=3, representando por T el triangular correspondiente. También
podemos acudir a una partición plana que represente la segunda definición que
hemos dado (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_partition">https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_partition</a>)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>p<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Es un esquema triangular de lado 2<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">N es semiprimo N=p*q con
factores primos diferentes<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los productos xyz serían<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">N11, 1N1, N11, 1pq, 1qp, qp1, q1p, pq1, p1q son nueve, que
coincide con T(1+1)T(1+1)=3*3=9<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Como partición plana:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">N<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>p<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>q<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">p 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">q 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Resulta TAU_3(pq)=9<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Para un semiprimo
cuadrado<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los productos serían 11n,1n1, n11, 1pp, p1p, pp1 son seis:
T(2+1)=T(3)=6<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En representación de dos dimensiones:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">N p 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">p 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">TAU_3(p<sup>2</sup>)=6<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: inherit;">Para exponentes 2 y 1,
como el 12:<o:p></o:p></span></i></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los productos serían 1(12)1, 11(12), (12)11, 143, 134, 413, 431,
314, 341, 223, 232, 322, 126, 162, 216, 261, 612, 621 son 18,
T(2+1)T(1+1)=6*3=18<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En un esquema de partición plana se organizarían así:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">12<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>6<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>4<span style="mso-spacerun: yes;">
</span>3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">6<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">4<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">TAU_3(p<sup>2</sup>q)=18<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Los divisores de los divisores resultan ser 18, ordenados.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Aquí nos detenemos. Hemos comprobado que para un factor el
TAU_3(N) es un triangular, y para dos factores, un producto de triangulares. Pues
bien, ese esquema se conserva, y si un número posee varios factores primos con
diferentes exponentes, bastará sustituir en la fórmula de la función TAU los
paréntesis por números triangulares<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgahQPZytjq0EK-Kbi740LYP2H8WeF4V0J1LLfTf2AZCQvvIvxfGcMDoYsQaRMLbr1qr34aMxuVLe2v7YIPaq7Eoo83ZA0r_-9D-cPDMGl0HHjZtzwiB7iTAaQZagWvOD_JbOKmTohIDXLtbAgd1h9LAjjV4fMtTrsTS10VDn3BNg565T0W8U_64r1C/s562/taubis.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="101" data-original-width="562" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgahQPZytjq0EK-Kbi740LYP2H8WeF4V0J1LLfTf2AZCQvvIvxfGcMDoYsQaRMLbr1qr34aMxuVLe2v7YIPaq7Eoo83ZA0r_-9D-cPDMGl0HHjZtzwiB7iTAaQZagWvOD_JbOKmTohIDXLtbAgd1h9LAjjV4fMtTrsTS10VDn3BNg565T0W8U_64r1C/s16000/taubis.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;"><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></p>Lo podemos razonar descomponiendo la partición plana en
diversas zonas cuando se añade un factor nuevo. Tomaremos el 12 como ejemplo y
realizaremos un producto cartesiano entre los datos del 4 con los del 3</span><p></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5WhEH5-i0IMWz0kk9xmKCV2uQw86itstVE1FDf3czIfRvkHQcB301QzvRLKAAKErT_Dk-hAPbm78o4E3AI_H-51LCKoEpDQF6t1c0gQI9484_9QjxYHslELMYFeX5ERxwEIl5gjigXzBpILRXAsLn5VlcoLW2aRjmf2FishcqSPmTOnYYh9_PPRIJ/s418/tau6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="184" data-original-width="418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5WhEH5-i0IMWz0kk9xmKCV2uQw86itstVE1FDf3czIfRvkHQcB301QzvRLKAAKErT_Dk-hAPbm78o4E3AI_H-51LCKoEpDQF6t1c0gQI9484_9QjxYHslELMYFeX5ERxwEIl5gjigXzBpILRXAsLn5VlcoLW2aRjmf2FishcqSPmTOnYYh9_PPRIJ/s16000/tau6.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Hemos representado en colores distintos las zonas en las que
se divide el producto cartesiano de seis filas y tres columnas:</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En rojo figuran los elementos de TAU_3(4), los que había antes
de incorporar el 3. En la tercera columna figuran los divisores en los que
interviene el nuevo factor 3. Las zonas horizontales de distinto color representan
los “divisores de divisores”, que son fundamentales en este estudio.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil comprender que obtendríamos un esquema similar si el
nuevo factor estuviera elevado a un exponente mayor que 1. Ahí lo dejamos y nos
creemos sin desarrollarlo que también se obtendría un producto de triangulares.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Sólo comprobaremos la fórmula con nuestras funciones. Por
ejemplo, 72=2<sup>3</sup>*3<sup>2</sup>, luego según la fórmula sugerida,
tendríamos TAU_3(72)=T(1+3)T(1+2)=10*6=60<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con nuestra función<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES;"><v:shape id="_x0000_i1029" style="height: 40.2pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 123.6pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image009.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><o:p><span style="font-family: inherit;"> </span></o:p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzgRoiUxsQb63afOFGO1I88SeshkPvwmofBd_lulP4fjzQV60FA3FHVNGKHUKhpoRxxt1_V7IKF6EjJdkc50ogpArFmhvM4ELoFZREalSUymp4hgYFXIz77HbOQDz1PY1Rpr9oY8DtN9THOzd8LmGk8qcDQd0-wf1avBj_qzEnpHopc9Nl44k2P7ty/s165/tau7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="54" data-original-width="165" height="54" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzgRoiUxsQb63afOFGO1I88SeshkPvwmofBd_lulP4fjzQV60FA3FHVNGKHUKhpoRxxt1_V7IKF6EjJdkc50ogpArFmhvM4ELoFZREalSUymp4hgYFXIz77HbOQDz1PY1Rpr9oY8DtN9THOzd8LmGk8qcDQd0-wf1avBj_qzEnpHopc9Nl44k2P7ty/s1600/tau7.png" width="165" /></a></span></div><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con el código PARI de Joerg Arndt<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">print(sumdiv(72, x, sumdiv(x, y, 1 )))</i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES;"><v:shape id="_x0000_i1028" style="height: 89.4pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 274.2pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhy_CE7AAD6J7GLP0Ja2dJvKzC8-RvZ0AYDfStmuUslRJ6JF_Yv5t1_GffF1yqqqwRezfwH9usgxh1jMZy0VeA6J7i7jb_njBiiFc3Gr2n3Qj7qcfvcBdhe3Vtinvh4M70arhq5aF3vpMFpIqOWUWcfEEh0BjGvzQCmPlgZbbLUlk3N8tnbhGC7bnhA/s366/tau8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="119" data-original-width="366" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhy_CE7AAD6J7GLP0Ja2dJvKzC8-RvZ0AYDfStmuUslRJ6JF_Yv5t1_GffF1yqqqwRezfwH9usgxh1jMZy0VeA6J7i7jb_njBiiFc3Gr2n3Qj7qcfvcBdhe3Vtinvh4M70arhq5aF3vpMFpIqOWUWcfEEh0BjGvzQCmPlgZbbLUlk3N8tnbhGC7bnhA/s16000/tau8.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><br /></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: inherit;">Función TAU_4(n)<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">El estudio de TAU_3 nos ha abierto caminos y los hemos
aprovechado con calma. Ahora sólo resumiremos algunos de ellos en los demás
casos.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Si definimos TAU_4(N) como como el número de productos <i style="mso-bidi-font-style: normal;">xyzu</i> de cuatro factores (con ordenación)
cuyo producto es N, podremos comenzar como en el caso de 3, con nuestra
herramienta Cartesius. Sería así en nuestro ejemplo del 84:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNzEvFQrdOiX4W5O-fyQ7P1t1ul0e1gAOZfw1dAkhxiG4wekUbui4Sw-ZTdmStWetxY8aJ-xEGxFdxHPIE3L042aK-fyWZlapi42tVh3lmsH9jd7X99J4A2c95QUbWGfrEzVW4yb0tx9Br-Axs2Rvp6KbuZvKttbKGg2Z19nih7d09dFSMFbWh-MBQ/s184/tau9.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="98" data-original-width="184" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNzEvFQrdOiX4W5O-fyQ7P1t1ul0e1gAOZfw1dAkhxiG4wekUbui4Sw-ZTdmStWetxY8aJ-xEGxFdxHPIE3L042aK-fyWZlapi42tVh3lmsH9jd7X99J4A2c95QUbWGfrEzVW4yb0tx9Br-Axs2Rvp6KbuZvKttbKGg2Z19nih7d09dFSMFbWh-MBQ/s16000/tau9.png" /></a></div><br /><span style="font-family: inherit;"><br /></span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES;"><v:shape id="_x0000_i1027" style="height: 58.8pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 110.4pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image011.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Al combinar cuatro factores, el proceso es más lento, pero no
excesivamente, y nos da un resultado de 160:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfDooElvphjece5eLWo7dHwODiOn_vtw2YH6ItSXz-99vM2yFZC4_4xFJGnh68JdEnpydcFXg-6aptBkWH02PHZ-gw3KOhl-YoUViCd8DLMKqwA8vZl6rhfY85ClkRWTXrTRaAixY2-PsxMO6V7fQNMG6OxWHWYl1XjG9a-9Ks4wjwqpNAzqzHU7uK/s103/tau10.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="46" data-original-width="103" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfDooElvphjece5eLWo7dHwODiOn_vtw2YH6ItSXz-99vM2yFZC4_4xFJGnh68JdEnpydcFXg-6aptBkWH02PHZ-gw3KOhl-YoUViCd8DLMKqwA8vZl6rhfY85ClkRWTXrTRaAixY2-PsxMO6V7fQNMG6OxWHWYl1XjG9a-9Ks4wjwqpNAzqzHU7uK/s1600/tau10.png" width="103" /></a></div><span style="font-family: inherit;">Algunas ideas sobre TAU_3(N) se pueden ampliar a TAU_4(N). La
primera es que la frase “divisores de divisores” habrá que cambiarla por “Valores
de TAU en divisores”, ya que, al añadir un factor nuevo en el producto xyzv,
este no se combina con divisores, sino con productos que vimos al principio que
representaban a TAU. Así, el esquema bidimensional no se rellenará con
divisores, sino con su número de divisores. Recordemos que en TAU_3 usábamos
este esquema</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">12<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>6<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>4<span style="mso-spacerun: yes;">
</span>3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">6<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">4<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><br />Ahora deberíamos sustituir cada divisor por el valor de TAU
(número de divisores) en cada uno. Lo hemos efectuado en Excel relacionando los
dos esquemas:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieyYKLvELhX0ekYyHtUmxWi1VktlnuNewQZUkHQpyrvIcfgA1tGmv_Hn20vkpcNbB040lkoAY0oo1T2Q_OSppPDUvSE2Bwhh3MCEOtXm9NrH7pzHwWbaPYGyFD3j8nPDioTpACwtXcTr8hAPLcF6LlWZHxZjYP7gqpIW8Mn6JFqF5SNpAb2VgAaVph/s534/tau11.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="129" data-original-width="534" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieyYKLvELhX0ekYyHtUmxWi1VktlnuNewQZUkHQpyrvIcfgA1tGmv_Hn20vkpcNbB040lkoAY0oo1T2Q_OSppPDUvSE2Bwhh3MCEOtXm9NrH7pzHwWbaPYGyFD3j8nPDioTpACwtXcTr8hAPLcF6LlWZHxZjYP7gqpIW8Mn6JFqF5SNpAb2VgAaVph/s16000/tau11.png" /></a></div><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-language: ES;"><v:shape id="_x0030__x0020_Imagen" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 96.6pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 400.8pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\Antonio\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image013.png">
</v:imagedata></v:shape></span><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Como podemos observar, TAU_4(12)=40.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Podíamos añadir un bucle a nuestra función en VBasic para
TAU_3, pero resultaría algo lenta. Por otra parte, no es difícil la
comprobación con Cartesius, cambiando datos en las condiciones que usamos para
el 84. Sin embargo, parece más útil comprobar el cálculo recordando la fórmula para
TAU_3 que usa números triangulares<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQWdyr9_0aU8meE3eX9fXTNrFrgcqecojQ1uMwjcYGjs2M1l6Q7wEX41Bd52GG0uLeFb2r06WilLDB-hEYW5BJdeXIAZde9BQijyvmaUnngyxkzItQqYb7wCij9FaZhqiyFVmHO8T-n-7DLq1Rh5UGib3SRbCsLfH0IFLn5I2xetts3kd4TDYVJDcx/s564/tau12.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="54" data-original-width="564" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQWdyr9_0aU8meE3eX9fXTNrFrgcqecojQ1uMwjcYGjs2M1l6Q7wEX41Bd52GG0uLeFb2r06WilLDB-hEYW5BJdeXIAZde9BQijyvmaUnngyxkzItQqYb7wCij9FaZhqiyFVmHO8T-n-7DLq1Rh5UGib3SRbCsLfH0IFLn5I2xetts3kd4TDYVJDcx/s16000/tau12.png" /></a></div><span style="font-family: inherit;">En efecto, para TAU_4 se pueden sustituir por tetraedros, pirámides
triangulares, ya que las posibilidades dependen de tres dimensiones. Esta idea
es correcta y se puede aplicar en este caso. Hay que recordar que la fórmula
del tetraedro de orden n es </span><b style="font-family: inherit;"><i>TE(n)=n(n+1)(n+2)/6</i></b><span style="font-family: inherit;"> (ver nuestra
publicación Números piramidales:</span><p></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><a href="http://www.hojamat.es/publicaciones/piramidal.pdf">http://www.hojamat.es/publicaciones/piramidal.pdf</a>)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">En el caso de 12 quedaría:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">12=2<sup>2</sup>*3<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">TAU4_(12)=TE(1+2)*TE(1+1)=3*4*5/6*2*3*4/6=10*4=40<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con ello queda comprobada esta técnica, que se amplía a TAU_5,
TAU_6,…aumentando dimensiones a las pirámides.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Puedes repasar todo en la sucesión <a href="https://oeis.org/A007426">https://oeis.org/A007426</a>, en la que están
publicados los primeros valores de TAU(N):<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">1, 4, 4, 10, 4, 16, 4, 20, 10, 16, 4, 40, 4, 16, 16, 35, 4,
40, 4, 40, 16, 16, 4, 80, 10, 16, 20, 40, 4, 64, 4, 56, 16, 16, 16, 100, 4, 16,
16, 80, 4,…<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 6.0pt; margin-left: 0cm; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm;"><span style="font-family: inherit;">Con esto, podemos seguir ampliando productos, pero con lo que
tenemos ya se comprende la esencia de estas funciones TAU.</span><o:p></o:p></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3219117272340648003.post-4876090969481680612023-05-03T19:13:00.001+02:002023-05-03T19:13:00.148+02:00Menor múltiplo oblongo<p><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">Para
su uso en los cálculos diarios que publico en Twitter, visito casi a diario la
página The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!, (OEIS), </span><a href="http://oeis.org/" style="font-family: inherit;"><span style="color: windowtext; line-height: 115%;">http://oeis.org</span></a><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">,
fundada por N. J. A. Sloane. En la primavera de 2022 me llevé la sorpresa de
ver una sucesión suya, del año 2021, referente a divisores de números oblongos.
El tema de estos números no es muy popular en OEIS, y por eso me sorprendió
verlos tratados por el mismo fundador de la página. Esto me ha llevado a tratar
el tema con la mayor amplitud posible, según las sucesiones A345988 y A344005.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Lo que plantea N. J. A. Sloane en sus sucesiones es
encontrar el oblongo más pequeño que es divisible entre un número dado. Si
llamamos </span><b style="font-family: inherit;">n</b><span style="font-family: inherit;"> a ese número, es claro
que tiene dos múltiplos oblongos con seguridad, </span><b style="font-family: inherit;">n(n+1)</b><span style="font-family: inherit;"> y </span><b style="font-family: inherit;">(n-1)n</b><span style="font-family: inherit;">. Por
eso, se puede plantear una búsqueda infinita, como figura en OEIS, con la
certeza</span><span style="font-family: inherit;"> </span><span style="font-family: inherit;">de que se detendrá:</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;">(PARI)
a(n) = for(m=1, oo, if((m*(m+1))%n==0, return(m)))</span></i></b><span style="line-height: 115%;"> \\
Felix Fröhlich, Jun 04 2021<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Lo planteamos para hoja de cálculo en VBASIC. Como no
podemos usar el símbolo de infinito, nos serviremos de un bucle WHILE sin fin:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Function menoroblongo(n)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Dim m, o<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="font-family: inherit;"><i><span style="line-height: 115%;">m = 1 </span></i></b><span style="font-family: inherit; line-height: 115%;">‘Comenzamos
la búsqueda con 1</span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;">o = m * (m + 1) </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Creamos
el oblongo<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><span style="font-family: inherit;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;">While o Mod n <> 0 </span></i></b><span style="line-height: 115%;">‘Mientras
no sea divisible, avanzamos el WHILE<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><o:p></o:p></i></b></span></span></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">m = m + 1<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">o = m * (m + 1)<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Wend<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">menoroblongo = o<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormalCxSpMiddle"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">End Function<o:p></o:p></span></span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Se podía plantear con más eficiencia, pero funciona con
rapidez y la hemos dejado así. Con esta función podemos encontrar las mismas
soluciones de Sloane:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_VINXAPCa6LCKg73e60nHq1I3GyPmHajWpNSlE8PCZ2PtXQ-z2SP-m2Cf92fFxUp6DXoOHlh3rkhFpT8HCDq0z8g6eL2ome9xJVnD9FqWA3L5UBrkPlS09X2X6zf-MZ90cFxBNK_6xhjU9SplhEBAyC4omesxrtr3i8hN2SijWVIodGrPF435U577/s233/ob1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="215" data-original-width="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_VINXAPCa6LCKg73e60nHq1I3GyPmHajWpNSlE8PCZ2PtXQ-z2SP-m2Cf92fFxUp6DXoOHlh3rkhFpT8HCDq0z8g6eL2ome9xJVnD9FqWA3L5UBrkPlS09X2X6zf-MZ90cFxBNK_6xhjU9SplhEBAyC4omesxrtr3i8hN2SijWVIodGrPF435U577/s16000/ob1.png" /></a></div><p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Uso
del Buscador de Naturales</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Nuestra herramienta de búsqueda de números naturales
permite encontrar el menor oblongo múltiplo de un número dado. Lo que no puede
construir es un listado como el de la tabla anterior, pero para explicar el
concepto, a nivel elemental, nos vale.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><span style="line-height: 115%;">Se puede descargar desde (</span><a href="http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador"><span style="color: windowtext; line-height: 115%;">http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador</span></a><span style="line-height: 115%;">)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En la captura de pantalla siguiente figura la búsqueda en
el caso de 80. Hemos buscado entre 80 y 6480=80*81, con las condiciones de ser
oblongo y múltiplo de 80. Vemos que la solución es 240 como mínimo oblongo:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM538nDADp95-yCz6WZ3yyqlKS2h1NItMCpC4MOFneMxyxx6UGJyLIzfJF3Y_XQCZe9A-kKHMvHQnci6cuIc-J1WdEL3PZIlDQ_mVm0yoVHhOEG3HCujnIWhR8sg6GeHE3Cj9NeYQlwVHrF-Sl8sd9WkHczxYMEbpbdnkTT_VhePyaEuAV-kbKC4Ch/s473/ob2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="117" data-original-width="473" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM538nDADp95-yCz6WZ3yyqlKS2h1NItMCpC4MOFneMxyxx6UGJyLIzfJF3Y_XQCZe9A-kKHMvHQnci6cuIc-J1WdEL3PZIlDQ_mVm0yoVHhOEG3HCujnIWhR8sg6GeHE3Cj9NeYQlwVHrF-Sl8sd9WkHczxYMEbpbdnkTT_VhePyaEuAV-kbKC4Ch/s16000/ob2.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="color: #660000; font-family: inherit;">Casos
particulares</span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><b><span style="color: #0c343d;">Potencia
de un primo</span></b><i><o:p></o:p></i></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">n</b> es una
potencia de un primo <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p</b>, es claro que
cualquier oblongo <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">m(m+1)</b> múltiplo de
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">n </b>ha de contener el factor primo <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p</b>, luego lo contendrá <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">m</b> o <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">m+1</b>, porque no se puede repartir entre ellos, luego el mínimo será <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">(n-1)n</b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">El
mínimo oblongo múltiplo de <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p<sup>k</sup></b>
(p primo) es <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">(p<sup>k</sup>-1)p<sup>k<o:p></o:p></sup></b></span></span></i></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Así, el número 243=3^5 poseerá como menor oblongo
múltiplo el 242*243=58806. <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Es fácil comprobarlo con el Buscador:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUhEA02urbaSa9hp4hqJ1wyK_vvgIAbk0zcSEJuKu7fQeINcHcq8vnoigszcmVVo5GrQnmfXHNs1xuTs5r-VxZhwssve1gsg-d8aa7HAsmkB9VUmT8wjWYiiJdERn2EmEKIqmMtQf28OH3VjeAOliYiisz4bFz2XSdNyl8Gy2DQyCZinbAiAPDekRk/s418/ob3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="113" data-original-width="418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUhEA02urbaSa9hp4hqJ1wyK_vvgIAbk0zcSEJuKu7fQeINcHcq8vnoigszcmVVo5GrQnmfXHNs1xuTs5r-VxZhwssve1gsg-d8aa7HAsmkB9VUmT8wjWYiiJdERn2EmEKIqmMtQf28OH3VjeAOliYiisz4bFz2XSdNyl8Gy2DQyCZinbAiAPDekRk/s16000/ob3.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Los dos únicos oblongos de la solución son 242*243 y
243*244. En las factorizaciones destaca el número 3 repetido cinco veces, luego
son múltiplos de 243.</span></p>
<p class="MsoNormal"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #0c343d;">Números
que solo poseen dos factores primos</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si un número presenta la factorización N=p<sup>a </sup>*
q<sup>b</sup> con <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">p</b> y <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">q</b> primos, es claro que en un oblongo
m(m+1) m será múltiplo de uno de los primos, y m+1 lo será del otro. Esto nos
lleva a una ecuación diofántica: p<sup>a</sup>x - q<sup>b</sup>y = ±1<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Esta ecuación siempre tendrá solución, al ser los
coeficientes primos entre sí, y la duda será si el segundo miembro deberá valer
1 o -1 y si las soluciones serán positivas.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Por ejemplo, el número N=3<sup>2</sup>*5<sup>3</sup>=1125
poseerá un oblongo múltiplo si 3<sup>2</sup>x - 5<sup>3</sup>y = ±1<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Si tomamos el valor 1, será x=(1+125y)/9, con lo que
habrá que buscar múltiplos de 125 que al sumarles 1 sean múltiplos de 9<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Creamos una tabla con esos cocientes:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitHRS0k9hDGLAl4dWOoyYfYmCRm4Nt6kBYR45OEtMqeEg_9fbL_nItNOzopmL8DJL6hntDHufbpRQ3lnmSRRXnLf9VbuqtgCRTmw10tdMkZsthZMTyMbNSRu1V8elLpdzhV9-Xn_6jsNBHRClzADJDfGaMiRCFkhODo-0MciphfAwXJtNYkSnXjy2q/s199/ob4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="199" data-original-width="147" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitHRS0k9hDGLAl4dWOoyYfYmCRm4Nt6kBYR45OEtMqeEg_9fbL_nItNOzopmL8DJL6hntDHufbpRQ3lnmSRRXnLf9VbuqtgCRTmw10tdMkZsthZMTyMbNSRu1V8elLpdzhV9-Xn_6jsNBHRClzADJDfGaMiRCFkhODo-0MciphfAwXJtNYkSnXjy2q/s16000/ob4.png" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Observamos que (1, 14) es una solución y, en efecto,
14*9=126 y 1*125=125, luego m=125 y m+1=126, con lo que su producto será un
oblongo múltiplo de 1125, 15750. Pero la cuestión es que no sabemos si es el
mínimo, porque más abajo hay otra solución, 10, 139, en la que 139*9=1251 y
10*125=1250, con lo que el oblongo sería 1250*1251, claramente mayor que 15750.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">A esto hay que añadir que habrá que repetir todo con el
caso -1.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En nuestro ejemplo aparecería la solución 8, 111, es decir
8*125=1000 y 111*9=999, que también sería válida.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Vemos que la resolución es posible, pero que no nos
garantiza el carácter de mínimo múltiplo.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><b><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #0c343d;">Estudio
diofántico</span></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Podemos plantear<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">125x-9y=1 o bien 12x-9y=-1<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Usamos WolframAlpha:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso +1</b><o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_fElozYkGlQTzj58aixiuE5Oprv0bcUKkgpcjS4mlfsaqHzSLab3dQ2hVyrWHCsJ8mDfyHfPmL4HhXKmWItYplrf7o6gXWGDMRVygaeKNerGBzIr8DTS0LPC0vtaItwbMsgzacpo8OSszKvkg5nunP_FuteLV0EmXTHZZOIDkvaHSABGUuvGc2bG8/s139/ob5.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="70" data-original-width="139" height="70" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_fElozYkGlQTzj58aixiuE5Oprv0bcUKkgpcjS4mlfsaqHzSLab3dQ2hVyrWHCsJ8mDfyHfPmL4HhXKmWItYplrf7o6gXWGDMRVygaeKNerGBzIr8DTS0LPC0vtaItwbMsgzacpo8OSszKvkg5nunP_FuteLV0EmXTHZZOIDkvaHSABGUuvGc2bG8/s1600/ob5.png" width="139" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: inherit;">Paramétricas:</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGHsCuDK6uxWVTHcGuXw_uBOMy65Ihv0Zca3fSSFGESCvJ_Y39MvEF4tEx8Z-B26GTSuyfAPTURhCcNEeNfqsMEcFLtt1CO7u-HOUYICPa0OeCX6pWMMkGnQQxIUMH8vkPU0iFGsuSEgdutW7kSuNmJ1d7oYLJYYjw8gl2Vzi8D3n-8GsPq3Qi_WUc/s257/ob6.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="67" data-original-width="257" height="67" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGHsCuDK6uxWVTHcGuXw_uBOMy65Ihv0Zca3fSSFGESCvJ_Y39MvEF4tEx8Z-B26GTSuyfAPTURhCcNEeNfqsMEcFLtt1CO7u-HOUYICPa0OeCX6pWMMkGnQQxIUMH8vkPU0iFGsuSEgdutW7kSuNmJ1d7oYLJYYjw8gl2Vzi8D3n-8GsPq3Qi_WUc/s1600/ob6.png" width="257" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><br /></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><b>Caso -1</b><o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXqva5IbiN1ADSB5STJ3ZI_gnoXqV8h_RhJshNoNDxCvRQnbVvc1-y436UXM9QRmtIC2G-IAkSb88R7jNuboYLnQLSBescFznifucYYiB_WQ-KgkWyghVD_bT1ROQ9z-5iMpKNQS-toIoRm8GZBYBrdCLNjjVoh_Uv5zPbJgDADzu8dw2yMZYBf9ab/s144/ob7.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="62" data-original-width="144" height="62" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXqva5IbiN1ADSB5STJ3ZI_gnoXqV8h_RhJshNoNDxCvRQnbVvc1-y436UXM9QRmtIC2G-IAkSb88R7jNuboYLnQLSBescFznifucYYiB_WQ-KgkWyghVD_bT1ROQ9z-5iMpKNQS-toIoRm8GZBYBrdCLNjjVoh_Uv5zPbJgDADzu8dw2yMZYBf9ab/s1600/ob7.png" width="144" /></a></div><br /><p class="MsoNormal"><br /></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Paramétricas:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUu6n_S1rDoY1dDWaUo9DpNwJLxaS2u1_P4Ull68CZKNYPF2E0TOJqWJvMcLsb8Vhrs5qnuGIgG9NHilYYATULkiDO116R8QC9UUswVyWqeIdw3548oSmnuFWzYO4l4kvqCx6YfUJ1krrx_vmWO0K93KiEzAK5EAgRGUIqsHm33xiboQv5_XmTvEl4/s235/ob8.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="34" data-original-width="235" height="34" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUu6n_S1rDoY1dDWaUo9DpNwJLxaS2u1_P4Ull68CZKNYPF2E0TOJqWJvMcLsb8Vhrs5qnuGIgG9NHilYYATULkiDO116R8QC9UUswVyWqeIdw3548oSmnuFWzYO4l4kvqCx6YfUJ1krrx_vmWO0K93KiEzAK5EAgRGUIqsHm33xiboQv5_XmTvEl4/s1600/ob8.png" width="235" /></a></div><p class="MsoNormal"><br /></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Se observa que en las dos paramétricas el mínimo valor
positivo se alcanza si n=0.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En la primera tendríamos x=8, y=111, con lo que m=999 y
m+1=1000, resultando el oblongo 999000.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En la segunda, x=1 y=14, m=125, m+1=126 y el oblongo el
ya conocido <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En la práctica es más rápido usar el Buscador ya que
sabemos que existen soluciones.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">En la siguiente captura de pantalla observamos que se ha
buscado un oblongo múltiplo menor que 15750 y no se ha encontrado, luego este
es el mínimo:<o:p></o:p></span></span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLpMwubkoxCXPpQ3dhdYS8RCvbDnZ0k6Fuym_zEdntnCb1ZnsWkiemnXEu6Z9WCnC6KpcggB0pIRlG4juUitNEAEJIGwGXkLIsF0nJbuRoYwvi4HCvVlCwis4_GOuJvAAgXebqKGLzBgzYSkMVxhECEyUTdOQ-flYWaoG-YQtktlJdB_VB5GFvFa-c/s403/ob9.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="108" data-original-width="403" height="86" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLpMwubkoxCXPpQ3dhdYS8RCvbDnZ0k6Fuym_zEdntnCb1ZnsWkiemnXEu6Z9WCnC6KpcggB0pIRlG4juUitNEAEJIGwGXkLIsF0nJbuRoYwvi4HCvVlCwis4_GOuJvAAgXebqKGLzBgzYSkMVxhECEyUTdOQ-flYWaoG-YQtktlJdB_VB5GFvFa-c/s320/ob9.png" width="320" /></a></div>
<p class="MsoNormal"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;"><span style="color: #0c343d;">Caso
general</span><o:p></o:p></span></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: inherit;">Para un número con más de dos factores primos, bastará
agruparlos en dos productos cuyos factores sean primos entre sí, y aplicar la
misma técnica de ecuación diofántica, además de las técnicas de búsqueda ya
estudiadas. Para encontrar el mínimo deberemos recorrer todos los pares de
factores unitarios. Puedes leer la propuesta de Sloane en la sucesión A344005.</span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 14pt;"><o:p></o:p></span></span></p><div class="blogger-post-footer">Números y Hoja de Cálculo</div>Antonio Roldán Martínezhttp://www.blogger.com/profile/13014920786063435214noreply@blogger.com0