Otros poligonales

Existen infinitos tipos de números poligonales. Hemos llegado hasta ahora hasta los octogonales, y a partir de ellos los temas se repiten demasiado. En esta última entrada sobre ellos nos limitaremos a publicar su fórmula, algún enlace interesante y alguna propiedad. Para todos ellos es válida nuestra calculadora Calcupol

(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)

 Números nonagonales

Son aquellos formados por polígonos de nueve lados adosados como es habitual en los poligonales. En la imagen figura el nonagonal de orden 4, que contiene 46 unidades.

Fórmula

Aplicamos la fórmula general de los poligonales para k=9 y llamamos N(n) al nonagonal de orden n:

Siguiendo el objetivo de esta entrada, solo destacaremos lo más importante.

Alguna propiedad

Un nonagonal se relaciona con los triangulares mediante esta equivalencia:

7*N(n)+3=T(7n-3)

Es fácil verlo

Por ejemplo, 111 es el nonagonal de orden 6, y se cumple:

7*111+3=780=T(39)=T(7*6-3), luego es equivalente 7*111+3 al triangular número 39, es decir 7*6-3.

 Criterio para reconocerlos

Según la propiedad anterior, 8*(7N+3)+1 ha de ser un cuadrado (criterio de los triangulares)

Luego debe serlo 56N+25. Si se cumple que esta expresión es cuadrada, y tiene raíz cuadrada R entera, N será nonagonal. Sustituyo N por su expresión y queda 56n(7n-5)/2+25=R²; 4*49n²-5*4*7n+25=R²;

(14n²-5)²=R²; luego 14n²-5=R, y queda

Un ejemplo:¿Es nonagonal 2301?

Formamos 56*2301+25 y resulta 128881, que es cuadrado perfecto de raíz 359. Usamos la fórmula anterior y obtenemos n=(359+5)/14=26. Como es entero, la respuesta es afirmativa, 2301 es el nonagonal de orden 26.

Listado

Los primeros nonagonales están publicados en http://oeis.org/A001106

0, 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, 1089, 1216, 1350, 1491, 1639, 1794, 1956, 2125, 2301, 2484, 2674, 2871, 3075, 3286, 3504, 3729, 3961, 4200, 4446, 4699, 4959, 5226, 5500, 5781, 6069,…

Como es costumbre en esa página, se incluye el 0.

Recurrencia

Sólo destacaremos una última propiedad, y es que se generan con una recurrencia lineal de tercer orden y coeficientes (3, -3, 1)

Volcamos la imagen de nuestra hoja http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Hemos considerado también el cero como elemento inicial. Con el botón de “Ver sucesión” nos resulta el listado de nonagonales:

Con esto terminamos para dar paso a los decagonales.

 

Números decagonales

Un número decagonal  cuenta decágonos anidados, al igual que ocurrió en los tipos anteriores con sus polígonos correspondientes.

En la imagen podemos distinguir cuatro decágonos anidados más el correspondiente a un punto, por lo que se tratará de un decagonal de orden 5, número que coincide con las unidades contenidas en cada lado.

Fórmula

Repetimos el trabajo efectuado en ocasiones anteriores, sin explicación ya. Nombraremos el número decagonal como D(n):

Por ejemplo, el decagonal de la imagen anterior equivale a

D(5)=4*25-3*5=100-15=85

Si tienes paciencia, puedes contarlos.

Con esta fórmula podemos encontrar los primeros decagonales. Están publicados en http://oeis.org/A001107

 1 , 10 , 27 , 52 , 85 , 126 , 175 , 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, 1540,… (hemos omitido el 0)

La fórmula obtenida se puede interpretar de otra forma:

D(n) = 4n²-3n = n²+3n(n-1), lo que se puede ver como la suma de un cuadrado con el triple de un número oblongo. No tiene mucho interés, salvo que, como los oblongos son todos pares y su triple también, los números decagonales tienen la misma paridad que su número de orden. Se puede comprobar en el listado.

Alguna propiedad

El decagonal de orden n equivale a la suma de 2n enteros consecutivos a partir de n-1 (Bruno Berselli, Jan 16 2018)

La demostración se basa en la fórmula de las progresiones aritméticas. En este caso el último término es 3n-2, luego queda:

Efectivamente, obtenemos un decagonal.

Lo comprobamos con el decagonal de orden 3, que es el 27. Deberemos sumar 6 enteros consecutivos a partir del 2: 2+3+4+5+6+7=27, que era lo esperado.

Suma de impares con resto 1 módulo 8

Esta propiedad es una adaptación de otra más general, pero su sencillez hace que merezca su inclusión. Por ejemplo, 85 es el decagonal número 5, y debe ser equivalente a la suma 1+9+17+25+33, y así es.

Un homenaje a Ramanujan

Neven Juric incluye este desarrollo en http://oeis.org/A001107

1^3 + 3^3*(n-1)/(n+1) + 5^3*((n-1)*(n-2))/((n+1)*(n+2)) + 7^3*((n-1)*(n-2)*(n-3))/((n+1)*(n+2)*(n+3)) + ...

Merece la pena comprobarlo, por ejemplo para n=4, cuyo decagonal es 52:

1^3+3^3*3/5+5^3*(3*2)/(5*6)+7^3*(3*2*1)/(5*6*7)

Lo hemos calculado con Wiris (https://calcme.com/a):

Valga como homenaje al genio.

Una recurrencia

Finalizamos con una recurrencia y nuestra herramienta para ellas, ya usada en los nonagonales:

a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) for n>2, a(0)=0, a(1)=1, a(2)=10. - Jaume Oliver Lafont, Dec 02 2008

Aplicamos los datos a nuestra hoja de cálculo http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Usamos el botón para ver sucesión y, en efecto, obtenemos los primeros decagonales (con el 0):

 

Números undecagonales

A los poligonales de 11 lados les prestaremos menos atención. Dejamos el estudio en pocos detalles:

Fórmula

Es fácil ver que es la siguiente:

Con ella podemos construir una columna en hoja de cálculo con los primeros undecagonales:

Están publicados en http://oeis.org/A051682

Números dodecagonales

Finalizamos la entrada con este tipo de poligonales, y también nos limitaremos a dos o tres propiedades.

Imagen

A partir de estos lados los polígonos se van redondeando, adquiriendo la apariencia de circunferencias:

Este es el dodecagonal de orden 4, que contiene 64 unidades. Ya es difícil contarlas porque unos lados se confunden con otros.

Fórmula

Es sencillo demostrar que es D(n)=5n²-4n

Con esta fórmula generamos los primeros números dodecagonales:

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729,… http://oeis.org/A051624

Para no repetir cuestiones, dejamos el tema aquí. En los enlaces contenidos en esta entrada podrás leer más propiedades.

 

Múltiplos a pares

La sucesión de OEIS número A077338 incluye los múltiplos k más pequeños de un primo de forma que  k+1 sea múltiplo del siguiente primo. Según el ejemplo contenido en esa página, 77 es múltiplo de 11 y 78 lo es del siguiente primo 13, ya que 77=7*11 y 78=77+1=6*13. La idea es prometedora, y emprendo búsquedas sobre ella sin saber hasta dónde nos llevará.

Reproducción de la sucesión

En este blog usamos con frecuencia las funciones ESPRIMO y PRIMPROX, de creación propia, y cuyos listados figuran en varias entradas. Por ejemplo en https://bit.ly/3qrRUkq tienes  los dos listados.

ESPRIMO devuelve verdadero o falso según sea su argumento y PRIMPROX nos informa del primo siguiente a un número. Con ellas dos podemos construir una función muy sencilla que determine si un múltiplo de un número primo cumple lo exigido.

En primer lugar usaremos una función que calcule el mínimo múltiplo que cumple la condición exigida. Puede ser esta, en VBASIC de Excel:

Function multiplosapares(p) ‘Actúa sobre un primo y busca el mínimo múltiplo con la condición pedida

Dim n, q, r, s, m

If Not esprimo(p) Then multiplosapares = 0: Exit Function ‘Si no es primo, no hay solución

m = 0 ‘Posible solución

n = p ‘Múltiplo de p

q = primprox(p) ‘Primo siguiente a p

While m = 0 ‘Busca mientras no exista solución

r = n / p: s = (n + 1) / q ‘Pares de cocientes

If r = Int(r) And s = Int(s) Then m = n ‘Si ambos cocientes son enteros, lo hemos conseguido

n = n + p ‘Busca el siguiente múltiplo

Wend

multiplosapares = m

End Function

 

Estamos suponiendo que siempre existe solución. Si no fuera así, la función entraría en un bucle infinito sin salida. Si la aplicamos a los primeros números primos obtendremos este listado:

Cada número de la segunda columna es múltiplo del correspondiente de la primera y, si le sumamos una unidad, lo será del siguiente primo. Por ejemplo, 516 es múltiplo de 43 (516=43*12), y si le sumamos 1, 517 es múltiplo del siguiente primo 47 (517=47*11).

Como ya indicamos, estos primeros números están publicados en http://oeis.org/A077338:

A077338 a(n) = smallest multiple of prime(n) such that a(n) +1 is a multiple of prime(n+1).               

2, 9, 20, 21, 77, 169, 170, 114, 115, 464, 961, 1147, 902, 516, 423, 530, 1829, 3416, 1206, 2627, 4818, 1659, 1245, 7565, 7372, 5252, 2781, 5885, 9265, 13334, 4191, 3013, 9590, 2085, 11324, 19781, 21352, 6846, 4843, 5190, 16289, 31132, 18527, 28564,…

Si traducimos la función en VBASIC a PARI podemos reproducir este listado. El código sería este:

multpares(p)=my(m=0,n=p,q=nextprime(p+1),r,s);while(m==0,n/p;s=(n+1)/q;if(r==truncate(r)&&s==truncate(s),m=n);n+=p);m

forprime(i=2,200,print1(multpares(i),", "))

Al usar el bucle forprime no hay que exigir que p sea primo. El resultado para los primeros primos menores que 200 es

 

(Imagen capturada de la web https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html)

Se ve que coincide con lo publicado en OEIS. Por cierto que la sucesión no es creciente, a mayor primo no tiene que corresponder mayor solución.

 

Problema inverso

Podíamos ver el problema desde los números incluidos en la sucesión anterior. Dado un número cualquiera, ¿cómo saber si pertenece a ella? Para ello deberíamos recorrer todos los primos que pueden ser sus divisores y ver si alguno propicia la condición que nos interesa. La solución, en VBASIC podría ser esta:

Function esmultipares(n)

Dim p, es

If n = 2 Then esmultipares = 2: Exit Function  ‘El 2 coincide con su primo

p = 2 ‘Primer primo a probar

es = 0 ‘Caso en el que no hay solución

While p <= n / 2 And es = 0

If multiplosapares(p) = n Then es = p ‘Encontrada solución

p = primprox(p) ‘Se pasa al siguiente primo

Wend

esmultipares = es

End Function

 

Por ejemplo, esta función, aplicada al último término de los publicados, 28564, da como solución 193 y , en efecto, se cumple que 28564/193=148, luego es múltiplo, y su siguiente, 28565, es múltiplo de 197, su siguiente primo, ya que 28565/197=145.

Términos que son consecutivos

En el listado observamos soluciones consecutivas, como 19 con 20, 114 con 115 y 169 con 170 ¿Habrá más? Lo podemos ver con esta nueva función. Basta exigir que N y N+1 sean soluciones.

No hay muchos casos, por lo que acudiremos al lenguaje PARI, que permite mejor tratamiento de números grandes. El siguiente código nos permite encontrar que 193 es el primo correspondiente a 28564:

 multpares(p)=my(m=0,n=p,q=nextprime(p+1),r,s);while(m==0,n/p;s=(n+1)/q;if(r==truncate(r)&&s==truncate(s),m=n);n+=p);m

esmultpares(n)=my(p=2,es=0);while(p<=n/2&&es==0,if(multpares(p)==n,es=p);p=nextprime(p+1));es

print(esmultpares(28564))

Si adaptamos la última línea podemos encontrar los pares de consecutivos que existen en la sucesión. Después de llegar a 100000, no hemos encontrado más pares de consecutivos que los señalados más arriba.

 

Cuadrados contenidos en la sucesión

Si a la condición esmultpares(n) le añadimos (en PARI) issquare(n) podemos encontrar los cuadrados contenidos en la sucesión que estudiamos. Solo hemos encontrado tres: 9, 169 y 961.

En efecto, 9 es múltiplo de 3 y 10 de 5, que es su siguiente primo, 169 de 13 y 170 de 17, y, por último, 961 es múltiplo de 31 y 962 de 32.

 

Otros casos

Ejemplos de triangulares solo hemos encontrado uno: 21=6*7/2 es múltiplo de 7, y su siguiente, 22, del siguiente primo 11.

Oblongos hay dos entre los primeros números, 2=1*2 y 20=4*5, que cumplen la condición pedida.

Por último, los capicúas son cuatro, dentro de los primeros términos: 2, 9, 77 y 464.

El tema no nos da para más. Una línea de búsqueda consistiría en usar N+K en lugar de N+1, para ver si se encuentra algo curioso.

Sumandos con el mismo carácter que la suma

Si manejamos muchos tipos de números, observaremos que no es infrecuente que un número de un tipo sea suma de otros dos que comparten ese tipo con él. Los ejemplos más sencillos son los números pares, en los que es fácil descomponer un par en suma de otros dos (incluido el 0), como 22=10+12. También es clásico el ejemplo de las ternas pitagóricas, en las que un cuadrado (de la hipotenusa) es suma de otros dos cuadrados (los de los catetos), como 5^2=3^2+4^2. El caso más conocido es el de los números de Fibonacci, que son suma de los dos anteriores.

Según el Último Teorema de Fermat, no podemos buscar otros ejemplos con cubos o potencias mayores, así que no trataremos con potencias.

(https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat)

En este blog solemos manejar frecuentemente números semiprimos, oblongos, triangulares y poligonales. De los primos no hablamos, porque solo cumplirían esto los términos mayores de un par de primos gemelos, como 19=17+2

Realizaremos unas búsquedas y razonamientos sobre algunos de ellos.

Suma de semiprimos

Llamamos semiprimos a los números que son producto de dos factores primos, iguales o diferentes.

Para identificar semiprimos usamos esta función de Excel (creada en este blog)

Public Function essemiprimo(n) As Boolean

Dim a, b, r

Dim es As Boolean

es = False ‘Al principio suponemos que no es semiprimo

a = 2 ‘La variable a recorrerá los números primos

r = Sqr(n)

While a <= r And Not es

b = n / a ‘Dividimos n entre el primo y si el cociente es primo, ya lo tenemos

If esprimo(b) Then es = True

a = primprox(a) ‘Se busca el próximo primo

Wend

essemiprimo = es

End Function

Hemos tenido que crear esta función porque el lenguaje VBasic es algo pobre para estos cálculos. En PARI lo tendríamos más fácil. Basta pedir que bigomega(n)=2. Esta función cuenta factores primos con repetición. Si vale 2, es que n es semiprimo.

Tanto con una como con la otra, tomaremos semiprimos, los descompondremos en dos sumandos y si ambos también son semiprimos,  habremos encontrado un ejemplo.

En Excel usamos la función SUMATIPO que está diseñada para adaptarla a todos los casos que estudiemos en esta entrada. En el listado figura la búsqueda de semiprimos:

Function sumatipo$(n)

Dim i, j

Dim s$

 

s = ""

If essemiprimo(n) Then

i = 4 ‘Primer semiprimo

While i < n And s = ""

If essemiprimo(i) Then

j = n - i

If essemiprimo(j) Then s = Str$(i) + Str$(j) ‘Da la solución si la encuentra

End If

i = i + 1

Wend

End If

sumatipo = s ‘Devolverá un texto con la solución

End Function

 

Esta función devuelve una cadena vacía si no cumple la condición o los dos sumandos si la cumple.

Si organizamos una búsqueda obtendremos el resultado inesperado de que todos los semiprimos se descomponen así salvo cinco (4, 6, 9, 22 y 33 http://oeis.org/A137253)

En efecto, los primeros a partir del 10 se descomponen así:

10=2*5=6+4=2*3+2*2

14=2*7=10+4=2*5+2*2

15=3*5=6+9=2*3+3*3

Puedes reproducir la búsqueda con PARI. Inserta en la página https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html el siguiente código:

sumatipo(n)=my(m=0);if(bigomega(n)==2,i=4;while(m==0&&i<n,if(bigomega(i)==2&&bigomega(n-i)==2,m=1);i+=1));m

for(i=6,200, if(sumatipo(i),print1(i,", ")))

Obtendrás todos los semiprimos salvo 4, 6, 9, 22 y 33:

Si sustituimos sumatipo(i) por bigomega(i)==2&&sumatipo(i)==0 y comenzamos en el 4, obtendremos

Son las cinco excepciones.

En los ejemplos de más arriba, los sumandos semiprimos comparten algún factor. Casi todos los semiprimos se pueden descomponer en sumandos con los cuatro factores distintos, como por ejemplo 95, que se descompone como 21+74=3*7+2*37, y los cuatro factores primos 3, 7, 2 y 37 son todos distintos.

Hay una forma de encontrarlos con PARI:

sumatipo(n)=my(m=0);if(bigomega(n)==2,i=4;while(m==0&&i<n,if(omega(i)==2&&omega(n-i)==2&&omega(i*(n-i))==4,m=1);i+=1));m

for(i=4,250, if(sumatipo(i),print1(i,", ")))

En esta función sumatipo usamos  omega para exigir que los sumandos sean semiprimos y su producto tenga cuatro factores primos, lo que garantiza que sean los cuatro distintos.

Al aplicarla nos llevamos la sorpresa de que todos los semiprimos a partir de 85 pueden descomponerse de esa forma. Los semiprimos que no lo admiten son

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 58, 62, 82.

Es solo una conjetura.

Suma de triangulares

Si en la función sumatipo sustituimos essemiprimo por estriangular, podremos encontrar los números triangulares (tipo N(N+1)/2) que se descomponen en suma de otros dos triangulares. La función estriangular se basa en que si n es triangular, 8n+1 es cuadrado (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2009/12/suma-de-tres-numeros-triangulares.html)

Basándonos en esa propiedad, la función puede tener este código:

Public function estriangular(n) as boolean

dim a

a = Int(sqr(8*n+1))

if a*a=8*n+1 then estriangular = true else estriangular = false

end function

 

Hecha la sustitución obtenemos los triangulares que son suma de otros del mismo tipo:

6, 21, 36, 55, 66, 91, 120, 136, 171, 210, 231, 276, 351, 378, 406, 496, 561, 666, 703, 741, 820, 861, 946, 990, 1035, 1081, 1176, 1225, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1891, 1953, 2016, …

Están publicados en http://oeis.org/A089982

Por ejemplo, 1326=465+861, y los tres son triangulares

Cuando un número m es suma de dos triangulares se cumple que todos los factores primos de 4m+1 son del tipo 4k+1, porque ese número es suma de dos cuadrados al menos. En efecto, se puede plantear:

Esto equivale a

Es decir

Para que un número admita esta descomposición  ningún factor primo suyo puede ser del tipo 4k+3, luego 8m+2 lo cumplirá, y también su mitad 4m+1, ya que el 2 no influye en esa posibilidad.

Por otra parte, en los números triangulares la expresión 8m+1 es un cuadrado, luego 8m+2 es igual a otra suma de cuadrados distinta de la anterior, y sus factores primos del tipo 4k+1 serán al menos dos, e igual le ocurrirá a su mitad 4m+1.

Lo vemos con un ejemplo: 21 es un triangular que se descompone en suma de dos triangulares, ya que 21=15+6, es decir, que 6*7/2=5*6/2+3*4/2, y el valor de 4m+1 es en este caso 85, que se descompone como 85=5*17=(4*1+1)(4*4+1), luego ambos factores primos son del tipo 4k+1 y son dos, con lo que se cumple la consideración indicada en el párrafo anterior. Además, 85=7²+6².

 Suma de oblongos

Esta búsqueda es similar a la anterior, con la sustitución de la expresión 8m+1 (que es un cuadrado en los triangulares) por 4m+1, que tiene una propiedad similar en los oblongos. Corregimos la función sumatipo en este sentido y obtenemos los números oblongos que son suma de dos oblongos:

12, 42, 72, 110, 132, 182, 240, 272, 342, 420, 462, 552, 702, 756, 812, 992, 1122, 1332, 1406, 1482, 1640, 1722, 1892, 1980, 2070, 2162, 2352, 2450, 12, 42, 72, 110, 132, 182, 240, 272, 342, 420, 462, 552, 702, 756, 812, 992, …

Por ejemplo, 462 es oblongo, ya que 462=21*22, y se descompone en 462=42+420, que son ambos oblongos: 42=6*7 y 420=20*21

Este listado lo hemos obtenido con la versión en PARI, que es más rápida.

sumatipo(n)=my(m=0);if(issquare(4*n+1),i=2;while(m==0&&i<n,if(issquare(4*i+1)&&issquare(4*(n-i)+1),m=1);i+=1));m

for(i=4,5000, if(sumatipo(i),print1(i,", ")))

Estos números poseen una propiedad similar a la de los triangulares, y es que si m es uno de ellos, 2m+1 solo tiene factores primos del tipo 4k+1 y al menos dos.

Por ejemplo, 72 es oblongo (8*9) y suma de oblongos, 42 (6*7) y 30 (5*6), y en este caso 2*72+1=145 tiene como factores primos 5 y 29, ambos del tipo 4k+1.

Sus índices, aunque con otra orientación, están publicados en http://oeis.org/A012132

 

Otros poligonales

Hemos estudiado los números triangulares y no hemos considerado los cuadrados porque este caso es propio de las ternas pitagóricas (https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica).

Pasamos entonces a los números pentagonales, ya estudiados este año aquí.

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-1.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-2.html

Si lees estas entradas comprobarás que el criterio para ver si un número P es pentagonal consiste en que ha de ser cuadrado 1+24P. Si en la función sumatipo uso la función explicada en ellas ordenpentagonal, basta pedir que no sea nula para que aparezcan los primeros casos.

Son estos:

Estos números están publicados en http://oeis.org/A136117

Números hexagonales

Se tratan igual que los pentagonales, siguiendo las funciones definidas en las entradas de este blog dedicadas a ellos.

El resultado es

Publicados en http://oeis.org/A133215

Aquí paramos el estudio.