Triángulos heronianos

Esta es la última entrada del curso 2019-20. Como todos los veranos, nos tomamos un descanso de dos meses. En ellos se actualizarán las publicaciones ligadas al blog y se prepararán nuevos contenidos. Feliz descanso.

Un triángulo se califica de heroniano si las longitudes de sus lados y el valor de su área son números enteros. Es un concepto aritmético, por lo que se supone que esto ocurre con una unidad de medida adecuada. Consecuencia de esto es que también es entero el perímetro. A veces se consideran lados y área racionales, pero aquí nos limitaremos a los enteros positivos.

El nombre que les aplicamos es un recuerdo de Herón de Alejandría, autor de la popular fórmula para el área de un triángulo conocidos los lados a, b y c:

En esta fórmula, p es el semiperímetro. Si A y los lados son todos enteros, el triángulo será heroniano. Esto exige que p(p-a)(p-b)(p-c) sea un cuadrado perfecto.

Una primera clase de este tipo de triángulos lo constituyen los pitagóricos, ya que en una terna pitagórica (a, b, c), el área equivale a a*b/2, y en estas ternas siempre existe un cateto par

(Ver https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica)

Por tanto, también será heroniano el formado adosando dos triángulos de este tipo para formar un triángulo isósceles. Así, (20, 26, 26) será de este tipo, porque la altura sobre el lado 20 sería 24, y el área 240.

Igualmente, se pueden adosar dos triángulos pitagóricos que tengan un cateto común, como (5, 12, 13) y (9, 12, 15), formando el triángulo (9+5, 13, 15), es decir, ordenando, (13, 14, 15), que sería heroniano.

Es evidente que, en una terna de lados en un triángulo heroniano, si los multiplicamos todos por un mismo factor, resultará otro heroniano, luego el número de estos será infinito. Llamaremos terna primitiva a aquella en la que los tres lados sean primos entre sí.

Hay ternas que no son pitagóricas, ni tampoco resultado de adosar rectángulos, como (5, 29, 30).  Estas reciben el nombre de indescomponibles.

Búsqueda de ternas heronianas

Para encontrar este tipo de ternas existen varios algoritmos, algunos muy eficientes. Nosotros aquí, ya que usamos hojas de cálculo, recurriremos a una rutina que escriba cada terna que encontremos en una columna de la hoja. Como existen infinitas ternas, buscaremos entre dos valores. En contra de la costumbre de este blog, usaremos una rutina (macro) en lugar de una función, para escribir los resultados directamente, sin esperar a que la función se evalúe. Lo efectuaremos así:

En las celdas A1 y A2 de la hoja de cálculo escribiremos dos extremos de un intervalo. Lo recorreremos asignando sus valores al lado mayor, y buscaremos una pareja de lados que con él forme un triángulo heroniano. Para ello buscaremos que p(p-a)(p-b)(p-c) sea cuadrado entero. También habrá que tener en cuenta la propiedad de los lados de que “uno de ellos es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia”. Este ha sido el algoritmo elegido:

Sub heroniano()  ‘Es rutina y no función. Deberemos ejecutarla como macro.

Dim t1, t2, a, b, c, p, m, fila, t3

t1 = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(1, 1).Value ‘Se leen los dos extremos t1 y t2 en A1 y A2

t2 = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(2, 1).Value

fila = 2 ‘Primera fila de resultados

For a = t1 To t2 ‘El lado a se mueve entre los dos extremos

For b = 1 To a ‘El lado b será menor o igual que a

If a = b Then t3 = 1 Else t3 = a - b + 1 ‘Se busca el inicio para el lado c

For c = t3 To b

p = (a + b + c) / 2 ‘Se calcula el semiperímetro

m = p * (p - a) * (p - b) * (p - c) ‘Cuadrado del área (fórmula de Herón)

If escuad(m) Then ‘Si es un cuadrado, es válida

fila = fila + 1 ‘Como hay solución, la fila avanza

ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 1).Value = a ‘Se escriben a, b, c y el área

ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 2).Value = b

ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 3).Value = c

ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 4).Value = Sqr(m)

End If

Next c

Next b

Next a

End Sub

En la imagen puedes consultar las ternas heronianas en las que el lado mayor está comprendido entre 20 y 25:

Junto a cada terna figura el área entera. Observamos la abundancia de ternas de este tipo, algo que al iniciar el estudio no se esperaba.

En la página correspondiente de Wikipedia puedes encontrar gran número de propiedades de estos triángulos. Nosotros seguiremos con búsquedas.

Búsqueda de lados conociendo el perímetro

Para esta cuestión volveremos a la estrategia frecuente en este blog de comenzar con una función. Dado un número N, devolverá el primer triángulo heroniano que encuentre cuyo perímetro coincida con N. Su desarrollo es similar a la rutina de más arriba.

Function pheroniano$(n)

Dim b, c, p, m, a

Dim s$

Dim es As Boolean

s$ = "": es = False

a = n – 2 ‘Comenzamos con el lado mayor a

While a > 1 And Not es

b = 1

While b <= a And Not es

c = n - b - a

If c < a + b And c > a - b Then ‘c es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia

p = n / 2

m = p * (p - a) * (p - b) * (p - c)

If escuad(m) Then es = True: s$ = s$ + Str$(a) + Str$(b) + Str$(c) + Str$(Sqr(m))

End If

b = b + 1

Wend

a = a - 1

Wend

If s = "" Then s = "NO"

pheroniano = s

End Function

Con esta función es fácil encontrar los primeros perímetros de triángulos heronianos, junto con sus lados y el área:

Por ejemplo, si el perímetro es 54, el semiperímetro será 27, y el producto 27*(27-26)(27-3)(27-25)=27*1*24*2=1296, cuadrado perfecto, y el área, 36, es entera.

Filtros

En la función anterior podemos introducir filtros para encontrar ternas que cumplan algunas propiedades. Omitimos su código porque no es difícil de reproducir.

Ternas primitivas

Si exigimos que los tres lados a, b y c sean primos entre sí, nos resultarán las ternas primitivas. Estas son las primeras:

Como en casos anteriores, la primera columna es el perímetro, y en la segunda figuran, por este orden, los tres lados y el área. Mentalmente se puede comprobar que los lados son primos entre sí.

Si comparamos con la tabla anterior, vemos, por ejemplo, que falta el 24, porque su terna 10, 6, 8 está formada por los dobles de 5, 4 y 3.

También es destacable que entre estos triángulos aparecen isósceles, como 6, 5, 5 o 24, 13, 13

Con ellos seguimos:

Triángulos isósceles

Por motivos obvios, un triángulo heroniano equilátero no puede existir, porque si el lado es entero, la altura es irracional, pero sí puede ser isósceles, como sería el resultado de adosar dos pitagóricos iguales.

En la búsqueda basta exigir como filtro que a=b o b=c o a=c. Vemos el resultado:

Aquí coinciden primitivas y no primitivas. En todas ellas uno de los lados iguales junto con la mitad del desigual formarán un triángulo pitagórico al adjuntarles la altura correspondiente al desigual. Por ejemplo. En 30, 17, 17, el lado 17 y la mitad del 30 forman la terna pitagórica (8, 15, 17)

Lados en progresión aritmética

Existen muchos ejemplos de ternas heronianas con lados en progresión aritmética, pues si son así los de una terna primitiva, lo serán los que son múltiplos de ellos. Por eso es preferible buscar solo entre las primitivas. Para eso, además de exigir que a, b y c sean primos entre sí, exigiremos que formen progresión, es decir, que la diferencia entre dos de ellos coincida con la formada por el tercero. Como no se tiene seguridad de si b>c o c>b, esta condición será doble.

Al implementarlo resultan estos primeros casos:

Vemos que comienzan con dos muy populares, como son 3, 4 y 5, con área 6, y 13, 14, 15, con área 84. No están ordenados. Según el algoritmo usado, el menor se ha escrito en el centro. Para ser primitivas, aparecen más de lo esperado.

Aquí finalizamos los filtros. No se ha intentado con números primos porque la única posibilidad es que uno de ellos fuera 2, y no existe ningún caso.

Números triángulo

Llamaremos números triangulo N a aquellos que se puedan representar como el producto de tres factores N=a*b*c tales que constituyan las medidas de los lados de un triángulo heroniano.

Por ejemplo, 13520=20*26*26, que puede representar un triángulo isósceles cuya altura mide 24, luego su área será entera, e igual a 24*20/2=240.

Si deseamos usar la fórmula de Herón hallaríamos el semiperímetro:

p=(20+26+26)/2=36

La fórmula de Herón se planteará en este caso como

Con vistas a encontrar números triángulo, debemos descomponer N en tres factores a, b y c, y exigir después que sea cuadrada la expresión p(p-a)(p-b)(p-c).

La siguiente función se basa en esa idea. Como todas las de este blog, está desarrollada para Excel y Calc, pero es fácil traducirla a otro lenguaje de programación. Lo hacemos así porque el blog va de hoja de cálculo.

Esta función, aplicada a N, devuelve un “NO” si no es número triángulo o una cadena con los tres lados si lo es.

Function esuntriangulo$(n)

Dim a, b, c, d, m, p

Dim es As Boolean

Dim s$

s = "" ‘Variable que devuelve la función

es = False ‘Control de final de búsqueda

a = 2 ‘Primer factor

While a <= n / 2 And Not es

m = n / a

If m = Int(m) Then ‘Se ve que a es un factor de n

b = 2 ‘Segundo factor

While b <= m / 2 And Not es

c = m / b ‘Tercer factor

If c = Int(c) Then ‘Si los tres son factores, se sigue

d = (a + b + c) / 2 ‘Cálculo del semiperímetro

p = d * (d - a) * (d - b) * (d - c) ‘Producto de Herón

If escuad(p) and p>0 Then ‘Si el producto es cuadrado, N cumple lo planteado

es = True ‘Se interrumpe la búsqueda

s = s + Str$(a) + Str$(b) + Str$(c) ‘Solución

End If

End If

b = b + 1

Wend

End If

a = a + 1

Wend

If s = "" Then s = "NO"

esuntriangulo = s

End Function

Aplicando esta función a los primeros números naturales obtendrás esta sucesión, que está publicada en http://oeis.org/A218243

60, 150, 200, 480, 780, 1200, 1530, 1600, 1620, 1690, 1950, 2040, 2100, 2730, 2860, 3570, 3840, 4050, 4056, 4200, 4350, 4624, 5100, 5400, 5460, 6240, 7500, 8120, 8250, 8670, 8750, 9600, 10812, 11050, 11900, 12180, 12240, 12800, 12960, 13260, 13520, 13650,…

El penúltimo de la lista es 13520, el que nos ha servido de ejemplo.

Por ejemplo, 60=3*4*5, terna pitagórica que representa a un triángulo de área 6.

Es evidente que si un número está en la lista, N=a*b*c, también estará N*k^3=ak*bk*ck. Por tanto, esta sucesión es infinita.

Sumas consecutivas de elementos consecutivos

De nuevo una entrada de este blog se basa en una propiedad publicada por mí en Twitter (día 7/4/2020)

Iniciamos los cálculos del día 7 con dos sumas de oblongos consecutivos en las que ellas también son consecutivas:

7420=29×30+30×31+31×32+32×33+33×34+34×35+35×36

7420=36×37+37×38+38×39+39×40+40×41

Es muy curiosa esta propiedad, que una suma comience cuando termina otra y que ambas presenten el mismo resultado.

Emprenderemos una búsqueda de sumas que compartan esta propiedad, pero a efectos del algoritmo correspondiente, es preferible dar protagonismo al elemento que separa una suma de otra, en el caso del ejemplo, 35×36. Se puede también basar el cálculo en 36×37, pero había que elegir.

Estructura general el algoritmo

Se puede proponer la siguiente estructura de algoritmo, que servirá, no solo para oblongos, sino para otros tipos de números, como cuadrados o triangulares. Los pasos podrán ser:

1. Se construye una función para un valor de n que tenga la misma naturaleza que los sumandos. Si no lo es, salimos de la función. En el ejemplo n=35×36. Como es oblongo, seguimos. Si no lo fuera, la función devolvería un valor de error.
2. Iniciamos una suma “por la izquierda”. Fijamos s1 = n. Definimos una variable p con el valor de n y un contador i=1
3. Esa variable p descenderá hasta 1, añadiendo sumandos a  s1
4. Para cada valor de p y s1 construimos otra suma s2 “por la derecha”, a partir de p+1 sin sobrepasar el valor de i.
5. Si coinciden s1 y s2, ya hemos terminado
6. Si nunca coinciden, devuelve un “NO”

Lo entenderás mejor con el listado de la función para enteros.

Propiedad para enteros

Buscaremos, en primer lugar, aquellas sumas de este tipo formadas por enteros. Por ejemplo, el número 8 es centro de dos sumas consecutivas:

4+5+6+7+8=30=9+10+11

En este ejemplo, i=4, porque hay que tomar 4 sumandos a la izquierda del 8, y j=2, porque se toman 2 a partir de 8+1=9. Se puede cambiar este conteo si se desea. Aquí, s1=s2=30.

La función que resuelve esto puede ser:

Function igualsuma(n) 'con enteros

Dim i, j, p, p1, q, s1, s2

Dim a$

a = ""

s1 = n: p = n: p1 = p: i = 1

While p > 1 ‘i llega hasta 1 como máximo

p = p - 1

s1 = s1 + p ‘Construimos s1

q = p1: s2 = 0: j = 0

While j < i ‘j no sobrepasa a i, porque ha de ser menor

q = q + 1

s2 = s2 + q ‘Construimos s2

If s1 = s2 Then a = a + "&&" + Str$(n) + "//" + Str$(i) + ", " + Str$(j) + "  S1 " + Str$(s1) + "  S2 " + Str$(s2)

j = j + 1

Wend

i = i + 1

Wend

If a = "" Then a = "NO"

igualsuma = a

End Function

Si emprendemos una búsqueda obtendremos los primeros números que son centro de dos sumas iguales. Algunos, como el 12, presentan dos coincidencias distintas en las sumas:

2            && 2// 1,  0  S1  3  S2  3                              

6            && 6// 2,  1  S1  15  S2  15                                         

7            && 7// 5,  2  S1  27  S2  27                                         

8            && 8// 4,  2  S1  30  S2  30                                         

12          && 12// 3,  2  S1  42  S2  42&& 12// 9,  4  S1  75  S2  75                                 

14          && 14// 13,  5  S1  105  S2  105                                

17          && 17// 13,  6  S1  147  S2  147                                

18          && 18// 6,  4  S1  105  S2  105                                  

19          && 19// 8,  5  S1  135  S2  135                                  

20          && 20// 4,  3  S1  90  S2  90                                      

22          && 22// 17,  8  S1  243  S2  243                                

25          && 25// 14,  8  S1  270  S2  270                                

26          && 26// 17,  9  S1  315  S2  315                                

27          && 27// 21,  10  S1  363  S2  363                             

30          && 30// 5,  4  S1  165  S2  165                                  

                                           

Estos resultados se pueden interpretar de la siguiente forma, que vemos con el ejemplo del 18:

18          && 18// 6,  4  S1  105  S2  105

En primer lugar leemos el centro o pivote de las sumas, en este caso, && 18//. Los siguientes números 6 y 4 son respectivamente los sumandos tomados a la izquierda del 18 y los tomados a la derecha a partir del 19, incluyendo este (serían 7 y 5 en total). Estas serían las dos sumas consecutivas:

12+13+14+15+16+17+18=105, que es el valor s1 que devuelve la función

19+20+21+22+23=105, que es el valor devuelto como s2, coincidente con s1.

Observamos que existen muchos números que cumplen esta propiedad, y que incluso se forman grupos de consecutivos. Es normal, por ser números enteros que presentan diferencias pequeñas en sus sumas. Aparecerán menos con otros tipos de números.

Números oblongos

Este fue el caso que publiqué en Twitter. Podemos usar el mismo esquema para enteros, con las siguientes diferencias.

(1) Si el número no es oblongo, salimos de la función con un “NO”

Para saber si un número O es oblongo, hay que recordar que será el doble de un triangular T, y que estos se caracterizan porque 8T+1 es un cuadrado. Así que en los oblongos O será cuadrado 4O+1. Aquí tienes una implementación para Excel y Calc:

Public Function esoblongo(n) As Boolean

If escuad(4 * n + 1) Then esoblongo = True Else esoblongo = False

End Function

(2) Las sumas del listado de arriba, s1=s1+p y s2=s2+q se cambiarán a s1=s1+p*(p+1) y s2=s2+q*(q+1), para que cada sumando sea oblongo.

Con estos cambios, y quizás algún otro menor, obtendremos el listado de los primeros números equivalentes a dos sumas de oblongos consecutivos, que a su vez son consecutivas:

12          && 12// 2,  0  S1  20  S2  20         

72          && 72// 3,  1  S1  200  S2  200    

240        && 240// 4,  2  S1  920  S2  920  

600        && 600// 5,  3  S1  2920  S2  2920            

1260      && 1260// 6,  4  S1  7420  S2  7420          

2352      && 2352// 7,  5  S1  16240  S2  16240      

4032      && 4032// 8,  6  S1  31920  S2  31920      

4692      && 4692// 33,  15  S1  95200  S2  95200 

5852      && 5852// 69,  19  S1  152040  S2  152040           

6480      && 6480// 9,  7  S1  57840  S2  57840      

9900      && 9900// 10,  8  S1  98340  S2  98340   

10100    && 10100// 77,  25  S1  339352  S2  339352         

14520    && 14520// 11,  9  S1  158840  S2  158840           

17030    && 17030// 86,  32  S1  720940  S2  720940         

20592    && 20592// 12,  10  S1  245960  S2  245960         

28392    && 28392// 13,  11  S1  367640  S2  367640         

Podemos observar en la quinta fila el caso que publiqué:

1260      && 1260// 6,  4  S1  7420  S2  7420

A partir de 1260=35*36, oblongo por tanto, se toman 6 sumandos más a la izquierda y 4 más a la derecha de 36*37, reproduciéndose así lo que se publicó en su día.

Con primos

Ya está publicado en http://oeis.org/A089930

A089930 Primes p such that there exists a set of consecutive primes ending with p which has the same sum as a set starting right after p.                           

3, 13, 47, 73, 83, 269, 349, 359, 487, 569, 569, 787, 859, 929, 941, 1171, 1237, 1297, 1307, 1429, 1549, 1553, 1607, 1877, 2011, 2083, 2111, 2113, 2389, 2399, 2557, 2579, 2633, 2659, 2677, 2749, 2777, 2837, 2969, 3001, 3019, 3019, 3067, 3119, 3169, 3203,…

Nos hemos limitado a adaptar el algoritmo inicial al caso de primos. Los resultados concuerdan con los publicados:

3             && 3// 1,  0  S1  5  S2  5&& 3// 2,  0  S1  5  S2  5

13          && 13// 3,  1  S1  36  S2  36

47          && 47// 10,  4  S1  311  S2  311

73          && 73// 9,  5  S1  552  S2  552

83          && 83// 17,  7  S1  846  S2  846

269        && 269// 36,  18  S1  6231  S2  6231

349        && 349// 56,  24  S1  10649  S2  10649

359        && 359// 61,  25  S1  11470  S2  11470

487        && 487// 63,  31  S1  19066  S2  19066

569        && 569// 13,  11  S1  7256  S2  7256&& 569// 71,  35  S1  24518  S2  24518

En cada suma se añaden o los primos anteriores o los posteriores a cada sumando. Observamos, por ejemplo, que 569 equivale a dos casos distintos. Desarrollamos el primero:

&& 569// 13,  11  S1  7256  S2  7256

Deberemos tomar 13 primos anteriores a 569 y consecutivos con él, incluyéndolo en la suma. Después, 11 primos siguientes a 569, también incluyendo ese siguiente. Lo comprobamos:

Decreciente: 

569+563+557+547+541+523+521+509+503+499+491+487+479+467=7256

Creciente: 571+577+587+593+599+601+607+613+617+619+631+641=7256

El segundo caso supone sumas de muchos sumandos, y lo dejamos sin comprobar.

Con triangulares y cuadrados

Como el tema ya está bastante estudiado con los ejemplos anteriores, solo añadiremos los primeros números que cumplen la propiedad para números triangulares y para los cuadrados.

6             && 6// 2,  0  S1  10  S2  10                                         

36          && 36// 3,  1  S1  100  S2  100                                  

120        && 120// 4,  2  S1  460  S2  460                                

300        && 300// 5,  3  S1  1460  S2  1460                                          

630        && 630// 6,  4  S1  3710  S2  3710                                          

1176      && 1176// 7,  5  S1  8120  S2  8120                                        

2016      && 2016// 8,  6  S1  15960  S2  15960                                   

2346      && 2346// 33,  15  S1  47600  S2  47600                               

2926      && 2926// 69,  19  S1  76020  S2  76020                               

3240      && 3240// 9,  7  S1  28920  S2  28920                                   

4950      && 4950// 10,  8  S1  49170  S2  49170                                 

5050      && 5050// 77,  25  S1  169676  S2  169676                                         

7260      && 7260// 11,  9  S1  79420  S2  79420                                 

8515      && 8515// 86,  32  S1  360470  S2  360470                                         

Por ejemplo, 1460 equivale a estas dos sumas de triangulares:

1460=190+210+231+253+276+300

1460=325+351+378+406

Todos los triangulares de estas dos sumas son consecutivos, desde 190=19*20/2, hasta 406 =28*29/2

Cuadrados

Los primeros casos son:

16          && 16// 1,  0  S1  25  S2  25         

144        && 144// 2,  1  S1  365  S2  365  

576        && 576// 3,  2  S1  2030  S2  2030            

1156      && 1156// 16,  7  S1  11900  S2  11900   

1444      && 1444// 34,  9  S1  19005  S2  19005   

1600      && 1600// 4,  3  S1  7230  S2  7230          

2500      && 2500// 38,  12  S1  42419  S2  42419 

3600      && 3600// 5,  4  S1  19855  S2  19855      

7056      && 7056// 6,  5  S1  45955  S2  45955      

12100    && 12100// 50,  24  S1  379525  S2  379525         

12544    && 12544// 7,  6  S1  94220  S2  94220   

20164    && 20164// 126,  36  S1  963295  S2  963295       

20736    && 20736// 8,  7  S1  176460  S2  176460              

25281    && 25281// 92,  38  S1  1254539  S2  1254539     

32400    && 32400// 9,  8  S1  308085  S2  308085              

48400    && 48400// 10,  9  S1  508585  S2  508585           

69696    && 69696// 11,  10  S1  802010  S2  802010         

97344    && 97344// 12,  11  S1  1217450  S2  1217450     

Un ejemplo sencillo es el de 1600 como separador de las dos sumas:

1600=40^2, y se tiene:

36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=7230

41^2+42^2+43^2+44^2=7230

Ambas sumas coinciden, luego se cumple la propiedad pedida.

Con estos ejemplos vemos que la propiedad es exigente, y pocos números la cumplen, pero yo esperaba que aparecieran menos.

Números duffinianos

Estos números, llamados así por Richard Duffy, son números compuestos que son primos con la suma de sus divisores, es decir, con el valor de la función SIGMA (s). En ellos no existe ningún divisor común entre N y s(N).

Por ejemplo, es duffiniano el 111, que es compuesto, ya que 111=3*37, y la suma de sus divisores es s(111)=111+37+3+1=152, cuya descomposición factorial es 2³*19. Los factores primos de 111 son 3 y 37, mientras que los de la suma de sus divisores son 2 y 19, luego son primos entre sí y 111 es duffiniano.

Se excluyen los primos porque cumplen la condición de forma trivial: si p es primo, s(p)=1+p, y dos números consecutivos siempre son primos entre sí (intenta calcularles el M.C.D.).

En el resto del texto podremos aplicar la propiedad de que SIGMA es una función multiplicativa 

(ver http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/teoria/teordivi.pdf), 

es decir, que si m y n son primos entre sí, se cumple que s(a.b)=s(a).s(b)

Lista de los primeros números duffinianos

En este estudio no es necesario acudir a un algoritmo. Basta exigir que MCD(N,SIGMA(N))=1.

En Excel disponemos de la función M.C.D y en PARI gcd. Respecto a la función SIGMA, no está implementada en hojas de cálculo, pero puedes usar la diseñada para este blog en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/la-funcion-sigma-y-sus-traslados.html

En PARI se usa la función sigma, tal cual.

Puedes construir una lista en la que todos los números sean coprimos con los valores de SIGMA en ellos. Los primeros que obtendrás son los siguientes:

4, 8, 9, 16, 21, 25, 27, 32, 35, 36, 39, 49, 50, 55, 57, 63, 64, 65, 75, 77, 81, 85, 93, 98, 100, 111, 115, 119, 121, 125, 128, 129, 133, 143, 144, 155, 161, 169, 171, 175, 183, 185, 187, 189, 201, 203, 205, 209, 215, 217, 219, 221, 225, 235, 237, 242, 243, 245, 247,…

Esos son los primeros números duffinianos. Los tienes publicados en http://oeis.org/A003624

Como su búsqueda no presenta problemas, nos dedicaremos aquí a estudiar tipos especiales y a explicar propiedades.

Tipos especiales

Hemos visto que entre ellos no hay números primos, pero sí observamos que pertenecen a la lista potencias de primos, como 8, 9, 16, 27,…

Para estudiarlos nos basta con el siguiente desarrollo:

Vemos que la potencia únicamente es divisible entre p y sus primeras potencias, pero en el segundo siempre obtendríamos un resto igual a 1 al dividir. Por tanto:

Todas las potencias de un número primo y exponente mayor que 1 son números duffinianos.

Esta propiedad garantiza la infinitud de los números de este tipo.

Semiprimos

Los número semiprimos N se descomponen como N=p*q, siendo p y q primos. Si ambos son iguales, N será el cuadrado de un número primo, y acabamos de ver que sí será duffiniano. Si son distintos p y q, no todos estos semiprimos lo serán. En efecto, por la propiedad multiplicativa, si N=pq con p<>q, tendremos s(N)= s(p)* s(q)=(1+p)(1+q)

Para que N sea duffiniano, ha de ser primo con s(N), lo que exige que p sea primo con q+1 y q lo sea con p+1. No todos los pares de primos cumplen esta condición. Los primeros que sí la cumplen son:

21, 35, 39, 55, 57, 65, 77, 85, 93, 111, 115, 119, 129, 133, 143, 155, 161, 183, 185,…

Por ejemplo, 35=5*7, s(35)=(5+1)(7+1)=48, que es primo con 35.

Por el contrario, existen otros semiprimos que, o bien p tiene factores comunes con q+1 o q los posee con p+1. Los primeros son estos:

15, 33, 51, 69, 87, 91, 95, 123, 141, 145, 159, 177, 213, 249, 267, 287,…

Así, por ejemplo, 69=3*23 y s(69)=(3+1)(23+1)=96, que posee un divisor común con 69, que es el 3. Esto se ha producido porque 3 no es primo con (23+1)

Resumiendo, existen semiprimos duffinianos y otros que no lo son, dependiendo de las relaciones entre sus dos factores.

Cuadrados

Todos los cuadrados de primos pertenecen a este tipo que estudiamos, pero también existen cuadrados de compuestos. En la tabla se han incluido los primeros, junto con el valor de SIGMA y la descomposición factorial de ambos, para comprobar que no presentan factores comunes.

Observamos que entre ellos figuran potencias de primos, que ya sabemos que pertenecen. Entre los de base compuesta, vemos que los hay de dos factores primos distintos y también de tres, como el 900, por lo que no parece que haya limitación en este detalle.

Triangulares y oblongos

Un número triangular es del tipo m(m+1)/2. Los primeros triangulares duffinianos son:

3, 21, 36, 55, 171, 253, 325, 351, 595, 741, 903, 1081, 1225, 1711, 1953,…

Por ejemplo, 325 es triangular, porque 325=25*26/2, el valor de s(325)=434, y no tienen divisores comunes, ya que 325=5²*13 y 434=2*7*31

Con los oblongos la situación es muy distinta. Sólo he encontrado seis ejemplos, que suben pronto a números de trece cifras. He seguido buscando, y no he encontrado más ejemplos empleando un tiempo razonable.

Son estos: 2, 2450, 2827442, 3262865762, 3765344262050, 4345204015540082

Por ejemplo, 3262865762 es oblongo, porque 3262865762=57121*57122. Su función SIGMA tiene el valor de 5324420103. Ambos números son primos entre sí.

3262865762=2*13⁴*239²   y  5324420103=3*19*3019*30941

No tienen factores comunes.

Cubos y cuartas potencias

En estos dos caso deberemos excluir las potencias de primos, que ya sabemos con seguridad que son duffinianos.

Cubos

Usaremos una condición triple, y es que sea un cubo, también duffiniano y, por último, que su base no sea prima. Con este condicionamiento sólo obtenemos estos casos entre 2 y 50000:

 

 En la primera columna figuran los cubos obtenidos, que se ve que son primos con los valores de sigma de la segunda columna. En la tercera podemos observar que las bases pueden ser múltiplos de 2, 3, 5 o 7. No hay exclusiones.

Un ejemplo sería el 9261, que es el cubo de 21, por lo que sus factores primos son 3 y 7. La suma de divisores de 9261 es 16000, cuyos factores es claro que son 2 y 5. Por tanto, 9261 es duffiniano.

Cuartas potencias

Procedemos de la misma forma, y obtendremos estos primeros casos menores que 100000:

Así, 38416 es igual a 14⁴, por lo que sus factores serán 2 y 7. Su función SIGMA tiene un valor de 86381, que es el producto de 31 por 2801, números primos que no coinciden con 2 y 7.

Otra curiosidad

Duffinianos consecutivos

Estudiando la lista de duffinianos se observa que existen en ella consecutivos, como 8 y 9. No es difícil encontrar más ejemplos. En la lista siguiente figura el primer número del par. En ella también existen pares de consecutivos, que suponen un conjunto de tres:

8, 35, 49, 63, 64, 128, 143, 242, 323, 324, 391, 399, 484, 511, 512, 575, 578, 721, 722, 784, 799, 899, 900, 1024, 1057, 1156, 1250, 1295, 1351, 1443, 1444, 1681, 1921, 1936,…

En efecto, la lista descubre conjuntos de  tres consecutivos {63, 64, 65}, {323, 324, 325}, {511, 512, 513},…

Con esto se puede dar por agotado el tema.