Una exploración matemática

En la entrada número 120 del siempre interesante blog de Claudio se hacía una propuesta que esencialmente consistía en buscar los números que son cuadrados perfectos y que su doble aumentado en una unidad también lo es, como 144=12² y 144*2+1=289 = 17².

En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 0², 2², 12², 70², 408² y 2378² con una la ley de formación para las bases a_n+1 = 6a_n – a_n-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.

Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…

Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x²+1=y², una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.

(1) Demuestra que si 2n² + 1 = m², entonces n²/4 es también cuadrado y triangular.

(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x² que son soluciones de la ecuación de Pell 8x²+1=y²

(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x₁=1, y₁=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad


Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n² + 1 = m², 4, 144, 4900, 166464…

(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:

y_n=8x_n-1+3y_n-1, x_n=3x_n-1+y_n-1

o, en forma matricial:


Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para x_n, y te resultará
x_n=6x_n-1-x_n-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…

(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?

Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen q_n = 6-1/q_n-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.