jueves, 19 de junio de 2014

Suma de dos números primos consecutivos (1)


¿Qué ocurre si sumamos dos primos consecutivos mayores que 2?

En primer lugar, nunca resulta un semiprimo: ambos son impares, luego la suma tendrá el factor 2. Por otra parte, la suma es el doble de su media aritmética, que por estar entre ellos no será un número primo, luego aportará a la suma al menos dos factores primos más, por lo que nunca será semiprimo.

Según sean ambos primos del tipo 4k+1 o 4k+3, se puede obtener un múltiplo de 4 o uno de 2 que no sea de 4. Es curioso ver que si la diferencia entre ellos no es múltiplo de 4, la suma sí lo es. Al contrario, si la diferencia entre ellos es divisible entre 4, la suma no lo será. Intenta razonarlo, que no es difícil. Por ejemplo, 7+11=18, que no es múltiplo de 4, mientras que 11-7 sí lo es. Por contra, 17 y 19 se diferencian en 2 y su suma 36 es múltiplo de 4.

Sucesión de sumas

Al contrario ¿Qué números pares son suma de números primos consecutivos? Tienes el resultado, con el añadido del 5, en http://oeis.org/A001043

5, 8, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 52, 60, 68, 78, 84, 90, 100, 112, 120, 128, 138, 144, 152, 162, 172, 186, 198, 204, 210, 216, 222, 240, 258, 268, 276, 288, 300, 308…

(En todas las sucesiones de esta entrada incluieremos sólo el primo más pequeño del par. El otro lo puedes encontrar con las funciones PRIMPROX o NEXTPRIME).

Prescindiendo del 5, caso aislado, podemos encontrar algunas características interesantes:

Su gráfica está muy bien aproximada por defecto mediante 2nln(n). Esto ocurre porque nln(n) es cota inferior cercana de la función prime(n), y al sumar primos consecutivos se aproxima como si fuera el doble.


Si prescindimos del 5, todos serán pares y tendrán un Mayor divisor impar (MDI) que siempre será propio. El gráfico de los MDI es este


La primera rama se corresponde con los MDI cuando el 2 está elevado a la unidad, la segunda para los múltiplos de 4 y así hasta abajo.

Estaba inédita la sucesión de las valuaciones de esas sumas respecto a 2:

3, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 7, 1, 4, 3,… y la hemos publicado en https://oeis.org/A237881 con la inclusión del caso 2+3

Charles R Greathouse IV  ha añadido las acotaciones a(n) << log n; en particular, a(n) <= log_2 n + log_2 log n + O(1).

En PARI se podría buscar así:

{for(i=1,200,k=valuation(prime(i)+prime(i+1),2);print1(k,", "))}

Observando la gráfica de más arriba nos podemos preguntar con qué frecuencia aparecen los valores 1, 2, 3,… en la sucesión, para un rango determinado.

Para valores naturales, los números con valuación 0 tendrán frecuencia doble que los de valuación 1, y estos el doble que los de valuación 2, aproximadamente. Aquí tienes la distribución de frecuencias para números inferiores a 10000:


La explicación de la tabla es muy sencilla: tendrán valuación 0 los números impares menores que 10000, que son 5000. Los de valuación 1 serán números doble de un impar, por lo que estos no podrán pasar de 2500. Así podemos ir razonando: valuación 2 la tendrán los números que son cuádruples de un impar, en total 1250, y así hasta el final:

En los números naturales, cada valuación presenta una frecuencia doble respecto a la siguiente (salvo redondeos)

 ¿Ocurrirá lo mismo con nuestra sucesión en la que las valuaciones se aplican sobre sumas de primos consecutivos? En principio no lo esperamos, pero vamos a experimentarlo.

Hemos recogido las valuaciones de todas las sumas tipo prime(i)+prime(i+1) menores de 50000, con este resultado:


La valuación 0 corresponde al caso 2+3.

Llama la atención que se cumple aproximadamente el hecho de que cada valor tenga el doble de frecuencia que el siguiente salvo el de 1, cuyo valor 21086 no se aproxima al doble de la siguiente, 14417. La razón es que la suma de primos del tipo 4k+1 con los de 4k+3 produce un exceso de múltiplos de 4.

En la siguiente entrada estudiaremos otros casos especiales que se pueden dar al sumar dos números consecutivos.