¿Alguien sabe algo de esto? (Extensión)

En la anterior entrada no dimos los exponentes de 2 más llamativos. Ahí van:

comple2(223)=2²⁶¹-223
comple2(809)=2⁶³⁶-809
comple2(947)=2²⁷⁸-947


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Nuestro colaborador Rafael Parra comenta lo siguiente:



Antonio, me da la sensación que estás ante una conjetura. Y digo esto porque planteas que "Para todo número primo p existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2^n. La dificultad estriba en que hay que encontrar un número primo que sea suma de otro dado para que resulte 2^n.


Hay algunas conjeturas que se acercan a este planteamiento, como Schinzel-Tijdeman, Fermat-Catalán o la Conjetura ABC (ver propiedades del 2010) pero sus planteamientos son aproximativos.

Como no domino los programas, yo veo una ecuación de la forma p+q=2^n, con p,q (primos).

Utilizando Goldbach con la calculadora de red (http://wins.unice.fr/wins) he podido comprobar que hasta 2^120 no hay solución para el primo 223, que tú mismo dices !imposible!.
223=2^9-17^2
223=71+73+79
223=19+23+29+31+37+41+43
He calculado p+q=2^n con valores de n=2,3,4,...,14,15 y algunos de ellos tienen bastantes soluciones, por ejemplo:
2^6=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41...
2^8=5+251=17+239=83+173=89+167...
2^13=859+7333...
2^14=653+15731
2^15=2239+30529...
Me hubiera gustado ser de más ayuda, pero yo me manejo más con las ecuaciones diofánticas.

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Rafael ha encontrado varias soluciones para algunos valores de n, lo que es normal, pues igual ocurre con la conjetura de Goldbach, y también se da que para un mismo número primo p existan varios q que formen con él una potencia de 2. Por eso sólo buscamos el menor.

En los ejemplos destacados hemos llegado a exponente 636, y seguimos con la duda ¿habrá un primo para el que ningún exponente valga? Mi impresión es que no, pero habría que demostrarlo.

Dentro de unos días volveremos sobre el tema.