miércoles, 12 de enero de 2011

¿Alguien sabe algo de esto? (2)

Dejamos abierta en la entrada anterior esta cuestión:

¿Existe este teorema (o al menos formulado como conjetura)?

Para todo número primo p existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2.

Lo estudiaremos usando restos potenciales:

Dado un número primo p, la expresión 2n-p representará un compuesto si el resto potencial de 2n para cualquier posible divisor primo r coincida con el resto de p respecto a ese mismo divisor r.

Lo vemos con un ejemplo: Si p=7, que descubrimos en la entrada anterior que tenía un complementario muy grande (comple2(7)= 549755813881), podríamos recorrer los distintos números primos (no considerando obviamente el 2, por cuestión de paridad) para ver si coinciden los restos de las potencias de 2 con los de 7.

Si r=3, los restos potenciales del 2 respecto al 3 son alternativamente iguales a 2,1,2,1,… y el resto de 7 respecto a 3 es igual a 1, luego la expresión 2n-7 en sus valores positivos será divisible entre 3 de forma alternativa: 24-7=9=3.3, 26-7=57=19.3, 28-7=249=83.3,…

Como buscamos que la expresión 2n-7 sea un número primo, ya sabríamos que los valores n=2,4,6,8,…no nos valdrían.

Para r=5, los restos potenciales de 2 forman la secuencia 2,4,3,1,2,4,3,1,…y el resto de 7 respecto a 5 es 2. Por tanto para los valores de n=5,9,13,…la expresión 2n-7 también será compuesta.

Imaginemos que recorremos todos los posibles divisores primos de 2n-7, al igual que hemos hecho con 3 y 5 y cada vez que coincidan el resto potencial de 2 con el de 7, tachamos esa posibilidad. Es como una criba. Si al terminar el análisis quedan huecos, es que existe comple2(p) y si todos los posibles valores son compuestos, no será posible. Para terminar ese análisis deberemos llegar hasta la raíz cuadrada de 2n-7, lo cual puede ser penoso.

Hemos preparado una hoja de cálculo que para cada primo estudia las coincidencias entre restos y le asigna el valor “NO” a los compuestos.

En la siguiente tabla se recoge el principio del análisis para 37. Se comienza a analizar cuando el valor de 2n-7 es positivo.


n
37
1
2
2
4
11
3
18
14
8
6
0
37



3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
-35
1

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-33
2

1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
-29
3

2
3
1
8
8
8
8
8
8
8
8
8
-21
4

1
1
2
5
3
16
16
16
16
16
16
16
-5
5

2
2
4
10
6
15
13
9
3
1
32
32
27
6

1
4
1
9
12
13
7
18
6
2
27
23
91
7
NO
2
3
2
7
11
9
14
13
12
4
17
5
219
8
NO
1
1
4
3
9
1
9
3
24
8
34
10
475
9
NO
2
2
1
6
5
2
18
6
19
16
31
20
987
10
NO
1
4
2
1
10
4
17
12
9
1
25
40
2011
11
SI
2
3
4
2
7
8
15
1
18
2
13
39

Los números en rojo son los restos que coinciden con los de 37 (de color azul) respecto a los distintos primos (de color verde), y se ve que el 2011 es el primer valor en el que no se producen coincidencias, y por tanto comple2(37)=2011.

Como hay que probar primos hasta la raíz cuadrada de 2n-p, el análisis se puede hacer tan largo que no elimine las dudas. Así que seguimos igual, pero habiendo descubierto una posibilidad de ataque al problema:

Para todo número primo p ¿existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2?

A ver si alguien nos puede ayudar.