Número par de divisores

Sabemos desde el bachillerato que si un número se descompone en factores primos de la forma

el número total de divisores de N viene dado por

Así, si 60 = 22*3*5, tendrá (2+1)(1+1)(1+1)=12 divisores. Son estos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

¿Cuándo el número D(N) será par?

Sí, lo que estás pensando: cuando algún a_i sea impar, porque en ese caso (a_i+1) será par, y su producto por todos los demás factores también lo será. Pero este hecho tiene una consecuencia inmediata: N no será cuadrado perfecto, ya que al menos uno de sus factores estará elevado a potencia impar.

Así que los números 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29… tienen en común el no ser cuadrados y el tener un número par de divisores.

Existe una fórmula para generar estos números (los representaremos como NC(n)), independientemente de su carácter de no cuadrados:

En ella los corchetes significan “parte entera”,  y al sumar ½ se convertirá en el redondeo de la raíz cuadrada.

Es sencillo implementar  esta función en las hojas de cálculo, pues la función REDONDEAR a cero decimales equivale al corchete. La siguiente tabla se ha conseguido con Excel y la fórmula N+REDONDEAR(RAIZ(N);0)

1    2    3    4    5    6    7      8      9      10    11    12    13    14   
2    3    5    6    7    8    10    11    12    13    14    15    17    18

Se puede observar que se engendran todos los números menos los cuadrados.  El salto sobre los cuadrados se produce entre los números de color azul y los de color rojo.

Esto nos da una idea para justificar la fórmula anterior.

Podemos observar que en la fila de abajo los resultados saltan de una en una unidad, salvo en los números de color, en los que saltan dos unidades. ¿A qué es debido esto?

Para comprenderlo sustituimos la tabla anterior por otra de raíces cuadradas:

1     2       3        4      5      6      7        8        9        10        11        12      13      14
1     1,41  1,73 2,00   2,24 2,45  2,65  2,83   3,00   3,16     3,32     3,46   3,61   3,74


Observamos que los saltos de 2 unidades se producen cuando la parte decimal de las raíces cuadradas pasan de ser menores de 0,5 a ser mayores o iguales. Por eso, al aplicar el redondeo de la fórmula

a dos valores consecutivos de n, se produce un salto de 1 al pasar de n a n+1, pero en los números coloreados aparece otra unidad al redondear el corchete.

En efecto, los saltos se producen entre los números del tipo n²+n (los de color azul) y los del tipo n²+n+1 (color rojo). La demostración de esto se basa en esta cadena de desigualdades:

Si p<n se tiene:

Y tomando raíces cuadradas se mantendrán las desigualdades (es función estrictamente creciente)

Esto nos demuestra que las raíces de la izquierda tienen una parte decimal menor que 0,5 y los de la derecha, mayor, lo que justifica que al redondear aparezca una unidad suplementaria entre n²+n y n²+n+1 y el salto sea de 2 en lugar de 1.

Vale, pero ¿por qué los tachados son los cuadrados perfectos y no otros?

Pues aquí se produce una concurrencia de hechos matemáticos (ya se sabe lo aficionados que somos en este blog a ellas). Por una parte sabemos que los cuadrados perfectos son suma de impares consecutivos: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 y por otra hemos averiguado que en la fórmula que estamos justificando los cuadrados aparecen entre n²+n y n²+n+1. Bastará, pues, demostrar que los saltos se producen siguiendo la pauta de los números impares. En efecto, la diferencia entre dos valores consecutivos de n²+n es:

Pero como sabemos que en ese intervalo se produce un salto doble por el redondeo, la diferencia será en realidad 2(n+1)+1= 2n+3

Así, en el intervalo entre el 2=1²+1 y 6=2²+2 s producirá un incremento igual a 2*1+3=5, lo que justifica que el 4=2² se convierta en 9=3².

Como el tema es intuitivo, lo damos por bueno prescindiendo de pequeños ajustes.

¿No te ha interesado la concurrencia? Pues lo razonamos directamente:

Aplicamos la fórmula

tanto a n²+n como a n²+n+1, recordando que la parte decimal del primero no llega a 0,5 y la del segundo se pasa y en el redondeo este segundo producirá una unidad:

Luego el número saltado es n²+2n+1, que es cuadrado perfecto, por ser igual a (n+1)².