sábado, 22 de enero de 2011

Redondez de un número

(Esta entrada constituye nuestra colaboración en el X Carnaval de Matemáticas, organizado por el blog Francis (th)E mule Science's News)


Paul Hoffman, en su libro “El hombre que sólo amaba los números” define los números redondos como aquellos que poseen más divisores primos (iguales o distintos) que los demás de su misma magnitud. Parece ser que esta acepción de la palabra “redondo” es original de Hoffman. Hardy dio otra muy parecida.

Esta definición, tal como está en el libro, es algo ambigua y prescindiremos de ella. Usaremos mejor la de “redondez”, que se limita a contar factores primos uno a uno. Es un concepto parecido al de “superabundancia”. En la práctica la redondez es la suma de los exponentes que aparecen en su descomposición factorial.

La redondez de 320 es 7, porque 320=26*5  y 6+1=7, o bien porque los divisores primos tomados de uno en uno son 2 2 2 2 2 2 5. Esta función también recibe el nombre de omega y biomega.  Aquí escribiremos R(320)=7

Es evidente que los primos tienen redondez 1, los semiprimos 2, y que todos pensamos en múltiplos de 12 que esperamos tengan bastante redondez. En efecto 480 tiene redondez 7 aunque sus vecinos próximos no pasan de 4.

Hemos diseñado para hoja de cálculo la función REDONDEZ cuyo código se incluye al final. Con ella hemos estudiado los mil primeros números, para ver cuál es su redondez media.  Se ha producido la siguiente tabla:


Redondez
Frecuencia
0
1
1
168
2
299
3
247
4
149
5
76
6
37
7
14
8
7
9
2
Total
1000


En ella aparece sólo una redondez 0 (correspondiente al número 1), 168 unitarias (los primos menores que 1000) y 299 de redondez 2, que es la de los semiprimos, que resulta la más abundante. La redondez media es de 2,88.

Hay dos números, el 512=29 y el 768=28*3 que tienen redondez máxima de 9. Después hay 7 con redondez igual a 8. ¿Qué números son?

Se puede estudiar la media de redondez según la última cifra de los números. Si estás pensando en que ganan los pares llevarás razón, por goleada, del orden del doble, pero si piensas en una de las cifras 2, 4 , 6, 8 y 0, igual te llevas una sorpresa. ¿Qué última cifra tiene una redondez media mayor?

Public function redondez(n)dim i,a,s


i=2:s=0:a=n
while i<=a
if esprimo(i) then
while esmultiplo(a,i)
a=a/i
s=s+1
wend
end if
i=i+1
wend
redondez=s
end function