Parte cuadrada y parte libre

Todos los números naturales contienen un cuadrado en alguna de sus descomposiciones factoriales (eventualmente valdría 1) y otro factor libre de cuadrados (quizás también 1).

Así, tendríamos, por ejemplo: 80=4²*5, 121=11²*1, 90=3²*10, 15=1²*15

Podemos llamar parte cuadrada PC(N) a la primera y parte libre PL(N) a la segunda (se llama “core” en inglés y podemos traducir por “núcleo”) No se debe confundir con el radical de N, que es el mayor divisor de N que está libre de cuadrados.

Tendremos que:

En un cuadrado perfecto PL(N)=1, en un número libre de cuadrados PC(N)=1 y en el resto de números ambos serán mayores que la unidad. En este caso los podemos llamar cuadrables, porque admiten su representación como un embaldosado de estructura cuadrada (las mismas filas que columnas), o bien como uno rectangular con baldosas cuadradas.

Así, el número 90=3²*10 es cuadrable, y admite estas dos estructuras:

Rectangular con baldosas cuadradas

Mismo número de filas y columnas con baldosas rectangulares

Los cuadrados, como el 36, es evidente que admiten estructuras cuadradas con baldosas cuadradas, y tal vez de varias formas. Son totalmente cuadrables.

Por último, los libres de cuadrados solo admitirán estructuras rectangulares con baldosas también rectangulares. No son nada cuadrables.

¿Cómo encontrar la parte cuadrada de un número? Plantéatelo como ejercicio. Si lo deseas programar ten en cuenta que basta encontrar el mayor divisor cuadrado de N. Es evidente que teniendo la parte cuadrada, también tienes la parte libre.

Proponemos una cuestión:

¿Qué números presentan la propiedad de que su parte cuadrada y su parte libre de cuadrados son “casi iguales”, que se diferencian sólo en una unidad? Expresado de otra forma: la media aritmética de ambas partes está muy próxima a la raíz cuadrada de N.

Pueden darse dos casos, o que la parte cuadrada tenga una unidad más que la libre, o que tenga una unidad menos. ¿Cómo buscar esos números?

Caso 1: PC(N)+1=PL(N)

Comenzamos por buscar los números de la forma n²(n²+1) para n>=1: 2 20 90 272 650 1332 2450 4160 6642 10100 14762 20880 28730 38612 50850 65792 83810 105300 130682 160400 194922 234740 280370 332352 391250 457652 532170 615440 708122 810900…

Así nos aseguramos que hemos recorrido todas las posibles partes cuadradas. Después deberemos tachar aquellos en los que n²+1 no esté libre de cuadrados.

2, 20, 90, 272, 650, 1332, 4160, 6642, 10100, 14762, 20880, 28730, 38612, 50850, 65792, 83810, 130682, 160400, 194922, 234740, 280370, 332352, 391250, 457652, 532170, 615440, 708122, 810900, 924482, 1187010, 1337492, 1501850, 1680912, 1875530, 2314962, 2561600…(ver http://oeis.org/A069187)

Entre los tachados está 2450=49*50 y 50 es divisible entre el cuadrado de 5, y 105300=324*325, con 325 divisible también entre 25.

Caso 1: PC(N)=PL(N)+1

Aquí deberíamos buscar los números del tipo n²(n²-1), pero tampoco nos resuelve el problema. Nos resultaría la lista (prescindiendo del 0): 12, 72, 240, 600, 1260, 2352, 4032, 6480, 9900, 14520, 20592, 28392, 38220, 50400,…

 Pero 72=3²(3²-1) está en la lista y  no cumple la condición: PC(72)=36 y PL(72)=2 y. Ha de ocurrir que (n²-1) sea libre de cuadrados. Esto equivale a que n+1 no sea cuadrado, n-1 tampoco y que n+1 y n-1 no tengan un factor en común. Esta última excluye el caso de n impar, luego la lista queda reducida a
12, 240, 1260, 4032, 9900, 20592, 38220, 65280, 104652, 159600…

Habría que excluir después a 4032, porque n+1 es cuadrado, y a 9900, porque n-1 es cuadrado, y así sucesivamente. Quedarían

12, 240, 1260, 20592, 38220, 65280, 104652, 159600…

¿Sabrías completar hasta unos quince términos?

La solución dentro de unos días.