martes, 13 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (3)

En esta entrada comprobaremos la potencia del concepto de función multiplicativa. Usaremos fundamentalmente dos propiedades:

(1) Según vimos en la entrada correspondiente a las funciones multiplicativas, si  g(x) es una función multiplicativa, entonces, la función f(n) definida por


en la que el sumatorio recorre todos los divisores de n, también es multiplicativa.

(2) Debemos recordar también que la definición de una función multiplicativa basta hacerla para los factores primarios pe de un número, siendo p un factor primo y e su exponente.

Estudiaremos esas sumas que recorren todos los divisores en las funciones multiplicativas estudiadas en la entrada anterior

Suma de las partes cuadradas de los divisores de N SPC(N)


Es una función multiplicativa

Si la parte cuadrada de un número es multiplicativa, su suma a lo largo de los divisores del número también lo será. Una forma rápida de encontrar esa suma se consigue con el Buscador de Naturales, usando estas condiciones y consultando después la suma en el evaluador.  Observa cómo lo hemos conseguido para el número 252= 2*2*3*3*7












Se ha definido una búsqueda entre 1 y 252, con las condiciones DIVISOR DE 252 y EVALUAR PARTECUAD(N) y nos da un resultado de 132.

Así que la suma de esas partes cuadradas (SPC(N)) para 252 es 132.

Esta función está publicada en http://oeis.org/A068976 y ahí se dan fórmulas y desarrollos para el cálculo de la misma. Es claro que es multiplicativa y por eso la fórmula de Vladeta Jovovic que se propone en esa página sólo define la función para un factor primario pe.

La escribimos de forma algebraica aplicada a pe:

Si e es par:



Si e es impar:



¿Cómo demostrarlo? Te damos una idea.

Considera todos los divisores del número pe:

1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe


Si les aplicamos la función “parte cuadrada” PC deberemos truncar los exponentes al máximo número par que contienen.

Si e es par quedaría:

1   1   p2   p2   p4   p4   p6 … pe-2   pe   que se puede descomponer en dos sumas:

SPC(pe)=( 1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe  )+(   1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe-2 ) que al final desembocan en la suma propuesta

Si es impar las dos sumas serían iguales, luego

SPC(pe)=2( 1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe-1 ) que también nos lleva a la fórmula propuesta arriba.

Aplicamos estas fórmulas a 252= 22*32*7, en el que aplicaría el caso par para el 2 y el 3 y el impar para el 7:

SPC(252)=(15/3+3/3)(80/8+8/8)(2*48/48)=6*11*2=132, como era de esperar.

Si practicas estos cálculos con otros números, tanto manualmente como con el Buscador o las fórmulas aprenderás mucho.

Suma de partes libres SPL(N)

Es también multiplicativa

Con los mismos procedimientos y propiedades podemos intentar sumar las partes libres de los divisores de un número.

Con el Buscador podemos encontrar esa suma para 1102, por ejemplo:












Las condiciones usadas son DIVISOR DE 1102 y EVALUAR N/PARTECUAD(N), ya que esa es una definición de parte libre. Recorremos los números del 1 al 1102 y el evaluador nos da una solución de 180.

En la página http://oeis.org/A069088 puedes ver la lista de los primeros valores de esta función (1, 3, 4, 4, 6, 12, 8, 6, 5, 18, 12, 16, 14, 24…) y la definición ligeramente distinta a la nuestra. Lo que no ofrece es una fórmula para la evaluación directa. La ofrecemos nosotros para pe, como en los casos anteriores:

Si e es par:



Si e es impar



La demostración también se basa en el conjunto

1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe
 
Al aplicarle la función “parte libre” PL las potencias pares se convertirán en 1 y las impares en p, por lo que la suma de las partes libres será

1+p+1+p+1+p+1+p+…. Que terminará en 1 o en p según el exponente sea par o impar. El resto de la demostración es trivial, sacando factor común el factor (1+p) hasta donde se pueda.

Aplicamos la fórmula a 2200=23*52*11: SPL(2200)=(2+1)*4/2*((5+1)*2/2+1)(11+1)*2/2=3*2*7*12=504

Lo hemos comprobado con el Buscador y coincide.

Suma de los mínimos múltiplos cuadrados de los divisores de N SMMC(N)

Otra multiplicativa

Si ahora, en lugar de N/PARTECUAD(N) usamos N*N/PARTECUAD(N) en el Buscador (¿Por qué? Revisa la propiedades vistas en las entradas anteriores ) obtendremos la suma de MMC(N)

Esta función multiplicativa la hemos publicado en OEIS, pues en la fecha de su creación permanecía inédita (ver https://oeis.org/A198286). Sus primeros valores son

1, 5, 10, 9, 26, 50, 50, 25, 19, 130, 122, 90, 170, 250, 260…

Podemos usar una fórmula similar a las anteriores. No es difícil que la puedas justificar si entendiste las primeras.

Si e es par


Si e es impar


Lo vemos con un número compuesto, el 12=22*3

En primer lugar aplicamos la definición de SMMC y para cada primo sumamos el mínimo múltiplo cuadrado de cada una de sus potencias: SMMC(12)=(1+4+4)(1+9)=9*10=90, como puedes ver en la lista general.

Ahora aplicamos la fórmula:

SMMC(22) (caso par) = 1+2((16-4)/(4-1))=1+2*4=9, que era lo esperado

SMMC(3) (caso impar) = (1+9)((9-1)/(9-1))=10*1=10, que con el 9 anterior da 90.

Proponemos una cuestión:

(a) La suma de las partes cuadradas de los divisores de un número coincide con esta suma:


¿Sabrías demostrarlo? Se consigue como en las anteriores, comenzando a considerar el conjunto 1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe