jueves, 8 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (2)

Relaciones entre los cuadrados que rodean a un número

Según lo definido en la entrada anterior, para conseguir el mínimo múltiplo cuadrado de N sólo tendremos que multiplicar N por su parte libre. En efecto, esa parte libre contiene los factores primos de N elevados al residuo de cada exponente módulo 2. Más claramente: contiene los números primos elevados a 1 si su exponente era impar. Pero si los multiplicamos por N todos esos exponentes se harán pares, con lo que hemos conseguido el MMC(N).

Lo repasamos con un ejemplo:

Sea 11400=52*23*3*19. Su parte cuadrada contendrá los factores con exponente truncado a par: PC(1140)= 52*22 = 100. Su parte libre estará formada por el resto de factores, es decir, PL(1140)=2*3*19=114. Es evidente pues que:

PC(N)*PL(N)=N   (1)

Pero si ahora volvemos a multiplicar por PL(N), todos los exponentes se harán pares y el producto se habrá convertido en MMC(N):

1140*PL(1140)= 52*23*3*19*2*3*19=52*24*32*192=1299600=MMC(11400)

Hemos razonado que

N*PL(N)=MMC(N)   (2)

Uniendo (1) con (2) llegamos a una conclusión muy elegante: N es la media geométrica entre el mayor cuadrado que lo divide y su menor múltiplo cuadrado.

Es así porque N2=PC(N)*MMC(N), según (1) y (2)

 En nuestro ejemplo 114002=100*1299600.

Como los factores del segundo miembro son cuadrados, podemos considerar sus raíces cuadradas. Así definiremos:

(a) Raíz interna de N es la raíz cuadrada de su parte cuadrada. En el ejemplo sería 10. La representaremos como RI(N). En este caso RI(11400)=10

(b) Raíz externa de N es la raíz cuadrada de su menor múltiplo cuadrado. En el caso de 11400 podríamos escribir RE(11400)=1140, que es la raíz cuadrada de MMC(11400)

Un resumen también muy elegante:

Todo número natural equivale al producto de sus dos raíces enteras, interna y externa

En efecto: 11400=10*1140

Podemos representar todo lo anterior gráficamente. Observa esta imagen:

Representa los cuadrados correspondientes al número 180=22*32*5.

El cuadrado rojo de la esquina es su parte cuadrada PC(180)= 22*32=36, que son los cuadritos que contiene. Su raíz cuadrada es RI(180)=6, que se representa por el lado del cuadrado.

La parte libre de 180 es 5. Si copiamos el cuadrado rojo cinco veces a la derecha nos resultará un rectángulo (el separado por la línea gruesa roja) de 180 cuadros, o sea, el número considerado. Esto es así porque N=PC(N)*PL(N).

Si ese rectángulo que contiene 180 cuadros lo trasladamos cinco veces hacia arriba nos resultan 900 cuadros, que es precisamente el menor múltiplo cuadrado. Esto funciona porque N*PL(N) =MMC(N). El lado de ese cuadrado, 30, será la raíz cuadrada externa de 180.

¿Qué hemos visualizado?:

  • Todo número se puede representar por un rectángulo de base su raíz externa y de altura la interna.
  • Si el interior de ese rectángulo lo descomponemos en tantos trozos iguales como indique la parte libre obtendremos la parte cuadrada.
  • Si ese rectángulo lo adosamos consigo mismo por su base tantas veces como indique la parte libre, formaremos un cuadrado que será su menor múltiplo de ese tipo.
¡Se completó el emparedado!

Y lo mejor, como todas las funciones que hemos usado son multiplicativas, dados dos números coprimos, sus esquemas de este tipo se pueden fundir en uno solo multiplicando uno a uno los datos que han intervenido: PC, PL, RI,…

Todo esto no pasa de ser un divertimento, pero te ayuda a aprender conceptos.