sábado, 3 de diciembre de 2011

Funciones multiplicativas. Emparedado de cuadrados (1)

Comentábamos en una entrada anterior los conceptos de parte cuadrada y parte libre de un número. Ahora tomaremos estos conceptos para usarlos como ejemplo de funciones multiplicativas. Antes añadiremos otra definición. Repasamos:

Parte cuadrada PC(N): Es el mayor divisor cuadrado de N (Ver http://oeis.org/A008833)

Parte libre PL(N): Equivale al cociente entre N y su parte cuadrada (http://oeis.org/A007913)

Radical RAD(N): Es el mayor divisor de N que está libre de cuadrados (http://oeis.org/A007947)

Y añadimos otra

Menor múltiplo cuadrado MMC(N): Como indica su nombre, es el menor cuadrado divisible entre N
(http://oeis.org/A053143)

Así que el número N está emparedado entre dos cuadrados.

Uno es el mayor divisor cuadrado PC(N) y el otro es el menor múltiplo de esa clase MMC(N).

Lo aclaramos con un ejemplo

Si consideramos el número 126, sus factores primos son 2*3*3*7, luego
PC(126)=9 porque es el único cuadrado que podemos formar con 2,3,3,7. El exponente de 3 es par, como cabía esperar.
PL(126)=126/9=14, que equivale al producto de 2*7, ambos elevados a 1
RAD(126)=2*3*7=42 Está formado por todos los factores primos elevados a 1.
MMC(126)=22*32*72=1764. Se consigue este número completando los exponentes de sus factores primos a un número par.

Así que, como veremos, cualquier número está comprendido entre dos cuadrados de este tipo. A continuación estudiaremos su cálculo y carácter multiplicativo, dejando para la siguiente entrada sus relaciones.

Parte cuadrada PC

Es evidente que para calcularlo bastará sustituir cada exponente de los factores primos por el mayor número par contenido en cada uno de ellos. Por ejemplo, si N=23*72*11=4312, su parte cuadrada se obtendrá truncando cada exponente al máximo número par que contiene, es decir: PC(N)= 22*72*110=196

Vimos en la primera entrada de las funciones multiplicativas que estas quedaban caracterizadas por su acción sobre los factores primarios de N. De esta forma, la definición de parte cuadrada podía quedar como



Es decir, que a cada exponente se le resta su resto al dividirlo entre 2. Por este tipo de actuación sobre factores primarios de forma independiente, multiplicando después los resultados, ya sabemos que la parte cuadrada es multiplicativa.

Intenta reproducir esta comprobación:



En ella vemos que 1617 y 2000 son coprimos y que el producto de sus partes cuadradas 49 y 400 coincide con la parte cuadrada del producto 3234000=1617*2000. Tendrás que trabajar un poquito, pero aprenderás mucho.

Parte libre

Para no alargar el tema, tan sólo destacaremos que su definición para factores primarios puede ser:

Esto quiere decir que los factores pares desaparecerán en la parte libre y que los impares se convertirán en 1. Al actuar sobre los factores primarios de forma independiente, esta función es también multiplicativa.

Te proponemos una comprobación de su carácter multiplicativo:



Repasa los cálculos y recuerda que ahora se trata de la parte libre.

Mínimo múltiplo cuadrado

Con todo lo que ya llevamos, su definición te vendrá a la mente al momento. Es esta:



Era de esperar. El número N está “emparedado” entre dos cuadrados: el que resulta de restar un 1 o un 0 a los exponentes y el que se calcula sumando ese 1 a los impares y un 0 a los pares.

Por ejemplo:

PC(2400)= =24*52=400; 2400= =25*52*3;  MMC(2400)=14400= =26*52*32

Esta función es multiplicativa por la misma razón que las anteriores.

(Continuará)