Bases, índices y resultados simétricos

Es ya muy popular la propiedad del “primo de Sheldon”, de la serie televisiva “Big Bang Theory”, y es que 73 es un número primo, y si invertimos sus cifras, 37 también es primo. A esto se le une que 73 es el primo número 21 y 37 es el número 12. Es decir, dos números de un tipo son simétricos y sus índices, bases u órdenes también lo son.

Hemos usado la propiedad de ser primo, pero en los cuadrados abundan ejemplos similares. Así, 12 y 21 son simétricos y sus cuadrados, 144 y 441, también. Un ejemplo más difícil de encontrar es el de números triangulares: El triangular de orden 24662 es 304119453 y el de orden simétrico 26642  es su simétrico 354911403. No se encuentra un ejemplo más pequeño, salvo con números capicúas.

En estas búsquedas, a fin de evitar trivialidades, descartaremos los números capicúas o palindrómicos. En los cálculos a efectuar será muy útil la función CIFRAINVER, explicada en la entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/relaciones-entre-numeros-con-cifras.html. 

Las búsquedas que se efectúen aquí serán complementos de algunas contenidas en esa entrada.

Búsqueda con números primos

El ejemplo del 37 y el 73 se puede extender a otros primos. Bastará con exigir que sean simétricos y que sus números de orden también lo sean. Necesitaremos la función PRIME(N), que no está implementada en hojas de cálculo. Se puede sustituir por nuestra PRIMNUM(N), que devuelve el primo número N:

Public Function primnum(n)
Dim p, c, i

 c = 0: i = 2
While c < n
If esprimo(i) Then c = c + 1: p = i
i = i + 1
Wend
primnum = p
End Function

Usa nuestra función ESPRIMO, muy usada en este blog.

Con ellas basta buscar que

m=cifrainver(n) and primnum(m)=cifrainver(primnum(n))

El resultado será que 73 y 37 son los únicos resultados a nivel elemental. Si se añade la propiedad de que 7*3=21, se ha demostrado que no existen más ejemplos.

Búsqueda con cuadrados

Aquí la condición para Excel y Calc sería

m=cifrainver(n) and m^2=cifrainver(n^2)

El resultado, bastante conocido es

La columna de cuadrados está publicada en https://oeis.org/A064021

Para quienes quieran reproducir la búsqueda sin usar funciones especiales, se adjunta a continuación un código en PARI:

ok(m,n)=n==eval(concat(Vecrev(Str(m))))&&n^2==eval(concat(Vecrev(Str(m^2))))&&n%10<>0&&m%10<>0
for(i=2,300,for(j=2,i-1,if(ok(i,j),print(i,", ",i^2,", ",j,", ",j^2))))

Está preparado para buscar hasta 300, dato que se puede cambiar sin problemas. Su resultado sería similar al anterior:

 

Números triangulares

Ya se anunció al principio que estos ejemplos son escasos. Bastará cambiar en las funciones la expresión m^2 por m*(m+1)/2 y al igual con n.

Efectuada la búsqueda, el único par encontrado, inferior a 10^5 es el referido:

Al mismo resultado se llega con PARI:

En OEIS, https://oeis.org/A279084, están publicados los resultados sin desechar los capicúas.

Otros tipos

Con números oblongos, tipo N(N+1), no se han encontrado ejemplos a nivel elemental, y tampoco para pentagonales.

Para cubos, existen ejemplos, pero en algunos de ellos el número de cifras es alto, y hay que acudir a PARI:

Están publicados en https://oeis.org/A035124

Por último, al probar con cuadrados de primos, se obtienen bastantes resultados entre los primeros números:

No parece que estén publicados. El autor no lo hará.

 

Números de Lösch

Estos números son aquellos que se pueden representar como

N=x²+xy+y², con x  e y números enteros. Como X e Y pueden tener distinto signo, una definición alternativa es la de pueden escribirse como N=x²-xy+y².

Aparecen como las normas de los números enteros de Eisenstein, pero no seguiremos por ahí porque es un tema de números complejos. Estos números son cerrados para la operación de multiplicar, por lo que si m y n pertenecen a este tipo, también lo serán mn, m^k y n^k.

Al poder ser x o y iguales a cero, estos números presentarán algunos subtipos. Por ejemplo, entre ellos estarán el cero y todos los cuadrados enteros, si elegimos y=0 o y=-x. Esto demuestra que existen infinitos números de este tipo.

Todos son positivos o nulos, porque N se puede escribir de esta otra forma (Zak Seidov, Jan 20 2009), que es evidentemente positiva o nula:

N=(y+x/2)²+3*(x/2)²=y²+xy+x²/4+3x²/4=x²+xy+y²

Podemos buscarlos con una función muy sencilla:

Function tipolosch(n)

Dim x, y, a As Integer

Dim s$

s = "" ‘Contenedor de valores de X e Y

a = Sqr(n)’Cota para X e Y

For x = -a To a ‘Bucle para X

For y = -a To a ‘Bucle para Y

If x ^ 2 + x * y + y ^ 2 = n Then ‘Condición a cumplir

s = s + " # X=" + Str$(x) + " Y=" + Str$(y) ‘Nueva solución

End If

Next y

Next x

If s = "" Then s = "NO"

tipolosch = s

End Function

Con esta función detectamos en un buscador los números que permiten valores enteros para X e Y, y que, por tanto son Lösch. Al intentarlo vemos, por una parte que son frecuentes y, por otra, que las soluciones aparecen en conjuntos equivalentes (salvo los signos) que complican un poco la visión del resultado:

Observamos que las soluciones no caben en la imagen a veces, pero que son parecidas. Esta función es buena para descubrir muchas posibilidades para pocos números. Si sólo nos interesa saber si un número es de Lösch o no, es preferible esta otra, que detiene el proceso cuando se detecta una solución:

Function tipolosch2(n)
Dim x, y, a As Integer
Dim s$
Dim noes As Boolean

s = ""
a = Sqr(n)
x = -a
noes = True ‘Introducimos esta variable de detención
While x <= a And noes ’Sustituimos FOR-NEST por WHILE-WEND
y = -a
While y <= a And noes
If x ^ 2 + x * y + y ^ 2 = n Then
noes = False ‘Solución y parada
s = s + " # X=" + Str$(x) + " Y=" + Str$(y)
End If
y = y + 1
Wend
x = x + 1
Wend
If s = "" Then s = "NO"
tipolosch2 = s
End Function

De esta forma queda una tabla con menos información y más clara. Estos son los primeros números de este tipo:

Estos valores están publicados en https://oeis.org/A003136

Se razona fácilmente que entre ellos el 75% serán impares y el 25% pares, porque esta posibilidad necesita que ambos, x e y sean pares.

Casos particulares

Si X=Y, la expresión de estos números es sumamente sencilla, pues equivale a 3K² y, en efecto, pertenecen a este tipo, 3, 12, 27, 48,…como se puede comprobar en las tablas que hemos insertado. Por la propiedad multiplicativa, también pertenecerán a este tipo los de la forma 3^hk², como el 36

Otro caso interesante se produce cuando Y=1, ya que el número quedaría como X²+X+1=(X+1)²-X y crearía la subsucesión 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73,…En https://oeis.org/A353887 están publicados los que son libres de cuadrados, y se afirma que la sucesión es infinita.

Si tomamos Y=-1 nos resultan números poligonales, que no estudiaremos por la extensión de sus propiedades, aunque sea un tema importante en este blog. Puedes consultar https://oeis.org/A002061

  

Tres potencias enteras no negativas

En el desarrollo de mis cálculos sobre el año 2025 llegué a esta identidad:

2025²=36⁴+18⁵+9⁶

Al releerla se me ocurrió averiguar qué números admiten una descomposición en tres potencias enteras no negativas (admitiendo el 1 y el 0) y cuáles no. Por ejemplo, 72 se puede descomponer de seis formas:

72=2⁵+2⁵+2³=6²+3³+3²=6²+2⁵+2²=6²+6²+0¹=2⁶+2²+2²=2⁶+2³+0¹

Es evidente que el cero figura para poder considerar también las sumas de dos potencias, como 72=2⁶+2³, o de una para los números que sean potencias perfectas.

Otros números, como 7 y 23 no admiten esta descomposición. En unas primeras búsquedas se puede sospechar que estos números son más escasos. Lo iremos viendo.

Búsqueda de soluciones

Esta búsqueda no supone ninguna complicación. Se resuelve con dos bucles, uno para la primera potencia y otro para la segunda, porque la tercera se encuentra restando.

Hemos usado una función para Excel, siguiendo el espíritu de este blog, pero usa una función propia, ESPOTENCIA 

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html). 

También sustituye la función STR$ por la función AJUSTA, que funciona mejor. No obstante se incluirá su código aquí, porque a continuación se traducirá a PARI, con lo que todos los lectores podrán experimentar con ella.

Function trespotencias$(n)
Dim i, j, k, p1, p2, p3, m
Dim s$ 

s = "" ’Contenedor de la solución
m = 0 ’Contador de soluciones
For i = 0 To n ‘Bucle para la primera potencia
p1 = espotencia(i) ‘Devuelve el exponente
If p1 > 0 Then
For j = 0 To i ‘Bucle para la segunda potencia
p2 = espotencia(j)
If p2 > 0 Then
k = n - i – j ‘Tercera potencia
p3 = espotencia(k)
If k <= j And p3 > 0 And k >= 0 Then
 ‘Los tres sumandos son potencias. Lo que sigue construye la solución
m = m + 1
s = s + " ## " + ajusta(Int(i ^ (1 / p1) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p1) + "+"
s = s + ajusta(Int(j ^ (1 / p2) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p2) + "+"
s = s + ajusta(Int(k ^ (1 / p3) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p3)
End If
End If
Next j
End If
Next i
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s
trespotencias = s
End Function

 Con esta función podemos descomponer los primeros números:

Observamos que el 7 no admite esta descomposición.

Tal como el autor esperaba, al llegar a números mayores se incrementa el número de soluciones:

Volvemos a encontrar un número que no presenta soluciones, el 87. De hecho, experimentalmente van desapareciendo estos números sin solución. Estos son los primeros:

Están publicados en https://oeis.org/A113505 y al llegar al número  26375 se puede conjeturar que es posible que no aparezcan más. Suele ocurrir en casos similares.

A113505

Numbers not the sum of at most three perfect powers (A001597).

7, 15, 23, 87, 111, 119, 167, 335, 1391, 1455, 1607, 1679, 1991, 25887, 26375

a(16), if it exists, is larger than 10^8. - Giovanni Resta, May 07 2017

Para los lectores que deseen experimentar, se incluye nuestra versión en PARI.

u=100;for(i=0,u,if(ispower(i)||i<2,for(j=0,i,if((ispower(j)||j<2)&&(ispower(u-i-j)||u-i-j<2)&&j>u-i-j&&u-i-j>=0,print(i,", ",j,", ",u-i-j)))))

La variable u se rellena con el número a descomponer, en el ejemplo, 100

Observamos que admite tres sumas con sumandos que son potencias.

La siguiente imagen recoge parte del resultado para el año 2025:

La abundancia de resultados reafirma la sospecha de que los elementos sin solución serán limitados.

Estudio con nuestra herramienta Cartesius

Esta hoja de Excel, “Cartesius”, permite combinar muchas posibilidades, y resulta adecuada para esta cuestión. Se puede programar con estas condiciones:

Se interpretan como que buscamos tríos de potencias con suma 2025. Se consigue el resultado siguiente, compuesto por 28 resultados:

 

Tal como se sugirió al principio, esta búsqueda no es complicada, y produce un incremento tan grande de resultados que es razonable la conjetura de que a partir de cierto número, todos los enteros presentarán esta descomposición.