Tres potencias enteras no negativas

En el desarrollo de mis cálculos sobre el año 2025 llegué a esta identidad:

2025²=36⁴+18⁵+9⁶

Al releerla se me ocurrió averiguar qué números admiten una descomposición en tres potencias enteras no negativas (admitiendo el 1 y el 0) y cuáles no. Por ejemplo, 72 se puede descomponer de seis formas:

72=2⁵+2⁵+2³=6²+3³+3²=6²+2⁵+2²=6²+6²+0¹=2⁶+2²+2²=2⁶+2³+0¹

Es evidente que el cero figura para poder considerar también las sumas de dos potencias, como 72=2⁶+2³, o de una para los números que sean potencias perfectas.

Otros números, como 7 y 23 no admiten esta descomposición. En unas primeras búsquedas se puede sospechar que estos números son más escasos. Lo iremos viendo.

Búsqueda de soluciones

Esta búsqueda no supone ninguna complicación. Se resuelve con dos bucles, uno para la primera potencia y otro para la segunda, porque la tercera se encuentra restando.

Hemos usado una función para Excel, siguiendo el espíritu de este blog, pero usa una función propia, ESPOTENCIA 

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html). 

También sustituye la función STR$ por la función AJUSTA, que funciona mejor. No obstante se incluirá su código aquí, porque a continuación se traducirá a PARI, con lo que todos los lectores podrán experimentar con ella.

Function trespotencias$(n)
Dim i, j, k, p1, p2, p3, m
Dim s$ 

s = "" ’Contenedor de la solución
m = 0 ’Contador de soluciones
For i = 0 To n ‘Bucle para la primera potencia
p1 = espotencia(i) ‘Devuelve el exponente
If p1 > 0 Then
For j = 0 To i ‘Bucle para la segunda potencia
p2 = espotencia(j)
If p2 > 0 Then
k = n - i – j ‘Tercera potencia
p3 = espotencia(k)
If k <= j And p3 > 0 And k >= 0 Then
 ‘Los tres sumandos son potencias. Lo que sigue construye la solución
m = m + 1
s = s + " ## " + ajusta(Int(i ^ (1 / p1) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p1) + "+"
s = s + ajusta(Int(j ^ (1 / p2) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p2) + "+"
s = s + ajusta(Int(k ^ (1 / p3) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p3)
End If
End If
Next j
End If
Next i
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s
trespotencias = s
End Function

 Con esta función podemos descomponer los primeros números:

Observamos que el 7 no admite esta descomposición.

Tal como el autor esperaba, al llegar a números mayores se incrementa el número de soluciones:

Volvemos a encontrar un número que no presenta soluciones, el 87. De hecho, experimentalmente van desapareciendo estos números sin solución. Estos son los primeros:

Están publicados en https://oeis.org/A113505 y al llegar al número  26375 se puede conjeturar que es posible que no aparezcan más. Suele ocurrir en casos similares.

A113505

Numbers not the sum of at most three perfect powers (A001597).

7, 15, 23, 87, 111, 119, 167, 335, 1391, 1455, 1607, 1679, 1991, 25887, 26375

a(16), if it exists, is larger than 10^8. - Giovanni Resta, May 07 2017

Para los lectores que deseen experimentar, se incluye nuestra versión en PARI.

u=100;for(i=0,u,if(ispower(i)||i<2,for(j=0,i,if((ispower(j)||j<2)&&(ispower(u-i-j)||u-i-j<2)&&j>u-i-j&&u-i-j>=0,print(i,", ",j,", ",u-i-j)))))

La variable u se rellena con el número a descomponer, en el ejemplo, 100

Observamos que admite tres sumas con sumandos que son potencias.

La siguiente imagen recoge parte del resultado para el año 2025:

La abundancia de resultados reafirma la sospecha de que los elementos sin solución serán limitados.

Estudio con nuestra herramienta Cartesius

Esta hoja de Excel, “Cartesius”, permite combinar muchas posibilidades, y resulta adecuada para esta cuestión. Se puede programar con estas condiciones:

Se interpretan como que buscamos tríos de potencias con suma 2025. Se consigue el resultado siguiente, compuesto por 28 resultados:

 

Tal como se sugirió al principio, esta búsqueda no es complicada, y produce un incremento tan grande de resultados que es razonable la conjetura de que a partir de cierto número, todos los enteros presentarán esta descomposición.