lunes, 24 de marzo de 2014

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo – Andrica

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid


Nota importante: Hoy iniciamos una serie sobre conjeturas. Con ella no se pretende impartir teoría ni ilustrar temas de actualidad. Simplemente deseamos hacer ver que cuestiones de índole superior se pueden tratar con instrumentos simples. Si a través de ellos logramos interesar a los lectores para que investiguen más habremos conseguido nuestro objetivo. Como siempre en este blog usaremos la hoja de cálculo, instrumento excelente para presentar propiedades. Para no cansar a los seguidores del blog no las publicaremos de forma consecutiva.


Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica se expresa algebraicamente mejor que con palabras. Si representamos por pn el número primo que aparece en el lugar n de su lista, la conjetura se expresa como

“La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1”

Sobre su historia, autor y algunas consideraciones interesantes, en lugar de copiarlas aquí remitimos a una destacada entrada del blog “Gaussianos” (http://gaussianos.com/la-conjetura-de-andrica-o-que-distancia-hay-entre-dos-numeros-primos-consecutivos/)

Lo que nos interesa en esta entrada tiene carácter más humilde, y es la comprobación de esta conjetura con una hoja de cálculo y nivel medio de dificultad. Para ello necesitas dos funciones: ESPRIMO, que te devuelve si un número es primo o no y PRIMPROX, que encuentra el menor número primo que es mayor que uno dado (sea primo o no). Para evitarte tratar con definiciones de funciones y con el BASIC de las hojas, hemos creado la herramienta conjeturas.xlsm (y conjeturas,ods), que se encuentran en la dirección

http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas

La primera hoja contiene el espacio de trabajo, la segunda el catálogo de funciones implementadas y la tercera los enunciados de las conjeturas. Este archivo se podrá ir actualizando sin previo aviso conforme se vayan tratando conjeturas nuevas.

Supondremos, pues, que tienes abierta la hoja conjeturas. Puedes comenzar una tabla en la que figuren en la primera columna todos los números primos (verás cómo) y en la segunda los siguientes primos de cada uno de ellos. Después, en una tercera escribimos la diferencia de las raíces cuadradas de ambos.

Construcción de la tabla

Comienza, por ejemplo, escribiendo un 2 en la celda B2. Usa la función PRIMPROX para escribir el siguiente primo en C4: =PRIMPROX(B4). Evidentemente obtendrás un 3.

En la celda D4 escribe la diferencia de raíces cuadradas =RAIZ(C4)-RAIZ(B4)



Para que puedas extender la tabla hacia abajo, en la celda B5 copia el contenido de la C4, pero como fórmula, =C4. No uses Copiar y Pegar. Obtendrás un 3, como era de esperar.



Con el controlador de relleno copia hacia abajo las celdas C4 y D4



Lo que te queda por hacer es muy sencillo: de nuevo con el control de relleno copia las tres nuevas celdas de la fila 5 hacia abajo hasta el número de filas que desees:



Hemos marcado en negrita la máxima diferencia, y como era de esperar, todas son menores que la unidad.

Aunque ya están publicados, te puedes dar la satisfacción de crear tu propio gráfico, añadiendo, por ejemplo, otra columna con los números de orden:



En el gráfico se aprecia la máxima diferencia antes de llegar al 11 y que la tendencia general es que, con grandes oscilaciones, los valores tienden a cero, lo que da confianza en que la conjetura sea cierta.

Otra interpretación

Si representamos por Dn la diferencia entre dos primos consecutivos
Si la conjetura es cierta se cumple


La diferencia entre dos primos consecutivos siempre es menor que la suma de las raíces cuadradas de ambos.

Es fácil deducir otra expresión más simple:

Puedes crear dos columnas nuevas en tu tabla, una con la suma de raíces y otra con la diferencia de primos consecutivos. Intenta crear un gráfico similar a este:



Contrasta  la “suavidad” de la gráfica de la suma de raíces con la de la diferencia de primos. Hay que tener en cuenta que en la primera cada primo se suma en dos datos consecutivos, lo que produce un efecto de promedio, que oculta algo las irregularidades. Lo importante en este caso es se cumple la desigualdad deducida de la conjetura de Andrica.

Una interesante generalización

Si la conjetura de Andrica es cierta, podemos plantear la ecuación


Tendremos la seguridad de que x estará entre los valores 0,5 y 1. Para cada par de primos consecutivos x tendrá un valor distinto. El máximo lo alcanza para el par (2,3) en el que x=1 y el mínimo en pn+1=127 y pn=113 con x=0.567148... Este valor es conocido como la constante de Smarandache. La tienes en http://oeis.org/A038458

Es muy instructivo el procedimiento que podemos usar para encontrar el valor de x correspondiente a cada par de números primos consecutivos. Podemos usar para ello la herramienta de Búsqueda de Objetivos (lo desarrollamos para Excel, pero es muy fácil trasladarlo a otras hojas)

Tal como se explicó en párrafos anteriores, comienza por crear una tabla de pares de números primos consecutivos. Si te da pereza, usa lo que sigue para un solo par.

En la tabla hemos añadido una columna para x en la que iniciamos con el valor 1. Una cuarta columna la rellenamos con la fórmula p(n+1)^x-p(n)^x. Si la reproduces, comprueba que los valores que obtienes son los que figuran en la imagen.

Búsqueda del valor de x

Usaremos la Búsqueda de objetivos para resolver la ecuación


Elige un par cualquiera, por ejemplo 29 y 31. Señala la celda que contiene el valor 2 para la diferencia de potencias, y busca el procedimiento Buscar Objetivo en la fichas Datos y grupo Análisis Y si…


Ahora, en Definir la celda escribes la que contiene la diferencia 2, como valor escribes 1, porque ese es tu objetivo, y en Para cambiar la celda escribes la celda donde está el valor 1 de la x.
Al pulsar aceptar obtendrás la solución, tal como ves en la imagen:


La solución, 0,84555… está entre 0,5 y 1, tal como habíamos conjeturado.
Toma el par 113 y 127 y obtendrás la la constante de Smarandache con cinco decimales correctos:



El problema está en que has de ver cada par uno a uno, pero para un cálculo conjunto nos tendríamos que complicar el proceso.

Puedes consultar más generalizaciones en http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0707/0707.2584.pdf