martes, 29 de abril de 2014

Números de Lucas

Esta entrada participa en la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juegos Topológicos.


En entradas anteriores hemos estudiado algunas sucesiones tipo Horadam. Son aquellas que se forman mediante una recurrencia lineal de segundo orden homogénea, es decir del tipo xn=a1xn-1+a2xn-2
(http://mathworld.wolfram.com/LinearRecurrenceEquation.html)

Interpretamos que cada término a partir uno de ellos equivale al anterior multiplicado por un número más el anterior del anterior por otro. A esos dos números a1 y a2 les llamaremos los coeficientes de la recurrencia.

Lo normal es definir directamente los primeros términos, llamados valores iniciales, y después dar los coeficientes de la recurrencia, que supondremos constantes. Por ejemplo, en la sucesión de Fibonacci, definimos directamente x0=1, x1=1 y usamos los coeficientes a1=1 y a2=1, con lo que la relación de recurrencia vendrá dada por xn=xn-1+xn-2, constituyendo una recurrencia lineal de segundo orden homogénea, y entrando así en nuestro estudio.

Estas sucesiones reciben el nombre de “sucesiones de Horadam” y se caracterizan por estar determinadas por esos cuatro parámetros dentro de una recurrencia de segundo orden homogénea. Así, la sucesión de Fibonacci es Horadam(0,1,1,1), porque los parámetros se escriben en orden inverso a como lo hacemos aquí. Sólo estudiaremos algunos casos, pues el tema es muy amplio y con muchas sucesiones interesantes.  En este enlace puedes repasar el funcionamiento de una herramienta para estudiarlas:

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/recurrencias-lineales-de-segundo-orden.html

En estas entradas se estudiaron dos casos concretos

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/02/numeros-de-pell.html
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/sucesion-de-jacobsthal.html

La herramienta de hoja de cálculo la tienes en

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2


Sucesiones de Fibonacci generalizadas

Se han estudiado mucho las sucesiones de Horadam con coeficientes A=1 y B=1. Algunas de ellas son muy populares, formando un pequeño entramado de sucesiones similares que tendremos que desentrañar. Comencemos dando a X0 y X1 los valores usuales entre 0 y 2:

X0=0 y X1=1: Resulta la sucesión de Fibonacci comenzando en 0: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… http://oeis.org/A000045. Por  ahora no la estudiaremos. Se ha escrito tanto sobre ella que no parece fácil aportar algo nuevo.

X0=1 y X1=1: Resulta la sucesión de Fibonacci comenzando en :  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…La nombraremos como F(n) http://oeis.org/A000045

X0=1 y X1=2: Se formará la misma sucesión comenzando en el segundo 1:  1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

X0=2 y X1=1: Obtenemos la sucesión de Lucas comenzando en 2: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571,… http://oeis.org/A000032. La representaremos como L(n)

X0=1 y X1=3: Obtenemos la sucesión de Lucas comenzando en 1: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571,… http://oeis.org/A000204

Nos detenemos aquí: según los términos iniciales, podemos obtener la clásica sucesión de Fibonacci, la de Lucas o la de otras del tipo Fibonacci, como la contenida en http://oeis.org/A104449

No nos cabrían aquí todas las propiedades de la primera, ya muy estudiadas y publicadas. Sólo destacaremos alguna de ellas si lo vemos oportuno y nos dedicaremos más a los números de Lucas.

Números de Lucas

Los números de Lucas se pueden engendrar con los coeficientes A=1 y B=1 comenzando con X0=2 y X1=1  (más arriba hemos visto otra variante), es decir forman la sucesión de Horadam(2,1,1,1).

En estas direcciones puedes ampliar el tema:

http://www.librosmaravillosos.com/circomatematico/capitulo13.html
http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/
http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html

 Con hoja de cálculo y nuestra herramienta recurre_lineal presentan estos valores:



2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571,… Los representaremos como L(n) http://oeis.org/A000032

En la parte derecha, que te da automáticamente la expresión respecto a n, puedes comprobar la fórmula de L(n)

Es parecida a la de la sucesión de Fibonacci, con la que comparte la misma fórmula de recurrencia. Observa que a partir de n=2, el valor absoluto de la segunda potencia es menor que ½, por lo que X(n) coincidirá con la parte entera de la primera, que coincide con la razón áurea j elevada a n. Es decir:
En la imagen lo hemos programado en hoja de cálculo y se descubre la coincidencia de valores para n>1.


Consecuencia inmediata de esto es que L(n+1)/L(n) tiene al valor j cuando n tiende a infinito, al igual que ocurre con la sucesión de Fibonacci.

Periodicidad de la cifra de las unidades

Al igual que en otras sucesiones de Horadam. Los números de Lucas presentan un ciclo de longitud 12 en sus cifras de unidades:

 {2, 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9}

Lo puedes comprobar en el listado: El tercer número de Lucas  es 4 y si avanzo 12 pasos en la sucesión encuentro 1364 que también termina en 4. Aunque se genera del mismo modo que la sucesión de Fibonacci, esta última no presenta este ciclo porque en ella nunca coinciden un 1 seguido de un 3.

Relaciones con los números de Fibonacci

Dos sucesiones tan similares tienen por fuerza que relacionarse de varias formas. Comenzamos con la más sencilla:

L(n) = F(n+1)+F(n-1) para n > 0.

Por inducción: Se  cumple en los primeros valores:


Si la suponemos verdadera para n,  L(n)=F(n+1)+F(n-1) se tiene: L(n+1)=L(n)+L(n-1)= F(n+1)+F(n-1)+ F(n)+F(n-2)=F(n+2)+F(n), luego se cumple y la relación queda demostrada.

L(n)=F(2n)/F(n)

Llama la atención esta igualdad, pero basta acudir a una propiedad de F(n), y es que F(2n)=(F(n+1)2-F(n-1)(Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number) y desarrollar:
F(2n)=(F(n+1)2-F(n-1)2= F(2n)=(F(n+1)+F(n-1))(F(n+1)-F(n-1))=L(n)F(n) y despejando obtenemos la relación propuesta. Por ejemplo, tomemos n=6. Tendremos: L(6)=18, F(6)=8, F(12)=144, luego F(12)=144=F(6)L(6)=18*8=144

Según estas equivalencias, cualquier fórmula expresada con números de Lucas, también se puede hacer depender de los de Fibonacci.

Una relación inversa

F(N)=(L(N-1)+L(N+1))/5

Comprobamos los términos iniciales con hoja de cálculo:


Se puede completar la demostración por inducción:

F(N+1)=F(N)+F(N-1)=(L(N-1)+L(N+1)+L(N-2)+L(N))/5 =(L(N)+L(N)+L(N+1))/5 = (L(N)+L(N+2))/5

Función generatriz

Si has leído toda la serie que llevamos publicada sobre recurrencias, no te costará trabajo entender que


Congruencias

Los números de Lucas presentan congruencias destacables:

L(p) es congruente con 1 módulo p, siendo p primo.

Puedes aprovechar para comprobarlo el listado básico que nos devuelve la hoja de cálculo recurre_lineal que venimos usando. Basta incluir la función RESIDUO aplicada a L(n) y a n y comprobarás que para índices primos el resto es 1.


Como ocurría en una situación similar con los números de Pell, la propiedad contraria no es cierta, ya que también hay números compuestos en los que el residuo es también 1. Se les da el nombre de pseudoprimos de Lucas y los tienes en https://oeis.org/A005845: 705, 2465, 2737, 3745, 4181, 5777, 672,…

L(2p) con p primo es congruente con 3 módulo p

En la imagen anterior puedes comprobar los casos de 3, 10 y 14

L(n) es par si n es múltiplo de 3 e impar en los demás casos.

Esta propiedad es casual, y debida a la definición de estos números: Los dos primeros son impares, luego el tercero, su suma, será par, el siguiente impar+par será impar y el quinto, par+impar, también será impar. Así seguiremos de forma que algunos consecutivos serán impares y el tercero par.

Existen otras congruencias más complicadas que omitimos.

Podríamos seguir, pero basta por hoy. Si encontramos más propiedades que se puedan verificar con hoja de cálculo, crearemos otra entrada.