Sumas de potencias consecutivas

Existen fórmulas para sumar las primeras potencias de números naturales. Son populares las de la suma de potencias con los primeros exponentes. En esta captura de Excel figuran algunas:

Aquí deseamos usar potencias consecutivas, pero que no comiencen necesariamente por la unidad. Si se usa la fórmula correspondiente, el problema se resuelve restando. Por ejemplo, una suma de potencias entre a^k y b^k se encontraría restando la fórmula correspondiente a b y la de a-1, para que se incluya también a. No será ese el camino que se tome aquí, porque deseamos encontrar la suma con un algoritmo que sirva para todos los exponentes. No obstante, dejamos abierta la posibilidad de comprobar algún cálculo.

Nuestro objetivo es más ambicioso, y es encontrar una suma de potencias consecutivas que sea equivalente a otra potencia dada, como en los ejemplos que siguen:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2
6^3=3^3+4^3+5^3
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3

Deberemos fijar dos parámetros, el exponente de la potencia resultado de la suma, sea, por ejemplo k, y el de los sumandos, que es igual para todos, y llamaremos h. De esa forma también abarcamos la posibilidad de que el resultado no sea una potencia, salvo la trivial de exponente unidad:

 294 =7^2+8^2+9^2+10^2 (k=1)

A la inversa, deberemos poder descomponer una potencia en suma de números naturales consecutivos, como potencias triviales:

12^5=82943+82944+82945 (h=1)

En la siguiente función usamos tres variables distintas, e integramos los resultados en modo texto:

n: base del total de la suma

k: exponente de n

h: exponente de los sumandos

m: total de sumandos en cada solución. Esta es útil para búsquedas.

Function sumapoteconsec$(n, k, h)
Dim p, s, i, j,m
Dim t$

t = "" ‘Texto vacío para incluir soluciones
p = n ^ k ‘Resultado deseado para la suma
For i = 1 To (n – 2)^(k/h) ‘Tope de búsqueda de sumandos
s = i ^ h ’Primer sumando potencia
j = i
While s <= p
If s = p And j > i Then m=j-i+1:t = t + " #" + ajusta(m)+”: “+Str$(i) + " a " + Str$(j)’Solución con número de sumandos, inicio y final
j = j + 1
s = s + j ^ h ‘Se acumula la suma
Wend
Next i
If t = "" Then t = "NO"
sumapoteconsec = t
End Function

Vemos algunos ejemplos obtenidos con esta función:

SUMAPOTECONSEC(30;1;1)= #5:  4 a 8 #4:  6 a 9 #3:  9 a 11

Significa que el número 30 (elevado a la unidad) es suma de números consecutivos de tres formas diferentes:

#5: 4 a 8 : 30=4+5+6+7+8
#4: 6 a 9 : 30=6+7+8+9
#3: 9  a 11 : 30=9+10+11

SUMAPOTECONSEC(990;1;2)= #5:  12 a 16

El número 990 es igual a la suma de cinco cuadrados:

990=12²+13²+14²+15²+16²

Comprobamos el primer ejemplo de este texto:

SUMAPOTECONSEC(47;3;2)= #47:  22 a 68

Equivale a lo que ya sabíamos:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2

El cubo de 47 es suma de 47 cuadrados consecutivos.

Podríamos comprobarlo en una hoja de cálculo como indicamos en los primeros párrafos, restando la fórmula de la suma de cuadrados en 68 y en 21:

(2*68^3+3*68^2+68)/6-(2*21^3+3*21^2+21)/6=103823=47^3

Versión en PARI

Para quienes deseen llegar a números grandes, se ofrece aquí una alternativa en PARI:

smpc(n,k,h)={my(v=[0,0],p=n^k,s,i,j);for(i=1,(n-2)^(k/h),s=i^h;j=i;while(s<=p,if(s==p&&j>i,v=[i,j];print(v));j+=1;s=s+j^h));v}

print(smpc(540,1,1))

Imprime las soluciones parciales y aparece repetida la final. Se podría corregir este detalle, pero al algoritmo va rápido y no merece la pena suprimirlo.

Solución para smpc(540,1,1)

Solución para smpc(47,3,2), que fue nuestro primer ejemplo:

Confirma que el cubo de 47 es la suma de los cuadrados que van del 22² a 68².

Un ejemplo para confirmar:

smpc(29008,1,5)

¿Por qué ese número?

Vemos la solución:

Resulta que es la suma de las primeras siete potencias quintas. Es así porque el número 29008 lo hemos obtenido aplicando la fórmula presentada al principio de la entrada:

S=(2*7^6+6*7^5+5*7^4-7^2)/12=29008.

Ejemplos concretos

Cubos que son suma de cubos

Acudimos a PARI, que es más rápido, para comprobar que 1155 posee esa propiedad:

k=1155;print(smpc(k,3,3))

Nos da que 1155^3 es igual a la suma de todos los cubos comprendidos entre 291^3 y 339^3

Consultar https://oeis.org/A097811)

Este resultado no se podría haber descubierto razonablemente con cálculo manual. Lo hemos comprobado con hoja de cálculo.

Cuadrados que son suma de cubos

Al efectuar una búsqueda de todos los casos, aparecen, entre otros, los números triangulares, por la conocida fórmula

Si buscamos los ejemplos de esta propiedad, encontraremos todos los números triangulares ordenados por su orden. En la siguiente imagen descubrimos que aparecen otros, como el 204, que no son triangulares. Son aquellos en los que la suma de cubos no comienza en 1³:

Podemos crear un listado con los números cuyo cuadrado es suma de cubos pero que no son triangulares:

Como era de esperar, ninguna suma de cubos comienza con 1³

Cubos que son suma de cuadrados

Este ejemplo es bastante conocido, pero con nuestras funciones podemos encontrar otros.

47^3=22^2+23^2+…+68^2

Este sería un buen ejemplo:

13156^3=2277044900416 es la suma de todos los cuadrados comprendidos entre 17354² y 22930²

Podemos usar la fórmula para sumar cuadrados, como comprobación:

22930*22931*(22930*2+1)/6-17353*17354*(17353*2+1)/6

Otras igualdades

Podemos usar lo aprendido para encontrar más igualdades en las que una potencia sea igual a la suma de varias otras potencias consecutivas. Esta es una muestra de lo encontrado con los primeros números como bases.

6^3=3^3+4^3+5^3
6^4=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3
13^4=119^2+120^2
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3