Números de Lösch

Estos números son aquellos que se pueden representar como

N=x²+xy+y², con x  e y números enteros. Como X e Y pueden tener distinto signo, una definición alternativa es la de pueden escribirse como N=x²-xy+y².

Aparecen como las normas de los números enteros de Eisenstein, pero no seguiremos por ahí porque es un tema de números complejos. Estos números son cerrados para la operación de multiplicar, por lo que si m y n pertenecen a este tipo, también lo serán mn, m^k y n^k.

Al poder ser x o y iguales a cero, estos números presentarán algunos subtipos. Por ejemplo, entre ellos estarán el cero y todos los cuadrados enteros, si elegimos y=0 o y=-x. Esto demuestra que existen infinitos números de este tipo.

Todos son positivos o nulos, porque N se puede escribir de esta otra forma (Zak Seidov, Jan 20 2009), que es evidentemente positiva o nula:

N=(y+x/2)²+3*(x/2)²=y²+xy+x²/4+3x²/4=x²+xy+y²

Podemos buscarlos con una función muy sencilla:

Function tipolosch(n)

Dim x, y, a As Integer

Dim s$

s = "" ‘Contenedor de valores de X e Y

a = Sqr(n)’Cota para X e Y

For x = -a To a ‘Bucle para X

For y = -a To a ‘Bucle para Y

If x ^ 2 + x * y + y ^ 2 = n Then ‘Condición a cumplir

s = s + " # X=" + Str$(x) + " Y=" + Str$(y) ‘Nueva solución

End If

Next y

Next x

If s = "" Then s = "NO"

tipolosch = s

End Function

Con esta función detectamos en un buscador los números que permiten valores enteros para X e Y, y que, por tanto son Lösch. Al intentarlo vemos, por una parte que son frecuentes y, por otra, que las soluciones aparecen en conjuntos equivalentes (salvo los signos) que complican un poco la visión del resultado:

Observamos que las soluciones no caben en la imagen a veces, pero que son parecidas. Esta función es buena para descubrir muchas posibilidades para pocos números. Si sólo nos interesa saber si un número es de Lösch o no, es preferible esta otra, que detiene el proceso cuando se detecta una solución:

Function tipolosch2(n)
Dim x, y, a As Integer
Dim s$
Dim noes As Boolean

s = ""
a = Sqr(n)
x = -a
noes = True ‘Introducimos esta variable de detención
While x <= a And noes ’Sustituimos FOR-NEST por WHILE-WEND
y = -a
While y <= a And noes
If x ^ 2 + x * y + y ^ 2 = n Then
noes = False ‘Solución y parada
s = s + " # X=" + Str$(x) + " Y=" + Str$(y)
End If
y = y + 1
Wend
x = x + 1
Wend
If s = "" Then s = "NO"
tipolosch2 = s
End Function

De esta forma queda una tabla con menos información y más clara. Estos son los primeros números de este tipo:

Estos valores están publicados en https://oeis.org/A003136

Se razona fácilmente que entre ellos el 75% serán impares y el 25% pares, porque esta posibilidad necesita que ambos, x e y sean pares.

Casos particulares

Si X=Y, la expresión de estos números es sumamente sencilla, pues equivale a 3K² y, en efecto, pertenecen a este tipo, 3, 12, 27, 48,…como se puede comprobar en las tablas que hemos insertado. Por la propiedad multiplicativa, también pertenecerán a este tipo los de la forma 3^hk², como el 36

Otro caso interesante se produce cuando Y=1, ya que el número quedaría como X²+X+1=(X+1)²-X y crearía la subsucesión 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73,…En https://oeis.org/A353887 están publicados los que son libres de cuadrados, y se afirma que la sucesión es infinita.

Si tomamos Y=-1 nos resultan números poligonales, que no estudiaremos por la extensión de sus propiedades, aunque sea un tema importante en este blog. Puedes consultar https://oeis.org/A002061