¿En cuántas sumas de cuadrados? (2 de 5)

Fórmula de Gauss

Las propiedades vistas en la anterior entrada se resumen en un criterio que no vamos a desarrollar aquí, y es que sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par. Gauss fue más allá en esa sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de formas diferentes en las que se descompone un número en suma de dos cuadrados con base no negativa:

donde ES significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que le siguen se corresponden con los exponentes de los factores del tipo 4n+1 aumentados en una unidad. La fórmula, como advierte Gauss, sólo es válida si los factores del tipo 4n+3 forman un cuadrado perfecto.

Así, por ejemplo, el número 325=5²*13 se deberá descomponer en

N=ES((2+1)(1+1)/2)=ES(3*2/2)=ES(3)=3

En efecto, 325=1² + 18² = 6² + 17² = 10² + 15² (tres formas distintas)

Y el número 6664 sólo de una forma, pues 6664 = 2³*7²*17 y aplicando la fórmula nos daría

N=ES(1+1)/2 = ES(1)=1, y su descomposición única es 6664=42²+70²

Actualmente se prefiere considerar todas las sumas de cuadrados posibles, incluyendo bases negativas y teniendo en cuenta el orden. Esto multiplica por 8 el número de soluciones cuando x es distinto de y y ambos son no nulos, y por 4 en caso contrario. Así, el 13 presentaría ocho soluciones:

13= 2²+3²  = (-2)²+3²  = 2²+(-3)²  = (-2)²+(-3)² = 3² +2² =(-3)² +2² = 3² +(-2)² = (-3)² +(-2)²

Y el 16, cuatro: 16 = 4²+0² = (-4)²+0² =0² + 4² = 0² + (-4)²

Igualmente, 8 presentaría también 4: 8 = 4²+4² = (-4)²+4² =4² + (-4)² = (-4)² + (-4)²

¿Por qué complicar así la cuestión? Lo veremos en la siguiente entrada.

¿En cuántas sumas de cuadrados? (1 de 5)

Todo comenzó con Fermat

Hay números que se pueden descomponer en suma de dos cuadrados, pero ¿de cuántas formas? Esta cuestión ha sido ya abordada en otros blogs de Matemáticas, pero aquí añadiremos técnicas y algoritmos de hoja de cálculo.

Para conseguir una respuesta a la pregunta formulada se necesitaron esfuerzos de varios matemáticos, pero todo comenzó con Fermat y su Teorema de Navidad (lo comunicó a Mersenne el 25 de Diciembre de 1640, pero no lo demostró), y que actualmente expresamos así:

Un número primo se puede descomponer en suma de dos cuadrados x²+y² de números enteros si y sólo si es el número 2 o bien es congruente con 1 módulo 4 (es decir, si es de la forma 4n+1).

El teorema directo es difícil de demostrar, y lo ha sido a lo largo de siglos mediante diversas técnicas (descenso infinito, enteros gausianos y otros), siendo Euler el primero que lo logró. El inverso está a nuestro alcance. Inténtalo:

Un número primo congruente con 3 módulo 4 no puede descomponerse en suma de dos cuadrados de números enteros. 

Gauss, en la sección 182 de sus Disquisitiones arithmeticae destacó que esa descomposición es única, salvo orden y signo. Los dos números x e y han de ser primos entre sí ¿por qué?

De este hecho podemos obtener un criterio marginal: Si un número de la forma 4n+1 no se puede descomponer en dos cuadrados o bien lo puede de más de una forma, no es primo.

Esta propiedad de poder descomponerse en suma de dos cuadrados se mantiene si multiplicamos dos números primos de este tipo, y además se puede duplicar el número de posibles sumas. Así, si 13 = 2²+3²  y  5 = 2²+1², al multiplicarlos obtenemos:

65 = 13*5 = 8²+1²  = 7²+4² 

Esta propiedad se desprende de la famosa identidad:

(a²+b² )(c²+d² )= (ac+bd)²+(ad-bc)²=(ac-bd)²+(ad+bc)²

que nos viene a decir que este producto también es suma de dos cuadrados y además de dos formas distintas (si los sumandos son distintos):

65 = (2*2+3*1)² +(2*1-3*2)² = 7²+4²  (obsérvese que en el cálculo se ha obtenido -4 y no 4)

65 = (2*2-3*1)² +(2*1+3*2)² = 8²+1² 

Ocurre lo mismo si se multiplica el número primo por 2 (elemental ¿no?)

En la siguiente entrada veremos una fórmula de Gauss que resume lo expuesto.

1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, (Segunda parte)

Esta entrada y la anterior constituyen nuestra aportación al VII Carnaval de Matematicas. En esta ocasión, Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión.


Doblado pitagórico

Si tomamos un segmento de longitud 31 cm. y lo doblamos por cierto punto en forma de ángulo recto, podemos completar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene medida entera. No es difícil averiguar por dónde se puede doblar: basta hacerlo con un segmento de medida 7, con lo que el otro trozo mediría 24 y la hipotenusa 25.

Existen otros números con la misma propiedad: 7, descompuesto en 3 y 4, 23, doblado por 8 y 15, y otros muchos.

Te proponemos una búsqueda elemental, mediante razonamiento, hoja de cálculo o navegación por la Red:

Además de 7, 23 o 31, ¿qué otros números tienen la propiedad de engendrar un triángulo rectángulo de medidas enteras con un simple “doblado”?

Te dejamos este código por si deseas practicar:

(Dado un valor n)


Sub buscar(n)
for i=7 to n

for j=3 to i/2
k=i-j

if escuadrado(k*k+j*j)=1 then
msgbox(i)
msgbox(j)
msgbox(k)
end if

next j
next i

end sub

Si lo resuelves te llevarás una sorpresa: las soluciones son las mismas de la entrada anterior (salvo el número 1)

7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ... y todos sus múltiplos.

Lo puedes ver en esta tabla:


7     3  4
14   6  8
17   5  12
21   9  12
23   8  15
28  12  16
31   7  24
34  10  24
35  15  20
41  20  21
42  18  24
46  16  30
47  12  35
49   9   40
49  21  28
51  15  36
56  24  32
62  14  48 ...

La razón estriba en que ambos problemas están relacionados con la ecuación 2x²-y²=k.

Ahí tienes otro reto por si deseas investigar (esta vez te estamos ayudando poco).

1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ... (Primera parte)

Esta entrada y la siguiente (la publicaremos en un par de días) forman nuestra aportación al VII Carnaval de Matematicas. En esta ocasión, Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión.
 
1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ...

En una entrada del curso anterior estudiamos las ternas pitagóricas en las que la diferencia entre catetos era igual a 1. Nos podemos plantear también qué números, aparte del 1, pueden ser diferencia entre catetos en esas ternas.

(1) Afirmamos que todo número puede ser diferencia entre catetos en una terna pitagórica. ¿Cómo lo probarías en pocos segundos?

(2) Más difícil es demostrar que todo número es diferencia de catetos de infinitas formas distintas. Para ayudarte puedes demostrar previamente lo siguiente:

Si u y v engendran una terna pitagórica mediante las fórmulas 2uv, u²-v² y u²+v², los valores 2u+v y v engendran otra terna con la misma diferencia de catetos.

Si lo anterior es cierto, reiterando el procedimiento obtendremos infinitas ternas con la misma diferencia (salvo signo u orden). Si la primera es primitiva, todas las demás lo serán ¿Por qué?

Por ejemplo, de u=4, v=3, x=7, y=24, z=25, con diferencia entre catetos igual a 17, podemos engendrar u=11, v=4, x=88, y=105, z=137, con 105-88 = 17 y después u=26, v=11, x=572, y=555 z=797, y así tantas como queramos.

(3) Si sólo admitimos ternas primitivas, no todos los números pueden ser diferencia de catetos. Los únicos posibles son 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...

Te proponemos una búsqueda de información para averiguar la razón. Sólo te indicaremos que esos números son los que sólo tienen divisores del tipo 8N+1 o 8N-1.