1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ... (Primera parte)

Esta entrada y la siguiente (la publicaremos en un par de días) forman nuestra aportación al VII Carnaval de Matematicas. En esta ocasión, Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión.
 
1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ...

En una entrada del curso anterior estudiamos las ternas pitagóricas en las que la diferencia entre catetos era igual a 1. Nos podemos plantear también qué números, aparte del 1, pueden ser diferencia entre catetos en esas ternas.

(1) Afirmamos que todo número puede ser diferencia entre catetos en una terna pitagórica. ¿Cómo lo probarías en pocos segundos?

(2) Más difícil es demostrar que todo número es diferencia de catetos de infinitas formas distintas. Para ayudarte puedes demostrar previamente lo siguiente:

Si u y v engendran una terna pitagórica mediante las fórmulas 2uv, u²-v² y u²+v², los valores 2u+v y v engendran otra terna con la misma diferencia de catetos.

Si lo anterior es cierto, reiterando el procedimiento obtendremos infinitas ternas con la misma diferencia (salvo signo u orden). Si la primera es primitiva, todas las demás lo serán ¿Por qué?

Por ejemplo, de u=4, v=3, x=7, y=24, z=25, con diferencia entre catetos igual a 17, podemos engendrar u=11, v=4, x=88, y=105, z=137, con 105-88 = 17 y después u=26, v=11, x=572, y=555 z=797, y así tantas como queramos.

(3) Si sólo admitimos ternas primitivas, no todos los números pueden ser diferencia de catetos. Los únicos posibles son 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...

Te proponemos una búsqueda de información para averiguar la razón. Sólo te indicaremos que esos números son los que sólo tienen divisores del tipo 8N+1 o 8N-1.