Las propiedades vistas en la anterior entrada se resumen en un criterio que no vamos a desarrollar aquí, y es que sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par. Gauss fue más allá en esa sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de formas diferentes en las que se descompone un número en suma de dos cuadrados con base no negativa:
donde ES significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que le siguen se corresponden con los exponentes de los factores del tipo 4n+1 aumentados en una unidad. La fórmula, como advierte Gauss, sólo es válida si los factores del tipo 4n+3 forman un cuadrado perfecto.
Así, por ejemplo, el número 325=52*13 se deberá descomponer en
N=ES((2+1)(1+1)/2)=ES(3*2/2)=ES(3)=3
En efecto, 325=12 + 182 = 62 + 172 = 102 + 152 (tres formas distintas)
Y el número 6664 sólo de una forma, pues 6664 = 23*72*17 y aplicando la fórmula nos daría
N=ES(1+1)/2 = ES(1)=1, y su descomposición única es 6664=422+702
Actualmente se prefiere considerar todas las sumas de cuadrados posibles, incluyendo bases negativas y teniendo en cuenta el orden. Esto multiplica por 8 el número de soluciones cuando x es distinto de y y ambos son no nulos, y por 4 en caso contrario. Así, el 13 presentaría ocho soluciones:
13= 22+32 = (-2)2+32 = 22+(-3)2 = (-2)2+(-3)2 = 32 +22 =(-3)2 +22 = 32 +(-2)2 = (-3)2 +(-2)2
Y el 16, cuatro: 16 = 42+02 = (-4)2+02 =02 + 42 = 02 + (-4)2
Igualmente, 8 presentaría también 4: 8 = 42+42 = (-4)2+42 =42 + (-4)2 = (-4)2 + (-4)2
¿Por qué complicar así la cuestión? Lo veremos en la siguiente entrada.
1 comentario:
Recordamos que un primo gaussiano es de la forma 4k+3 que no puede ser representado como suma de dos cuadrados y un entero gaussiano de la forma 4k+1 sí puede ser representado como suma de dos cuadrados. Sobre el teorema de Gauss de que sólo pueden descomponerse en cuadrados los números en que los factores del tipo 4k+1 figuren en su descomposición con exponente par, Antonio aporta un método muy sencillo para determinar el "mínimo entero" que lo hace equivalente a un número de la forma 4k+1. No cabe duda de que se lo ha currado bien.
Un procedimiento similar podemos plantearlo para sumas de primos de la forma 4k+3 con exponente par o impar. Veamos algunos ejemplos:
Para 3^4+11^2=202=2*101=9^2+11^2 los dos factores de 202=2*101 son de la forma 4k+1, a pesar que proceden de dos números de la forma 4k+3, esto nos lleva a la factorización en el anillo Z[i] donde
202=(1+i)(1-i)(10+i)(10-i)=(1^2+1^2)(10^2+1^2)
Para 13+7^3=356=2^2*89=10^2+16^2 lo dos factores son de la forma 4k+1 y proceden de dos números de formas distintas y exponentes impares. Su factorización en Z[i] resulta
356=(1+i)(1-i)(8+5i)(8-5i)=(1^2+1^2)(8^2+5^2)=16^2+10^2
Para 19+23^3=12186=2*3^2*677=81^2+75^2 son tres factores de formas distintas y proceden de dos números de la forma 4k+3, pero que admiten la suma de cuadrados. 12186=3^2[(1+i)(1-i)(26+i)(26-i)]=3^2(1^2+1^2)(26^2+1^2)=81^2+75^2
Es otra forma de contemplar la luna.
Antonio, este es un tema que da mucho juego, y creo que lo tienes muy bien enfocado.
Un abrazo
Rafael Parra
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