martes, 9 de marzo de 2010

Jugamos con Sidon y Golomb

(Con esta entrada participamos en el Segundo Carnaval de Matemáticas)

Regla de Golomb

Se le da el nombre de Regla de Golomb a un conjunto de marcas señaladas en una regla imaginaria, tal que todas las diferencias entre marcas sean distintas. Por ejemplo, estas:

Las seis marcas presentan las quince diferencias 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17 y 19 distintas. Se llama orden de la regla al número de marcas, en este caso 6, y longitud a la mayor diferencia entre ellas, 19 en el ejemplo.

Como lo importante del tema son las diferencias, se suele hacer coincidir la primera marca con el 0. 

De esta forma, la anterior regla quedaría así:
Estas marcas poseen las mismas diferencias, pero no abarcan todas las posibles medidas. Por ejemplo, con esta regla no se podría medir una distancia (diferencia) de 6. Una regla que mida todas las longitudes posibles recibe el nombre de perfecta, y si es la más corta dentro de su orden, óptima

Por ejemplo, {0,1,4.6} forman una regla perfecta, pues se pueden medir con ellas las longitudes 1,2,3,4,5 y 6.

No profundizaremos más en este tema, porque nuestro objetivo es otro. Hay muchas páginas web que estudian este tipo de reglas.

Conjunto de Sidon

Un conjunto de números naturales se llama de Sidon cuando todas las sumas posibles entre sus elementos son distintas. Por ejemplo {3,5,8,9} produce las sumas 8,11,12,13,14 y 17. 

Se puede demostrar que un conjunto finito de Sidon es también una regla de Golomb, y a la inversa (si se prescinde del convenio de comenzar por cero). Por tanto, un conjunto finito es de Sidon si produce diferencias entre sus elementos todas distintas. Intenta demostrarlo, que no es difícil.

Muchos matemáticos han estudiado estos conjuntos, entre ellos Erdös. Una de las cuestiones que estudió fue la del número máximo de elementos que puede tener un conjunto de Sidon incluido en el conjunto {1…N}. Invitamos a nuestros lectores a encontrar alguna de las cotas que están publicadas en la Red.

En esta entrada usaremos estos dos conceptos para, en cierto sentido, jugar con ellos, y plantear una posible actividad en un aula de enseñanza secundaria. Para ello hemos preparado un pasatiempo.

Nos plantearemos estos objetivos:
  • Conjeturar el número máximo de un conjunto de Sidon (o una regla de Golomb) según una cota propuesta, mediante generaciones aleatorias de ese tipo de conjuntos.
  • Construir de forma efectiva conjuntos de Sidon con cota máxima de 25 (con una cota mayor la presentación del pasatiempo sería más incómoda).
  • Experimentar cómo cambian el orden y la longitud de una regla de Golomb según la forma progresiva de elegir los elementos.
  • Establecer competiciones y colaboraciones en un aula.

Descripción del pasatiempo

Proponemos el uso de un modelo de hoja de cálculo que puedes descargar en esta dirección:


Consta de cuatro hojas, cada una con un objetivo distinto:

Generación aleatoria

En esta hoja se generan conjuntos de Sidon de forma aleatoria. Suele encontrar rápidamente conjuntos de orden máximo, y sirve de presentación del concepto y de comprobación de que todas las diferencias son distintas.



En la imagen se han obtenido diez elementos menores que 100 (el 97 no era válido), que han producido 45 diferencias distintas. Este tipo de generaciones no prueba nada, pero ayuda a dar una idea de la magnitud del orden máximo.

Construcción manual

En la segunda hoja se puede construir un conjunto de Sidon con cota 25 (o menor, si se desea, pues basta no usar los últimos valores). El funcionamiento se explica en el modelo, pero aquí destacaremos que permite cambiar rápidamente los valores a fin de estudiar el orden y la longitud del conjunto. La generación aleatoria y la ayuda lo hacen apto para su uso por un alumnado no universitario.


La imagen representa un conjunto en el que sólo se han activado los valores 5, 9 y 12, con las casillas marcadas en rojo que representan los valores que no puede tomar el siguiente elemento. Se supone que se irían añadiendo elementos hasta un total de cinco o seis, según la habilidad con la que se elijan. También se puede intentar minimizar la longitud.

Tabla e instrucciones

El modelo se completa con una tabla de diferencias para el caso en el que se bloquee la ayuda y con unas breves instrucciones.

Uso en el aula

Este tipo de ejercicios se pueden proponer en enseñanza secundaria, en talleres de Matemáticas, prácticas de Informática o trabajos voluntarios. Sus ventajas son, entre otras:

  • Exigen concentración
  • Fomentan la práctica del cálculo mental
  • Se promueve la comprobación de conjeturas
  • Permiten gran variedad de tipos de organización de un trabajo en grupos.

Tareas posibles

  • Comprensión de los conceptos mediante el modelo aleatorio.
  • Elaboración de conjeturas de cotas de un conjunto de Sidon dentro del conjunto {1…N}
  • Construcción manual de conjuntos de orden máximo o de longitud mínima
  • Comprobación de reglas de Golomb perfectas

¿Será útil todo esto? Sólo lo sabremos si probamos a desarrollarlo. Desde aquí animamos al profesorado a “que se atreva” con ciertas cuestiones sin temor al fracaso. Bastante deteriorada está la enseñanza en algunos ámbitos como para ser conservadores. ¿Todo merece ser conservado? Creemos que no.